2018 Olševski Andrej Georgijevič

Website puna knjiga, možete preuzeti knjige

Vektori na ravni i prostoru, metode rješavanja zadataka, primjeri, formule

1 Vektori u prostoru

Vektori u prostoru uključuju geometriju 10. razreda, geometriju 11. razreda i analitičku geometriju. Vektori vam omogućavaju da efikasno rješavate geometrijske probleme drugog dijela Jedinstvenog državnog ispita i analitičku geometriju u svemiru. Vektori u prostoru dati su na isti način kao i vektori u ravni, ali se uzima u obzir treća koordinata z. Isključenje iz vektora u trećedimenzionalnom prostoru daje vektore na ravni, koji se objašnjavaju geometrijom 8., 9. razred.

1.1 Vektor na ravni i u prostoru

Vektor je usmjereni segment s početkom i krajem, prikazan na slici strelicom. Proizvoljna tačka u prostoru može se smatrati nultim vektorom. Nulti vektor nema određeni smjer, jer su početak i kraj isti, pa mu se može dati bilo koji smjer.

Vektor preveden sa engleskog znači vektor, pravac, kurs, navođenje, postavljanje pravca, kurs aviona.

Dužina (modulus) vektora različitog od nule je dužina segmenta AB, koji je označen
. Dužina vektora označeno sa . Nulti vektor ima dužinu jednaku nuli = 0.

Vektori različiti od nule koji leže na istoj liniji ili na paralelnim linijama nazivaju se kolinearni.

Nulti vektor je kolinearan sa bilo kojim vektorom.

Kolinearni vektori različiti od nule koji imaju isti smjer nazivaju se kosmjernim. Kosmjerni vektori su označeni sa . Na primjer, ako je vektor kosmjeran s vektorom , tada se koristi notacija.

Nulti vektor je kosmjeran s bilo kojim vektorom.

Suprotno usmjerena su dva kolinearna vektora različita od nule koji imaju suprotne smjerove. Suprotno usmjereni vektori su označeni znakom ↓. Na primjer, ako je vektor suprotno usmjeren prema vektoru, tada se koristi notacija ↓.

Kousmjereni vektori jednake dužine nazivaju se jednaki.

Mnoge fizičke veličine su vektorske veličine: sila, brzina, električno polje.

Ako tačka aplikacije (početak) vektora nije navedena, onda se bira proizvoljno.

Ako se početak vektora postavi u tačku O, smatra se da je vektor kasnio od tačke O. Iz bilo koje tačke možete nacrtati jedan vektor jednak datom vektoru.

1.2 Vektorski zbroj

Prilikom sabiranja vektora po pravilu trokuta, povlači se vektor 1, sa čijeg kraja se povlači vektor 2, a zbir ova dva vektora je vektor 3, povučen od početka vektora 1 do kraja vektora 2:

Za proizvoljne tačke A, B i C, možete napisati zbir vektora:

+
=

Ako dva vektora potiču iz iste tačke

onda ih je bolje sabrati prema pravilu paralelograma.

Prilikom sabiranja dva vektora prema pravilu paralelograma, dodani vektori se polažu iz jedne tačke, sa krajeva ovih vektora paralelogram se završava primjenom početka drugog na kraj jednog vektora. Vektor formiran dijagonalom paralelograma, koji potiče iz tačke početka vektora koji se zbrajaju, biće zbir vektora

Pravilo paralelograma sadrži drugačiji redosled sabiranja vektora prema pravilu trokuta.

Zakoni vektorskog sabiranja:

1. Zakon pomaka + = +.

2. Zakon kombinacije ( + ) + = + ( + ).

Ako je potrebno dodati nekoliko vektora, tada se vektori sabiraju u parovima ili po pravilu poligona: vektor 2 se crta sa kraja vektora 1, vektor 3 se crta sa kraja vektora 2, vektor 4 se izvlači iz kraj vektora 3, vektor 5 se povlači sa kraja vektora 4, itd. Vektor koji je zbir nekoliko vektora crta se od početka vektora 1 do kraja poslednjeg vektora.

Prema zakonima sabiranja vektora, redosled sabiranja vektora ne utiče na rezultujući vektor, koji je zbir nekoliko vektora.

Dva različita od nule suprotno usmjerena vektora jednake dužine nazivaju se suprotnim. Vektor - je suprotnost vektoru

Ovi vektori su suprotno usmjereni i jednaki po veličini.

1.3 Vektorska razlika

Vektorska razlika se može napisati kao zbir vektora

- = + (-),

gdje je "-" vektor suprotan vektoru.

Vektori i - mogu se dodati prema pravilu trokuta ili paralelograma.

Neka vektori i

Da bismo pronašli razliku između vektora, konstruišemo vektor -

Dodajemo vektore i - prema pravilu trokuta, primjenom početka vektora - na kraj vektora, dobijemo vektor + (-) = -

Sabiramo vektore i - prema pravilu paralelograma, ostavljamo po strani početke vektora i - iz jedne tačke

Ako vektori i potiču iz iste tačke

,

tada razlika vektora daje vektor koji povezuje njihove krajeve i strelica na kraju rezultirajućeg vektora se postavlja u smjeru vektora od kojeg se oduzima drugi vektor

Slika ispod pokazuje razliku sabiranja i vektora

Slika ispod prikazuje vektorsko sabiranje i razliku na različite načine

Zadatak. Dati su vektori i.

Nacrtajte zbir i razliku vektora na sve moguće načine u svim mogućim kombinacijama vektora.

1.4 Lema o kolinearnim vektorima

= k

1.5 Proizvod vektora i broja

Proizvod vektora različitog od nule brojem k daje vektor = k, kolinearan vektoru. Dužina vektora:

| | = |k |·| |

Ako k > 0, tada su vektori i kosmjerni.

Ako k = 0, tada je vektor nula.

Ako k< 0, то векторы и противоположно направленные.

Ako | k | = 1, tada su vektori i jednake dužine.

Ako k = 1, tada su vektori jednaki.

Ako k = -1, zatim suprotni vektori.

Ako | k | > 1, tada je dužina vektora veća od dužine vektora .

Ako k > 1, tada su oba vektora kosmjerna i dužina je veća od dužine vektora.

Ako k< -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Ako | k |< 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Ako je 0< k< 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Ako je -1< k< 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Proizvod nultog vektora i broja daje nulti vektor.

Zadatak. Dat je vektor.

Konstruisati vektore 2, -3, 0,5, -1,5.

Zadatak. Dati su vektori i.

Konstruisati vektore 3 + 2, 2 - 2, -2 -.

Zakoni koji opisuju množenje vektora brojem

1. Zakon kombinacije (kn) = k (n)

2. Prvi zakon raspodjele k ( + ) = k + k .

3. Drugi zakon raspodjele (k + n) = k + n.

Za kolinearne vektore i , ako je ≠ 0, postoji jedan broj k koji vam omogućava da izrazite vektor u terminima:

= k

1.6 Koplanarni vektori

Vektori koji leže u istoj ravni ili u paralelnim ravnima nazivaju se koplanarni. Ako iz jedne tačke nacrtamo vektore jednake ovim komplanarnim vektorima, oni će ležati u istoj ravni. Stoga možemo reći da se vektori nazivaju komplanarni ako postoje jednaki vektori koji leže u istoj ravni.

Dva proizvoljna vektora su uvijek komplanarna. Tri vektora mogu biti komplanarna ili nekoplanarna. Tri vektora, od kojih su najmanje dva kolinearna, su koplanarna. Kolinearni vektori su uvijek komplanarni.

1.7 Dekompozicija vektora na dva nekolinearna vektora

Bilo koji vektor jedinstveno se razlaže na ravni u dva nekolinearna vektora različita od nule I sa pojedinačnim koeficijentima ekspanzije x i y:

= x+y

Bilo koji vektor komplanaran vektorima koji nisu nula i može se jedinstveno proširiti u dva nekolinearna vektora i sa jedinstvenim koeficijentima ekspanzije x i y:

= x+y

Proširimo dati vektor na ravni prema datim nekolinearnim vektorima i :

Nacrtajmo date komplanarne vektore iz jedne tačke

Od kraja vektora crtamo linije paralelne s vektorima i dok se ne sijeku s linijama povučenim kroz vektore i . Dobijamo paralelogram

Dužine stranica paralelograma dobijaju se množenjem dužina vektora i brojevima x i y, koji se određuju dijeljenjem dužina stranica paralelograma sa dužinama njihovih odgovarajućih vektora i. Dobijamo dekompoziciju vektora prema datim nekolinearnim vektorima i:

= x+y

U zadatku koji se rješava, x ≈ 1.3, y ≈ 1.9, stoga se ekspanzija vektora u datim nekolinearnim vektorima može zapisati u obliku

1,3 + 1,9 .

U zadatku koji se rješava, x ≈ 1.3, y ≈ -1.9, stoga se proširenje vektora u datim nekolinearnim vektorima može zapisati u obliku

1,3 - 1,9 .

