Ono što se zove tačka pregiba. Konveksnost funkcija. Opća shema za proučavanje funkcija i crtanje grafa

Da biste odredili konveksnost (konkavnost) funkcije na određenom intervalu, možete koristiti sljedeće teoreme.

Teorema 1. Neka je funkcija definirana i neprekidna na intervalu i ima konačan izvod. Da bi funkcija bila konveksna (konkavna) u , potrebno je i dovoljno da se njen izvod smanjuje (rast) na ovom intervalu.

Teorema 2. Neka je funkcija definirana i kontinuirana zajedno sa svojim izvodom na i ima kontinuirani drugi izvod unutra. Za konveksnost (konkavnost) funkcije u potrebno je i dovoljno da je unutra

Dokažimo teoremu 2 za slučaj konveksne funkcije.

Nužnost. Uzmimo proizvoljnu tačku. Proširimo funkciju oko tačke u Taylorovom nizu

Jednadžba tangente na krivu u tački koja ima apscisu:

Tada je višak krive nad tangentom na nju u tački jednak

Dakle, ostatak je jednak iznosu viška krivulje nad tangentom na nju u tački . Zbog kontinuiteta, ako , zatim i za , Pripada dovoljno malom susjedstvu točke , i stoga, očito, za bilo koju vrijednost različitu od , pripada naznačenom susjedstvu.

To znači da graf funkcije leži iznad tangente i da je kriva konveksna u proizvoljnoj tački.

Adekvatnost. Neka je kriva konveksna na intervalu. Uzmimo proizvoljnu tačku.

Slično prethodnom, funkciju proširujemo oko tačke u Taylorovom nizu

Višak krive nad tangentom na nju u tački koja ima apscisu definiranu izrazom jednak je

Pošto je višak pozitivan za dovoljno malu okolinu tačke, i drugi izvod je pozitivan. Dok težimo, nalazimo to za proizvoljnu tačku .

Primjer. Ispitati funkciju za konveksnost (konkavnost).

Njegov derivat raste na cijeloj brojevnoj liniji, što znači, prema teoremi 1, funkcija je konkavna na .

Njegov drugi derivat , dakle, prema teoremi 2, funkcija je konkavna na .

3.4.2.2 Pregibne tačke

Definicija. Prevojna tačka grafike kontinuirana funkcija je tačka koja razdvaja intervale u kojima je funkcija konveksna i konkavna.

Iz ove definicije slijedi da su tačke pregiba tačke ekstrema prve derivacije. To podrazumijeva sljedeće tvrdnje za potrebne i dovoljne uslove za fleksiju.

Teorema ( neophodno stanje savijati). Da bi tačka bila prevojna tačka dvostruko diferencibilne funkcije, potrebno je da njen drugi izvod u ovoj tački bude jednak nuli ( ) ili nije postojao.

Teorema (dovoljan uslov za fleksiju). Ako drugi izvod dvostruko diferencibilne funkcije promijeni predznak kada prođe kroz određenu tačku, tada postoji tačka pregiba.

Imajte na umu da u samoj tački drugi izvod možda ne postoji.

Geometrijska interpretacija prevojnih tačaka je ilustrovana na Sl. 3.9

U blizini tačke, funkcija je konveksna i njen graf leži ispod tangente nacrtane u ovoj tački. U blizini tačke, funkcija je konkavna i njen graf leži iznad tangente nacrtane u ovoj tački. U tački pregiba, tangenta dijeli graf funkcije na konveksne i konkavne regije.

3.4.2.3 Ispitivanje funkcije konveksnosti i prisutnosti pregibnih tačaka

1. Pronađite drugi izvod.

2. Pronađite tačke u kojima drugi izvod ili ne postoji.

Rice. 3.9.

3. Istražiti predznak druge derivacije lijevo i desno od pronađenih tačaka i zaključiti o intervalima konveksnosti ili konkavnosti i prisutnosti pregibnih tačaka.

Primjer. Ispitajte funkciju za konveksnost i prisustvo pregibnih tačaka.

2. Drugi izvod je jednak nuli na .

3. Drugi izvod mijenja predznak na , što znači da je tačka prevojna tačka.

Na intervalu je funkcija konveksna na tom intervalu.

Na intervalu, što znači da je funkcija konkavna na ovom intervalu.

3.4.2.4 Opća šema za proučavanje funkcija i crtanje grafa

Prilikom proučavanja funkcije i crtanja njenog grafa, preporučuje se korištenje sljedeće šeme:

Pronađite domen definicije funkcije.
Istražite funkciju za paritet - neparnost. Podsjetimo da je graf ravnomjerna funkcija je simetričan u odnosu na ordinatnu os i graf neparna funkcija simetrično u odnosu na porijeklo.
Pronađite vertikalne asimptote.
Istražite ponašanje funkcije u beskonačnosti, pronađite horizontalne ili kose asimptote.
Naći ekstreme i intervale monotonosti funkcije.
Naći intervale konveksnosti funkcije i prevojne tačke.
Pronađite tačke preseka sa koordinatnim osa.

Proučavanje funkcije vrši se istovremeno sa konstrukcijom njenog grafa.

Primjer. Funkcija istraživanja i zacrtajte to.

1. Domena funkcije je .

2. Funkcija koja se proučava je parna , stoga je njegov graf simetričan u odnosu na ordinatu.

3. Nazivnik funkcije ide na nulu na , tako da graf funkcije ima vertikalne asimptote i .

Tačke su točke diskontinuiteta druge vrste, budući da granice lijevo i desno na ovim tačkama teže .

4. Ponašanje funkcije u beskonačnosti.

Dakle, graf funkcije ima horizontalnu asimptotu.

5. Ekstremi i intervali monotonosti. Pronalaženje prve derivacije

Kada je, dakle, u tim intervalima funkcija opada.

Na , dakle, u ovim intervalima funkcija raste.

Na , dakle, tačka je kritična tačka.

Pronalaženje drugog izvoda

Budući da je , tada je točka minimalna točka funkcije.

6. Intervali konveksnosti i tačke pregiba.

Funkcija na , što znači da je funkcija konkavna na ovom intervalu.

Funkcija za , što znači da je funkcija konveksna na ovim intervalima.

Funkcija nigdje ne nestaje, što znači da nema pregibnih tačaka.

7. Tačke sjecišta sa koordinatnim osama.

Jednačina ima rješenje, što znači tačku presjeka grafa funkcije sa ordinatnom osom (0, 1).

