Svojstva i graf funkcije sin x. Sinus (sin x) i kosinus (cos x) – svojstva, grafikoni, formule. Tema: Trigonometrijske funkcije
>>Matematika: Funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafovi
Funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafovi
U ovom dijelu ćemo raspravljati o nekim svojstvima funkcija y = sin x,y= cos x i grade njihove grafike.
1. Funkcija y = sin X.
Iznad, u § 20, formulisali smo pravilo koje dozvoljava da svaki broj t bude povezan sa brojem cos t, tj. karakterizira funkciju y = sin t. Napomenimo neka njegova svojstva.
Svojstva funkcije u = sin t.
Područje definicije je skup K realnih brojeva.
Ovo proizilazi iz činjenice da bilo koji broj 2 odgovara tački M(1) na brojevnoj kružnici, koja ima dobro definiranu ordinatu; ova ordinata je cos t.
u = sin t je neparna funkcija.
Ovo proizilazi iz činjenice da je, kao što je dokazano u § 19, za bilo koje t jednakost
To znači da je graf funkcije u = sin t kao i svaki graf neparna funkcija, je simetričan u odnosu na početak u pravougaonom koordinatnom sistemu tOi.
Funkcija u = sin t raste na intervalu 
Ovo proizilazi iz činjenice da kada se tačka kreće duž prve četvrtine brojevnog kruga, ordinata se postepeno povećava (od 0 do 1 - vidi sliku 115), a kada se tačka kreće duž druge četvrtine brojevnog kruga, ordinata se postepeno smanjuje (od 1 do 0 - vidi sliku 116).
Funkcija u = sint je ograničena i odozdo i odozgo. Ovo proizilazi iz činjenice da, kao što smo vidjeli u § 19, za bilo koje t vrijedi nejednakost
(funkcija dostigne ovu vrijednost u bilo kojoj tački forme 
(funkcija dostigne ovu vrijednost u bilo kojoj tački forme
Koristeći dobijena svojstva, konstruisaćemo graf funkcije koja nas zanima. Ali (pažnja!) umjesto u - sin t pisaćemo y = sin x (na kraju krajeva, više smo navikli pisati y = f(x), a ne u = f(t)). To znači da ćemo graf izgraditi u uobičajenom xOy koordinatnom sistemu (a ne tOy).
Napravimo tablicu vrijednosti funkcije y - sin x:
Komentar.
Navedimo jednu od verzija porijekla pojma "sinus". Na latinskom, sinus znači savijanje (tetiva luka).
Konstruisani graf donekle opravdava ovu terminologiju. 
Prava koja služi kao grafik funkcije y = sin x naziva se sinusni val. Onaj dio sinusoide koji je prikazan na sl. 118 ili 119 naziva se sinusni val, a onaj dio sinusnog vala koji je prikazan na sl. 117, naziva se poluval ili luk sinusnog vala.
2. Funkcija y = cos x.
Proučavanje funkcije y = cos x moglo bi se provesti približno prema istoj shemi koja je korištena gore za funkciju y = sin x. Ali mi ćemo izabrati put koji brže vodi do cilja. Prvo ćemo dokazati dvije formule koje su same po sebi važne (vidjet ćete to u srednjoj školi), ali za sada imaju samo pomoćni značaj za naše potrebe.
Za bilo koju vrijednost t vrijede sljedeće jednakosti:
Dokaz. Neka broj t odgovara tački M numeričke kružnice n, a broj * + - tački P (sl. 124; radi jednostavnosti, u prvoj četvrtini uzeli smo tačku M). Lukovi AM i BP su jednaki, a pravougli trouglovi OKM i OLBP su shodno tome jednaki. To znači O K = Ob, MK = Pb. Iz ovih jednakosti i položaja trouglova OCM i OBP u koordinatnom sistemu izvodimo dva zaključka:
1) ordinata tačke P i po veličini i po predznaku poklapa se sa apscisom tačke M; to znači da
2) apscisa tačke P je po apsolutnoj vrednosti jednaka ordinati tačke M, ali se od nje razlikuje po znaku; to znači da
Približno isto razmišljanje se provodi u slučajevima kada tačka M ne pripada prvoj četvrtini.
Koristimo formulu 
(ovo je formula dokazana gore, samo umjesto varijable t koristimo varijablu x). Šta nam ova formula daje? Omogućava nam da tvrdimo da su funkcije
su identični, što znači da im se grafovi poklapaju.
