Napeto i deformisano stanje. Ravno čvrsto i ravno povučeno ravno
Naponima će biti predstavljeno djelovanje odbačenog dijela na preostali dio u blizini tačke B. Podsjećamo da prvi indeks za tangencijalne napone odgovara osi koja je normalna na presjek druge ose paralelne na koju je usmjeren tangencijalni napon. Naponi u kosim presjecima Postavimo zadatak: Odrediti napone u proizvoljnom presjeku koji prolazi kroz dati poen B ploče.
Podijelite svoj rad na društvenim mrežama
Ako vam ovaj rad ne odgovara, na dnu stranice nalazi se lista sličnih radova. Možete koristiti i dugme za pretragu
Ravno naponsko stanje
Napeto stanje, kada nastaju normalni naponi i u smjeru ose X i ose Y (na primjer, u posudama tankih stijenki opterećenih vanjskim pritiskom). I u presjecima okomitim na osi X i Y tangencijalni naponi djeluju (u gredama pri savijanju) tzvravno (biaksijalno) naponsko stanje.
Pokažimo da je, na primjer, ploča (ili ploča) proizvoljnog oblika male debljine u odnosu na druge dimenzije u ravnom napregnutom stanju. Svaki međusobno uravnotežen sistem vanjskih sila, ravnomjerno raspoređenih po cijeloj debljini i paralelno sa srednjim slojem, djeluje duž konture ploče. Zbog male veličine, promjena naprezanja u smjeru okomitom na vanjske ravnine ploče može se zanemariti. Istovremeno, jer na vanjskim ravnima nema vanjskih sila, tada su za bilo koju elementarnu površinu ovih površina sile i naponi jednaki nuli, pa su stoga jednaki nuli za sve presjeke paralelne ovim površinama. Ovi presjeci su glavni, stoga je u razmatranom slučaju jedan od glavnih napona jednak nuli.
Povežimo tijelo sa koordinatnim osa XOY , koji se nalazi u ravni srednjeg sloja. Mentalno izrežite ploču (ploču) na dijelove I i II , okomito na osi X i Y . Djelovanje odbačenog dijela na preostali, blizu točke B će biti predstavljeni naponima (podsjećamo da prvi indeks za tangencijalna naprezanja odgovara osi koja je normalna na presjek, a drugi na os paralelnu na koju je usmjeren tangencijalni napon). Tako se u opštem slučaju stvara ravno naponsko stanje u blizini proizvoljne tačke na ploči, u kojoj.
Naponi u kosim presjecima
Postavimo zadatak: Odrediti napone u proizvoljnom presjeku koji prolazi kroz datu tačku B ploče.
Da bismo to uradili, napravićemo sekciju III beskonačno blizu tačke B . Ukupni napon u ovom presjeku može se smatrati jednakim ukupnom naprezanju u presjeku koji prolazi kroz tačku B. Položaj presjeka je određen uglom koji čini sa osom X je normalno N na presek.
Mentalno odaberite trokutastu ploču sa ploče BCD biti, kao i cijelo tijelo, u ravnoteži. S obzirom na beskonačno malu veličinu ploče, pretpostavljamo da su naprezanja ravnomjerno raspoređena duž ploha. Tada se rezultanta sila koje djeluju na svaku stranu ploče može izračunati kao proizvod naprezanja i površine odgovarajućeg lica te će se primijeniti na težište lica. Postavimo ishodište koordinata u tačku - težište lica CD.
Pretpostavljamo da su naponi poznati. Nađimo komponente ukupnog napona S duž koordinatnih osa, kao i normalna i posmična naprezanja na licu CD . Sastavljamo jednadžbe ravnoteže:
- Zbir trenutaka oko tačke
Nakon smanjenja dobijamo
(1)
Ovaj rezultat izražava uvjet za ravnotežu tangencijalnih sila u međusobno okomitim presjecima u neposrednoj blizini pravi ugao, posmični naponi imaju jednake module i usmjereni su prema vrhu pravog ugla (ili od vrha, kada su usmjereni u smjerovima suprotnim od onih prikazanih na slici).
Označimo, dakle, gdje su kosinusi smjera.
Projekcione jednačine
Nakon smanjenja za A
(2)
Nađimo normalnu i tangencijalnu komponentu ukupnog naprezanja
S obzirom na to, dobijamo
(3)
Može se pokazati da:
- - u međusobno okomitim presjecima zbir normalnih napona je konstantan, a moduli tangencijalnih napona jednaki;
- - u paralelnim presjecima normalni i tangencijalni naponi su jednaki po veličini i predznaku.
Pravila potpisivanja:
- pozitivno:
Normalna naprezanja, ako su vlačna;
Tangencijalni naponi, ako stvaraju rotacije elemenata BCD u odnosu na tačku unutar njega u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i - u smjeru kazaljke na satu.
