Vrijednosti kosinusa i sinusa na kružnici. Kako zapamtiti tačke na jediničnom krugu. Kosinus i sinus glavnih tačaka brojevnog kruga

Općenito, ovo pitanje zaslužuje posebnu pažnju, ali ovdje je sve jednostavno: pod uglom od stupnjeva, i sinus i kosinus su pozitivni (vidi sliku), tada uzimamo znak "plus".

Sada pokušajte, na osnovu gore navedenog, pronaći sinus i kosinus uglova: i

Možete varati: posebno za ugao u stepenima. Pošto je jedan ugao pravouglog trougla jednak stepenima, onda je i drugi jednak stepenima. Sada na snagu stupaju poznate formule:

Onda od, onda i. Od tada i. Sa stepenima je još jednostavnije: ako je jedan od uglova pravouglog trougla jednak stepenima, onda je i drugi jednak stepenima, što znači da je trougao jednakokrak.

To znači da su mu noge jednake. To znači da su mu sinus i kosinus jednaki.

Sada, koristeći novu definiciju (koristeći X i Y!), pronađite sinus i kosinus uglova u stepenima i stepenima. Ovdje nećete moći nacrtati trouglove! Biće previše ravni!

Trebali ste dobiti:

Tangens i kotangens možete sami pronaći pomoću formula:

Imajte na umu da ne možete dijeliti sa nulom!!

Sada se svi dobijeni brojevi mogu tablično prikazati:

Ovdje su vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa uglova 1. kvartal. Radi praktičnosti, uglovi su dati i u stepenima i u radijanima (ali sada znate odnos između njih!). Obratite pažnju na 2 crtice u tabeli: naime kotangens nule i tangens stepeni. Ovo nije slučajno!

posebno:

Hajde sada da generalizujemo koncept sinusa i kosinusa na potpuno proizvoljan ugao. Ovdje ću razmotriti dva slučaja:

  1. Ugao se kreće od do stepeni
  2. Ugao veći od stepeni

Uopšteno govoreći, malo sam se trgnuo kada sam govorio o „apsolutno svim“ uglovima. Mogu biti i negativni! Ali ovaj slučaj ćemo razmotriti u drugom članku. Pogledajmo prvo prvi slučaj.

Ako ugao leži u 1. četvrtini, onda je sve jasno, već smo razmotrili ovaj slučaj, pa čak i nacrtali tabele.

Sada neka naš ugao bude veći od stepeni i ne veći od. To znači da se nalazi ili u 2., 3. ili 4. kvartalu.

Šta da radimo? Da, potpuno isto!

Hajde da pogledamo umjesto ovako nesto...

...Volim ovo:

Odnosno, razmotrite ugao koji leži u drugoj četvrtini. Šta možemo reći o njemu?

Tačka koja je presjek zraka i kružnice i dalje ima 2 koordinate (ništa natprirodno, zar ne?). Ovo su koordinate i.

Štaviše, prva koordinata je negativna, a druga pozitivna! To znači da na uglovima druge četvrtine kosinus je negativan, a sinus pozitivan!

Neverovatno, zar ne? Prije ovoga nikada nismo naišli na negativan kosinus.

A to u principu ne bi mogao biti slučaj kada smo trigonometrijske funkcije smatrali omjerom strana trokuta. Usput, razmislite koji uglovi imaju isti kosinus? Koje imaju isti sinus?

Slično, možete uzeti u obzir uglove u svim ostalim četvrtima. Samo da vas podsjetim da se ugao računa suprotno od kazaljke na satu! (kao što je prikazano na zadnjoj slici!).

Naravno, možete računati i u drugom smjeru, ali pristup takvim uglovima bit će nešto drugačiji.

Na osnovu gornjeg razmišljanja, možemo rasporediti znakove sinusa, kosinusa, tangenta (kao sinus podijeljen kosinusom) i kotangensa (kao kosinus podijeljen sa sinusom) za sve četiri četvrtine.

Ali još jednom, nema smisla pamtiti ovaj crtež. Sve što trebate znati:

Hajde da malo vežbamo sa tobom. Vrlo jednostavni zadaci:

Saznajte koji predznak imaju sljedeće količine:

Hoćemo li provjeriti?

  1. stepeni je ugao, veći i manji, što znači da leži u 3 četvrtine. Nacrtajte bilo koji ugao u 3. četvrtini i pogledajte kakvog igrača ima. Ispostaviće se da je negativan. Onda.
    stepeni - 2 četvrtine ugla. Sinus je tamo pozitivan, a kosinus negativan. Plus podijeljeno sa minusom jednako je minus. Sredstva.
    stepeni - ugao, veći i manji. To znači da se nalazi u 4. kvartalu. Za bilo koji ugao četvrte četvrtine, "x" će biti pozitivan, što znači
  2. Na isti način radimo sa radijanima: ovo je ugao druge četvrtine (pošto je i. Sinus druge četvrtine pozitivan.
    .
    , ovo je četvrta četvrtina ugla. Tamo je kosinus pozitivan.
    - ponovo ugao četvrte četvrtine. Tamo je kosinus pozitivan, a sinus negativan. Tada će tangenta biti manja od nule:

Možda vam je teško odrediti četvrtine u radijanima. U tom slučaju uvijek možete ići na stupnjeve. Odgovor će, naravno, biti potpuno isti.

Sada bih se vrlo kratko zadržao na još jednoj stvari. Prisjetimo se ponovo osnovnog trigonometrijskog identiteta.

Kao što sam već rekao, iz njega možemo izraziti sinus kroz kosinus ili obrnuto:

Na izbor znaka će uticati samo četvrtina u kojoj se nalazi naš alfa ugao. Na posljednje dvije formule na Jedinstvenom državnom ispitu ima puno problema, na primjer, ove:

Zadatak

Pronađite ako i.