Nacrtajmo funkciju 
Da bismo to uradili, pređimo na pomoćni koordinatni sistem sa ishodištem u tački (isprekidana linija je nacrtana na slici 125). Pridružimo funkciji y = sin x novi sistem koordinate - ovo će biti graf funkcije 
(Sl. 125), tj. grafik funkcije y - cos x. On se, kao i graf funkcije y = sin x, naziva sinusnim valom (što je sasvim prirodno).
Svojstva funkcije y = cos x.
y = cos x je parna funkcija.
Faze izgradnje su prikazane na sl. 126:
1) izgraditi grafik funkcije y = cos x (tačnije, jedan polutalas);
2) rastezanjem konstruisanog grafika od x-ose sa faktorom 0,5 dobijamo jedan polutalas traženog grafika;
3) koristeći rezultirajući poluval, konstruiramo cijeli graf funkcije y = 0,5 cos x.
, Takmičenje "Prezentacija za čas"
Prezentacija za lekciju
Nazad napred
Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.
Gvožđe rđa bez ikakve upotrebe,
stajaća voda trune ili se smrzava na hladnoći,
a nečiji um, ne nalazeći nikakvu upotrebu za sebe, vene.
Leonardo da Vinci
Korištene tehnologije: problemsko učenje, kritičko mišljenje, komunikativna komunikacija.
Ciljevi:
- Razvoj kognitivnog interesa za učenje.
- Proučavanje svojstava funkcije y = sin x.
- Formiranje praktičnih vještina konstruisanja grafa funkcije y = sin x na osnovu proučenog teorijskog materijala.
Zadaci:
1. Iskoristiti postojeći potencijal znanja o svojstvima funkcije y = sin x u određenim situacijama.
2. Primijeniti svjesno uspostavljanje veza između analitičkih i geometrijskih modela funkcije y = sin x.
Razvijati inicijativu, određenu volju i interes za pronalaženje rješenja; sposobnost donošenja odluka, ne zaustavljanja na tome, i odbrane svoje tačke gledišta.
Negovati kod učenika kognitivnu aktivnost, osjećaj odgovornosti, međusobnog poštovanja, međusobnog razumijevanja, međusobne podrške i samopouzdanja; kulture komunikacije.
Tokom nastave
Faza 1. Ažuriranje osnovnih znanja, motivisanje za učenje novog gradiva
"Ulazak u lekciju."
Na tabli su napisane 3 izjave:
- Trigonometrijska jednačina sin t = a uvijek ima rješenja.
- Graf neparne funkcije može se konstruirati korištenjem transformacije simetrije oko ose Oy.
- Raspored trigonometrijska funkcija može se konstruisati korišćenjem jednog glavnog polutalasa.
Učenici diskutuju u parovima: da li su tvrdnje tačne? (1 minuta). Rezultati početne rasprave (da, ne) se zatim unose u tabelu u koloni „Prije“.
Nastavnik postavlja ciljeve i zadatke časa.
2. Ažuriranje znanja (frontalno na modelu trigonometrijskog kruga).
Već smo se upoznali sa funkcijom s = sin t.
1) Koje vrijednosti može uzeti varijabla t. Koji je opseg ove funkcije?
2) U kom intervalu se nalaze vrijednosti izraza sin t? Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije s = sin t.
3) Riješite jednačinu sin t = 0.
4) Šta se dešava sa ordinatom tačke dok se kreće duž prve četvrtine? (ordinata raste). Šta se dešava sa ordinatom tačke dok se kreće duž druge četvrtine? (ordinata se postepeno smanjuje). Kako se to odnosi na monotonost funkcije? (funkcija s = sin t raste na segmentu i opada na segmentu ).
5) Napišimo funkciju s = sin t u nama poznatom obliku y = sin x (konstruiraćemo je u uobičajenom xOy koordinatnom sistemu) i sastaviti tablicu vrijednosti ove funkcije.
| X | 0 | ||||||
| at | 0 | 1 | 0 |
Faza 2. Percepcija, razumijevanje, primarna konsolidacija, nevoljno pamćenje
Faza 4. Primarna sistematizacija znanja i metoda djelovanja, njihov prijenos i primjena u novim situacijama
6. br. 10.18 (b,c)
Faza 5. Završna kontrola, korekcija, procjena i samoprocjena
7. Vraćamo se na iskaze (početak lekcije), razgovaramo o korištenju svojstava trigonometrijske funkcije y = sin x i popunjavamo kolonu “Nakon” u tabeli.