Jednačina nema rješenja, što znači da nema tačaka presjeka sa x-osom.

Uzimajući u obzir provedeno istraživanje, moguće je iscrtati funkciju

Šematski graf funkcije prikazano na sl. 3.10.

Rice. 3.10.

3.4.2.5 Asimptote grafa funkcije

Definicija. Asimptota Graf funkcije naziva se ravna linija koja ima svojstvo da udaljenost od tačke () do ove prave linije teži 0 kako se tačka grafa kreće beskonačno od početka.

Kada grafički prikazujemo funkciju, važno je identificirati intervale konveksnosti i točke pregiba. Oni su nam potrebni, zajedno sa intervalima smanjenja i povećanja, da jasno predstavimo funkciju u grafičkom obliku.

Razumijevanje ove teme zahtijeva znanje o tome šta je derivacija funkcije i kako je procijeniti nekim redom, kao i sposobnost rješavanja različite vrste nejednakosti

Na početku članka definirani su osnovni pojmovi. Zatim ćemo pokazati kakav odnos postoji između smjera konveksnosti i vrijednosti drugog izvoda u određenom intervalu. Zatim ćemo naznačiti uslove pod kojima se mogu odrediti prevojne tačke grafa. Svi argumenti će biti ilustrovani primjerima rješenja problema.

Definicija 1

U smjeru prema dolje u određenom intervalu u slučaju kada se njegov graf nalazi ne niže od tangente na njega u bilo kojoj tački ovog intervala.

Definicija 2

Funkcija koju treba razlikovati je konveksna prema gore u određenom intervalu ako se graf date funkcije ne nalazi više od tangente na nju u bilo kojoj tački ovog intervala.

Konveksna funkcija prema dolje može se nazvati i konkavnom funkcijom. Obje definicije su jasno prikazane na grafikonu ispod:

Definicija 3

Prelomna tačka funkcije– ovo je tačka M (x 0 ; f (x 0)), u kojoj postoji tangenta na graf funkcije, pod uslovom da postoji derivacija u blizini tačke x 0, gde je na levoj strani a sa desne strane graf funkcije ima različite smjerove konveksnosti.

Jednostavno rečeno, tačka pregiba je mjesto na grafu gdje postoji tangenta, a smjer konveksnosti grafa prilikom prolaska kroz ovo mjesto će promijeniti smjer konveksnosti. Ako se ne sjećate pod kojim uvjetima je moguće postojanje vertikalne i nevertikalne tangente, preporučujemo da ponovite dio o tangenti grafa funkcije u tački.

Ispod je grafikon funkcije koja ima nekoliko prelomnih tačaka, koje su označene crvenom bojom. Pojasnimo da prisustvo pregibnih tačaka nije obavezno. Na grafu jedne funkcije može biti jedna, dvije, nekoliko, beskonačno mnogo ili nijedna.

U ovom dijelu ćemo govoriti o teoremi pomoću koje možete odrediti intervale konveksnosti na grafu određene funkcije.

Definicija 4

Graf funkcije će biti konveksan nadole ili nagore ako odgovarajuća funkcija y = f (x) ima drugi konačni izvod na navedenom intervalu x, pod uslovom da je nejednakost f "" (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X (f "" (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X) će biti istinito.

Koristeći ovu teoremu, možete pronaći intervale konkavnosti i konveksnosti na bilo kojem grafu funkcije. Da biste to učinili, jednostavno morate riješiti nejednakosti f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 na domenu definicije odgovarajuće funkcije.

Pojasnimo da će one tačke u kojima drugi izvod ne postoji, ali je definirana funkcija y = f (x) biti uključene u intervale konveksnosti i konkavnosti.

Pogledajmo primjer konkretan zadatak kako pravilno primijeniti ovu teoremu.

Primjer 1

Stanje: zadana funkcija y = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 . Odredite u kojim intervalima će njegov graf imati konveksnost i konkavnost.

Rješenje

Domen definicije ove funkcije je cijeli skup realni brojevi. Počnimo s izračunavanjem drugog izvoda.

y " = x 3 6 - x 2 + 3 x - 1 " = x 2 2 - 2 x + 3 ⇒ y " " = x 2 2 - 2 x + 3 = x - 2

Vidimo da se domen definicije drugog izvoda poklapa sa domenom same funkcije.To znači da za identifikaciju intervala konveksnosti moramo riješiti nejednakosti f "" (x) ≥ 0 i f "" (x ) ≤ 0.

y "" ≥ 0 ⇔ x - 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 y "" ≤ 0 ⇔ x - 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2

Imamo taj raspored datu funkciju imaće udubljenje na segmentu [ 2 ; + ∞) i konveksnost na segmentu (- ∞; 2 ] .

Radi jasnoće, nacrtajmo graf funkcije i označimo konveksni dio plavom bojom, a konkavni dio crvenom.

odgovor: graf date funkcije će imati udubljenje na segmentu [ 2 ; + ∞) i konveksnost na segmentu (- ∞; 2 ] .

Ali šta učiniti ako se domen definicije drugog izvoda ne poklapa sa domenom definicije funkcije? Ovdje će nam biti od koristi gornja napomena: uključićemo i one tačke u kojima konačni drugi izvod ne postoji u konkavnim i konveksnim segmentima.

Primjer 2

Stanje: s obzirom na funkciju y = 8 x x - 1 . Odredite u kojim intervalima će njegov graf biti konkavan, a u kojim će biti konveksan.

Rješenje

Prvo, hajde da saznamo domen definicije funkcije.

x ≥ 0 x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ 0 x ≠ 1 ⇔ x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞)

Sada izračunavamo drugi izvod:

y " = 8 x x - 1 " = 8 1 2 x (x - 1) - x 1 (x - 1) 2 = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 y "" = - 4 x + 1 x (x - 1) 2 " = - 4 1 x x - 1 2 - (x + 1) x x - 1 2 " x (x - 1) 4 = = - 4 1 x x - 1 2 - x + 1 1 2 x ( x - 1) 2 + x 2 (x - 1) x x - 1 4 = = 2 3 x 2 + 6 x - 1 x 3 2 · (x - 1) 3

Područje definicije drugog izvoda je skup x ∈ (0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) . Vidimo da će x jednako nuli pripadati domeni originalne funkcije, ali ne i domeni drugog izvoda. Ova tačka mora biti uključena u konkavni ili konveksni segment.