Zapravo, ovo je četvrtina zadatka! Pogledajte kako se to rješava:

Rješenje

Dakle, zamenimo vrednost ovde. Sada jedino što preostaje jeste da se nosite sa znakom. Šta nam treba za ovo? Saznajte u kojoj se četvrti nalazi naš kutak. Prema uslovima problema: . Koja je ovo četvrt? Četvrto. Koji je znak kosinusa u četvrtoj četvrtini? Kosinus u četvrtoj četvrtini je pozitivan. Zatim sve što treba da uradimo je da izaberemo znak plus ispred. , Onda.

Neću se sada detaljnije zadržavati na takvim zadacima, detaljnu analizu možete pronaći u članku "". Hteo sam samo da vam ukažem na važnost toga koji znak ima ova ili ona trigonometrijska funkcija u zavisnosti od četvrtine.

Uglovi veći od stepeni

Posljednja stvar koju bih želio naglasiti u ovom članku je šta raditi s uglovima većim od stepeni?

Šta je to i sa čime ga možete jesti da se ne biste gušili? Uzmimo, recimo, ugao u stepenima (radijanima) i idemo od njega u suprotnom smeru kazaljke na satu...

Na slici sam nacrtao spiralu, ali shvatate da u stvarnosti nemamo nikakvu spiralu: imamo samo krug.

Dakle, gdje ćemo završiti ako krenemo iz određenog ugla i hodamo cijelim krugom (stepeni ili radijani)?

Gde ćemo ići? I doći ćemo u isti kutak!

Isto, naravno, važi i za bilo koji drugi ugao:

Uzimajući proizvoljan ugao i hodajući cijelim krugom, vratit ćemo se pod isti ugao.

Šta će nam ovo dati? Evo šta: ako, onda

Odakle konačno dobijamo:

Za bilo koju celinu. To znači da sinus i kosinus su periodične funkcije s periodom.

Dakle, nema problema u pronalaženju predznaka sada proizvoljnog ugla: samo trebamo odbaciti sve "cijele krugove" koji se uklapaju u naš kut i saznati u kojoj četvrtini leži preostali ugao.

Na primjer, pronađite znak:

Provjeravamo:

  1. U stepenima odgovara puta po stepenima (stepeni):
    stepeni lijevo. Ovo je ugao od 4 četvrtine. Tamo je sinus negativan, što znači
  2. . stepeni. Ovo je ugao od 3/4. Tamo je kosinus negativan. Onda
  3. . . Od tada - ugao prve četvrtine. Tamo je kosinus pozitivan. Onda cos
  4. . . Budući da naš ugao leži u drugoj četvrtini, gdje je sinus pozitivan.

Isto možemo učiniti za tangentu i kotangens. Međutim, u stvari, one su još jednostavnije: one su također periodične funkcije, samo što je njihov period 2 puta manji:

Dakle, razumijete šta je trigonometrijski krug i za šta je potreban.

Ali još uvijek imamo puno pitanja:

  1. Šta su negativni uglovi?
  2. Kako izračunati vrijednosti trigonometrijske funkcije u ovim uglovima
  3. Kako koristiti poznate vrijednosti trigonometrijskih funkcija iz 1. kvartala za traženje vrijednosti funkcija u drugim kvartalima (je li zaista potrebno natrpati tablicu?!)
  4. Kako možete koristiti krug da pojednostavite rješenja trigonometrijskih jednačina?

PROSJEČAN NIVO

Pa, u ovom članku ćemo nastaviti naše proučavanje trigonometrijskog kruga i razgovarati o sljedećim točkama:

  1. Šta su negativni uglovi?
  2. Kako izračunati vrijednosti trigonometrijskih funkcija pod ovim uglovima?
  3. Kako koristiti poznate vrijednosti trigonometrijskih funkcija 1 četvrtine za traženje vrijednosti funkcija u drugim četvrtinama?
  4. Šta je tangentna osa i kotangensna osa?

Ne trebaju nam nikakva dodatna znanja osim osnovnih vještina u radu s jediničnim krugom (prethodni članak). Pa, idemo na prvo pitanje: šta su negativni uglovi?

Negativni uglovi

Negativni uglovi u trigonometriji su ucrtani na trigonometrijski krug od početka, u smjeru kretanja kazaljke na satu:

Prisjetimo se kako smo prethodno crtali uglove na trigonometrijskom krugu: Krenuli smo od pozitivnog smjera ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu:

Tada se na našem crtežu konstruiše ugao jednak . Izgradili smo sve uglove na isti način.

Međutim, ništa nas ne sprječava da se pomaknemo iz pozitivnog smjera ose u smjeru kazaljke na satu.

Također ćemo dobiti različite uglove, ali oni će biti negativni:

Na sljedećoj slici su prikazana dva ugla, jednaka po apsolutnoj vrijednosti, ali suprotna po predznaku:

Općenito, pravilo se može formulirati ovako:

  • Idemo suprotno od kazaljke na satu - dobijamo pozitivne uglove
  • Idemo u smjeru kazaljke na satu - dobivamo negativne uglove

Pravilo je šematski prikazano na ovoj slici:

Mogli biste mi postaviti sasvim razumno pitanje: pa, potrebni su nam uglovi da bismo izmjerili njihove vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Dakle, postoji li razlika kada je naš ugao pozitivan, a kada negativan? Odgovoriću vam: po pravilu ima.

Međutim, uvijek možete svesti izračunavanje trigonometrijske funkcije s negativnog ugla na izračunavanje funkcije u kutu pozitivno.

Pogledajte sljedeću sliku:

Konstruisao sam dva ugla, jednaki su po apsolutnoj vrednosti, ali imaju suprotan predznak. Za svaki ugao označite njegov sinus i kosinus na osi.

Šta ti i ja vidimo? Evo šta:

  • Sinusi su pod uglovima i suprotni su u znaku! Onda ako
  • Kosinusi uglova se poklapaju! Onda ako
  • Od tada:
  • Od tada:

Dakle, uvijek se možemo riješiti negativnog predznaka unutar bilo koje trigonometrijske funkcije: bilo jednostavnim eliminacijom, kao kod kosinusa, ili postavljanjem ispred funkcije, kao kod sinusa, tangenta i kotangensa.