1.8 Pravilo paralelepipeda

Paralelepiped je trodimenzionalna figura čija se suprotna lica sastoje od dva jednaka paralelograma koji leže u paralelnim ravnima.

Pravilo paralelepipeda vam omogućava da dodate tri nekoplanarna vektora, koji su iscrtani iz jedne tačke, a paralelepiped je konstruisan tako da zbrojeni vektori formiraju njegove ivice, a preostale ivice paralelepipeda su paralelne i jednake dužinama ivice formirane sabranim vektorima. Dijagonala paralelepipeda formira vektor, koji je zbir data tri vektora, koji počinje od tačke početka vektora koji se sabiraju.

1.9 Dekompozicija vektora na tri nekoplanarna vektora

Bilo koji vektor se širi u tri data nekoplanarna vektora , i sa pojedinačnim koeficijentima ekspanzije x, y, z:

= x + y + z .

1.10 Pravougaoni koordinatni sistem u prostoru

U trodimenzionalnom prostoru, pravougaoni koordinatni sistem Oxyz je definisan ishodištem O i međusobno okomitim koordinatnim osa Ox, Oy i Oz sa odabranim pozitivnim pravcima označenim strelicama i jedinicom merenja segmenata. Ako je skala segmenata ista na sve tri ose, onda se takav sistem naziva Kartezijanski koordinatni sistem.

Koordinate x se naziva apscisa, y je ordinata, z je aplikacija. Koordinate tačke M zapisuju se u zagradama M (x; y; z).

1.11 Vektorske koordinate u prostoru

U prostoru ćemo definisati pravougaoni koordinatni sistem Oxyz. Iz ishodišta koordinata u pozitivnim smjerovima osa Ox, Oy, Oz crtamo odgovarajuće jedinične vektore , , , koji se nazivaju koordinatni vektori i nisu komplanarni. Prema tome, svaki vektor se dekomponuje na tri data nekoplanarna koordinatna vektora, i sa jedinstvenim koeficijentima proširenja x, y, z:

= x + y + z .

Koeficijenti proširenja x, y, z su koordinate vektora u datom pravougaonom koordinatnom sistemu, koje su zapisane u zagradama (x; y; z). Nulti vektor ima koordinate jednake nuli (0; 0; 0). Jednaki vektori imaju jednake odgovarajuće koordinate.

Pravila za pronalaženje koordinata rezultirajućeg vektora:

1. Prilikom sabiranja dva ili više vektora, svaka koordinata rezultirajućeg vektora jednaka je zbiru odgovarajućih koordinata datih vektora. Ako su data dva vektora (x 1 ; y 1 ; z 1) i (x 1 ; y 1 ; z 1), onda zbir vektora + daje vektor sa koordinatama (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

2. Razlika je vrsta zbira, pa razlika odgovarajućih koordinata daje svaku koordinatu vektora dobijenu oduzimanjem dva data vektora. Ako su data dva vektora (x a; y a; z a) i (x b; y b; z b), onda razlika vektora daje vektor sa koordinatama (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

- = (x a - x b; y a - y b; z a - z b)

3. Prilikom množenja vektora brojem, svaka koordinata rezultirajućeg vektora jednaka je proizvodu ovog broja i odgovarajuće koordinate datog vektora. Ako su dati broj k i vektor (x; y; z), tada množenjem vektora brojem k dobiva se vektor k s koordinatama

k = (kx; ky; kz).

Zadatak. Pronađite koordinate vektora = 2 - 3 + 4, ako su koordinate vektora (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Rješenje

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Koordinate vektora, radijus vektora i tačke

Koordinate vektora su koordinate kraja vektora ako je početak vektora postavljen u ishodište.

Radijus vektor je vektor povučen od početka do date tačke; koordinate radijus vektora i tačke su jednake.

Ako je vektor
dat je točkama M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) i M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2), tada je svaka njegova koordinata jednaka razlici odgovarajućih koordinata kraja i početak vektora

Za kolinearne vektore = (x 1 ; y 1 ; z 1) i = (x 2 ; y 2; z 2), ako je ≠ 0, postoji jedan broj k koji vam omogućava da izrazite vektor kroz:

= k

Tada se koordinate vektora izražavaju kroz koordinate vektora

= (kx 1 ; ky 1 ; kz 1)

Omjer odgovarajućih koordinata kolinearnih vektora jednak je singularnom broju k

1.13 Dužina vektora i udaljenost između dvije točke

Dužina vektora (x; y; z) jednaka je kvadratnom korijenu zbira kvadrata njegovih koordinata

Dužina vektora određena početnim tačkama M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) i kraja M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) jednaka je kvadratnom korijenu sume kvadrata razlike između odgovarajućih koordinata kraja vektora i početka

Razdaljina d između dvije tačke M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) i M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) jednako je dužini vektora

Na ravni nema z koordinata

Udaljenost između tačaka M 1 (x 1 ; y 1) i M 2 (x 2 ; y 2)

1.14 Koordinate sredine segmenta

Ako je poenta C je sredina segmenta AB, tada je vektor radijusa tačke C u proizvoljnom koordinatnom sistemu sa ishodištem u tački O jednak polovini zbroja vektora radijusa tačaka A i B

Ako su koordinate vektora
(x; y; z),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2 ; y 2; z 2), tada je svaka vektorska koordinata jednaka polovini sume odgovarajućih vektorskih koordinata i

,
,

= (x, y, z) =

Svaka od koordinata sredine segmenta jednaka je polovini sume odgovarajućih koordinata krajeva segmenta.

1.15 Ugao između vektora

Ugao između vektora jednak je kutu između zraka povučenih iz jedne tačke i kousmjerenih s tim vektorima. Ugao između vektora može biti od 0 0 do 180 0 uključujući. Ugao između kosmjernih vektora je 0 0 . Ako su jedan vektor ili oba nula, tada je ugao između vektora, od kojih je barem jedan jednak nuli, jednak 0 0 . Ugao između okomitih vektora je 90 0. Ugao između suprotno usmjerenih vektora je 180 0.

1.16 Vektorska projekcija

1.17 Tačkasti proizvod vektora

Skalarni proizvod dva vektora je broj (skalar) jednak proizvodu dužina vektora i kosinusa ugla između vektora

Ako = 0 0 , tada su vektori kosmjerni
I
= cos 0 0 = 1, dakle, skalarni proizvod kosmjernih vektora jednak je proizvodu njihovih dužina (modula)

.

Ako je ugao između vektora 0< < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, stoga je skalarni proizvod veći od nule
.

Ako su vektori različiti od nule okomiti, onda je njihov skalarni proizvod jednak nuli
, budući da je cos 90 0 = 0. Skalarni proizvod okomitih vektora jednak je nuli.

Ako
, tada je kosinus ugla između takvih vektora manji od nule
, stoga je skalarni proizvod manji od nule
.

Kako se ugao između vektora povećava, kosinus ugla između njih
smanjuje se i dostiže minimalnu vrijednost na = 180 0 kada su vektori suprotno usmjereni
. Pošto je cos 180 0 = -1, onda
. Skalarni proizvod suprotno usmjerenih vektora jednak je negativnom proizvodu njihovih dužina (modula).

Skalarni kvadrat vektora jednak je modulu vektora na kvadrat

Proizvod vektora od kojih je barem jedan nula jednak je nuli.

1.18 Fizičko značenje skalarnog proizvoda vektora

Iz kursa fizike je poznato da je rad izvršen od strane A sile prilikom pomeranja tela jednak proizvodu dužina vektora sile i pomaka i kosinusa ugla između njih, odnosno jednak skalarnom proizvodu vektora sile i pomaka

Ako je vektor sile kosmjeran s kretanjem tijela, tada je ugao između vektora
= 0 0, stoga je rad koji vrši sila na pomak maksimalan i jednak A =
.

Ako je 0< < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Ako je = 90 0, tada je rad sile na pomaku nula A = 0.

Ako je 90 0< < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Ako je vektor sile usmjeren suprotno kretanju tijela, tada je ugao između vektora = 180 0, pa je rad sile na kretanje negativan i jednak A = -.

Zadatak. Odrediti rad gravitacije pri podizanju putničkog automobila težine 1 tona duž puta dužine 1 km sa uglom nagiba od 30 0 prema horizontu. Koliko litara vode na temperaturi od 20 0 može se prokuvati uz pomoć te energije?

Rješenje

Posao Gravitacija pri kretanju tijela jednak je proizvodu dužina vektora i kosinusa ugla između njih, odnosno jednak je skalarnom proizvodu vektora gravitacije i pomaka

Gravitacija

G = mg = 1000 kg 10 m/s 2 = 10 000 N.

= 1000 m.

Ugao između vektora = 120 0 . Onda

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - sin 30 0 = - 0,5.

Zamenimo

A = 10.000 N · 1000 m · (-0.5) = - 5.000.000 J = - 5 MJ.