Glavni naponi i presjeci
Sekcije se nazivaju glavnim ako:
- normalna naprezanja dostižu ekstremne vrijednosti;
- Nema tangencijalnih napona (jednakih nuli).
Pritom je svejedno koji od znakova se koristi, jedan od njih se uvijek može predstaviti kao posljedica drugog.
Odredimo položaj glavnih sekcija prema drugom kriterijumu, pod pretpostavkom da je presek CD glavna stvar, tj. , i shodno tome
, (A)
Zamjenom (a) u (2) dobijamo
(4)
Ovdje - odredite položaj ivice CD , kada postane glavna sekcija. Sistem (4) s obzirom na nepoznate je homogen i ima rješenje različito od nule samo kada je determinanta sistema (4) jednaka nuli (Roucherov teorem), tj.
(5)
U proširenom obliku i nakon transformacija
(6)
Odlučivanje kvadratna jednačina, nalazimo module glavnih napona
Gdje
(7)
Oba korijena (7) jednadžbe (6) su realna, daju vrijednosti dva glavna naprezanja i, a treći je, kao što je ranije navedeno, u ravnom slučaju napregnutog stanja jednak nuli. Ako, onda, u skladu sa uslovom, dobijamo, .
Glavni naponi i, tj. korijeni jednadžbe (6) određeni su prirodom stanja naprezanja i ne zavise od toga koji je sistem koordinatnih osa usvojen kao početni. Stoga, prilikom okretanja osi X, Y koeficijenti i jednačine (6) moraju ostati nepromijenjeni (to). Stoga se nazivaju invarijantama stanja naprezanja.
Nađimo smjer glavnih naprezanja, odnosno kosinuse smjera koji određuju položaj glavnih presjeka, pretpostavljajući i računajući iz izraza (7).
Za to postoji sistem jednadžbi (5), ali je homogen i njegovi korijeni različiti od nule se ne mogu odrediti. Iz kursa trigonometrije znamo
(8)
(V)
tada dobijamo sistem jednačina (8) i (c) koji je nehomogen i određen, rešavanjem kojeg ćemo utvrditi položaj glavnih preseka.
Zamjenom u (c) prvo imamo
(sa)
Kosinusi uglova napravljeni sa koordinatnim osa X i Y normalno na prvi glavni presjek, što je isto glavno naprezanje.
Rješavajući sistem jednačine (c) dobijamo
(9)
Na isti način, zamjenom u (c)
(10)
U (9) i (10) - uglovi mjereni rotacijom u smjeru suprotnom od kazaljke na satu od ose X na normale na presjeke u kojima glavna naprezanja, odnosno djeluju.
Utvrdimo položaj glavnih sekcija jedan u odnosu na drugi. Da bismo to učinili, pomnožimo jednačine (9) i (10) po član
(d)
Prilikom zamjene u ( d ) vrijednosti i iz (7) nakon transformacija dolazimo do sljedećeg izraza
(f)
Jer , onda možete pisati. Misliti
Iz toga slijedi da su glavni presjeci međusobno okomiti, a (9), (10 )
Imajte na umu da ćemo dodavanjem oba reda formule (7) imati -u međusobno okomitim presjecima zbir normalnih napona je konstantan.
Glavne deformacije
Odredimo deformacije u smjeru glavnih napona. Da bismo to učinili, od tijela u ravnom napregnutom stanju mentalno izaberemo pravokutni element čiji su rubovi paralelni s glavnim presjecima. Jer Duž lica djeluju samo normalni naponi, tada će se pravci glavnih napona poklopiti s deformacijama koje se nazivaju glavnim. Koristeći formule generaliziranog Hookeovog zakona i uz pretpostavku, dobijamo
(11)
Ekstremno naprezanje smicanja
Pretpostavimo da je duž ivica BC i BD trouglasta ploča BCD deluju glavni naponi. Tada će izrazi (3) poprimiti oblik
(k)
(m)
Hajde da ispitamo funkciju ( m ) do ekstrema, na osnovu uslova postojanja. razlikovati ( m) od strane.
U opštem slučaju, dakle ( s).
Simbol at se postavlja kako bi se razlikovali korijeni jednadžbe ( s ), određujući položaj presjeka u kojima dostiže ekstremne vrijednosti, iz korijena jednačina (9), (10) definirajući položaj glavnih presjeka.
Jednačina (s ) unutar ima dva korijena koji se međusobno razlikuju po tome i odakle dolazimo.
To. presjeci u kojima tangencijalni naponi dostižu najveću apsolutnu vrijednost nalaze se pod uglom u odnosu na glavne presjeke. Ovi presjeci su također međusobno okomiti.