Usput, zapamtite naziv funkcije koja se izvršava za bilo koju valjanu vrijednost: ?

Takva funkcija se naziva neparna.

Ali ako je za bilo koji dopušteni istinito sljedeće: ? Tada se u ovom slučaju funkcija poziva na par.

Dakle, ti i ja smo upravo pokazali da:

Sinus, tangent i kotangens - neparne funkcije, a kosinus je paran.

Dakle, kao što razumijete, nije bitno da li tražimo sinus pozitivnog ili negativnog ugla: rješavanje minusa je vrlo jednostavno. Dakle, nisu nam potrebne tabele odvojeno za negativne uglove.

S druge strane, morate se složiti da bi bilo vrlo zgodno, poznavajući samo trigonometrijske funkcije uglova prve četvrtine, moći izračunati slične funkcije za preostale četvrtine. Da li je to moguće uraditi? Naravno da možete! Imate najmanje 2 načina: prvi je da napravite trokut i primijenite Pitagorinu teoremu (tako smo ti i ja pronašli vrijednosti trigonometrijskih funkcija za glavne uglove prve četvrtine), i drugi je da zapamtite vrijednosti funkcija za kutove u prvoj četvrtini i neko jednostavno pravilo, da biste mogli izračunati trigonometrijske funkcije za sve ostale četvrtine. Druga metoda će vam uštedjeti mnogo buke oko trouglova i Pitagore, pa je vidim kao obećavajuću:

Dakle, ova metoda (ili pravilo) se zove formule redukcije.

Formule redukcije

Grubo govoreći, ove formule će vam pomoći da se ne sjećate ove tablice (usput, sadrži 98 brojeva!):

ako se sjećate ovog (samo 20 brojeva):

Odnosno, ne možete se zamarati sa potpuno nepotrebnim 78 brojevima! Neka, na primjer, trebamo izračunati. Jasno je da to nije slučaj u maloj tabeli. Šta da radimo? Evo šta:

Prvo će nam trebati sljedeća znanja:

  1. Sinus i kosinus imaju period (stepene), tj

    Tangenta (kotangens) ima period (stepeni)

    Bilo koji cijeli broj

  2. Sinus i tangent su neparne funkcije, a kosinus je parna funkcija:

Prvu tvrdnju smo već dokazali kod vas, a valjanost druge je nedavno utvrđena.

Pravo pravilo ubacivanja izgleda ovako:

  1. Ako izračunamo vrijednost trigonometrijske funkcije iz negativnog ugla, činimo je pozitivnom pomoću grupe formula (2). Na primjer:
  2. Njegove periode odbacujemo za sinus i kosinus: (u stepenima), a za tangente - (u stepenima). Na primjer:
  3. Ako je preostali "ugao" manji od stepeni, onda je problem riješen: tražimo ga u "maloj tabeli".
  4. Inače, tražimo u kojoj se četvrtini nalazi naš kutak: to će biti 2., 3. ili 4. četvrtina. Pogledajmo predznak tražene funkcije u kvadrantu. Zapamtite ovaj znak!!!
  5. Ugao predstavljamo u jednom od sljedećih oblika:

    (ako u drugoj četvrtini)
    (ako u drugoj četvrtini)
    (ako u trećoj četvrtini)
    (ako u trećoj četvrtini)

    (ako je u četvrtoj četvrtini)

    tako da je preostali ugao veći od nule i manji od stepeni. Na primjer:

    U principu, nije bitno u kojem od dva alternativna oblika za svaku četvrtinu predstavljate ugao. Ovo neće uticati na konačni rezultat.

  6. Sada da vidimo šta smo dobili: ako ste odabrali da pišete u terminima ili stepeni plus minus nešto, onda se predznak funkcije neće promijeniti: jednostavno uklonite ili i napišete sinus, kosinus ili tangens preostalog ugla. Ako ste odabrali zapis u ili stupnjevima, promijenite sinus u kosinus, kosinus u sinus, tangentu u kotangens, kotangens u tangentu.
  7. Ispred rezultirajućeg izraza stavljamo znak iz tačke 4.

Pokažimo sve navedeno na primjerima:

  1. Izračunati
  2. Izračunati
  3. Pronađite svoje značenje:

Počnimo redom:

  1. Ponašamo se prema našem algoritmu. Odaberite cijeli broj krugova za:

    Generalno, zaključujemo da cijeli kut stane 5 puta, ali koliko je ostalo? lijevo. Onda

    Pa, višak smo odbacili. Pogledajmo sada znak. nalazi se u 4. kvartalu. Sinus četvrte četvrtine ima predznak minus i ne treba da zaboravim da ga stavim u odgovor. Dalje, predstavljamo prema jednoj od dvije formule iz stava 5 pravila redukcije. ja ću izabrati:

    Pogledajmo sada šta se dogodilo: imamo slučaj sa stepenima, onda ga odbacujemo i mijenjamo sinus u kosinus. I ispred njega stavljamo znak minus!

    stepeni - ugao u prvoj četvrtini. Znamo (obećao si mi da naučim mali sto!!) njegovo značenje:

    Tada dobijamo konačan odgovor:

    odgovor:

  2. sve je isto, ali umjesto stepeni - radijani. Uredu je. Glavna stvar koju treba zapamtiti je to

    Ali ne morate da zamenite radijane sa stepenima. To je stvar vašeg ukusa. Neću ništa menjati. Počeću ponovo odbacivanjem čitavih krugova:

    Odbacimo - ovo su dva cijela kruga. Ostaje samo izračunati. Ovaj ugao je u trećoj četvrtini. Kosinus treće četvrtine je negativan. Ne zaboravite u odgovor staviti znak minus. možete zamisliti kako. Podsjetimo se opet pravila: imamo slučaj "cijelog" broja (ili), tada se funkcija ne mijenja:

    Onda.
    Odgovor: .