Nakon toga trebamo riješiti nejednakosti f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 na domenu definicije date funkcije. Za to koristimo metodu intervala: sa x = - 1 - 2 3 3 ≈ - 2, 1547 ili x = - 1 + 2 3 3 ≈ 0, 1547 brojilac 2 · (3 x 2 + 6 x - 1) x 2 3 · x - 1 3 postaje 0, a imenilac je 0 kada je x nula ili jedan.

Nacrtajmo rezultujuće tačke na graf i odredimo predznak izraza na svim intervalima koji će biti uključeni u domenu definicije originalne funkcije. Ovo područje je označeno senčenjem na grafikonu. Ako je vrijednost pozitivna, interval označavamo plusom, ako je negativan, onda minusom.

dakle,

f "" (x) ≥ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ 0 ; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , i f "" (x) ≤ 0 x ∈ [ 0 ; 1) ∪ (1 ; + ∞) ⇔ x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1)

Uključujemo prethodno označenu tačku x = 0 i dobijamo željeni odgovor. Grafikon originalne funkcije će biti konveksan prema dolje na 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , i naviše – za x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Nacrtajmo grafik, označavajući konveksni dio plavom bojom, a konkavni dio crvenom. Vertikalna asimptota je označena crnom isprekidanom linijom.

odgovor: Grafikon originalne funkcije će biti konveksan prema dolje na 0; - 1 + 2 3 3 ∪ (1 ; + ∞) , i naviše – za x ∈ [ - 1 + 2 3 3 ; 1) .

Uvjeti za infleksiju grafa funkcije

Počnimo sa formulisanjem neophodnog uslova za infleksiju grafa određene funkcije.

Definicija 5

Recimo da imamo funkciju y = f (x), čiji graf ima prevojnu tačku. Kod x = x 0 ima kontinuirani drugi izvod, stoga će vrijediti jednakost f "" (x 0) = 0.

Razmatrati ovo stanje, trebali bismo tražiti točke pregiba među onima u kojima će se drugi izvod pretvoriti u 0. Ovaj uslov neće biti dovoljan: nisu sve takve tačke prikladne za nas.

Također imajte na umu da, prema opšta definicija, trebat će nam tangentna linija, vertikalna ili ne-vertikalna. U praksi, to znači da za pronalaženje tačaka pregiba treba uzeti one u kojima se drugi izvod date funkcije pretvara u 0. Stoga, da bismo pronašli apscisu prevojnih tačaka, moramo uzeti sve x 0 iz domene definicije funkcije, gdje je lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ i lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞. Najčešće su to tačke u kojima imenilac prvog izvoda postaje 0.

Prvi dovoljan uslov za postojanje prevojne tačke u grafu funkcije

Pronašli smo sve vrijednosti x 0 koje se mogu uzeti kao apscise prevojnih tačaka. Nakon toga, trebamo primijeniti prvi dovoljan uvjet fleksije.

Definicija 6

Recimo da imamo funkciju y = f (x) koja je kontinuirana u tački M (x 0 ; f (x 0)). Štaviše, ona ima tangentu u ovoj tački, a sama funkcija ima drugi izvod u blizini ove tačke x 0. U ovom slučaju, ako na lijevoj i desnoj strani drugi izvod dobije suprotne predznake, tada se ova točka može smatrati točkom pregiba.

Vidimo da ovaj uslov ne zahtijeva nužno postojanje drugog izvoda u ovoj tački; dovoljno je njegovo prisustvo u blizini tačke x 0.

Zgodno je sve gore rečeno predstaviti u obliku niza radnji.

Prvo morate pronaći sve apscise x 0 mogućih prevojnih tačaka, gdje je f "" (x 0) = 0, lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞, lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ .
Hajde da saznamo u kojim tačkama će derivacija promeniti predznak. Ove vrijednosti su apscise prevojnih tačaka, a tačke M (x 0 ; f (x 0)) koje im odgovaraju su same tačke pregiba.

Radi jasnoće, analiziraćemo dva problema.

Primjer 3

Stanje: data funkcija y = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x. Odredite gdje će graf ove funkcije imati točke pregiba i točke konveksnosti.

Rješenje

Navedena funkcija je definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Računamo prvi izvod:

y" = 1 10 x 4 12 - x 3 6 - 3 x 2 + 2 x " = 1 10 4 x 3 12 - 3 x 2 6 - 6 x + 2 = = 1 10 x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2

Sada pronađimo domen definicije prvog izvoda. To je također skup svih realnih brojeva. To znači da se jednakosti lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ i lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ ne mogu zadovoljiti ni za jednu vrijednost x 0 .

Računamo drugi izvod:

y " " = = 1 10 · x 3 3 - x 2 2 - 6 x + 2 " = 1 10 · 3 x 2 3 - 2 x 2 - 6 = 1 10 · x 2 - x - 6

y "" = 0 ⇔ 1 10 · (x 2 - x - 6) = 0 ⇔ x 2 - x - 6 = 0 D = (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 6) = 25 x 1 = 1 - 25 2 = - 2, x 2 = 1 + 25 2 = 3

Pronašli smo apscisu dvije moguće tačke savijanja - 2 i 3. Sve što nam preostaje je provjeriti u kojoj točki derivacija mijenja svoj predznak. Nacrtajmo brojevnu pravu i ucrtajmo te tačke na nju, nakon čega ćemo na rezultujuće intervale postaviti znakove drugog izvoda.

Lukovi pokazuju smjer konveksnosti grafa u svakom intervalu.

Druga derivacija mijenja predznak u suprotan (od plusa na minus) u tački sa apscisom 3, prolazeći kroz nju s lijeva na desno, a također to čini (od minus do plus) u tački sa apscisom 3. To znači da možemo zaključiti da su x = - 2 i x = 3 apscise prevojnih tačaka grafa funkcije. Oni će odgovarati tačkama na grafikonu - 2; - 4 3 i 3; - 15 8 .

Pogledajmo još jednom sliku brojevne ose i rezultirajuće znakove na intervalima kako bismo izveli zaključke o mjestima konkavnosti i konveksnosti. Ispada da će se konveksnost nalaziti na segmentu - 2; 3, i konkavnost na segmentima (- ∞; - 2 ] i [ 3; + ∞).

Rješenje problema je jasno prikazano na grafikonu: plava boja označava konveksnost, crvena označava konkavnost, crna boja označava tačke pregiba.

odgovor: konveksnost će se nalaziti na segmentu - 2; 3, i konkavnost na segmentima (- ∞; - 2 ] i [ 3; + ∞).