8. D/z: klauzula 10, br. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
U ovoj lekciji ćemo detaljno pogledati funkciju y = sin x, njena osnovna svojstva i graf. Na početku lekcije daćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t na koordinatnoj kružnici i razmotriti graf funkcije na kružnici i pravoj. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih problema korištenjem grafa funkcije i njenih svojstava.
Tema: Trigonometrijske funkcije
Lekcija: Funkcija y=sinx, njena osnovna svojstva i graf
Kada se razmatra funkcija, važno je povezati svaku vrijednost argumenta s jednom vrijednošću funkcije. Ovo zakon dopisivanja i naziva se funkcija.
Hajde da definiramo korespondencijski zakon za .
Bilo koji realan broj odgovara jednoj tački na jedinični krug Tačka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinusom broja (slika 1).
Svaka vrijednost argumenta je povezana s jednom vrijednošću funkcije.
Očigledna svojstva proizlaze iz definicije sinusa.
Slika to pokazuje 
jer je ordinata tačke na jediničnom krugu.
Razmotrimo graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je centralni ugao, mjeren u radijanima. Duž ose ćemo iscrtati realni brojevi ili uglovi u radijanima, duž ose odgovarajuće vrijednosti funkcije.
Na primjer, ugao na jediničnom krugu odgovara tački na grafikonu (slika 2)
Dobili smo grafik funkcije u tom području, ali znajući period sinusa, možemo prikazati graf funkcije u cijelom domenu definicije (slika 3).
Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu, a zatim nastaviti kroz cijeli domen definicije.
Razmotrite svojstva funkcije:
1) Obim definicije:
2) Raspon vrijednosti: 
3) Neparna funkcija:
4) Najmanji pozitivni period:
5) Koordinate tačaka preseka grafika sa apscisom: 
6) Koordinate tačke preseka grafika sa ordinatnom osom:
7) Intervali u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:
8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:
9) Povećani intervali:
10) Smanjenje intervala:
11) Minimum bodova: 
12) Minimalne funkcije:
13) Maksimalni broj bodova: 
14) Maksimalne funkcije:
Pogledali smo svojstva funkcije i njenog grafa. Svojstva će se više puta koristiti prilikom rješavanja problema.
Bibliografija
1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Tutorial za obrazovne institucije (nivo profila) ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred ( tutorial za učenike škola i odeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike).-M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinski studij algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.
5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi) - M.: Viša škola, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi iz algebre i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova) - M.: Prosveščenie, 2003.
8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.
Zadaća
Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur.
A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Dodatni web resursi
3. Edukativni portal za pripremu ispita ().
Funkcijay = grijehx
Grafikon funkcije je sinusoida.
Kompletan dio sinusnog vala koji se ne ponavlja naziva se sinusni val.
Pola sinusnog vala naziva se polusinusni val (ili luk).
Svojstva funkcijey =
grijehx:
3) Ovo je čudna funkcija. 4) Ovo kontinuirana funkcija.
6) Na segmentu [-π/2; π/2] funkcija raste na intervalu [π/2; 3π/2] – smanjuje se. 7) Na intervalima funkcija poprima pozitivne vrijednosti. 8) Intervali rastuće funkcije: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Minimalne tačke funkcije: -π/2 + 2πn. |
Za grafički prikaz funkcije y= grijeh x Pogodno je koristiti sljedeće vage:
Na listu papira sa kvadratom uzimamo dužinu dva kvadrata kao jedinicu segmenta.
Na osi x Izmjerimo dužinu π. Istovremeno, radi praktičnosti, predstavljamo 3.14 u obliku 3 - to jest, bez razlomka. Tada će na listu papira u ćeliji π biti 6 ćelija (tri puta 2 ćelije). I svaka ćelija će dobiti svoje prirodno ime (od prvog do šestog): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Ovo su značenja x.
Na y-osi označavamo 1, koja uključuje dvije ćelije.
Kreirajmo tablicu vrijednosti funkcije koristeći naše vrijednosti x:
√3 | √3 |
Zatim ćemo kreirati raspored. Rezultat je poluval, čija je najviša tačka (π/2; 1). Ovo je graf funkcije y= grijeh x na segmentu. Dodamo simetričan polutalas konstruisanom grafu (simetričan u odnosu na ishodište, odnosno na segmentu -π). Vrh ovog polutalasa je ispod x-ose sa koordinatama (-1; -1). Rezultat će biti talas. Ovo je graf funkcije y= grijeh x na segmentu [-π; π].