  3. . Morate učiniti istu stvar, ali s dvije funkcije. Biću malo kraći: i stepeni - uglovi druge četvrtine. Kosinus druge četvrtine ima predznak minus, a sinus plus. može se predstaviti kao: , i kako, onda

    Oba slučaja su “polovine cjeline”. Tada se sinus mijenja u kosinus, a kosinus se mijenja u sinus. Štaviše, ispred kosinusa je znak minus:

Odgovor: .

Sada vježbajte sami koristeći sljedeće primjere:

A evo i rješenja:


  1. Prvo, riješimo se minusa tako što ćemo ga staviti ispred sinusa (pošto je sinus neparna funkcija!!!). Dalje pogledajmo uglove:

    Odbacujemo cijeli broj krugova - to jest, tri kruga ().
    Ostaje izračunati: .
    Isto radimo i sa drugim uglom:

    Brišemo cijeli broj krugova - 3 kruga () zatim:

    Sada razmišljamo: u kojoj četvrtini leži preostali ugao? On "fali" u svemu. Koja je onda četvrt? Četvrto. Koji je znak kosinusa četvrte četvrtine? Pozitivno. Sada zamislimo. Pošto oduzimamo od cijele količine, ne mijenjamo predznak kosinusa:

    Sve dobijene podatke zamjenjujemo u formulu:

    Odgovor: .


  2. Standard: uklonite minus iz kosinusa, koristeći činjenicu da.
    Ostaje samo izračunati kosinus stepeni. Uklonimo cijele krugove: . Onda

    Onda.
    Odgovor: .

  3. Nastavljamo kao u prethodnom primjeru.

    Pošto se sjećate da je period tangente (ili) za razliku od kosinusa ili sinusa, za koje je 2 puta veći, tada ćemo ukloniti cijeli broj.

    stepeni - ugao u drugoj četvrtini. Tangens druge četvrtine je negativan, onda ne zaboravimo na "minus" na kraju! može se napisati kao. Tangenta se mijenja u kotangens. Konačno dobijamo:

    Onda.
    Odgovor: .

Pa, ostalo je još malo!

Tangentna osa i kotangensna osa

Posljednja stvar koju bih ovdje htio dotaknuti su dvije dodatne ose. Kao što smo već raspravljali, imamo dvije ose:

  1. Osa - kosinusna osa
  2. Osa - osa sinusa

U stvari, ponestalo nam je koordinatnih osa, zar ne? Ali šta je sa tangentama i kotangensima?

Zar za njih zaista ne postoji grafička interpretacija?

U stvari, postoji, možete to vidjeti na ovoj slici:

Konkretno, iz ovih slika možemo reći ovo:

  1. Tangenta i kotangens imaju iste predznake četvrtine
  2. Pozitivni su u 1. i 3. kvartalu
  3. Negativne su u 2. i 4. kvartalu
  4. Tangenta nije definirana pod uglovima
  5. Kotangens nije definiran na uglovima

Čemu još služe ove slike? Naučit ćete na naprednom nivou, gdje ću vam reći kako možete koristiti trigonometrijski krug da pojednostavite rješenja trigonometrijskih jednačina!

NAPREDNI NIVO

U ovom članku ću opisati kako jedinični krug (trigonometrijski krug) može biti korisno u rješavanju trigonometrijskih jednačina.

Mogu se sjetiti dva slučaja u kojima bi to moglo biti korisno:

  1. U odgovoru ne dobijamo "lijep" ugao, ali ipak moramo odabrati korijene
  2. Odgovor sadrži previše nizova korijena

Nije vam potrebno nikakvo specifično znanje osim znanja o temi:

Tema " trigonometrijske jednačine“Pokušao sam da pišem ne pribjegavajući krugu. Mnogi me ne bi pohvalili za takav pristup.

Ali više volim formulu, pa šta da radim? Međutim, u nekim slučajevima nema dovoljno formula. Sljedeći primjer me motivirao da napišem ovaj članak:

Riješite jednačinu:

Dobro onda. Rešavanje same jednačine nije teško.

Obrnuta zamjena:

Dakle, naša originalna jednačina je ekvivalentna čak četiri jednostavne jednačine! Da li zaista treba da zapišemo 4 serije korena:

U principu, tu bismo mogli stati. Ali ne i za čitaoce ovog članka, koji tvrdi da je neka vrsta “složenosti”!

Pogledajmo prvo prvu seriju korijena. Dakle, uzimamo jedinični krug, sada primijenimo ove korijene na krug (odvojeno za i za):

Obratite pažnju: koji je ugao između uglova i? Ovo je ugao. Sada uradimo isto za seriju: .

Ugao između korijena jednadžbe je opet . Hajde sada da spojimo ove dvije slike:

šta vidimo? Inače, svi uglovi između naših korijena su jednaki. Šta to znači?

Ako krenemo od ugla i uzmemo jednake uglove (za bilo koji cijeli broj), onda ćemo uvijek završiti u jednoj od četiri tačke na gornjem krugu! Dakle, 2 serije korijena:

Može se kombinovati u jedno:

Jao, za korijensku seriju:

Ovi argumenti više neće važiti. Napravite crtež i shvatite zašto je to tako. Međutim, mogu se kombinirati na sljedeći način:

Tada originalna jednadžba ima korijen:

Što je prilično kratak i sažet odgovor. Šta znači sažetost i sažetost? O nivou vaše matematičke pismenosti.

Ovo je bio prvi primjer u kojem je upotreba trigonometrijskog kruga dala korisne rezultate.

Drugi primjer su jednadžbe koje imaju "ružne korijene".

Na primjer:

  1. Riješite jednačinu.
  2. Pronađite njegove korijene koji pripadaju intervalu.

Prvi dio uopće nije težak.

Pošto ste već upoznati sa temom, dozvoliću sebi da budem kratak u svojim izjavama.

onda ili

Ovako smo pronašli korijene naše jednadžbe. Ništa komplikovano.