Primjer 4

Stanje: izračunaj apscisu svih prevojnih tačaka grafika funkcije y = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 · x - 3 3 5 .

Rješenje

Područje definicije date funkcije je skup svih realnih brojeva. Izračunavamo derivaciju:

y " = 1 8 · (x 2 + 3 x + 2) · x - 3 3 5 " = = 1 8 · x 2 + 3 x + 2 " · (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) x - 3 3 5 " = = 1 8 2 x + 3 (x - 3) 3 5 + (x 2 + 3 x + 2) 3 5 x - 3 - 2 5 = 13 x 2 - 6 x - 39 40 · (x - 3) 2 5

Za razliku od funkcije, njen prvi izvod neće biti definiran na vrijednosti x jednakoj 3, već:

lim x → 3 - 0 y " (x) = 13 · (3 - 0) 2 - 6 · (3 - 0) - 39 40 · 3 - 0 - 3 2 5 = + ∞ lim x → 3 + 0 y " (x) = 13 · (3 + 0) 2 - 6 · (3 + 0) - 39 40 · 3 + 0 - 3 2 5 = + ∞

To znači da će vertikalna tangenta na graf proći kroz ovu tačku. Prema tome, 3 može biti apscisa tačke pregiba.

Računamo drugi izvod. Također pronalazimo domenu njegove definicije i tačke u kojima se okreće na 0:

y "" = 13 x 2 - 6 x - 39 40 x - 3 2 5 " = = 1 40 13 x 2 - 6 x - 39 " (x - 3) 2 5 - 13 x 2 - 6 x - 39 · x - 3 2 5 " (x - 3) 4 5 = = 1 25 · 13 x 2 - 51 x + 21 (x - 3) 7 5 , x ∈ (- ∞ ; 3) ∪ (3 ; + ∞ ) y " " (x) = 0 ⇔ 13 x 2 - 51 x + 21 = 0 D = (- 51) 2 - 4 13 21 = 1509 x 1 = 51 + 1509 26 ≈ 3, 4556, x 2 = 51 - 1509 ≈ 0,4675

Sada imamo još dvije moguće prelomne tačke. Iscrtajmo ih sve na brojevnoj pravoj i označimo rezultirajuće intervale znakovima:

Predznak će se promijeniti kada se prođe kroz svaku označenu tačku, što znači da su sve točke pregiba.

odgovor: Nacrtajmo graf funkcije, označavajući udubljenja crvenom bojom, konveksnosti plavom bojom, a tačke pregiba crnom:

Poznavajući prvi dovoljan uslov za fleksiju, možemo odrediti potrebne tačke u kojima prisustvo druge derivacije nije neophodno. Na osnovu toga, prvi uslov se može smatrati najuniverzalnijim i najprikladnijim za rješavanje različitih vrsta problema.

Imajte na umu da postoje još dva uslova fleksije, ali oni se mogu primeniti samo kada postoji konačan izvod u navedenoj tački.

Ako imamo f "" (x 0) = 0 i f """ (x 0) ≠ 0, tada će x 0 biti apscisa prevojne tačke grafika y = f (x).

Primjer 5

Stanje: data je funkcija y = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5. Odrediti da li će graf funkcije imati prevojnu tačku u tački 3; 4 5 .

Rješenje

Prva stvar koju treba uraditi je da se u to uvjerite dati poen općenito će pripadati grafu ove funkcije.

y (3) = 1 60 3 3 - 3 20 3 2 - 2 5 = 27 60 - 27 20 + 21 10 - 2 5 = 9 - 27 + 42 - 8 20 = 4 5

Data funkcija je definirana za sve argumente koji su realni brojevi. Izračunajmo prvi i drugi izvod:

y" = 1 60 x 3 - 3 20 x 2 + 7 10 x - 2 5 " = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 y "" = 1 20 x 2 - 3 10 x + 7 10 " = 1 10 x - 3 10 = 1 10 (x - 3)

Otkrili smo da će drugi izvod ići na 0 ako je x jednako 0. To znači da će neophodan uslov pregiba za ovu tačku biti zadovoljen. Sada koristimo drugi uslov: pronađite treći izvod i saznajte da li će se pretvoriti u 0 na 3:

y " " " = 1 10 (x - 3) " = 1 10

Treći izvod neće nestati ni za jednu vrijednost x. Stoga možemo zaključiti da će ova tačka biti tačka pregiba grafa funkcije.

odgovor: Pokažimo rješenje na ilustraciji:

Pretpostavimo da je f "(x 0) = 0, f "" (x 0) = 0, ..., f (n) (x 0) = 0 i f (n + 1) (x 0) ≠ 0 U ovom slučaju, za parno n, dobijamo da je x 0 apscisa prevojne tačke grafika y = f (x).

Primjer 6

Stanje: s obzirom na funkciju y = (x - 3) 5 + 1. Izračunajte prevojne tačke njegovog grafa.

Rješenje

Ova funkcija je definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Izračunavamo derivaciju: y " = ((x - 3) 5 + 1) " = 5 x - 3 4 . Budući da će također biti definiran za sve realne vrijednosti argumenta, ne-vertikalna tangenta će postojati u bilo kojoj tački njegovog grafa.

Sada izračunajmo pri kojim vrijednostima će se drugi izvod pretvoriti u 0:

y "" = 5 · (x - 3) 4 " = 20 · x - 3 3 y "" = 0 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

Otkrili smo da pri x = 3 graf funkcije može imati prevojnu tačku. Koristimo treći uslov da to potvrdimo:

y " " " = 20 · (x - 3) 3 " = 60 · x - 3 2 , y " " " (3) = 60 · 3 - 3 2 = 0 y (4) = 60 · (x - 3) 2 " = 120 · (x - 3) , y (4) (3) = 120 · (3 - 3) = 0 y (5) = 120 · (x - 3) " = 120 , y (5) (3 ) = 120 ≠ 0

Imamo n = 4 po trećem dovoljnom uslovu. Ovo je paran broj, što znači da će x = 3 biti apscisa prevojne tačke i tačka grafa funkcije (3; 1) joj odgovara.

odgovor: Evo grafikona ove funkcije sa označenim konveksnostima, udubljenjima i pregibnom tačkom:

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Grafikon funkcije y=f(x) pozvao konveksan na intervalu (a; b), ako se nalazi ispod bilo koje svoje tangente na ovom intervalu.

Grafikon funkcije y=f(x) pozvao konkavna na intervalu (a; b), ako se nalazi iznad bilo koje svoje tangente na ovom intervalu.