1.19 Tačkasti proizvod vektora u koordinatama

Tačkasti proizvod dva vektora = (x 1 ; y 1 ; z 1) i = (x 2 ; y 2 ​​; z 2) u pravougaonom koordinatnom sistemu jednak je zbiru proizvoda istoimenih koordinata

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Uvjet okomitosti vektora

Ako su vektori različiti od nule = (x 1 ; y 1 ; z 1) i = (x 2 ; y 2; z 2) okomiti, onda je njihov skalarni proizvod nula

Ako je dat jedan vektor različit od nule = (x 1 ; y 1 ; z 1), tada koordinate vektora okomitog (normalnog) na njega = (x 2 ; y 2; z 2) moraju zadovoljiti jednakost

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Postoji beskonačan broj takvih vektora.

Ako je na ravni dat jedan vektor različit od nule = (x 1 ; y 1), tada koordinate vektora okomitog (normalnog) na njega = (x 2 ; y 2) moraju zadovoljiti jednakost

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Ako je na ravni dat vektor različit od nule = (x 1 ; y 1), tada je dovoljno proizvoljno postaviti jednu od koordinata vektora okomito (normalno) na njega = (x 2 ; y 2) i od uslov okomitosti vektora

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

izraziti drugu koordinatu vektora.

Na primjer, ako zamijenite proizvoljnu koordinatu x 2, onda

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Druga vektorska koordinata

Ako damo x 2 = y 1, onda je druga koordinata vektora

Ako je na ravni dat vektor različit od nule = (x 1 ; y 1), tada je vektor okomit (normalan) na njega = (y 1 ; -x 1).

Ako je jedna od koordinata vektora različitog od nule jednaka nuli, tada vektor ima istu koordinatu koja nije jednaka nuli, a druga koordinata je jednaka nuli. Takvi vektori leže na koordinatnim osa i stoga su okomiti.

Definirajmo drugi vektor okomit na vektor = (x 1 ; y 1), ali nasuprot vektoru , odnosno vektor - . Tada je dovoljno promijeniti predznake vektorskih koordinata

- = (-y 1 ; x 1)

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Zadatak.

Rješenje

Koordinate dva vektora okomita na vektor = (x 1 ; y 1) na ravni

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Zamijenite vektorske koordinate = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

desno!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

desno!

Odgovor: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Ako dodijelimo x 2 = 1, zamijenimo

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Dobijamo koordinatu y 2 vektora okomitog na vektor = (x 1 ; y 1)

Da biste dobili drugi vektor okomit na vektor = (x 1 ; y 1), ali nasuprot vektoru . Neka

Tada je dovoljno promijeniti predznake vektorskih koordinata.

Koordinate dva vektora okomita na vektor = (x 1 ; y 1) na ravni

Zadatak. Zadani vektor = (3; -5). Pronađite dva normalna vektora sa različitim orijentacijama.

Rješenje

Koordinate dva vektora okomita na vektor = (x 1 ; y 1) na ravni

Koordinate jednog vektora

Koordinate drugog vektora

Da bismo provjerili okomitost vektora, zamjenjujemo njihove koordinate u uvjet okomitosti vektora

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3 1 + (-5) 0,6 = 3 - 3 = 0

desno!

3·(-1) + (-5)·(-0,6) = -3 + 3 = 0

desno!

Odgovor: i.

Ako dodijelite x 2 = - x 1, zamijenite

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Dobijamo koordinatu vektora okomitog na vektor

Ako dodijelite x 2 = x 1, zamijenite

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Dobijamo y koordinatu drugog vektora okomitog na vektor

Koordinate jednog vektora okomitog na vektor na ravni = (x 1 ; y 1)

Koordinate drugog vektora okomite na vektor na ravni = (x 1 ; y 1)

Koordinate dva vektora okomita na vektor = (x 1 ; y 1) na ravni

1.21 Kosinus ugla između vektora

Kosinus ugla između dva vektora različita od nule = (x 1 ; y 1 ; z 1) i = (x 2 ; y 2; z 2) jednak je skalarnom proizvodu vektora podijeljenom umnošku dužine ovih vektora

Ako
= 1, tada je ugao između vektora 0 0, vektori su kosmjerni.

Ako je 0< < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Ako je = 0, tada je ugao između vektora 90 0, vektori su okomiti.

Ako je -1< < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Ako je = -1, tada je ugao između vektora 180 0, vektori su suprotno usmjereni.

Ako je vektor zadan koordinatama početka i kraja, tada oduzimanjem koordinata početka od odgovarajućih koordinata kraja vektora dobijamo koordinate ovog vektora.

Zadatak. Pronađite ugao između vektora (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Rješenje

Tačkasti proizvod vektora

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

stoga je ugao između vektora jednak = 90 0 .

1.22 Svojstva skalarnog proizvoda vektora

Svojstva skalarnog proizvoda vrijede za bilo koje , , , k :

1.
, Ako
, To
, Ako =, To
= 0.

2. Zakon o putovanju

3. Distributivno pravo

4. Pravo kombinacije
.

1.23 Direktan vektor

Vektor pravca pravca je vektor različit od nule koji leži na pravoj ili na pravoj paralelnoj datoj pravoj.

Ako je prava linija definisana sa dve tačke M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) i M 2 (x 2 ; y 2; z 2), tada je vodilica vektor
ili njegov suprotni vektor
= - , čije koordinate

Preporučljivo je postaviti koordinatni sistem tako da pravac prolazi kroz ishodište koordinata, tada će koordinate jedine tačke na pravoj biti koordinate vektora pravca.

Zadatak. Odrediti koordinate vektora pravca prave koja prolazi kroz tačke M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Rješenje

Vektor pravca prave koja prolazi kroz tačke M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) označava se
. Svaka njegova koordinata jednaka je razlici između odgovarajućih koordinata kraja i početka vektora

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Oslikajmo usmjeravajući vektor prave linije u koordinatnom sistemu sa početkom u tački M 1, sa krajem u tački M 2 i jednakim vektorom
od početka sa krajem u tački M (-1; 1; 0)

1.24 Ugao između dvije prave linije

Moguće opcije za relativni položaj 2 prave linije na ravni i ugao između takvih pravih linija:

1. Prave se seku u jednoj tački, formirajući 4 ugla, 2 para vertikalnih uglova su jednaka u parovima. Ugao φ između dvije prave koje se seku je ugao koji ne prelazi ostala tri ugla između ovih pravih. Dakle, ugao između pravih je φ ≤ 90 0.

Prave koje se seku mogu biti, posebno, okomite na φ = 90 0.

Moguće opcije za relativni položaj 2 prave linije u prostoru i ugao između takvih pravih linija:

1. Prave se seku u jednoj tački, formirajući 4 ugla, 2 para vertikalnih uglova su jednaka u parovima. Ugao φ između dvije prave koje se seku je ugao koji ne prelazi ostala tri ugla između ovih pravih.

2. Prave su paralelne, odnosno ne poklapaju se i ne seku, φ=0 0 .

3. Prave se poklapaju, φ = 0 0 .

4. Prave se seku, odnosno ne seku se u prostoru i nisu paralelne. Ugao φ između linija koje se sijeku je ugao između linija povučenih paralelno sa ovim linijama tako da se sijeku. Dakle, ugao između pravih je φ ≤ 90 0.

Ugao između 2 prave je jednak uglu između pravih povučenih paralelno sa ovim pravim linijama u istoj ravni. Dakle, ugao između pravih je 0 0 ≤ φ ≤ 90 0.

Ugao θ (theta) između vektora i 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Ako je ugao φ između pravih α i β jednak uglu θ između vektora pravca ovih linija φ = θ, tada

cos φ = cos θ.

Ako je ugao između pravih φ = 180 0 - θ, onda

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Dakle, kosinus ugla između pravih je jednak modulu kosinusa ugla između vektora

cos φ = |cos θ|.

Ako su date koordinate vektora koji nisu nula = (x 1 ; y 1 ; z 1) i = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), tada je kosinus ugla θ između njih

Kosinus ugla između pravih jednak je modulu kosinusa ugla između vektora pravca ovih prava

cos φ = |cos θ| =

Linije su isti geometrijski objekti, stoga su iste trigonometrijske cos funkcije prisutne u formuli.

Ako je svaka od dvije prave data sa dvije točke, tada je moguće odrediti vektore smjera ovih pravih i kosinus ugla između pravih.

Ako cos φ = 1, tada je ugao φ između pravih jednak 0 0, za ove linije možemo uzeti jedan od vektora smjera ovih linija, prave su paralelne ili se poklapaju. Ako se prave ne poklapaju, onda su paralelne. Ako se prave poklapaju, tada svaka tačka na jednoj pravoj pripada drugoj pravoj.

Ako je 0< cos φ ≤ 1, tada je ugao između pravih 0 0< φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Ako cos φ = 0, tada je ugao φ između pravih 90 0 (prave su okomite), prave se sijeku ili ukrštaju.

Zadatak. Odrediti ugao između pravih M 1 M 3 i M 2 M 3 sa koordinatama tačaka M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) i M 3 (0; 0; 1).