Kada i izraz (k 0 poprima oblik
(12)
U istim sekcijama
ili (13)
Na slici i ispod, uglovi se mjere od osi (2 ili 3), koja se poklapa u smjeru s najmanjim glavnim naponom (ili). Tada se, u skladu sa gore navedenim, normala na presjek c nalazi pod uglom prema ovoj osi, a pod uglom - c. Na rubovima tanjira a b c d , osim tangencijalnih, mogu postojati i normalni naponi, određeni formulom (13). Imajte na umu da je uvijek veći od nule i stoga ima smjer u kojem stvara rotaciju elementa a b c d u odnosu na bilo koju tačku unutar njega u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. U opštem slučaju ravnog naponskog stanja, kada nisu specificirani glavni naponi, ali se i moduli ekstremnih mogu odrediti formulom
(14)
koji se dobijaju zamenom (7) u (12).
Specifična potencijalna energija
Prilikom zatezanja (stiskanja), vanjske sile vrše rad zbog pomicanja tačaka njihove primjene i uzrokuju deformaciju materijala. Tokom deformacije, unutrašnje elastične sile također obavljaju rad. Poznato je da se energija koju tijelo akumulira tokom deformacije naziva potencijalna energija deformacije, a vrijednost te energije po jedinici zapremine materijala naziva se specifična potencijalna energija. Za centralni napon (kompresija) izračunat je iz izraza. U ravnom napregnutom stanju, specifična potencijalna energija deformacije dobija se kao zbir dva člana
Jer i onda
(15)
Ostali slični radovi koji bi vas mogli zanimati.vshm> |
|||
| 6543. | Volumetrijsko (prostorno) stanje naprezanja | 228,62 KB | |
| Skup napona koji nastaju u mnogim presjecima koji prolaze kroz tačku koja se razmatra naziva se stanje naprezanja u blizini tačke. Proučavanje zakona promjena naprezanja u blizini tačke nije čisto apstraktno. Nakon sniženja dobijamo... | |||
| 6011. | Tehničko stanje automobila | 126,23 KB | |
| Dešava se: Ispravno stanje automobila je stanje u kojem ispunjava sve uslove tehničke specifikacije i projektnu dokumentaciju. Neispravno stanje se također može podijeliti na: Radno stanje automobila je stanje u kojem je sposoban obavljati određene poslove sa parametrima navedenim u njegovom tehničke specifikacije. Limit state jedinica ili dio vozila je stanje u kojem više nije prihvatljivo koristiti ih. | |||
| 8472. | Tečno stanje materije | 230.17 KB | |
| Potencijalna energija molekula unutar tečnosti je manja nego izvan tečnosti. Rezultirajuća sila unutar tečnosti je 0. Na cijeli sloj koji leži na površini tečnosti djeluju sile koje su normalno usmjerene u tečnost. Masa tekućine na koju ne djeluju vanjske sile mora poprimiti sferni oblik. | |||
| 12293. | Brak kao pravno stanje | 62,92 KB | |
| Pojava države braka: pojam i oblik braka u ruskom porodičnom pravu. Pravne posljedice postojanja i prestanka braka kao pravnog stanja. Pravne posljedice braka. Pravne posljedice prestanka braka. | |||
| 9441. | TEHNIČKO STANJE MAŠINA I NJEGOVA OCJENA | 109.07 KB | |
| Važna faza životnog ciklusa je rad, koji uključuje transport, montažu i demontažu, namjensku upotrebu, održavanje, popravku i skladištenje mašine. Tehničko stanje mašine opreme je ukupnost njenih svojstava koja su podložna promenama u toku proizvodnje i rada i koja se u određenom trenutku karakterišu znakovima utvrđenim tehničkom dokumentacijom. Najvažnije u životni ciklus svake mašine su faze proizvodnje i rada u kojima se ona izvodi... | |||
| 7608. | Stanje tržišta zemljišta u Rusiji | 67,95 KB | |
| Problem poboljšanja pravnog uređenja zemljišnih odnosa u Rusiji nedavno je postao jedan od najhitnijih i o njemu se široko raspravlja ne samo među pravnicima, zakonodavcima i političarima, već iu društvu u cjelini. Mišljenja strana uključenih u diskusiju su ponekad kontradiktorna | |||
| 18050. | Finansijsko stanje sanatorijuma "Jailau" | 114,75 KB | |
| Veliki teret života u nestabilnoj kriznoj situaciji osjetila su brojna preduzeća i organizacije koje su započele s radom i prije krize, kao i one koje su riskirale da započnu svoje djelovanje odmah nakon nje. Mnoga preduzeća su otišla u stečaj, zatvorila se, prestala sa radom i prekvalifikovala se u drugu vrstu delatnosti koja je bila traženija na tržištu. Ako se okrenemo formiranju djelatnosti postojećih preduzeća i organizacija koje danas mogu konkurirati razvijenim zapadnim... | |||