Možete nastaviti val tako što ćete ga konstruirati na segmentu [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], itd. Na svim ovim segmentima, graf funkcije će izgledati isto kao na segmentu [-π; π]. Dobićete kontinuiranu talasastu liniju sa identičnim talasima.
Funkcijay = cosx.
Graf funkcije je sinusni val (ponekad se naziva kosinusni val).
Svojstva funkcijey = cosx:
1) Područje definicije funkcije je skup realnih brojeva. 2) Opseg vrijednosti funkcije je segment [–1; 1] 3) Ovo je parna funkcija. 4) Ovo je kontinuirana funkcija. 5) Koordinate presečnih tačaka grafa: 6) Na segmentu funkcija opada, na segmentu [π; 2π] – povećava se. 7) Na intervalima [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] funkcija uzima pozitivne vrijednosti. 8) Rastući intervali: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Minimalne tačke funkcije: π + 2πn. 10) Funkcija je ograničena odozgo i odozdo. Najniža vrijednost funkcije –1, 11) Ovo je periodična funkcija s periodom od 2π (T = 2π) |
Funkcijay = mf(x).
Uzmimo prethodnu funkciju y=cos x. Kao što već znate, njegov graf je sinusni talas. Ako pomnožimo kosinus ove funkcije sa određenim brojem m, tada će se val proširiti od ose x(ili će se smanjiti, ovisno o vrijednosti m).
Ovaj novi talas će biti graf funkcije y = mf(x), gde je m bilo koji realan broj.
Dakle, funkcija y = mf(x) je poznata funkcija y = f(x) pomnožena sa m.
Akom< 1, то синусоида сжимается к оси x po koeficijentum. Akom > 1, tada se sinusoida rasteže od osex po koeficijentum.
Kada izvodite istezanje ili kompresiju, prvo možete nacrtati samo jedan poluval sinusnog vala, a zatim dovršiti cijeli grafikon.
Funkcijay= f(kx).
Ako je funkcija y=mf(x) dovodi do istezanja sinusoida od ose x ili kompresija prema osi x, tada funkcija y = f(kx) vodi do rastezanja od ose y ili kompresija prema osi y.
Štaviše, k je bilo koji realan broj.
U 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y po koeficijentuk. Akok > 1, tada se sinusoida sabija prema osiy po koeficijentuk.
Kada crtate ovu funkciju, prvo možete izgraditi jedan poluval sinusnog vala, a zatim ga koristiti za kompletiranje cijelog grafa.
Funkcijay = tgx.
Funkcijski graf y= tg x je tangenta.
Dovoljno je konstruisati dio grafa u intervalu od 0 do π/2, a zatim ga možete simetrično nastaviti u intervalu od 0 do 3π/2.
Svojstva funkcijey = tgx:
Funkcijay = ctgx
Funkcijski graf y=ctg x je takođe tangentoid (ponekad se naziva i kotangentoid).
Svojstva funkcijey = ctgx:
"Koledž uslužnih tehnologija Yoshkar-Ola"
Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijske funkcije y=sinx u tabeliGOSPOĐA Excel
/metodološka izrada/
Yoshkar – Ola
Predmet. Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijske funkcijey = sinx u MS Excel tabeli
Vrsta lekcije– integrisani (sticanje novih znanja)
Ciljevi:
Didaktička svrha - istražiti ponašanje grafova trigonometrijskih funkcijay= sinxovisno o izgledima korištenjem kompjutera
edukativni:
1. Saznaj promjenu u grafu trigonometrijske funkcije y= grijeh x zavisno od kvote
2. Prikazati uvođenje računarske tehnologije u nastavu matematike, integraciju dva predmeta: algebre i informatike.
3. Razvijati vještine korištenja računarske tehnologije na časovima matematike
4. Ojačati vještine proučavanja funkcija i konstruiranja njihovih grafova
edukativni:
1. Razvijati kognitivni interes učenika za akademske discipline i sposobnost primjene znanja u praktičnim situacijama
2. Razviti sposobnost analiziranja, poređenja, naglašavanja glavne stvari
3. Pomozite povećanju opšti nivo razvoj učenika
Obrazovanje :
1. Negujte nezavisnost, tačnost i naporan rad
2. Negujte kulturu dijaloga
Oblici rada na času - kombinovano
Didaktički sadržaji i oprema:
1. Računari
2. Multimedijalni projektor
4. Materijali
5. Slajdovi prezentacije
Tokom nastave
I. Organizacija početka časa
· Pozdravljanje učenika i gostiju
· Raspoloženje za čas
II. Postavljanje ciljeva i ažuriranje tema
Potrebno je puno vremena da se prouči funkcija i izgradi njen graf, morate izvršiti mnogo glomaznih proračuna, nije zgodno, kompjuterska tehnologija dolazi u pomoć.