Rješenje

Konstruirajmo date tačke i prave u Oxyz koordinatnom sistemu.

Vektore pravaca usmjeravamo tako da se ugao θ između vektora poklapa sa uglom φ između datih linija. Predstavimo vektore =
i =
, kao i uglovi θ i φ:

Odredimo koordinate vektora i

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 i ax + by + cz = 0;

Ravnina je paralelna s koordinatnom osom, čija oznaka nema u jednadžbi ravnine i, stoga, odgovarajući koeficijent je nula, na primjer, pri c = 0, ravan je paralelna s osi Oz i ne sadrže z u jednačini ax + by + d = 0;

Ravan sadrži tu koordinatnu os, čija oznaka nedostaje, pa je odgovarajući koeficijent nula i d = 0, na primjer, sa c = d = 0, ravan je paralelna s osom Oz i ne sadrži z u jednačina ax + by = 0;

Ravnina je paralelna s koordinatnom ravninom, čiji simboli nedostaju u jednadžbi ravnine i stoga su odgovarajući koeficijenti nula, na primjer, za b = c = 0, ravan je paralelna s koordinatnom ravninom Oyz i ne sadrži y, z u jednačini ax + d = 0.

Ako se ravnina poklapa sa koordinatnom ravninom, tada je jednadžba takve ravni jednakost nuli oznake koordinatne ose okomite na datu koordinatnu ravninu, na primjer, kada je x = 0, data ravan je koordinatna ravan Oyz.

Zadatak. Vektor normale je dat jednadžbom

Predstavite jednadžbu ravnine u normalnom obliku.

Rješenje

Normalne vektorske koordinate

A; b ; c), tada možete zamijeniti koordinate tačke M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) i koordinate a, b, c vektora normale u opštu jednadžbu ravnine

ax + by + cz + d = 0 (1)

Dobijamo jednačinu sa jednom nepoznatom d

ax 0 + po 0 + cz 0 + d = 0

Odavde

d = -(ax 0 + po 0 + cz 0 )

Jednačina u ravni (1) nakon zamjene d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Dobijamo jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačku M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) okomito na vektor različit od nule (a; b; c)

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Hajde da otvorimo zagrade

ax - ax 0 + by - za 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

Označimo

d = - ax 0 - za 0 - cz 0

Dobijamo opštu jednačinu ravni

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Jednačina ravni koja prolazi kroz dvije tačke i ishodište

ax + by + cz + d = 0.

Preporučljivo je postaviti koordinatni sistem tako da ravan prolazi kroz početak ovog koordinatnog sistema. Tačke M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) i M 2 (x 2 ; y 2; z 2) koje leže u ovoj ravni moraju biti specificirane tako da prava linija koja povezuje ove tačke ne prolazi kroz ishodište.

Ravan će proći kroz ishodište, pa je d = 0. Tada opšta jednačina ravni ima oblik

ax + by + cz = 0.

Postoje 3 nepoznata koeficijenta a, b, c. Zamjena koordinata dvije tačke u opštu jednačinu ravni daje sistem od 2 jednačine. Ako uzmemo neki koeficijent u opštoj jednačini ravnine jednak jedan, onda će nam sistem od 2 jednačine omogućiti da odredimo 2 nepoznata koeficijenta.

Ako je jedna od koordinata tačke nula, tada se koeficijent koji odgovara ovoj koordinati uzima kao jedan.

Ako neka tačka ima dvije nulte koordinate, tada se koeficijent koji odgovara jednoj od ovih nultih koordinata uzima kao jedan.

Ako se prihvati a = 1, tada će nam sistem od 2 jednadžbe omogućiti da odredimo 2 nepoznata koeficijenta b i c:

Lakše je riješiti sistem ovih jednačina množenjem neke jednačine sa takvim brojem da koeficijenti za neku nepoznatu postaju jednaki. Tada će nam razlika jednačina omogućiti da eliminiramo ovu nepoznanicu i odredimo drugu nepoznanicu. Zamjena pronađene nepoznate u bilo koju jednačinu omogućit će vam da odredite drugu nepoznatu.

1.30 Jednačina ravni koja prolazi kroz tri tačke

Odredimo koeficijente opšte jednačine ravnine

ax + by + cz + d = 0,

prolazeći kroz tačke M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ​​; z 2) i M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). Tačke ne bi trebale imati dvije identične koordinate.

Postoje 4 nepoznata koeficijenta a, b, c i d. Zamjena koordinata tri tačke u opštu jednačinu ravni daje sistem od 3 jednačine. Uzmite neki koeficijent u opštoj jednačini ravnine jednak jedinici, tada će vam sistem od 3 jednačine omogućiti da odredite 3 nepoznata koeficijenta. Obično se prihvata a = 1, tada će nam sistem od 3 jednadžbe omogućiti da odredimo 3 nepoznata koeficijenta b, c i d:

Bolje je riješiti sistem jednačina eliminacijom nepoznanica (Gaussova metoda). Možete preurediti jednačine u sistemu. Bilo koja jednačina se može pomnožiti ili podijeliti sa bilo kojim koeficijentom koji nije jednak nuli. Bilo koje dvije jednačine se mogu dodati i rezultirajuća jednačina se može napisati umjesto bilo koje od dvije dodane jednačine. Nepoznate se isključuju iz jednačina tako što se ispred njih dobije nulti koeficijent. U jednoj jednadžbi, obično najnižoj, ostaje jedna varijabla koja je određena. Pronađena varijabla se zamjenjuje u drugu jednačinu odozdo, koja obično ostavlja 2 nepoznanice. Jednačine se rješavaju odozdo prema gore i određuju se svi nepoznati koeficijenti.

Koeficijenti se stavljaju ispred nepoznanica, a članovi bez nepoznanica se prenose na desnu stranu jednačine

Gornji red obično sadrži jednadžbu koja ima koeficijent 1 prije prve ili bilo koje nepoznate, ili je cijela prva jednačina podijeljena s koeficijentom prije prve nepoznate. U ovom sistemu jednačina, podijelite prvu jednačinu sa y 1

Prije prve nepoznate dobili smo koeficijent 1:

Da biste resetirali koeficijent ispred prve varijable druge jednačine, pomnožite prvu jednačinu sa -y 2, dodajte je drugoj jednačini i napišite rezultirajuću jednačinu umjesto druge jednačine. Prva nepoznanica u drugoj jednačini bit će eliminirana jer

y 2 b - y 2 b = 0.

Slično, eliminiramo prvu nepoznatu u trećoj jednačini tako što pomnožimo prvu jednačinu sa -y 3, dodamo je trećoj jednačini i zapišemo rezultirajuću jednačinu umjesto treće jednačine. Prva nepoznanica u trećoj jednačini će također biti eliminirana jer

y 3 b - y 3 b = 0.

Slično, eliminiramo drugu nepoznatu u trećoj jednačini. Sistem rješavamo odozdo prema gore.

Zadatak.

ax + by + cz + d = 0,

prolazeći kroz tačke M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) i y+ 0 z + 0 = 0

x = 0.

Navedena ravan je koordinatna ravan Oyz.

Zadatak. Odrediti opštu jednačinu ravni

ax + by + cz + d = 0,

prolazeći kroz tačke M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) i M 3 (0; 0; 1). Pronađite udaljenost od ove ravni do tačke M 0 (10; -3; -7).

Rješenje

Konstruirajmo date tačke u Oxyz koordinatnom sistemu.

Hajde da prihvatimo a= 1. Zamjena koordinata tri tačke u opštu jednačinu ravni daje sistem od 3 jednačine

ℓ =

Web stranice: 1 2 Vektori u avionu i svemiru (nastavak)

Konsultacije sa Andrejem Georgijevičem Olševskim dalje Skype da.irk.ru

Priprema učenika i školaraca iz matematike, fizike, informatike, školaraca koji žele da dobiju puno bodova (dio C) i slabih učenika za Državni ispit (GIA) i Jedinstveni državni ispit. Istovremeno poboljšanje trenutnih akademskih performansi razvijanjem pamćenja, razmišljanja i jasnog objašnjenja složenih, vizuelnih prezentacija objekata. Poseban pristup svakom učeniku. Priprema za olimpijade koje daju pogodnosti za upis. 15 godina iskustva u poboljšanju postignuća učenika.

Viša matematika, algebra, geometrija, teorija vjerovatnoće, matematička statistika, linearno programiranje.

Jasno objašnjenje teorije, otklanjanje praznina u razumijevanju, nastavne metode za rješavanje problema, konsultacije pri pisanju predmeta i diploma.

Avijacijski, raketni i automobilski motori. Hiperzvučni, ramjet, raketni, impulsni detonacioni, pulsirajući, gasnoturbinski, klipni motori sa unutrašnjim sagorevanjem - teorija, projektovanje, proračun, čvrstoća, dizajn, tehnologija izrade. Termodinamika, toplotna tehnika, gasna dinamika, hidraulika.