| 9975. | Finansijsko stanje kompanije Voskhod LLC | 204.18 KB | |
| Važna uloga U realizaciji ovog zadatka data je analiza finansijskog stanja preduzeća. Uz njegovu pomoć razvija se strategija i taktika razvoja preduzeća, obrazlažu planovi i prate odluke menadžmenta nad njihovom implementacijom, identifikuju se načini povećanja efikasnosti komercijalnih aktivnosti i rezultati aktivnosti preduzeća. ocjenjuju se njeni odjeli i zaposleni. Finansije preduzeća hotelskog kompleksa su važan dio finansijski sistem. Uključeno u finansije hotelskih preduzeća... | |||
| 18527. | Osiguranje u Kazahstanu - status i izgledi | 98 KB | |
| Formiranje i razvoj institucije osiguranja u Republici Kazahstan. Osnovni koncepti tržišta osiguranja u Republici Kazahstan. Pravne karakteristike pojedinih vrsta osiguranja. Pojam i karakteristike ugovora o osiguranju. | |||
| 4941. | Najnovije stanje i načini poboljšanja sistema kontrole pristupa u muzeju | 244,26 KB | |
| Teorijski aspekti organiziranje muzejskog SKD-a korištenjem informacionih i edukativnih tehnika. Stanje problema organizacije društveno-kulturne djelatnosti muzeja. Karakteristike informaciono-obrazovnih metoda u procesu organizovanja društveno-kulturne delatnosti muzeja... | |||
U stanju ravnih naprezanja u jednom od područja koja prolaze kroz tačku koja se razmatra, tangencijalni i normalni naponi su jednaki nuli. Kombinirajmo ovo područje sa ravninom crtanja i izaberemo iz tijela u blizini ove tačke beskonačno malu (elementarnu) trokutastu prizmu, čije su bočne strane okomite na ravninu crteža, a visinu (u smjeru okomitom na ravnina crtanja) jednaka je osnovici prizme. pravokutnih trouglova(Sl. 2.3, a).
Primijenimo na odabranu prizmu ista naprezanja koja su na nju djelovala prije njenog odvajanja od tijela. Zbog činjenice da su sve dimenzije odabrane prizme beskonačno male, tangencijalni i normalni naponi duž njenih bočnih strana mogu se smatrati ravnomjerno raspoređenim i jednakim naponima u područjima koja idu paralelno s njenim plohama.
Odaberimo koordinatni sistem poravnavanjem osa i y (u ravni crteža) sa stranama prizme (slika 2.3, a). Označimo napone paralelne sa osom u i osom y.
Označavamo normalne napone duž bočne strane prizme nagnute pod uglom a u odnosu na lice duž koje naponi djeluju
Prihvatimo sljedeće pravilo znakova. Normalno vlačno naprezanje je pozitivno, a tlačno normalno naprezanje negativno. Tangencijalni napon duž bočne strane prizme je pozitivan ako vektor koji je predstavlja teži da rotira prizmu u smjeru kazaljke na satu u odnosu na bilo koju tačku koja leži na unutrašnjoj normali na ovo lice. Ugao a je pozitivan ako se lice prizme (duž koje se primjenjuje napon) zarotira kroz ovaj ugao u smjeru suprotnom od kazaljke na satu kako bi se poravnalo s licem (duž kojeg se naprezanje primjenjuje). Na sl. 2.3, a svi naponi, kao i ugao a, su pozitivni.
Množenjem svakog od napona sa površinom lica duž kojeg djeluje, dobijamo sistem koncentrisanih sila Tu i Ta primijenjenih na težišta odgovarajućih površina (slika 2.3, b):
Ove sile moraju zadovoljiti sve jednačine ravnoteže, jer je prizma odvojena od tijela u ravnoteži.
Kreirajmo sljedeće jednačine ravnoteže:
Sile nisu uključene u jednačinu (4.3), jer njihove linije djelovanja prolaze kroz tačku (početak koordinatnog sistema).
Zamjenom izraza i T iz jednačina (1.3) u jednačinu (4.3), dobijamo
Posljedično, posmična naprezanja duž dva međusobno okomita područja su jednaka po apsolutnoj vrijednosti i suprotna po predznaku. Ovaj odnos između naziva se zakon uparivanja tangentnih naprezanja.
Iz zakona uparivanja tangencijalnih napona proizilazi da su u dvije međusobno okomite oblasti tangencijalni naponi usmjereni ili prema liniji presjeka ovih područja (sl. 3.3, a) ili od nje (sl. 3.3, b).
Zamenimo u jednačine (2.3) i (3.3) izraze sila iz jednačina (1.3):
Smanjimo ove jednadžbe za , uzimajući u obzir da (vidi sliku 2.3, a):
Sada ga zamijenimo sa [vidi. formula (5.3)]:
Formule (6.3) i (7.3) omogućavaju određivanje vrijednosti normalnih i posmičnih napona u bilo kojoj oblasti koja prolazi kroz datu tačku, ako su poznati naponi u bilo koja dva međusobno okomita područja koja prolaze kroz nju.