Danas ćemo naučiti kako napraviti grafikone trigonometrijskih funkcija u okruženju proračunskih tablica MS Excel 2007.
Tema naše lekcije je „Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijske funkcije y= sinx u tabličnom procesoru"
Iz predmeta algebra znamo šemu za proučavanje funkcije i konstruisanje njenog grafa. Prisjetimo se kako to učiniti.
Slajd 2
Shema proučavanja funkcija
1. Domen funkcije (D(f))
2. Opseg funkcije E(f)
3. Određivanje pariteta
4. Frekvencija
5. Nule funkcije (y=0)
6. Intervali predznaka konstante (y>0, y<0)
7. Periodi monotonije
8. Ekstremi funkcije
III. Primarno usvajanje novog nastavnog materijala
Otvorite MS Excel 2007.
Nacrtajmo funkciju y=sin x
Izrada grafikona u procesoru proračunskih tablicaGOSPOĐA Excel 2007
Nacrtaćemo graf ove funkcije na segmentu xÊ [-2π; 2π]
Vrijednosti argumenta ćemo uzimati u koracima , kako bi graf bio precizniji.
Pošto uređivač radi sa brojevima, hajde da pretvorimo radijane u brojeve, znajući to P ≈ 3.14 . (tabela prijevoda u brošuri).
1. Pronađite vrijednost funkcije u tački x=-2P. Za ostalo, uređivač automatski izračunava odgovarajuće vrijednosti funkcije.
2. Sada imamo tablicu sa vrijednostima argumenta i funkcije. Sa ovim podacima, moramo iscrtati ovu funkciju pomoću Čarobnjaka za grafikone.
3. Da biste napravili graf, potrebno je da odaberete traženi raspon podataka, linije sa argumentima i vrijednosti funkcije
4..jpg" width="667" height="236 src=">
Zaključke zapisujemo u svesku (Slajd 5)
Zaključak. Grafikon funkcije oblika y=sinx+k dobija se iz grafa funkcije y=sinx koristeći paralelnu translaciju duž ose op-ampa za k jedinica
Ako je k >0, onda se graf pomiče nagore za k jedinica
Ako je k<0, то график смещается вниз на k единиц
Konstrukcija i proučavanje funkcije formey=k*sinx,k- konst
Zadatak 2. Na poslu Sheet2 crtati grafove funkcija u jednom koordinatnom sistemu y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, na intervalu (-2π; 2π) i gledajte kako se izgled grafa mijenja.
(Da ne bismo ponovo postavili vrijednost argumenta, kopirajmo postojeće vrijednosti. Sada morate postaviti formulu i napraviti graf koristeći rezultirajuću tablicu.)
Upoređujemo dobijene grafove. Zajedno sa studentima analiziramo ponašanje grafa trigonometrijske funkcije u zavisnosti od koeficijenata. (Slajd 6)
https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , na intervalu (-2π; 2π) i gledajte kako se izgled grafa mijenja.
Upoređujemo dobijene grafove. Zajedno sa studentima analiziramo ponašanje grafa trigonometrijske funkcije u zavisnosti od koeficijenata. (Slajd 8)
https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">
Zaključke zapisujemo u svesku (Slajd 11)
Zaključak. Grafikon funkcije oblika y=sin(x+k) dobija se iz grafa funkcije y=sinx koristeći paralelnu translaciju duž ose OX za k jedinica
Ako je k >1, tada se graf pomiče udesno duž ose OX
Ako je 0 IV. Primarna konsolidacija stečenog znanja Diferencirane kartice sa zadatkom konstruiranja i proučavanja funkcije pomoću grafa Y=6*grijeh(x) Y=1-2
grijehX Y=-
grijeh(3x+)
1.
Domain 2.
Raspon vrijednosti 3.
Paritet 4.
Periodičnost 5.
Intervali konstantnosti znaka 6.
Prazninemonotonija Funkcija se povećava Funkcija smanjuje se 7.
Ekstremi funkcije Minimum Maksimum V. Organizacija domaćih zadataka Nacrtajte grafik funkcije y=-2*sinh+1, ispitajte i provjerite ispravnost konstrukcije u Microsoft Excel okruženju proračunskih tablica. (Slajd 12) VI. Refleksija