Vazduhoplovstvo, aeromehanika, aerodinamika, dinamika leta, teorija, dizajn, aerohidromehanika. Ultralaki avioni, ekranoplani, avioni, helikopteri, rakete, krstareće rakete, letjelice, zračni brodovi, propeleri - teorija, dizajn, proračun, snaga, dizajn, tehnologija proizvodnje.

Generisanje i implementacija ideja. Osnove naučnog istraživanja, metode generisanja, implementacije naučnih, inventivnih, poslovnih ideja. Nastavne tehnike za rješavanje naučnih problema i inventivnih problema. Naučno, inventivno, spisateljsko, inženjersko stvaralaštvo. Izjava, odabir, rješavanje najvrednijih naučnih, inventivnih problema i ideja.

Objavljivanje kreativnih rezultata. Kako napisati i objaviti naučni članak, prijaviti se za pronalazak, napisati, objaviti knjigu. Teorija pisanja, odbrana disertacije. Zarađivanje novca od ideja i izuma. Konsalting u kreiranju pronalazaka, pisanju prijava za pronalaske, naučnih članaka, prijava pronalazaka, knjiga, monografija, disertacija. Koautorstvo pronalazaka, naučnih članaka, monografija.

Teorijska mehanika (teormekh), čvrstoća materijala (čvrstoća materijala), mašinski delovi, teorija mehanizama i mašina (TMM), tehnologija mašinstva, tehničke discipline.

Teorijske osnove elektrotehnike (TOE), elektronika, osnove digitalne i analogne elektronike.

Analitička geometrija, deskriptivna geometrija, inženjerska grafika, crtež. Kompjuterska grafika, grafičko programiranje, crteži u AutoCAD-u, NanoCAD-u, fotomontaža.

Logika, grafovi, stabla, diskretna matematika.

OpenOffice i LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, makroi, VBScript, BASIC, C, C++, Delphi, Pascal, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Matkad. Kreiranje programa, igrica za PC, laptop, mobilne uređaje. Upotreba besplatnih gotovih programa, open source motora.

Kreiranje, plasman, promocija, programiranje web stranica, online trgovina, zarada na web stranicama, web dizajn.

Računarstvo, korisnik računara: tekstovi, tabele, prezentacije, obuka za brzo kucanje za 2 sata, baze podataka, 1C, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, AutoCAD, nanoCad, Internet, mreže, email.

Montaža i popravka stacionarnih računara i laptopa.

Video bloger, kreiranje, uređivanje, postavljanje videa, uređivanje videa, zarada od video blogova.

Izbor, postizanje ciljeva, planiranje.

Obuka za zarađivanje novca na internetu: bloger, video bloger, programi, web stranice, internet trgovina, članci, knjige itd.

Možete podržati razvoj stranice, platiti konsultantske usluge Andreja Georgijeviča Olševskog

15.10.17 Olševski Andrej Georgijeviče-mail:[email protected]

Definicija

Skalarna količina- količina koja se može okarakterisati brojem. Na primjer, dužina, površina, masa, temperatura itd.

Vector naziva se usmjereni segment $\overline(A B)$; tačka $A$ je početak, tačka $B$ je kraj vektora (slika 1).

Vektor se označava ili sa dva velika slova - njegov početak i kraj: $\overline(A B)$ ili jednim malim slovom: $\overline(a)$.

Definicija

Ako se početak i kraj vektora poklapaju, onda se takav vektor naziva nula. Najčešće se nulti vektor označava kao $\overline(0)$.

Vektori se nazivaju kolinearno, ako leže ili na istoj liniji ili na paralelnim linijama (slika 2).

Definicija

Pozivaju se dva kolinearna vektora $\overline(a)$ i $\overline(b)$ co-directed, ako im se pravci poklapaju: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (slika 3, a). Pozivaju se dva kolinearna vektora $\overline(a)$ i $\overline(b)$ suprotno usmerena, ako su im smjerovi suprotni: $\overline(a) \uparrow \downarrow \overline(b)$ (slika 3, b).

Definicija

Vektori se nazivaju komplanarno, ako su paralelne sa istom ravninom ili leže u istoj ravni (slika 4).

Dva vektora su uvijek komplanarna.

Definicija

dužina (modul) vektor $\overline(A B)$ je udaljenost između njegovog početka i kraja: $|\overline(A B)|$

Detaljna teorija o dužini vektora na linku.

Dužina nultog vektora je nula.

Definicija

Vektor čija je dužina jednaka jedan se zove jedinični vektor ili ortom.

Vektori se nazivaju jednaka, ako leže na jednoj ili paralelnoj liniji; pravci im se poklapaju i dužine su jednake.

Drugim riječima, dva vektora jednaka, ako su kolinearni, kosmjerni i imaju jednake dužine:

$\overline(a)=\overline(b)$ if $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b),|\overline(a)|=|\overline(b)|$

U proizvoljnoj tački $M$ prostora, može se konstruisati jedan vektor $\overline(M N)$ jednak datom vektoru $\overline(A B)$.

Jedinstvenost koeficijenata linearne kombinacije dokazuje se na isti način kao i u prethodnom korolaru.

Posljedica: Svaka četiri vektora su linearno zavisna

Poglavlje 4. Pojam osnove. Svojstva vektora u datoj bazi

definicija:Osnova u prostoru je bilo koja uređena trojka nekoplanarnih vektora.

definicija:Osnova u avionu je bilo koji uređeni par nekolinearnih vektora.

Baza u prostoru omogućava da svaki vektor bude jedinstveno povezan sa uređenom trojkom brojeva - koeficijentima predstavljanja ovog vektora u obliku linearne kombinacije baznih vektora. Naprotiv, povezujemo vektor sa svakom uređenom trojkom brojeva koristeći osnovu ako napravimo linearnu kombinaciju.

Zovu se brojevi komponente (ili koordinate ) vektor u datoj bazi (pisani ).

Teorema: Prilikom sabiranja dva vektora, dodaju se njihove koordinate. Kada se vektor pomnoži sa brojem, sve koordinate vektora se pomnože s tim brojem.

Zaista, ako , To

Definicija i svojstva vektorskih koordinata na ravni su slične. Lako ih možete sami formulirati.

Poglavlje 5. Vektorska projekcija

Ispod ugao između vektora odnosi se na ugao između vektora jednakih podacima i koji imaju zajedničko ishodište. Ako referentni smjer ugla nije specificiran, tada se ugao između vektora smatra kutom koji ne prelazi π. Ako je jedan od vektora nula, onda se ugao smatra jednakim nuli. Ako je ugao između vektora ravan, vektori se nazivaju ortogonalno .

definicija:Ortogonalna projekcija vektor u pravcu vektora naziva se skalarna veličina , φ – ugao između vektora (slika 9).

Modul ove skalarne veličine jednak je dužini segmenta O.A. 0 .

Ako je ugao φ oštar, projekcija je pozitivna; ako je ugao φ tup, projekcija je negativna; ako je ugao φ ravan, projekcija je nula.

Sa ortogonalnom projekcijom, ugao između segmenata O.A. 0 I AA. 0 ravno. Postoje projekcije u kojima se ovaj ugao razlikuje od pravog ugla.

Projekcije vektora imaju sljedeća svojstva:

Osnova se zove ortogonalno , ako su njegovi vektori po paru ortogonalni.

Ortogonalna baza se naziva ortonormalno , ako su njegovi vektori po dužini jednaki jedan. Za ortonormalnu bazu u prostoru često se koristi notacija.

Teorema: U ortonormalnoj bazi, koordinate vektora su odgovarajuće ortogonalne projekcije ovog vektora na smjerove koordinatnih vektora.

primjer: Neka vektor jedinične dužine formira ugao φ sa vektorom ortonormalne baze na ravni, tada .

primjer: Neka vektor jedinične dužine formira uglove α, β, γ sa vektorima , odnosno ortonormirane baze u prostoru (slika 11), tada . Štaviše. Veličine cosα, cosβ, cosγ se nazivaju kosinusi smjera vektora

Poglavlje 6. Tačkasti proizvod

definicija: Skalarni proizvod dva vektora je broj jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih. Ako je jedan od vektora nula, skalarni proizvod se smatra jednakim nuli.

Skalarni proizvod vektora i označen je sa [ili ; ili ]. Ako je φ ugao između vektora i , tada .

Skalarni proizvod ima sljedeća svojstva:

Teorema: U ortogonalnoj bazi, komponente bilo kojeg vektora nalaze se prema formulama:

Zaista, neka , i svaki pojam je kolinearan na odgovarajući bazni vektor. Iz teoreme drugog odjeljka slijedi da je , gdje se bira znak plus ili minus ovisno o tome da li su vektori , i usmjereni su u istim ili suprotnim smjerovima. Ali, , gdje je φ ugao između vektora , i . dakle, . Preostale komponente se izračunavaju na sličan način.

Tačkasti proizvod se koristi za rješavanje sljedećih osnovnih problema:

1. ; 2. ; 3. .