Teže je riješiti drugi dio zadatka, a da se ne zna tačno koliki je ark kosinus minus jedne četvrtine (ovo nije tabela).

Međutim, pronađeni niz korijena možemo prikazati na jediničnom krugu:

šta vidimo? Prvo, figura nam je jasno dala do znanja u kojim granicama se nalazi arc kosinus:

Ova vizualna interpretacija pomoći će nam da pronađemo korijene koji pripadaju segmentu: .

Prvo, sam broj pada u njega, zatim (vidi sliku).

takođe pripada segmentu.

Dakle, jedinični krug pomaže da se odredi gdje padaju "ružni" uglovi.

Trebalo bi da imate barem još jedno pitanje: Ali šta da radimo sa tangentama i kotangensima?

Zapravo, oni također imaju svoje sjekire, iako imaju malo specifičan izgled:

U suprotnom, način rukovanja njima će biti isti kao kod sinusa i kosinusa.

Primjer

Jednačina je data.

  • Riješite ovu jednačinu.
  • Navedite korijene zadata jednačina, koji pripada intervalu.

Rješenje:

Crtamo jedinični krug i na njemu označavamo naša rješenja:

Iz slike možete shvatiti da:

Ili još više: od tada

Zatim nalazimo korijene koji pripadaju segmentu.

, (jer)

Ostavljam vama da sami provjerite da naša jednadžba nema druge korijene koji pripadaju intervalu.

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Glavni alat trigonometrije je trigonometrijski krug, omogućava vam mjerenje uglova, pronalaženje njihovih sinusa, kosinusa itd.

Postoje dva načina mjerenja uglova.

  1. Kroz stepene
  2. Kroz radijane

I obrnuto: od radijana do stepeni:

Da biste pronašli sinus i kosinus ugla potrebno vam je:

  1. Nacrtajte jediničnu kružnicu čiji se centar poklapa sa vrhom ugla.
  2. Pronađite tačku preseka ovog ugla sa kružnicom.
  3. Njegova "X" koordinata je kosinus željenog ugla.
  4. Njegova koordinata "igra" je sinus željenog ugla.

Formule redukcije

Ovo su formule koje vam omogućavaju da pojednostavite složene izraze trigonometrijske funkcije.

Ove formule će vam pomoći da se ne sjećate ove tabele:

Rezimirajući

    Naučili ste kako napraviti univerzalnu ostrugu koristeći trigonometriju.

    Naučili ste rješavati probleme mnogo lakše i brže i, što je najvažnije, bez grešaka.

    Shvatili ste da ne morate trpati nikakve stolove i da ne morate ništa trpati!

Sada želim da te čujem!

    Jeste li uspjeli razumjeti ovu složenu temu?

    šta ti se svidjelo? Šta ti se nije svidjelo?

    Možda ste pronašli grešku?

    Pišite u komentarima!

    I sretno na ispitu!

Vrsta lekcije: sistematizacija znanja i srednja kontrola.

Oprema: trigonometrijski krug, testovi, kartice sa zadacima.

Ciljevi lekcije: sistematizovati proučavano teorijsko gradivo prema definicijama sinusa, kosinusa, tangenta ugla; provjeriti stepen usvojenosti znanja o ovoj temi i primjenu u praksi.

Zadaci:

  • Generalizirati i konsolidirati pojmove sinusa, kosinusa i tangenta ugla.
  • Formirajte sveobuhvatno razumijevanje trigonometrijskih funkcija.
  • Promovirati želju i potrebu učenika za proučavanjem trigonometrijskog materijala; neguju kulturu komunikacije, sposobnost rada u grupama i potrebu za samoobrazovanjem.

„Ko od malih nogu radi i misli svojom glavom,
Tada postaje pouzdaniji, jači, pametniji.

(V. Šukšin)

TOKOM NASTAVE

I. Organizacioni momenat

Klasa je predstavljena sa tri grupe. Svaka grupa ima konsultanta.
Nastavnik najavljuje temu, ciljeve i zadatke časa.

II. Ažuriranje znanja (frontalni rad sa razredom)

1) Radite u grupama na zadacima:

1. Formulirajte definiciju ugla sin.

– Koje predznake ima sin α u svakom koordinatnom kvadrantu?
– Na kojim vrijednostima izraz sin α ima smisla, a koje vrijednosti može imati?

2. Druga grupa su ista pitanja za cos α.

3. Treća grupa priprema odgovore na ista pitanja tg α i ctg α.

U ovom trenutku tri učenika samostalno rade za tablom koristeći kartice (predstavnici različitih grupa).

Kartica br. 1.

Praktičan rad.
Koristeći jedinični krug, izračunajte vrijednosti sin α, cos α i tan α za uglove od 50, 210 i – 210.

Kartica br. 2.

Odrediti predznak izraza: tg 275; cos 370; sin 790; tg 4.1 i sin 2.

Kartica broj 3.

1) Izračunajte:
2) Uporedite: cos 60 i cos 2 30 – sin 2 30

2) usmeno:

a) Predlaže se niz brojeva: 1; 1.2; 3; , 0, , – 1. Među njima ima i suvišnih. Koji greh imovineα ili cos α mogu izraziti ove brojeve (Mogu li sin α ili cos α uzeti ove vrijednosti).
b) Da li izraz ima smisla: cos (–); sin 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). Zašto?
c) Da li postoji najmanji i najveća vrijednost sin ili cos, tg, ctg.
d) Da li je istina?
1) α = 1000 je ugao druge četvrtine;
2) α = – 330 je ugao IV četvrtine.
e) Brojevi odgovaraju istoj tački na jediničnom krugu.