Koristeći formulu (6.3) određujemo zbir normalnih naprezanja u dva međusobno okomita područja, za jednu od kojih je ugao a jednak a za drugu
odnosno zbir vrijednosti normalnih napona u dva međusobno okomita područja je konstantna vrijednost. Shodno tome, ako u jednom od takvih područja imaju normalna naprezanja maksimalna vrijednost, onda u drugom imaju minimalnu vrijednost.
Prilikom proučavanja napregnutog stanja, naponi se prvo određuju duž tri međusobno okomite površine koje prolaze kroz tačku tijela koje se razmatra.
Ako se pokaže da je jedno od ovih područja bez stresa, tada je napregnuto stanje ravno. Na sl. 4.3, str. Obično se prikazuje kao pravougaonik (ili kvadrat), koji je projekcija elementa na ravan koja se poklapa sa površinom bez naprezanja (slika 4.3b). Dovoljno je navesti vrijednosti naprezanja na dvije međusobno okomite bočne strane paralelepipeda.
Ako je potrebno prikazati naprezanja koja nastaju ne u jednom paru međusobno okomitih područja koja prolaze kroz datu tačku, već u nekoliko, tada se mogu prikazati odgovarajući pravokutnici (ili kvadrati), kao što je, na primjer, prikazano na sl. 4.3, c.
Iz napona u dva međusobno okomita područja mogu se izračunati [pomoću formula (6.3) i (7.3)] naponi u bilo kojoj oblasti; stoga se slika (na primjer, 4.3, b, c), koja prikazuje ove napone, može smatrati slikom napregnutog stanja u tački.
Svako naponsko stanje se može smatrati zbirom nekoliko naponskih stanja (princip superpozicije naprezanja). Na primjer, stanje naprezanja prikazano na sl. 5.3, a, može se smatrati zbirom stanja naprezanja prikazanih na Sl. 5.3, b, c.
Ako su svi vektori napona paralelni sa istom ravninom, stanje naprezanja naziva se ravan (slika 1). Inače: stanje naprezanja je ravno ako je jedno od tri glavna napona nula.
Slika 1.
Ravno naponsko stanje se ostvaruje u ploči opterećenoj duž svoje konture silama čije se rezultante nalaze u njenoj srednjoj ravnini (srednja ravnina je ravan koja dijeli debljinu ploče na pola).
Smjerovi naprezanja na sl. 1 se uzimaju kao pozitivne. Ugao α je pozitivan ako je prikazan od x-ose do y-ose. Na stranici sa normalnim n:
Normalno naprezanje σ n je pozitivno ako je vlačno. Pozitivni napon je prikazan na sl. 1. Pravilo predznaka za formulu (1) je isto kao i za napone prema formuli (1).
Ovdje dato pravilo znakova primjenjuje se na nagnute platforme. U članku "Vumensko stresno stanje" formulisano je pravilo predznaka za komponente napona u tački, odnosno za napone na površinama okomitim na koordinatne ose. Ovo pravilo znaka je prihvaćeno u teoriji elastičnosti.
Glavna naprezanja na površinama okomitim na ravan naprezanja:
(Pošto se ovdje razmatraju samo dva glavna naprezanja, oni se označavaju sa σ 1 i σ 2, iako se može ispostaviti da je σ 2<0, т. е. σ 2 не будет средним из трех главных напряжений). Угол α 1 составляемый нормалью к первой главной площадке с осью х, находится из равенства:
Ovi naponi djeluju na područja koja se nalaze pod uglom od 45° u odnosu na prvu i drugu glavnu oblast.
Ako glavni naponi σ 1 i σ 2 imaju isti predznak, tada najveći tangencijalni napon djeluje na područje koje se nalazi pod kutom od 45° u odnosu na ravan naprezanja (ravnina xy). U ovom slučaju:
U zidu grede (ovdje mislimo na pravilnu gredu, a ne na gredu-zid), kada se ona savija pod djelovanjem sila, ostvaruje se poseban slučaj ravnog naponskog stanja. U zidovima grede jedan od normalnih napona σ y jednak je nuli. U ovom slučaju, naponi će se dobiti prema formulama (1), (2) i (4), ako u ove formule stavimo σ y =0. Položaj prve glavne platforme određen je formulom (3).
ISTEZANJE U DVA SMJERA(Slika 2).
Predavanje 15
Primjer strukture, čije su sve točke u ravnom napregnutom stanju, je tanka ploča opterećena na krajevima silama koje leže u njenoj ravni. Budući da su bočne površine ploče bez naprezanja, zbog male debljine možemo pretpostaviti da su unutar ploče na površinama paralelnim s njenom površinom naponi zanemarljivo mali. Slična situacija se javlja, na primjer, pri utovaru osovina i greda s profilom tankih stijenki.