Neka su vektori dati u određenoj bazi, a onda, koristeći svojstva skalarnog proizvoda, možemo napisati:

Veličine se nazivaju metrički koeficijenti date baze. Dakle .

Teorema: U ortonormalnoj osnovi

;
;
;
.

komentar: Svi argumenti u ovom odeljku dati su za slučaj lokacije vektora u prostoru. Slučaj vektora koji se nalazi na ravni dobija se uklanjanjem nepotrebnih komponenti. Autor predlaže da to uradite sami.

Poglavlje 7. Vektorski proizvod

Zove se uređena trojka nekoplanarnih vektora desno orijentisan (u pravu ), ako je nakon primjene na zajedničko ishodište sa kraja trećeg vektora najkraći zaokret od prvog vektora do drugog vidljiv u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Inače, naziva se uređena trojka nekoplanarnih vektora lijevo orijentisan (lijevo ).

definicija: Unakrsni proizvod vektora i vektora je vektor koji zadovoljava uslove:

Ako je jedan od vektora nula, tada je unakrsni proizvod nulti vektor.

Unakrsni proizvod vektora i vektora je označen (ili).

Teorema: Neophodan i dovoljan uslov kolinearnosti dva vektora je da njihov vektorski proizvod bude jednak nuli.

Teorema: Dužina (modulus) vektorskog proizvoda dva vektora jednaka je površini paralelograma konstruisanog na ovim vektorima kao stranicama.

primjer: Ako je prava ortonormalna osnova, onda , , .

primjer: Ako je lijeva ortonormalna baza, onda , , .

primjer: Neka a biti ortogonalno na . Zatim se dobija iz vektora rotacijom u smeru kazaljke na satu oko vektora (kao što se vidi sa kraja vektora).

Konačno sam se dočepao ove opsežne i dugo očekivane teme. analitička geometrija. Prvo, malo o ovom dijelu više matematike... Sigurno se sada sjećate školskog kursa geometrije sa brojnim teoremama, njihovim dokazima, crtežima itd. Šta sakriti, nevoljena i često opskurna tema za značajan dio učenika. Analitička geometrija, začudo, može se činiti zanimljivijom i pristupačnijom. Šta znači pridjev „analitički“? Odmah mi padaju na pamet dvije klišeirane matematičke fraze: “metoda grafičkog rješenja” i “metoda analitičkog rješenja”. Grafička metoda, naravno, povezan je sa konstrukcijom grafova i crteža. Analitički isto metoda uključuje rješavanje problema uglavnom kroz algebarske operacije. U tom smislu, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan; često je dovoljno pažljivo primijeniti potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, to nikako nećemo moći bez crteža, a osim toga, radi boljeg razumijevanja gradiva, pokušat ću ih citirati bez potrebe.

Novootvoreni kurs nastave iz geometrije ne pretenduje da je teorijski završen, već je usmeren na rešavanje praktičnih problema. U svoja predavanja ću uključiti samo ono što je, sa moje tačke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako vam je potrebna potpunija pomoć u bilo kojem pododjeljku, preporučujem sljedeću prilično pristupačnu literaturu:

1) Stvar koju, bez šale, poznaje nekoliko generacija: Školski udžbenik iz geometrije, autori - L.S. Atanasyan i kompanija. Ova školska svlačionica već je doživjela 20 (!) reprinta, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 toma. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je literatura za srednju školu, trebat će vam prvi tom. Zadaci koji se rijetko susreću mogu mi ispasti iz vida, a tutorijal će mi biti od neprocjenjive pomoći.

Obje knjige mogu se besplatno preuzeti na internetu. Osim toga, možete koristiti moju arhivu sa gotovim rješenjima koja se nalaze na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Među alatima, ponovo predlažem svoj razvoj - softverski paket u analitičkoj geometriji, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.

Pretpostavlja se da je čitalac upoznat sa osnovnim geometrijskim pojmovima i figurama: tačka, prava, ravan, trougao, paralelogram, paralelepiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorinu teoremu, pozdrav ponavljačima)

A sada ćemo razmotriti sekvencijalno: koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate. Preporučujem čitanje dalje najvažniji članak Tačkasti proizvod vektora, i također Vektorski i mješoviti proizvod vektora. Lokalni zadatak - Podjela segmenta u tom pogledu - također neće biti suvišan. Na osnovu gore navedenih informacija, možete savladati jednačina prave u ravni With najjednostavniji primjeri rješenja, što će omogućiti naučiti rješavati zadatke iz geometrije. Sljedeći članci su također korisni: Jednačina ravni u prostoru, Jednačine prave u prostoru, Osnovni zadaci o pravoj liniji i ravni, ostali dijelovi analitičke geometrije. Naravno, standardni zadaci će se razmatrati usput.

Vektorski koncept. Besplatno vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vector pozvao usmjereno segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

U ovom slučaju, početak segmenta je tačka, a kraj segmenta tačka. Sam vektor je označen sa . Smjer je bitno, ako pomaknete strelicu na drugi kraj segmenta, dobićete vektor, a to je već potpuno drugačiji vektor. Zgodno je poistovjetiti koncept vektora s kretanjem fizičkog tijela: morate se složiti, ulazak na vrata instituta ili napuštanje vrata instituta su potpuno različite stvari.

Pojedine tačke ravni ili prostora pogodno je smatrati tzv nulti vektor. Za takav vektor kraj i početak se poklapaju.

!!! Bilješka: Ovdje i dalje možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravni ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština predstavljenog materijala vrijedi i za ravan i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah primijetili štap bez strelice u oznaci i rekli, ima i strelica na vrhu! Istina, možete to napisati strelicom: , ali je također moguće unos koji ću koristiti u budućnosti. Zašto? Očigledno se ova navika razvila iz praktičnih razloga; moji strijelci u školi i na fakultetu su se pokazali previše velikim i čupavim. U obrazovnoj literaturi se ponekad uopće ne zamaraju klinastim pismom, već podebljaju slova: , čime se implicira da se radi o vektoru.

To je bila stilistika, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu pisati sa dva velika latinična slova:
i tako dalje. U ovom slučaju, prvo slovo Neophodno označava početnu tačku vektora, a drugo slovo označava krajnju tačku vektora.

2) Vektori se takođe pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš vektor se može redizajnirati zbog kratkoće malim latiničnim slovom.

Dužina ili modul vektor različit od nule naziva se dužina segmenta. Dužina nultog vektora je nula. Logično.

Dužina vektora je označena znakom modula: ,

Naučit ćemo kako pronaći dužinu vektora (ili ćemo to ponoviti, ovisno o tome ko) malo kasnije.

Ovo su bile osnovne informacije o vektorima, poznate svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Jednostavno rečeno - vektor se može nacrtati iz bilo koje tačke:

Navikli smo da takve vektore nazivamo jednakima (definicija jednakih vektora će biti data u nastavku), ali sa čisto matematičke tačke gledišta, oni su ISTI VEKTORI ili slobodni vektor. Zašto besplatno? Jer u toku rješavanja problema možete „prikačiti“ ovaj ili onaj vektor za BILO KOJU tačku ravni ili prostora koja vam je potrebna. Ovo je veoma cool karakteristika! Zamislite vektor proizvoljne dužine i smjera - može se "klonirati" beskonačan broj puta i u bilo kojoj tački u prostoru, zapravo, postoji SVUDA. Postoji takva studentska izreka: Svakog predavača je briga za vektor. Uostalom, nije samo duhovita rima, sve je matematički ispravno - tu se može pričvrstiti i vektor. Ali nemojte žuriti da se radujete, sami studenti često pate =)

dakle, slobodni vektor- Ovo gomila identični usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, data na početku pasusa: „usmjereni segment se zove vektor...“ podrazumijeva specifično usmjereni segment uzet iz datog skupa, koji je vezan za određenu tačku u ravni ili prostoru.

Treba napomenuti da je sa stanovišta fizike koncept slobodnog vektora generalno netačan, a bitna je i tačka primjene vektora. Zaista, direktan udarac iste snage u nos ili čelo, dovoljan da razvije moj glupi primjer, povlači različite posljedice. Kako god, neslobodan vektori se takođe nalaze u toku vyshmata (ne idite tamo :)).

Akcije sa vektorima. Kolinearnost vektora

Školski kurs geometrije pokriva niz radnji i pravila s vektorima: sabiranje po pravilu trougla, sabiranje po pravilu paralelograma, pravilo vektorske razlike, množenje vektora brojem, skalarni proizvod vektora itd. Za početak, ponovimo dva pravila koja su posebno relevantna za rješavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo za dodavanje vektora pomoću pravila trougla

Razmotrimo dva proizvoljna vektora različita od nule i :

Morate pronaći zbir ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, ostavićemo po strani vektor iz kraj vektor:

Zbir vektora je vektor. Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je u njega staviti fizičko značenje: neka tijelo putuje duž vektora , a zatim duž vektora . Tada je zbroj vektora vektor rezultujuće putanje sa početkom u tački polaska i krajem u tački dolaska. Slično pravilo je formulirano za zbir bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem vrlo nagnuto duž cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbira.