3) Rad za odborom

Br. 567 (2; 4) – Pronađite vrijednost izraza
br. 583 (1-3) Odredi predznak izraza

Zadaća: tabela u svesci. br. 567(1, 3) br. 578

III. Sticanje dodatnih znanja. Trigonometrija na dlanu

Učitelj: Ispada da se vrijednosti sinusa i kosinusa uglova "lociraju" na dlanu vaše ruke. Ispružite ruku (bilo jednu ruku) i raširite prste što je više moguće (kao na posteru). Jedan student je pozvan. Mjerimo uglove između prstiju.
Uzmite trougao gdje postoji ugao od 30, 45 i 60 90 i primijenite vrh ugla na brežuljak Mjeseca na dlanu. Moon of the Moon se nalazi na preseku produžetaka malog prsta i palca. Jednu stranu spajamo malim prstom, a drugu stranu jednim od ostalih prstiju.
Ispostavilo se da između malog prsta i palca postoji ugao od 90, između malog i prstenjaka 30, između malog i srednjeg prsta 45, a između malog i kažiprsta 60. I to važi za sve ljude bez izuzetka.

mali prst br. 0 – odgovara 0,
neimenovani broj 1 – odgovara 30,
prosjek br. 2 – odgovara 45,
broj indeksa 3 – odgovara 60,
veliki broj 4 – odgovara 90.

Dakle, imamo 4 prsta na ruci i zapamtimo formulu:

Prst br.

Ugao

Značenje

Ovo je samo mnemoničko pravilo. Općenito, vrijednost sin α ili cos α mora se znati napamet, ali ponekad će ovo pravilo pomoći u teškim vremenima.
Smislite pravilo za cos (uglovi se ne mijenjaju, već se broje od palca). Fizička pauza povezana sa znakovima sin α ili cos α.

IV. Provjera znanja i vještina

Samostalan rad sa povratnim informacijama

Svaki učenik dobija test (4 opcije), a list za odgovore je isti za sve.

Test

Opcija 1

1) Pod kojim uglom rotacije će poluprečnik zauzeti isti položaj kao pri okretanju za ugao od 50?
2) Pronađite vrijednost izraza: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Koji je broj manji od nule: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

Opcija 2

1) Pod kojim uglom rotacije će poluprečnik zauzeti isti položaj kao pri okretanju za ugao od 10.
2) Pronađite vrijednost izraza: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Koji je broj veći od nule: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).

Opcija 3

1) Pronađite vrijednost izraza: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Koji je broj manji od nule: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Koja je četvrtina ugla ugao α, ako je sin α > 0, cos α< 0.

Opcija 4

1) Pronađite vrijednost izraza: tg 60 – 6ctg 90.
2) Koji je broj manji od nule: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Koji je ugao kvadranta ugao α, ako je ctg α< 0, cos α> 0.

A
0

B
Sin50

IN
1

G
– 350

D
– 1

E
Cos(– 140)

I
3

Z
310

I
Cos 140

L
350

M
2

N
Cos 340

O
– 3

P
Cos 250

R

WITH
Sin 140

T
– 310

U
– 2

F
2

X
Tg 50

Sh
Tg 250

YU
Sin 340

I
4

(ključna riječ je trigonometrija)

V. Podaci iz istorije trigonometrije

Učitelj: Trigonometrija je prilično važna grana matematike za ljudski život. Moderan izgled trigonometriju je uveo najveći matematičar 18. veka Leonhard Ojler, Švajcarac po rođenju, koji je dugo godina radio u Rusiji i bio član Sankt Peterburgske akademije nauka. Uveo je dobro poznate definicije trigonometrijskih funkcija, formulisao i dokazao dobro poznate formule, učićemo ih kasnije. Ojlerov život je veoma zanimljiv i savetujem vam da se sa njim upoznate kroz Jakovljevu knjigu „Leonard Ojler“.

(poruka momaka na ovu temu)

VI. Sumiranje lekcije

Igra "Tic Tac Toe"

Učestvuju dva najaktivnija učenika. Podržavaju ih grupe. Rješenja zadataka zapisuju se u svesku.

Zadaci

1) Pronađite grešku

a) sin 225 = – 1,1 c) sin 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (– 115) > 0

2) Izrazite ugao u stepenima
3) Izrazite ugao 300 u radijanima
4) Koju najveću i najmanju vrijednost izraz može imati: 1+ sin α;
5) Odredi predznak izraza: sin 260, cos 300.
6) U kojoj četvrtini brojevnog kruga se nalazi tačka?
7) Odredi predznake izraza: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Izračunajte:
9) Uporedite: sin 2 i sin 350

VII. Refleksija lekcije

Učitelj: Gdje možemo upoznati trigonometriju?
U kojim časovima u 9. razredu, pa čak i sada, koristite pojmove sin α, cos α; tg α; ctg α i za koju svrhu?

Primjer 1.

Pronađite radijansku mjeru ugla jednakog a) 40°, b) 120°, c) 105°

a) 40° = 40 π / 180 = 2π/9

b) 120° = 120 π/180 = 2π/3

c) 105° = 105 π/180 = 7π/12

Primjer 2.

Nađite stepen stepena ugla izraženog u radijanima a) π/6, b) π/9, c) 2 π/3

a) π/6 = 180°/6 = 30°

b) π/9 = 180°/9 = 20°

c) 2π/3 = 2 180°/6 = 120°

Definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Sinus oštar ugao t pravokutnog trokuta jednako je omjeru suprotne strane i hipotenuze (slika 1):

Kosinus oštrog ugla t pravokutnog trokuta jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze (slika 1):

Ove definicije se primjenjuju na pravokutni trokut i posebni su slučajevi definicija predstavljenih u ovom dijelu.

Postavimo isto pravougaonog trougla u brojčani krug (slika 2).

Vidimo da je noga b jednaka određenoj vrijednosti y na Y osi (os ordinate), krak A jednaka određenoj vrijednosti x na X-osi (x-osi). I hipotenuzu With jednak poluprečniku kružnice (R).

Stoga naše formule poprimaju drugačiji oblik.

Pošto je b = y, a = x, c = R, tada:

y x
sin t = -- , cos t = --.
R R

Usput, naravno, tangentne i kotangensne formule poprimaju drugačiji oblik.