Slika prikazuje krivu koja je konveksna na (a; b) i konkavno na (b; c).

Primjeri.

Razmotrimo dovoljan kriterijum koji nam omogućava da odredimo da li će graf funkcije u datom intervalu biti konveksan ili konkavan.

Teorema. Neka y=f(x) diferenciran po (a; b). Ako u svim tačkama intervala (a; b) drugi izvod funkcije y = f(x) negativan, tj. f ""(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f""(x) > 0 – konkavno.

Dokaz. Pretpostavimo za određenost da f""(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Uzmimo funkcije na grafu y = f(x) proizvoljna tačka M0 sa apscisom x 0 Î ( a; b) i povucite kroz tačku M0 tangenta. Njena jednadžba. Moramo pokazati da je graf funkcije na (a; b) leži ispod ove tangente, tj. na istoj vrijednosti x ordinata krive y = f(x)će biti manji od ordinate tangente.

Dakle, jednačina krive je y = f(x). Označimo ordinatu tangente koja odgovara apscisi x. Onda . Posljedično, razlika između ordinata krive i tangente za istu vrijednost xće .

Razlika f(x) – f(x 0) transformirati prema Lagrangeovoj teoremi, gdje c između x I x 0.

dakle,

Ponovo primjenjujemo Lagrangeov teorem na izraz u uglastim zagradama: , gdje c 1 između c 0 I x 0. Prema uslovima teoreme f ""(x) < 0. Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

Dakle, bilo koja tačka na krivulji leži ispod tangente na krivu za sve vrijednosti x I x 0 Î ( a; b), što znači da je kriva konveksna. Drugi dio teoreme dokazuje se na sličan način.

Primjeri.

Tačka na grafu kontinuirane funkcije koja odvaja njen konveksni dio od konkavnog naziva se tačka pregiba.

Očigledno, u prevojnoj tački, tangenta, ako postoji, siječe krivu, jer sa jedne strane ove tačke kriva leži ispod tangente, a sa druge strane - iznad nje.

Odredimo dovoljne uslove za činjenicu da je data tačka krive prevojna tačka.

Teorema. Neka je kriva definirana jednadžbom y = f(x). Ako f ""(x 0) = 0 ili f ""(x 0) ne postoji čak ni kada se prođe kroz vrijednost x = x 0 derivat f ""(x) mijenja predznak, zatim tačku na grafu funkcije sa apscisom x = x 0 postoji tačka pregiba.

Dokaz. Neka f ""(x) < 0 при x < x 0 I f ""(x) > 0 at x > x 0. Zatim u x < x 0 kriva je konveksna, i kada x > x 0– konkavna. Dakle, poenta A, leži na krivulji, sa apscisom x 0 postoji tačka pregiba. Drugi slučaj se može posmatrati slično, kada f ""(x) > 0 at x < x 0 I f ""(x) < 0 при x > x 0.

Dakle, prevojne tačke treba tražiti samo među onim tačkama u kojima drugi izvod nestaje ili ne postoji.

Primjeri. Naći prevojne tačke i odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti krivih.

ASIMPTOTE GRAFIKA FUNKCIJE

Prilikom proučavanja funkcije važno je utvrditi oblik njenog grafa na neograničenoj udaljenosti tačke grafa od početka.

Posebno je interesantan slučaj kada se graf funkcije, kada se njena promenljiva tačka udalji u beskonačnost, neograničeno približava određenoj pravoj liniji.

Prava linija se zove asimptota funkcionalna grafika y = f(x), ako je udaljenost od promjenjive točke M grafike na ovu liniju prilikom uklanjanja tačke M ka beskonačnosti teži nuli, tj. tačka na grafu funkcije, kako teži ka beskonačnosti, mora se neograničeno približavati asimptoti.

Kriva se može približiti svojoj asimptoti, ostajući na jednoj njenoj ili na različitim stranama, prelazeći asimptotu beskonačan broj puta i krećući se s jedne strane na drugu.

Ako sa d označimo udaljenost od tačke M krivulju na asimptotu, onda je jasno da d teži nuli kako se tačka udaljava M do beskonačnosti.

Dalje ćemo razlikovati vertikalne i kose asimptote.

VERTIKALNE ASIMPTOTE

Neka u x→ x 0 sa bilo koje strane funkcije y = f(x) neograničeno raste u apsolutnoj vrijednosti, tj. ili ili . Tada iz definicije asimptote slijedi da je prava linija x = x 0 je asimptota. Očigledno je i suprotno, ako je linija x = x 0 je asimptota, tj. .

Dakle, vertikalna asimptota grafa funkcije y = f(x) naziva se prava ako f(x)→ ∞ pod najmanje jednim od uslova x→ x 0– 0 ili x → x 0 + 0, x = x 0

Stoga, pronaći vertikalne asimptote grafa funkcije y = f(x) potrebno je pronaći te vrijednosti x = x 0, pri čemu funkcija ide u beskonačnost (trpi beskonačan diskontinuitet). Tada vertikalna asimptota ima jednačinu x = x 0.

Primjeri.

SLANT ASYMPTOTES

Pošto je asimptota prava linija, onda ako je kriva y = f(x) ima kosu asimptotu, tada će njena jednadžba biti y = kx + b. Naš zadatak je da pronađemo koeficijente k I b.

Teorema. Pravo y = kx + b služi kao kosa asimptota na x→ +∞ za graf funkcije y = f(x) tada i samo kada . Slična izjava je tačna za x → –∞.

Dokaz. Neka MP– dužina segmenta jednaka udaljenosti od tačke M na asimptotu. Po uslovu. Označimo sa φ ugao nagiba asimptote prema osi Ox. Onda od ΔMNP sledi to. Pošto je φ konstantan ugao (φ ≠ π/2), onda , ali

Kada proučavamo funkciju i konstruišemo njen graf, u jednoj fazi određujemo tačke pregiba i intervale konveksnosti. Ovi podaci, zajedno sa intervalima povećanja i smanjenja, omogućavaju šematski prikaz grafika funkcije koja se proučava.

Dalja prezentacija pretpostavlja da možete raditi do nekog reda i različitih vrsta.

Počnimo proučavati materijal s potrebnim definicijama i konceptima. Zatim ćemo izraziti vezu između vrijednosti drugog izvoda funkcije na određenom intervalu i smjera njene konveksnosti. Nakon toga prelazimo na uslove koji nam omogućavaju da odredimo prevojne tačke grafa funkcije. Kroz tekst ćemo navoditi tipične primjere sa detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Konveksnost, konkavnost funkcije, tačka pregiba.