Usput, ako se vektor odgodi od počeo vektor, onda dobijamo ekvivalent pravilo paralelograma dodavanje vektora.

Prvo, o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearno, ako leže na istoj liniji ili na paralelnim linijama. Grubo govoreći, govorimo o paralelnim vektorima. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev „kolinearno“.

Zamislite dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, onda se takvi vektori nazivaju co-directed. Ako strelice pokazuju u različitim smjerovima, tada će vektori biti suprotnim pravcima.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenim simbolom paralelizma: , dok je detaljizacija moguća: (vektori su kousmjereni) ili (vektori su suprotno usmjereni).

Posao vektor različit od nule na broju je vektor čija je dužina jednaka , a vektori i su usmjereni na i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti uz pomoć slike:

Pogledajmo to detaljnije:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, onda je vektor mijenja smjer na suprotno.

2) Dužina. Ako je množitelj sadržan unutar ili , tada dužina vektora smanjuje se. Dakle, dužina vektora je polovina dužine vektora. Ako je modul množitelja veći od jedan, tada je dužina vektora povećava na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . I obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti kroz drugi, onda su takvi vektori nužno kolinearni. ovako: ako pomnožimo vektor brojem, dobićemo kolinearno(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su kousmjereni. Vektori i takođe su korežirani. Svaki vektor prve grupe je suprotno usmjeren u odnosu na bilo koji vektor druge grupe.

Koji su vektori jednaki?

Dva vektora su jednaka ako su u istom smjeru i imaju istu dužinu. Imajte na umu da kosmjernost implicira kolinearnost vektora. Definicija bi bila netačna (suvišna) ako bismo rekli: “Dva vektora su jednaka ako su kolinearni, kosmjerni i imaju istu dužinu.”

Sa stanovišta koncepta slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, kao što je objašnjeno u prethodnom paragrafu.

Vektorske koordinate na ravni i u prostoru

Prva stvar je razmatranje vektora na ravni. Oslikajmo kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem i nacrtajmo ga od početka koordinata single vektori i :

Vektori i ortogonalno. Ortogonalno = okomito. Preporučujem da se polako navikavate na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti koristimo riječi redom kolinearnost I ortogonalnost.

Oznaka: Ortogonalnost vektora piše se uobičajenim simbolom okomitosti, na primjer: .

Vektori koji se razmatraju nazivaju se koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori se formiraju osnovu na površini. Šta je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno; detaljnije informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)zavisnost vektora. Osnova vektora Jednostavnim riječima, osnova i porijeklo koordinata definiraju cijeli sistem - to je svojevrsni temelj na kojem vrije pun i bogat geometrijski život.

Ponekad se naziva izgrađena osnova ortonormalno osnova ravni: “orto” - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev “normaliziran” označava jedinicu, tj. dužine baznih vektora jednake su jedan.

Oznaka: osnova se obično piše u zagradama, unutar kojih u strogom redosledu bazni vektori su navedeni, na primjer: . Koordinatni vektori zabranjeno je preurediti.

Bilo koji ravan vektor jedini način izraženo kao:
, Gdje - brojevi koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. I sam izraz pozvao vektorska dekompozicijapo osnovu .

Poslužena večera:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri dekomponovanju vektora u bazu koriste oni o kojima smo upravo govorili:
1) pravilo za množenje vektora brojem: i ;
2) sabiranje vektora prema pravilu trougla: .

Sada mentalno nacrtajte vektor iz bilo koje druge tačke na ravni. Sasvim je očigledno da će ga njegovo propadanje „nemilosrdno pratiti“. Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom". Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za bilo koji vektor. Smiješno je da sami osnovni (slobodni) vektori ne moraju biti iscrtani od početka, jedan se može nacrtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i ništa se neće promijeniti! Istina, ne morate to da radite, jer će i nastavnik pokazati originalnost i izvući vam "kredit" na neočekivanom mjestu.

Vektori ilustruju tačno pravilo za množenje vektora brojem, vektor je kosmeran sa baznim vektorom, vektor je usmeren suprotno od baznog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata je jednaka nuli; možete je pažljivo napisati ovako:


A osnovni vektori su, inače, ovakvi: (u stvari, oni se izražavaju kroz sebe).

I na kraju: , . Usput, šta je vektorsko oduzimanje i zašto nisam govorio o pravilu oduzimanja? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje, primijetio sam da je oduzimanje poseban slučaj sabiranja. Dakle, proširenja vektora “de” i “e” lako se zapisuju kao zbir: , . Preuredite pojmove i vidite na crtežu kako dobro staro dobro sabiranje vektora prema pravilu trougla funkcionira u ovim situacijama.

Razmatrana dekompozicija forme ponekad se naziva vektorska dekompozicija u ort sistemu(tj. u sistemu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora; uobičajena je sljedeća opcija:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori su zapisani na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su naznačene u zagradama. U praktičnim problemima koriste se sve tri opcije notacije.

Dvoumio sam se da li da govorim, ali ipak ću reći: vektorske koordinate se ne mogu preurediti. Strogo na prvom mjestu zapisujemo koordinate koje odgovaraju jediničnom vektoru, strogo na drugom mestu zapisujemo koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru. Zaista, i dva su različita vektora.

Shvatili smo koordinate u avionu. Pogledajmo sada vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je gotovo sve isto! Samo će dodati još jednu koordinatu. Teško je napraviti trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti ostaviti po strani od porijekla:

Bilo koji 3D vektor prostora jedini način proširiti preko ortonormalne osnove:
, gdje su koordinate vektora (broja) u ovoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako funkcionišu vektorska pravila. Prvo, množenje vektora brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (strelica maline). Drugo, evo primjera dodavanja nekoliko, u ovom slučaju tri, vektora: . Vektor zbroja počinje na početnoj tački polaska (početak vektora) i završava na konačnoj tački dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora, naravno, također su slobodni; pokušajte mentalno odvojiti vektor iz bilo koje druge točke i shvatit ćete da će njegova dekompozicija „ostati s njim“.

Slično kao i ravno kućište, osim pisanja verzije sa zagradama se široko koriste: bilo .

Ako jedan (ili dva) koordinatni vektor nedostaje u ekspanziji, tada se na njihovo mjesto stavljaju nule. primjeri:
vektor (pažljivo ) – pišimo ;
vektor (pažljivo ) – pišimo ;
vektor (pažljivo ) – pišemo.

Osnovni vektori se pišu na sljedeći način:

Ovo je, možda, svo minimalno teorijsko znanje potrebno za rješavanje problema analitičke geometrije. Možda postoji mnogo pojmova i definicija, pa preporučujem da čajnici ponovo pročitaju i shvate ove informacije. I svakom čitaocu će biti korisno da se s vremena na vrijeme osvrne na osnovnu lekciju kako bi bolje usvojio materijal. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormalna osnova, vektorska dekompozicija - ovi i drugi koncepti će se često koristiti u budućnosti. Napominjem da materijali na sajtu nisu dovoljni za polaganje teorijskog testa ili kolokvijuma iz geometrije, budući da pažljivo šifriram sve teoreme (i bez dokaza) - na štetu naučnog stila izlaganja, ali plus za vaše razumijevanje predmet. Da biste dobili detaljne teorijske informacije, naklonite se profesoru Atanasyanu.

I prelazimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije sa vektorima u koordinatama

Veoma je preporučljivo naučiti kako rješavati zadatke koji će se razmatrati potpuno automatski, te formule zapamtiti, ne morate ga čak ni namjerno pamtiti, oni će ga sami zapamtiti =) Ovo je vrlo važno, jer se ostali problemi analitičke geometrije baziraju na najjednostavnijim elementarnim primjerima, pa će biti neugodno trošiti dodatno vrijeme na jedući pijune . Nema potrebe da zakopčavate gornje dugmad na košulji, mnoge stvari su vam poznate iz škole.

Prezentacija materijala će se odvijati paralelno - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule... videćete sami.

Kako pronaći vektor iz dvije tačke?

Ako su date dvije tačke ravni i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

To je, iz koordinata kraja vektora morate oduzeti odgovarajuće koordinate početak vektora.

vježba: Za iste tačke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke ravnine i . Pronađite vektorske koordinate

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeći unos:

Ovo će odlučiti esteti:

Lično sam navikao na prvu verziju snimka.

odgovor:

Prema uslovu, nije bilo potrebno konstruisati crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih razjasnio neke tačke za lutke, neću biti lijen:

Definitivno treba da razumete razlika između koordinata tačke i vektorskih koordinata:

Koordinate tačaka– to su obične koordinate u pravougaonom koordinatnom sistemu. Mislim da svi znaju crtati tačke na koordinatnoj ravni od 5.-6. razreda. Svaka tačka ima striktno mjesto u ravni i ne može se nigdje pomjeriti.