Pošto je tg t = b/a, ctg t = a/b, tada su tačne i druge jednadžbe:

tg t = y/x,

ctg = x/y.

No, vratimo se na sinus i kosinus. Radimo s brojevnim krugom u kojem je polumjer 1. To znači:

y
sin t = -- = y,
1

x
 cos t = -- = x.
1

Tako dolazimo do treće, jednostavnije vrste trigonometrijskih formula.

Ove formule se odnose ne samo na oštar, već i na bilo koji drugi ugao (tupi ili razvijeni).

Definicije i formule cos t, sin t, tg t, ctg t.

Iz formula tangente i kotangensa slijedi još jedna formula:

Jednačine brojčanog kruga.

Znakovi sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa u četvrtini kruga:

1. kvartal 2. kvartal 3. kvartal 4. kvartal
cos t + – – +
sint + + – –
tg t, ctg t + – + –

Kosinus i sinus glavnih tačaka brojevnog kruga:


Kako zapamtiti vrijednosti kosinusa i sinusa glavnih tačaka brojevnog kruga.

Prije svega, morate znati da su u svakom paru brojeva kosinusne vrijednosti na prvom mjestu, a vrijednosti sinusa na drugom mjestu.

1) Imajte na umu: sa svim brojnim točkama na kružnici s brojevima, radi se sa samo pet brojeva (po modulu):

1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2

Napravite ovo "otkriće" za sebe - i otklonit ćete psihološki strah od obilja brojeva: zapravo ih je samo pet.

2) Počnimo s cijelim brojevima 0 i 1. Oni su samo na koordinatnim osa.

Nema potrebe učiti napamet gdje, na primjer, kosinus u modulu ima jedan, a gdje 0.

Na krajevima osovine kosinus(osovine X), naravno, kosinus jednak modulu 1, a sinusi su jednaki 0.

Na krajevima osovine sinusi(osovine at) sinusi su jednaki modulu 1, a kosinusi su jednaki 0.

Sada o znakovima. Nula nema znak. Što se tiče 1 - ovdje se samo trebate sjetiti najjednostavnije stvari: od kursa 7. razreda znate da je na osi X desno od centra koordinatna ravan– pozitivni brojevi, lijevo – negativni; na osi at pozitivni brojevi idu gore od centra, negativni brojevi se spuštaju. I onda nećete pogriješiti sa znakom 1.

3) Sada pređimo na razlomke.

Svi imenioci razlomaka sadrže isti broj 2. Nećemo više griješiti šta da upišemo u nazivnik.

U sredini četvrtine kosinus i sinus imaju apsolutno istu apsolutnu vrijednost: √2/2. U tom slučaju su sa znakom plus ili minus - pogledajte gornju tabelu. Ali jedva da vam treba takva tabela: to znate iz istog kursa 7. razreda.

Sve najbliže osi X tačke imaju apsolutno identične kosinusne i sinusne vrijednosti: (√3/2; 1/2).

Vrijednosti svih najbližih osi at Tačke su takođe apsolutno identične po modulu – i imaju iste brojeve, samo što su „zamijenile“ mjesta: (1/2; √3/2).

Sada o znakovima - ovdje postoji zanimljiva alternacija (iako vjerujemo da biste ionako trebali lako shvatiti znakove).

Ako u prvoj četvrtini vrijednosti i kosinusa i sinusa imaju predznak plus, onda u dijametralno suprotnom (trećem) imaju predznak minus.

Ako u drugoj četvrtini sa predznakom minus postoje samo kosinusi, onda u dijametralno suprotnoj (četvrtoj) postoje samo sinusi.

Ostaje samo podsjetiti da je u svakoj kombinaciji kosinusnih i sinusnih vrijednosti prvi broj vrijednost kosinusa, drugi broj je vrijednost sinusa.

Obratite pažnju na još jednu pravilnost: sinus i kosinus svih dijametralno suprotnih tačaka kruga su apsolutno jednaki po veličini. Uzmimo, na primjer, suprotne tačke π/3 i 4π/3:

cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Vrijednosti kosinusa i sinusa dvije suprotne tačke razlikuju se samo u znaku. Ali i ovdje postoji obrazac: sinusi i kosinusi dijametralno suprotnih tačaka uvijek imaju suprotne predznake.

Važno je znati:

Vrijednosti kosinusa i sinusa točaka na brojevnom krugu uzastopno se povećavaju ili smanjuju u strogo definiranom redoslijedu: od najmanje vrijednosti do najveće i obrnuto (pogledajte odjeljak "Povećanje i smanjenje trigonometrijskih funkcija" - međutim, ovo lako je provjeriti samo gledanjem brojčanog kruga više).

U opadajućem redoslijedu dobiva se sljedeća izmjena vrijednosti:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2

Oni se povećavaju striktno obrnutim redoslijedom.

Kada shvatite ovaj jednostavan obrazac, naučit ćete kako lako odrediti vrijednosti sinusa i kosinusa.

Diverse. Neki od njih govore o tome u kojim je četvrtima kosinus pozitivan i negativan, u kojim četvrtima je sinus pozitivan i negativan. Ispada da je sve jednostavno ako znate izračunati vrijednost ovih funkcija u različitim uglovima i upoznati ste s principom crtanja funkcija na grafu.

Koje su vrijednosti kosinusa?

Ako ga uzmemo u obzir, imamo sljedeći omjer širine i visine koji ga određuje: kosinus ugla A je omjer susjednog kraka BC prema hipotenuzi AB (slika 1): cos a= BC/AB.

Koristeći isti trokut možete pronaći sinus ugla, tangentu i kotangens. Sinus će biti omjer suprotne strane ugla AC prema hipotenuzi AB. Tangent ugla se nalazi ako se sinus željenog ugla podijeli sa kosinusom istog ugla; Zamjenom odgovarajućih formula za pronalaženje sinusa i kosinusa dobijamo da je tg a= AC/BC. Kotangens, kao funkcija inverzna tangenti, naći će se ovako: ctg a= BC/AC.