Definicija.

konveksno nadole na intervalu X ako njegov graf nije niže od tangente na njega u bilo kojoj tački intervala X.

Definicija.

Poziva se funkcija koju treba razlikovati konveksno gore na intervalu X ako se njegov graf ne nalazi više od tangente na njega u bilo kojoj tački intervala X.

Često se naziva konveksna funkcija naviše konveksan, i konveksno prema dolje – konkavna.

Pogledajte crtež koji ilustruje ove definicije.

Definicija.

Tačka se zove tačka pregiba grafa funkcije y=f(x) ako u datoj tački postoji tangenta na graf funkcije (može biti paralelna sa Oy osi) i postoji susjedstvo tačke unutar koje se nalazi lijevo i desno od tačke M graf funkcije ima različite smjerove konveksnosti.

Drugim riječima, tačka M naziva se tačka pregiba grafa funkcije ako u toj tački postoji tangenta i graf funkcije mijenja smjer konveksnosti, prolazeći kroz nju.

Ako je potrebno, pogledajte odjeljak da se prisjetite uslova za postojanje ne-vertikalne i vertikalne tangente.

Na slici ispod prikazani su neki primjeri pregibnih tačaka (označenih crvenim tačkama). Imajte na umu da neke funkcije možda nemaju točke pregiba, dok druge mogu imati jednu, nekoliko ili beskonačno mnogo točaka pregiba.

Pronalaženje intervala konveksnosti funkcije.

Formulirajmo teoremu koja nam omogućava da odredimo intervale konveksnosti funkcije.

Teorema.

Ako funkcija y=f(x) ima konačan drugi izvod na intervalu X i ako vrijedi nejednakost (), tada graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema dolje (gore) sa X.

Ova teorema vam omogućava da pronađete intervale konkavnosti i konveksnosti funkcije; trebate samo riješiti nejednakosti i, respektivno, na domenu definicije originalne funkcije.

Treba napomenuti da će tačke u kojima je funkcija y=f(x) definirana, a drugi izvod ne postoji, biti uključene u intervale konkavnosti i konveksnosti.

Hajde da to shvatimo na primjeru.

Primjer.

Saznati intervale na kojima je graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema gore i konveksnost usmjerenu prema dolje.

Rješenje.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva.

Nađimo drugi izvod.

Područje definicije druge derivacije poklapa se sa domenom definicije izvorne funkcije, pa je za pronalaženje intervala konkavnosti i konveksnosti dovoljno riješiti i shodno tome.

Dakle, funkcija je konveksna prema dolje na intervalu i konveksna prema gore na intervalu .

Grafička ilustracija.

Dio grafa funkcije u konveksnom intervalu prikazan je plavom bojom, a u intervalu konkavnosti – crvenom bojom.

Razmotrimo sada primjer kada se domen definicije drugog izvoda ne poklapa sa domenom definicije funkcije. U ovom slučaju, kao što smo već napomenuli, u intervale konveksnosti i (ili) konkavnosti treba uključiti tačke domena definicije u kojima ne postoji konačni drugi izvod.

Primjer.

Naći intervale konveksnosti i konkavnosti grafa funkcije.

Rješenje.

Počnimo s domenom funkcije:

Nađimo drugi izvod:

Područje definicije drugog izvoda je skup . Kao što vidite, x=0 pripada domenu originalne funkcije, ali ne pripada domenu drugog izvoda. Ne zaboravite na ovu točku; morat će biti uključena u interval konveksnosti i (ili) konkavnosti.

Sada rješavamo nejednakosti u domeni definicije originalne funkcije. Hajde da se prijavimo. Brojač izraza ide na nulu u ili , imenilac – kod x = 0 ili x = 1. Šematski crtamo ove tačke na brojevnoj pravoj i nalazimo predznak izraza na svakom od intervala koji su uključeni u domenu definicije originalne funkcije (prikazuje se kao zasjenjeno područje na donjoj brojevnoj pravoj). Za pozitivnu vrijednost stavljamo znak plus, za negativnu vrijednost stavljamo znak minus.

dakle,

I

Dakle, uključivanjem tačke x=0 dobijamo odgovor.

At graf funkcije ima konveksnost usmjerenu prema dolje, s - konveksnost usmjerena prema gore.

Grafička ilustracija.

Dio grafa funkcije na intervalu konveksnosti prikazan je plavom bojom, na intervalima konkavnosti - crvenom, crna tačkasta linija je vertikalna asimptota.

Neophodni i dovoljni uslovi za infleksiju.

Neophodan uslov za pregib.

Hajde da formulišemo neophodan uslov za pregib funkcionalna grafika.

Neka graf funkcije y=f(x) ima infleksiju u tački i kontinuirani drugi izvod, tada vrijedi jednakost.

Iz ovog uvjeta slijedi da apscisu prevojnih tačaka treba tražiti među onima u kojima drugi izvod funkcije nestaje. ALI, ovaj uvjet nije dovoljan, odnosno nisu sve vrijednosti u kojima je drugi izvod jednak nuli apscise prevojnih tačaka.

Također treba napomenuti da definicija točke pregiba zahtijeva postojanje tangentne linije, ili vertikalne. Šta to znači? A to znači sljedeće: apscisa prevojnih tačaka može biti sve iz domene definicije funkcije za koju I . To su obično tačke u kojima nazivnik prvog izvoda nestaje.

Prvi dovoljan uslov za fleksiju.

Nakon što su pronađene sve što može biti apscisa prevojnih tačaka, trebali biste koristiti prvi dovoljan uslov za fleksiju funkcionalna grafika.

Neka je funkcija y=f(x) neprekidna u tački, ima tangentu (moguće vertikalnu) na njoj i neka ova funkcija ima drugi izvod u nekom susjedstvu tačke. Zatim, ako unutar ovog susjedstva lijevo i desno od , drugi izvod ima različite predznake, onda je to točka prevoja u grafu funkcije.

Kao što vidite, prvi dovoljan uslov ne zahteva postojanje drugog izvoda u samoj tački, već zahteva njegovo postojanje u okolini tačke.

Sada sumiramo sve informacije u obliku algoritma.

Algoritam za pronalaženje prevojnih tačaka funkcije.