U opštem slučaju, kada se govori o ravnom naponskom stanju, ne mislimo na celu strukturu, već samo na razmatranu tačku njenog elementa. Znak da je stanje naprezanja u datoj tački ravno je prisustvo platforme koja prolazi kroz nju i na kojoj nema naprezanja. Takve tačke će biti posebno tačke na vanjskoj površini tijela koje su oslobođene opterećenja, što je u većini slučajeva opasno. Ovo objašnjava pažnju koja se poklanja analizi ovog tipa stresnog stanja.
Prilikom prikazivanja elementarnog paralelepipeda u ravnom napregnutom stanju, dovoljno je prikazati jednu od njegovih neopterećenih lica, poravnavajući je sa ravninom crteža (Sl. 15.1.) Tada će se opterećene površine elementa poravnati sa granicama prikazano područje. U ovom slučaju sistem označavanja napona i pravila znakova ostaju isti - komponente stanja naprezanja prikazane na slici su pozitivne. Uzimajući u obzir zakon uparivanja tangencijalnih napona
t xy = t yx, ravno naponsko stanje (PSS) je opisano sa tri nezavisne komponente - s x, s y, t xy. .
NAPREZANJA NA NAKOŠENIM PLATFORMA U RAVNOM NAPREZNOM STANJU
Odaberimo element prikazan na sl. 15.1, trokutasta prizma, mentalno je seče kosim presjekom okomitim na ravan crteža xOy. Položaj rampe i pripadajućih osa x 1 , y 1 će se postaviti korištenjem kuta a, koji će se smatrati pozitivnim kada se osi rotiraju u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Što se tiče gore opisanog opšteg slučaja, prikazanog na Sl. 15.2, može se smatrati da naponi djeluju u jednoj tački, ali na različito orijentiranim područjima. Napone na kosoj platformi nalazimo iz stanja ravnoteže prizme, izražavajući ih u terminima zadatih napona s x, s y, t xy na licima koja se poklapaju sa koordinatnim ravnima. Označimo područje nagnutog lica dA, tada se površine koordinatnih lica nalaze na sljedeći način:
dA x = dA cos a ,
dA y = dA grijeh a .
Projicirajmo sile koje djeluju na plohe prizme na osi x 1 i y 1:
Smanjenje za zajednički faktor dA, i izvršivši elementarne transformacije, dobijamo
S obzirom na to
izrazi (15.1) mogu dobiti sljedeći konačni oblik:
Na sl. 15.3, zajedno sa originalnim, prikazan je infinitezimalni element, orijentisan duž osi x 1 ,y 1 . Naprezanja na njegovim stranama normalna na os x 1 određene su formulama (15.2). Pronaći normalni napon na licu okomitom na os y 1, umjesto ugla a, trebate zamijeniti vrijednost a + 90°:
Tangencijalni naponi u rotiranom koordinatnom sistemu x 1 y 1 pridržavati se zakona uparivanja, tj.
Zbir normalnih naprezanja, kao što je poznato iz analize volumetrijskog naprezanja, jedna je od njegovih invarijanti i mora ostati konstantna pri zamjeni jednog koordinatnog sistema drugim. Ovo se lako može provjeriti dodavanjem normalnih napona određenih iz formula (15.2), (15.3):
GLAVNI STRESOVI
Prethodno smo ustanovili da se područja u kojima nema posmičnog naprezanja nazivaju glavnim područjima, a naponi na njima se nazivaju glavnim naponom. U ravnom naponskom stanju unaprijed je poznat položaj jednog od glavnih područja - to je područje na kojem nema naprezanja, tj. u kombinaciji sa ravninom crtanja (vidi sliku 15.1). Nađimo glavne platforme okomito na njega. Da bismo to učinili, postavljamo tangencijalni napon jednak nuli u (15.1), iz čega dobijamo
Ugao a 0 pokazuje smjer normale na glavno mjesto, ili glavni pravac zato se i zove glavni ugao. Pošto je tangenta dvostrukog ugla periodična funkcija sa periodom p/2, onda je ugao
a 0 + p/2 je takođe glavni ugao. Dakle, ukupno postoje tri glavne platforme, koje su sve međusobno okomite. Jedini izuzetak je slučaj kada ne postoje tri glavna područja, već beskonačan broj - na primjer, kod sveobuhvatne kompresije, kada je bilo koji odabrani smjer glavni, a naponi su isti na svim područjima koja prolaze kroz tačku .