Koordinate vektora– to je njegovo proširenje po osnovu, u ovom slučaju. Svaki vektor je slobodan, tako da ako je potrebno, možemo ga lako odmaknuti od neke druge tačke u ravni. Zanimljivo je da za vektore uopće ne morate graditi ose ili pravougaoni koordinatni sistem, potrebna vam je samo baza, u ovom slučaju ortonormalna osnova ravni.

Čini se da su zapisi o koordinatama tačaka i koordinatama vektora slični: , i značenje koordinata apsolutno drugačije, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ova razlika se, naravno, odnosi i na prostor.

Dame i gospodo, napunimo ruke:

Primjer 2

a) Dani su bodovi i. Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Poeni i su dati. Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Pronađite vektore .

Možda je to dovoljno. Ovo su primjeri da se sami odlučite, trudite se da ih ne zanemarite, isplatit će vam se ;-). Nema potrebe za pravljenjem crteža. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Šta je važno pri rješavanju zadataka analitičke geometrije? Važno je da budete IZUZETNO PAŽLJIVI da ne napravite majstorsku grešku „dva plus dva je nula“. Izvinjavam se odmah ako sam negde pogresio =)

Kako pronaći dužinu segmenta?

Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.

Ako su date dvije točke ravnine i , tada se dužina segmenta može izračunati pomoću formule

Ako su date dvije točke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati pomoću formule

Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se zamijene odgovarajuće koordinate: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Radi jasnoće, napraviću crtež

Segment linije - ovo nije vektor, i, naravno, ne možete ga nigdje pomjeriti. Osim toga, ako crtate u mjerilu: 1 jedinica. = 1 cm (dve ćelije sveske), onda se dobijeni odgovor može proveriti običnim lenjirom direktnim merenjem dužine segmenta.

Da, rješenje je kratko, ali ima još nekoliko važnih tačaka koje bih želio pojasniti:

Prvo, u odgovoru stavljamo dimenziju: „jedinice“. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga bi matematički ispravno rješenje bila opća formulacija: “jedinice” – skraćeno kao “jedinice”.

Drugo, ponovimo školsko gradivo koje je korisno ne samo za razmatrani zadatak:

obratite pažnju na važna tehnika – uklanjanje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, imamo rezultat i dobar matematički stil uključuje uklanjanje faktora ispod korijena (ako je moguće). Detaljnije proces izgleda ovako: . Naravno, ostaviti odgovor kakav jeste ne bi bila greška – ali bi to svakako bio nedostatak i težak argument za prepirku od strane nastavnika.

Evo i drugih uobičajenih slučajeva:

Često korijen proizvodi prilično veliki broj, na primjer . Šta učiniti u takvim slučajevima? Pomoću kalkulatora provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4: . Da, bilo je potpuno podijeljeno, dakle: . Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . ovako: . Posljednja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno neće raditi. Pokušajmo podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.

zaključak: ako ispod korijena dobijemo broj koji se ne može izdvojiti kao cjelina, onda pokušavamo ukloniti faktor ispod korijena - pomoću kalkulatora provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Prilikom rješavanja raznih problema često se susreću s korijenima; uvijek pokušajte da izvučete faktore ispod korijena kako biste izbjegli nižu ocjenu i nepotrebne probleme sa finaliziranjem rješenja na osnovu komentara nastavnika.

Ponovimo i kvadratne korijene i druge potencije:

Pravila za rad sa stepenima u opštem obliku mogu se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je iz datih primera već sve ili skoro sve jasno.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Poeni i su dati. Pronađite dužinu segmenta.

Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

Kako pronaći dužinu vektora?

Ako je dat ravan vektor, tada se njegova dužina izračunava po formuli.

Ako je dat vektor prostora, onda se njegova dužina izračunava po formuli .

Vektorska algebra

definicija:

Vektor je usmjereni segment u ravni ili u prostoru.

karakteristike:

1) dužina vektora

definicija:

Dva vektora se nazivaju kolinearna ako leže na paralelnim pravima.

definicija:

Dva kolinearna vektora nazivaju se kosmjernim ako im se pravci poklapaju ( ) Inače se nazivaju suprotno usmjereni (↓ ).

definicija:

Dva vektora su jednaka ako su kosmjerna i imaju istu dužinu.

Na primjer,

Operacije:

1. Množenje vektora brojem

Ako
, To

↓Ako < 0

Smjer nultog vektora je proizvoljan

Svojstva množenja brojem

2. Vektorsko sabiranje

Pravilo paralelograma:

Dodatna svojstva:

- takvi vektori se nazivaju suprotni jedan drugom. Lako je to vidjeti

Zajednička svojstva:

O definicija:

Ugao između dva vektora je ugao koji se dobije ako se ovi vektori nacrtaju iz jedne tačke, 0    

3. Tačkasti proizvod vektora.

, Gdje - ugao između vektora

Svojstva skalarnog proizvoda vektora:

1) (jednakosti se dešavaju u slučaju suprotnog smjera i kosmjera vektora, respektivno)

3)

Ako
, tada je predznak proizvoda pozitivan, Ako ↓to je negativno

)

6), tj
, ili bilo koji od vektora je nula

7)

Primena vektora

1.

MN – srednja linija

Dokaži to

dokaz:

, oduzmite vektor sa obe strane
:

2.

Dokazati da su dijagonale romba okomite

dokaz:

Pronađite:

Rješenje:

Dekompozicija vektora na baze.

definicija:

Linearna kombinacija vektora (LCV) je zbir oblika

(LKV)

Gdje 1 ,  2 , …  s – proizvoljan skup brojeva

definicija:

Za LCI se kaže da nije trivijalan ako je sve i = 0, inače se naziva netrivijalnim.

Posljedica:

Netrivijalni LCV ima najmanje jedan koeficijent različit od nule To  0

definicija:

Vektorski sistem
naziva se linearno nezavisnim (LNI),Ako() = 0  Sve i  0,

to jest, samo njegov trivijalni LC jednak je nuli.

Posljedica:

Netrivijalni LC linearno nezavisnih vektora nije nula

primjeri:

1)
- LNZ

2) Neka I onda leže u istoj ravni
- LNZ , nekolinearno

3) Neka , , ne pripadaju istoj ravni, onda formiraju LNZ sistem vektora

Teorema:

Ako je sistem vektora linearno nezavisan, onda je barem jedan od njih linearna kombinacija ostalih.

dokaz:

 Neka () = 0 i ne sve I jednaki su nuli. Ne gubeći uopštenost, neka s  0. Onda
, a ovo je linearna kombinacija.

 Neka

Zatim, odnosno LZ.

Teorema:

Bilo koja 3 vektora na ravni su linearno zavisna.

dokaz:

Neka su vektori dati
, mogući slučajevi:

1)


2) nekolinearna

Izrazimo to kroz i:
, gdje
- netrivijalni LC.

Teorema:

Neka
- LZ

Tada je svaki “širi” sistem LZ

dokaz:

Pošto - LZ, onda postoji barem jedan i  0, i () = 0

Zatim i () = 0

definicija:

Sistem linearno nezavisnih vektora naziva se maksimalnim ako, kada mu se doda bilo koji drugi vektor, on postaje linearno zavisan.

definicija:

Dimenzija prostora (ravan) je broj vektora u maksimalnom linearno nezavisnom sistemu vektora.

definicija:

Baza je svaki uređeni maksimalni linearno nezavisan sistem vektora.

definicija:

Baza se naziva normalizovana ako vektori uključeni u nju imaju dužinu jednaku jedan.

definicija:

Baza se naziva ortogonalnom ako su svi njeni elementi (vektori) po parovima okomiti.

Teorema:

Sistem ortogonalnih vektora je uvijek linearno nezavisan (ako nema nultih vektora).

dokaz:

Neka je sistem ortogonalnih vektora (ne-nula), tj
. Pretpostavimo , množimo ovaj LC skalarno s vektorom :

Prva zagrada nije nula (kvadrat dužine vektora), a sve ostale zagrade su jednake nuli po uslovu. Onda 1 = 0. Slično za 2 …  s

Teorema:

Neka je M = - baza. Tada možemo predstaviti bilo koji vektor u obliku:

gdje su koeficijenti 2 …  s određuju se jedinstveno (ovo su koordinate vektora u odnosu na bazu M).

dokaz:

1)
=
- LZ (prema osnovnom stanju)

onda - netrivijalan

A) 0 = 0 što je nemoguće, pošto se ispostavi da je M – LZ

b) 0  0

podijeliti po 0

one. postoji lični račun

2) Dokažimo kontradikcijom. Neka je drugi prikaz vektora (tj. najmanje jedan par
). Oduzmimo formule jednu od druge:

- LC je netrivijalan.

Ali prema uslovu - osnovu kontradikcija, odnosno dekompozicija je jedinstvena.

zaključak:

Svaka baza M određuje korespondenciju jedan-na-jedan između vektora i njihovih koordinata u odnosu na bazu M.

Oznake:

M = - proizvoljan vektor

Onda