Pronalazimo sve apscise mogućih točaka fleksije grafa funkcije (ili I ) i saznaj prolaskom kroz koji drugi izvod mijenja predznak. Takve vrijednosti će biti apscisa točaka pregiba, a odgovarajuće točke će biti točke pregiba grafa funkcije.

Pogledajmo dva primjera pronalaženja pregibnih tačaka radi pojašnjenja.

Primjer.

Naći prevojne tačke i intervale konveksnosti i konkavnosti grafa funkcije.

Rješenje.

Domen funkcije je cijeli skup realnih brojeva.

Nađimo prvi izvod:

Područje definicije prvog izvoda je također cijeli skup realnih brojeva, dakle jednakosti I nije ispunjen ni za jedan .

Nađimo drugi izvod:

Hajde da saznamo pri kojim vrijednostima argumenta x drugi izvod ide na nulu:

Dakle, apscise mogućih prevojnih tačaka su x=-2 i x=3.

Sada ostaje provjeriti, koristeći dovoljan znak fleksije, u kojoj od ovih tačaka druga derivacija mijenja predznak. Da biste to učinili, nacrtajte tačke x=-2 i x=3 na brojevnoj osi i, kao u metoda generalizovanog intervala, stavljamo predznake drugog izvoda na svaki interval. Ispod svakog intervala, smjer konveksnosti grafa funkcije je shematski prikazan lukovima.

Drugi izvod mijenja predznak sa plus na minus, prolazeći kroz tačku x=-2 s lijeva na desno, i mijenja predznak iz minusa u plus, prolazeći kroz x=3. Dakle, i x=-2 i x=3 su apscise prevojnih tačaka grafa funkcije. Oni odgovaraju tačkama grafikona i .

Pogledavši još jednom brojevnu pravu i predznake druge derivacije na njenim intervalima, možemo izvući zaključke o intervalima konveksnosti i konkavnosti. Graf funkcije je konveksan na intervalu i konkavan na intervalima i .

Grafička ilustracija.

Dio grafa funkcije na konveksnom intervalu prikazan je plavom bojom, na intervalu konkavnosti – crvenom bojom, a tačke pregiba su prikazane kao crne tačke.

Primjer.

Pronađite apscisu svih prevojnih tačaka grafa funkcije .

Rješenje.

Područje definicije ove funkcije je cijeli skup realnih brojeva.

Nađimo derivat.

Prvi izvod, za razliku od originalne funkcije, nije definiran na x=3. Ali I . Dakle, u tački sa apscisom x=3 postoji vertikalna tangenta na grafik originalne funkcije. Dakle, x=3 može biti apscisa prevojne tačke grafa funkcije.

Pronalazimo drugu derivaciju, njenu oblast definicije i tačke u kojima ona nestaje:

Dobili smo još dvije moguće apscise prevojnih tačaka. Označimo sve tri tačke na brojevnoj pravoj i odredimo predznak drugog izvoda na svakom od rezultirajućih intervala.

Druga derivacija mijenja predznak pri prolasku kroz svaku od tačaka, dakle, sve su apscise prevojnih tačaka.

Grafička ilustracija.

Dijelovi grafa funkcije u konveksnim intervalima prikazani su plavom bojom, u intervalima konkavnosti - crvenom bojom, tačke pregiba su prikazane kao crne tačke.

Prvi dovoljan uslov za infleksiju grafa funkcije omogućava nam da odredimo tačke pregiba i ne zahteva postojanje drugog izvoda na njima. Stoga se prvi dovoljan uvjet može smatrati univerzalnim i najčešće korištenim.

Sada ćemo formulisati još dva dovoljna uslova za fleksiju, ali oni su primenljivi samo ako postoji konačan izvod u tački pregiba do određenog reda.

Drugi dovoljan uslov za fleksiju.

Ako je , a , tada je apscisa prevojne točke grafa funkcije y=f(x) x=3 različita od nule.

Očigledno, vrijednost trećeg izvoda nije nula za bilo koji x, uključujući x=3. Prema tome, prema drugom dovoljnom uslovu za infleksiju grafa funkcije, tačka je tačka pregiba.

Grafička ilustracija.

Treći dovoljan uslov za fleksiju.

Neka je , a , onda ako je n paran broj, onda je to apscisa prevojne tačke grafa funkcije y=f(x).

Primjer.

Pronađite točke pregiba grafa funkcije .

Rješenje.

Funkcija je definirana na cijelom skupu realnih brojeva.

Nađimo njen derivat: . Očigledno, on je također definiran za sve realne x, dakle, u bilo kojoj od tačaka na njegovom grafu postoji nevertikalna tangenta.

Odredimo vrijednosti x pri kojima drugi izvod postaje nula.

Dakle, u tački sa apscisom x=3 može doći do infleksije u grafu funkcije. Da bismo bili sigurni da je x = 3 zaista apscisa prevojne tačke, koristimo treći dovoljan uslov.

Prema trećem dovoljnom uslovu za infleksiju grafa funkcije, imamo n=4 (peti izvod ide na nulu) - paran, stoga je x=3 apscisa tačke infleksije i tačka grafa njemu odgovara funkcija (3;1).

Grafička ilustracija.

Dio grafa funkcije na konveksnom intervalu je prikazan plavom bojom, na intervalu konkavnosti – crvenom, tačka pregiba je prikazana crnom tačkom.

Koncept konveksnosti funkcije

Razmotrimo funkciju \(y = f\left(x \right),\) za koju se pretpostavlja da je kontinuirana na intervalu \(\left[ (a,b) \right].\) Funkcija \(y = f\ lijevo(x \desno )\) se poziva konveksno nadole (ili jednostavno konveksan), ako je za bilo koje tačke \((x_1)\) i \((x_2)\) iz \(\left[ (a,b) \right]\) nejednakost \ Ako je ova nejednakost stroga za bilo koju \(( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) tako da \((x_1) \ne (x_2),\) zatim funkcija \(f\left(x \right) \) su pozvani striktno konveksno nadole

Konveksna funkcija prema gore definirana je slično. Poziva se funkcija \(f\left(x \right)\). konveksno gore (ili konkavna), ako je za bilo koje tačke \((x_1)\) i \((x_2)\) segmenta \(\left[ (a,b) \right]\) nejednakost \ Ako je ova nejednakost stroga za bilo koje \ (( x_1),(x_2) \in \left[ (a,b) \right],\) tako da je \((x_1) \ne (x_2),\) tada funkcija \(f\left(x \ desno) \) se zovu striktno konveksan prema gore na segmentu \(\lijevo[ (a,b) \desno].\)

Geometrijska interpretacija konveksnosti funkcije

Uvedene definicije konveksne funkcije imaju jednostavnu geometrijsku interpretaciju.