Odnosno, sa istim vrijednostima uglova, otkriveno je da je u pravokutnom trokutu omjer stranica uvijek isti. Čini se da je postalo jasno odakle te vrijednosti, ali zašto dobijamo negativne brojeve?

Da biste to učinili, morate uzeti u obzir trokut u kartezijanskom koordinatnom sistemu, gdje postoje i pozitivne i negativne vrijednosti.

Jasno o kvartovima, gdje je koji

Šta su kartezijanske koordinate? Ako govorite o dvodimenzionalni prostor, imamo dvije usmjerene prave koje se sijeku u tački O - ovo je osa apscise (Ox) i osa ordinata (Oy). Iz tačke O u smjeru prave linije idu pozitivni brojevi, au suprotnom smjeru negativni brojevi. U konačnici, ovo direktno određuje u kojim je četvrtima kosinus pozitivan, a u kojem, shodno tome, negativan.

Prva četvrtina

Ako postavite pravougaoni trokut u prvu četvrtinu (od 0 o do 90 o), gdje ose x i y imaju pozitivne vrijednosti (segmenti AO i BO leže na osama na kojima vrijednosti imaju "+" znak), tada će i sinus i kosinus imati pozitivne vrijednosti i dodijeljena im je vrijednost sa znakom plus. Ali šta se dešava ako pomerite trougao na drugu četvrtinu (sa 90 o na 180 o)?

Druga četvrtina

Vidimo da su kraci AO duž y-ose dobili negativnu vrijednost. Kosinus ugla a sada ima ovu stranu u odnosu na minus, pa stoga njegova konačna vrijednost postaje negativna. Ispostavilo se da u kojoj je četvrtini kosinus pozitivan zavisi od položaja trougla u Dekartovom koordinatnom sistemu. I u ovom slučaju, kosinus kuta dobiva negativnu vrijednost. Ali za sinus se ništa nije promijenilo, jer za određivanje njegovog znaka potrebna vam je strana OB koja je ostala unutra u ovom slučaju sa znakom plus. Hajde da sumiramo prva dva kvartala.

Da biste saznali u kojim je četvrtima kosinus pozitivan, a u kojem negativan (kao i sinus i druge trigonometrijske funkcije), morate pogledati koji je znak na kojoj strani. Za kosinus ugla a Važna je strana AO, za sinus - OB.

Prvi kvartal je do sada postao jedini koji daje odgovor na pitanje: „U kojim su kvartalima istovremeno pozitivni sinus i kosinus?“ Da vidimo dalje hoće li biti daljnjih podudarnosti u predznaku ove dvije funkcije.

U drugom kvartalu je strana AO počela da ima negativnu vrijednost, što znači da je i kosinus postao negativan. Sinus ostaje pozitivan.

Treća četvrtina

Sada su obje strane AO ​​i OB postale negativne. Prisjetimo se odnosa za kosinus i sinus:

Cos a = AO/AB;

Sin a = VO/AV.

AB uvijek ima pozitivan predznak u datom koordinatnom sistemu, jer nije usmjeren ni u jednom od dva smjera definirana osama. No noge su postale negativne, što znači da je rezultat za obje funkcije također negativan, jer ako izvodite operacije množenja ili dijeljenja s brojevima, među kojima jedan i samo jedan ima predznak minus, onda će i rezultat biti s ovim predznakom.

Rezultat u ovoj fazi:

1) U kojoj je četvrtini kosinus pozitivan? U prvom od tri.

2) U kojoj je četvrtini sinus pozitivan? U prvom i drugom od tri.

Četvrta četvrtina (od 270 o do 360 o)

Ovdje strana AO ponovo dobija znak plus, a samim tim i kosinus.

Za sinus, stvari su i dalje „negativne“, jer noga OB ostaje ispod početne tačke O.

zaključci

Da biste razumjeli u kojim je četvrtima kosinus pozitivan, negativan itd., morate zapamtiti odnos za izračunavanje kosinusa: krak koji se nalazi uz kut podijeljen hipotenuzom. Neki nastavnici predlažu da zapamtite ovo: k(osine) = (k) ugao. Ako se sjetite ove "prevare", onda automatski razumijete da je sinus omjer suprotnog kraka ugla i hipotenuze.

Prilično je teško zapamtiti u kojim je četvrtima kosinus pozitivan, a u kojem negativan. Postoje mnoge trigonometrijske funkcije i sve imaju svoje značenje. Ali ipak, kao rezultat: pozitivne vrijednosti za sinus su 1,2 četvrtine (od 0 o do 180 o); za kosinus 1,4 četvrtine (od 0 o do 90 o i od 270 o do 360 o). U preostalim kvartalima funkcije imaju minus vrijednosti.

Možda će nekome biti lakše da se seti koji je koji znak prikazivanjem funkcije.

Za sinus je jasno da je od nule do 180 o greben iznad linije vrijednosti sin(x), što znači da je funkcija ovdje pozitivna. Za kosinus je isto: u kojoj je četvrtini kosinus pozitivan (slika 7), a u kojem negativan, možete vidjeti pomicanjem linije iznad i ispod ose cos(x). Kao rezultat toga, možemo zapamtiti dva načina za određivanje predznaka sinusne i kosinusne funkcije:

1. Na osnovu zamišljene kružnice poluprečnika jednaka jedan (iako, zapravo, nije bitno koliki je poluprečnik kružnice, ovo je primjer koji se najčešće navodi u udžbenicima; to olakšava razumijevanje, ali na u isto vrijeme, osim ako nije propisano da to nije bitno, djeca se mogu zbuniti).

2. Prikazujući zavisnost funkcije duž (x) od samog argumenta x, kao na posljednjoj slici.

Koristeći prvu metodu, možete RAZUMIJETI o čemu točno ovisi znak, a mi smo to detaljno objasnili gore. Slika 7, konstruirana iz ovih podataka, vizualizira rezultujuću funkciju i njen predznak na najbolji mogući način.

mob_info