Da biste pronašli glavna naprezanja, možete koristiti prvu od formula (15.2), zamjenjujući umjesto ugla a redom vrijednosti a 0 i
Ovdje se uzima u obzir da
Trigonometrijske funkcije se mogu eliminirati iz izraza (15.5) ako koristimo dobro poznatu jednakost
Takođe uzmite u obzir formulu (15.4). Onda dobijamo
Znak plus u formuli odgovara jednom od glavnih naprezanja, znak minus drugom. Nakon što ih izračunate, možete koristiti prihvaćenu notaciju za glavna naprezanja s 1, s 2, s 3, uzimajući u obzir da je s 1 algebarski najveće, a s 3 algebarski najmanje naprezanje. Drugim riječima, ako se oba glavna naprezanja pronađena iz izraza (15.6) pokažu kao pozitivna, dobivamo
Ako su oba napona negativna, imat ćemo
Konačno, ako izraz (15.6) daje vrijednosti naprezanja s različitim predznacima, tada će glavni naponi biti jednaki
NAJVEĆE VRIJEDNOSTI NORMALNIH I ODREĐENIH NAPONA
Ako mentalno rotirate osi x 1 y 1 i elementa koji im je pridružen (vidi sliku 15.3), naprezanja na njegovim stranama će se promijeniti, a pri određenoj vrijednosti ugla a normalni napon će dostići maksimum. Budući da zbroj normalnih naprezanja na međusobno okomitim površinama ostaje konstantan, napon će u ovom trenutku biti na svom minimumu.
Da biste pronašli ovu poziciju lokacija, morate ispitati izraz za ekstrem, smatrajući ga funkcijom argumenta a:
Uspoređujući izraz u zagradi sa (15.2), dolazimo do zaključka da su tangencijalni naponi jednaki nuli na željenim mjestima. Dakle, normalna naprezanja dostižu ekstremne vrijednosti upravo na glavnim mjestima.
Da bismo pronašli najveće tangencijalno naprezanje, uzimamo glavne oblasti kao početne, poravnavajući osi x I y sa glavnim pravcima. Formule (15.1), u kojima će se sada meriti ugao a iz pravca s 1, imaće oblik:
Iz posljednjeg izraza proizilazi da tangencijalni naponi dostižu najveće vrijednosti na površinama okrenutim prema glavnim za 45°, kada
sin 2a = ±1. Njihova maksimalna vrijednost je jednaka
Imajte na umu da formula (15.8) vrijedi i u slučaju kada
GRAFIČKI PRIKAZ RAVNOG NAPREZNOG STANJA. KRUGOVI MORE
Formule (15.7), koje određuju napone na površini koja je rotirana za određeni ugao α u odnosu na glavni, imaju jasnu geometrijsku interpretaciju. Pod pretpostavkom da su oba glavna naprezanja pozitivna, uvodimo sljedeću notaciju:
Tada će izrazi (15.7) poprimiti potpuno prepoznatljiv oblik parametarske jednadžbe kružnice u koordinatama σ i τ:
Indeks “α” u zapisu naglašava da se naprezanja nalaze na mjestu okrenutom prema originalu pod ovim kutom. Magnituda A određuje položaj centra kružnice na osi σ; poluprečnik kružnice je R. Prikazano na sl. 15.5, kružni dijagram naprezanja tradicionalno se naziva Mohrov krug, nazvan po poznatom njemačkom naučniku Ottu Mohru (1835-1918) koji ga je predložio. Smjer vertikalne ose bira se uzimajući u obzir znak τ α u (15.10). Svaka vrijednost ugla α odgovara reprezentativnoj tački K (σ α, τ α ) na kružnici čije su koordinate jednake naponima na rotiranoj površini. Međusobno okomite platforme, kod kojih se ugao rotacije razlikuje za 90˚, odgovaraju tačkama K I K’ koji leže na suprotnim krajevima prečnika.
Ovdje se uzima u obzir da
budući da formule (15.2) i (15.7) kada se ugao promijeni za 90 0 daju predznak posmičnog naprezanja u rotiranom koordinatnom sistemu, u kojem se jedna od osa poklapa u smjeru s originalnom osom, a druga u suprotnom smjeru (Sl. 15.5)
Ako su početna mjesta glavna, tj. vrijednosti σ 1 i σ 2 su poznate, Mohrova kružnica se lako konstruiše pomoću tačaka 1 i 2. Zraka povučena iz središta kruga pod uglom od 2a prema horizontalnoj osi, u presjeku sa kružnicom , će dati reprezentativnu tačku, čije su koordinate jednake željenim naponima na rotiranoj površini. Međutim, prikladnije je koristiti takozvani pol kruga, usmjeravajući snop iz njega pod kutom a. Iz očiglednog odnosa između poluprečnika i prečnika kruga, pola, označenog na crtežu slovom A, će se u ovom slučaju poklapati sa tačkom 2. U opštem slučaju, pol se nalazi na preseku normala na originalne lokacije. Ako početne oblasti nisu glavne, Mohrov krug se konstruiše na sledeći način: tačke koje predstavljaju iscrtavaju se na σ - t ravni K (σ x,t xy) I K’(σ y,-t xy), koji odgovaraju vertikalnim i horizontalnim početnim područjima. Povezivanjem tačaka prave linije nalazimo središte kruga na raskrsnici sa osom σ, nakon čega se konstruiše sam tortni grafikon. Presjek kružnice s horizontalnom osom dat će vrijednost glavnih napona, a polumjer će biti jednak najvećem posmičnom naprezanju. Na sl. Slika 15.7 prikazuje Mohrov krug izgrađen od početnih lokacija koje nisu glavne. Pole A je na sjecištu normala na originalne jastučiće K.A. I K’A. zraka A.M., povučen od pola pod uglom a prema horizontalnoj osi, u preseku sa kružnicom daće reprezentativnu tačku M(σ a ,t a), čije koordinate predstavljaju napone na području koje nas zanima. Zrake povučene od pola do tačaka 1 i 2 pokazat će glavne uglove a 0 i a 0 +90 0. Stoga su Mohrovi krugovi zgodan grafički alat za analizu ravnog naponskog stanja.