Za funkciju, konveksno nadole (Slika \(1\)), sredina \(B\) bilo kojeg akorda \((A_1)(A_2)\) leži viši

Slično, za funkciju, konveksno gore (Slika \(2\)), sredina \(B\) bilo kojeg akorda \((A_1)(A_2)\) leži ispod odgovarajuća tačka \((A_0)\) grafa funkcije ili se poklapa sa ovom tačkom.

Konveksne funkcije imaju još jedno vizualno svojstvo, koje je povezano s lokacijom tangenta na graf funkcije. Funkcija \(f\left(x \right)\) je konveksno nadole na segmentu \(\left[ (a,b) \right]\) ako i samo ako njegov graf ne leži niže od tangente povučene na njega u bilo kojoj tački \((x_0)\) segmenta \(\left [ (a ,b) \desno]\) (Slika \(3\)).

Prema tome, funkcija \(f\left(x \right)\) je konveksno gore na segmentu \(\left[ (a,b) \right]\) ako i samo ako njegov graf ne leži više od tangente povučene na njega u bilo kojoj tački \((x_0)\) segmenta \(\left [ (a ,b) \desno]\) (Slika \(4\)). Ova svojstva čine teoremu i mogu se dokazati korištenjem definicije konveksnosti funkcije.

Dovoljni uslovi za konveksnost

Neka funkcija \(f\left(x \right)\) ima svoj prvi izvod \(f"\left(x \right)\) postoji na intervalu \(\left[ (a,b) \right], \) i drugi izvod \(f""\left(x \right)\) - na intervalu \(\left((a,b) \right).\) Tada su validni sledeći dovoljni kriterijumi za konveksnost:

Ako je \(f""\left(x \right) \ge 0\) za sve \(x \in \left((a,b) \right),\) tada je funkcija \(f\left(x \) desno )\) konveksno nadole na segmentu \(\lijevo[ (a,b) \desno];\)

Ako je \(f""\left(x \right) \le 0\) za sve \(x \in \left((a,b) \right),\) tada je funkcija \(f\left(x \) desno )\) konveksno prema gore na segmentu \(\lijevo[ (a,b) \desno].\)

U slučajevima kada je drugi izvod striktno veći (manji od) nule, govorimo o tome stroga konveksnost prema dole (ili gore ).

Dokažimo gornji teorem za slučaj konveksne funkcije prema dolje. Neka funkcija \(f\left(x \right)\) ima nenegativan drugi izvod na intervalu \(\left((a,b) \right):\) \(f""\left(x \desno) \ge 0.\) Označimo sa \((x_0)\) sredinu segmenta \(\left[ ((x_1),(x_2)) \desno].\) Pretpostavimo da je dužina segmenta \(\left[ ((x_1),(x_2)) \right].\) ovaj segment je jednak \(2h.\) Tada se koordinate \((x_1)\) i \((x_2)\) mogu napisati kao: \[(x_1) = (x_0) - h,\;\; (x_2) = (x_0) + h.\] Proširimo funkciju \(f\left(x \right)\) u tački \((x_0)\) u Taylorov niz sa ostatkom u Lagrangeovom obliku . Dobijamo sljedeće izraze: \[ (f\left(((x_1)) \right) = f\left(((x_0) - h) \right) ) = (f\left(((x_0)) \right ) - f"\left(((x_0)) \desno)h + \frac((f""\left(((\xi _1)) \right)(h^2)))((2},} \] \[ {f\left({{x_2}} \right) = f\left({{x_0} + h} \right) } = {f\left({{x_0}} \right) + f"\left({{x_0}} \right)h + \frac{{f""\left({{\xi _2}} \right){h^2}}}{{2!}},} \] где \({x_0} - h !}
Dodajmo obje jednakosti: \[ (f\left(((x_1)) \right) + f\left(((x_2)) \right) ) = (2f\left(((x_0)) \right) + \ frac (((h^2)))(2)\left[ (f""\left(((\xi _1)) \desno) + f""\left(((\xi _2)) \desno) ) \desno].) \] Budući da \((\xi _1),(\xi _2) \in \left((a,b) \right),\) onda su drugi derivati na desnoj strani nenegativni . Dakle, \ ili \ odnosno, u skladu sa definicijom, funkcija \(f\left(x \right)\) konveksno nadole .

Imajte na umu da je neophodan uslov za konveksnost funkcije (tj. direktna teorema u kojoj, na primjer, iz uvjeta konveksnosti prema dolje slijedi da \(f""\left(x \right) \ge 0\)) je zadovoljen samo za nestroge nejednakosti. U slučaju stroge konveksnosti, nužni uslov, generalno govoreći, nije zadovoljen. Na primjer, funkcija \(f\left(x \right) = (x^4)\) je striktno konveksna prema dolje. Međutim, u tački \(x = 0\) njen drugi izvod je jednak nuli, tj. stroga nejednakost \(f""\left(x \right) \gt 0\) ne vrijedi u ovom slučaju.

Svojstva konveksnih funkcija

Hajde da navedemo neka svojstva konveksnih funkcija, pod pretpostavkom da su sve funkcije definisane i kontinuirane na intervalu \(\left[ (a,b) \right].\)

Ako su funkcije \(f\) i \(g\) konveksne prema dolje (gore), tada bilo koja od njih linearna kombinacija \(af + bg,\) gdje su \(a\), \(b\) pozitivni realni brojevi, također je konveksan prema dolje (nagore).

Ako je funkcija \(u = g\left(x \right)\) nadole konveksna, a funkcija \(y = f\left(u \right)\) je nadole konveksna i neopadajuća, tada složena funkcija \(y = f\left((g\left(x \right)) \desno)\) će također biti konveksan prema dolje.

Ako je funkcija \(u = g\left(x \right)\) konveksna prema gore, a funkcija \(y = f\left(u \right)\) je konveksna prema dolje i ne raste, tada složena funkcija \(y = f\left((g\left(x \right)) \desno)\) će biti konveksan prema dolje.

Lokalni maksimum naviše konveksna funkcija definirana na intervalu \(\lijevo[ (a,b) \desno],\) je također njena najveća vrijednost na ovom segmentu.

Lokalni minimum nadole konveksna funkcija definisana na intervalu \(\left[ (a,b) \right],\) je takođe njena najniža vrijednost na ovom segmentu.