b) Pronalazimo napon na ivici elementa rotiranog za 45 0 koristeći (15.1)
Normalan napon na okomitoj površini
(a = 45 0 +90 0) će biti jednako
c) Najveća tangencijalna naprezanja nalazimo koristeći (15.8)
2. Grafičko rješenje.
Konstruirajmo Mohrovu kružnicu koristeći reprezentativne tačke K(160,40) i K’ (60, -40)
Kružni stub A naći ćemo na sjecištu normala na originalna područja.
Krug će preseći horizontalnu os u tačkama 1 i 2. Tačka 1 odgovara glavnom naprezanju σ 1 = 174 MPa, tačka 2 odgovara vrednosti glavnog napona σ 2 = 46 MPa. Zraka vođena od stuba A kroz tačke 1 i 2, pokazaće se vrednost glavnih uglova. Naponi na mjestu, rotirani za 45 0 u odnosu na originalni, jednaki su koordinatama tačke koja predstavlja M, koji se nalazi na presjeku kružnice sa zrakom povučenom iz pola A pod uglom od 450. Kao što vidimo, grafičko rješenje problema analize naponskog stanja poklapa se sa analitičkim.
Razmotrimo tanku ploču pod dejstvom sila koje leže u ravni ploče (slika 2.12). U ovu ravan postavićemo koordinatni sistem (x, y). Krajnje (prednje) površine ploče su bez naprezanja, pa stoga
Vektori naprezanja i leže u istoj ravni, a stanje naprezanja naziva se ravan. Imajte na umu da su sve tačke ploče u ravnom napregnutom stanju. Općenito, koncept „ravnog naponskog stanja“ odnosi se na dotičnu tačku u elementu konstrukcije.
Ako u datoj tački A postoji oblast u kojoj nema (normalnih i tangencijalnih) napona, tada je stanje napona u tački ravno. Na primjer, u točkama na slobodnoj površini dijela (slika 2.13), stanje naprezanja će biti ravno (os z u tački A usmjerena je normalno na površinu).
Poseban značaj ravnog naponskog stanja je zbog činjenice da se ono ostvaruje u tačkama na površini konstruktivnih elemenata, koje su često „opasne tačke“. (tačke s najvećim naprezanjem u površinskom sloju).
Naponi u kosim područjima u ravnom naponskom stanju. Proučimo napone u kosim područjima okomitim na ravan ploče (slika 2.14).
Rice. 2.12. Ravno naponsko stanje
Rice. 2.13. Ravno stanje naprezanja u tačkama slobodne površine dijela
Konvencionalni izraz “koso” ili “koso” mjesto znači da se normala na lokaciju ne poklapa ni sa jednom od osi odabranog koordinatnog sistema.
U području BC, normala na koju v čini ugao a sa x osom, djeluju normalna i posmična naprezanja. Naponi su ravnomjerno raspoređeni po debljini ploče h, krajnje površine elementa ABC nisu opterećene. Neposredni zadatak je odrediti količine iz ravnotežnih uslova ABS elementa. Projicirajući sve napore u pravcu normale v, nalazimo
Sile mase koje djeluju na element su
čine napori drugog reda male veličine, a izostaju u jednačini (15). S obzirom da sa Sl. 2.14 slijedi
dobijamo iz relacije (15)
Projektujući sve napore u pravcu vektora koji ćemo pronaći
Formule (17) i (19) daju vrijednost normalnih i posmičnih napona u kosom području.
Bilješke. 1. Treba striktno shvatiti da se pri izvođenju jednačina (15) i (18) ravnotežni uslovi ne uzimaju u obzir za napone (takvi uslovi ne postoje!), već za sile koje djeluju duž rubova elementa.
2. Naponi su ravnomjerno raspoređeni duž rubova elementarnog volumena (slika 2.14). Kosa oblast se može posmatrati kao kosi presek u elementarnom paralelepipedu (slika 2.15), a isti rezultati (jednakosti (17) i (19)) slede iz uslova ravnoteže zasjenjenog dela paralelepipeda.
3. Nepoznate vektorske veličine, za koje je usvojeno određeno pravilo predznaka, treba pretpostaviti da su pozitivno usmjerene prilikom dedukcije. Na primjer, na sl. 2.14 usmjeren je kao vlačni napon.
