Indikatori efikasnosti upotrebe dima uključuju: Nastavni rad: Simulacijsko modeliranje sistema čekanja. Teorija čekanja
Teorija QS-a je posvećena razvoju metoda za analizu, projektovanje i racionalnu organizaciju sistema koji se odnose na različite oblasti delatnosti, kao što su komunikacije, računarska tehnologija, trgovina, transport i vojni poslovi. I pored svoje raznolikosti, navedeni sistemi imaju niz tipičnih svojstava, tj.
- Sistemi čekanja (sistemi čekanja) su sistemske modele, u kojem se prijave (zahtjevi) primaju nasumično izvana ili iznutra. Mora ih opsluživati sistem na ovaj ili onaj način. Trajanje usluge je najčešće nasumično.
- QS je totalitet serving oprema I osoblje uz odgovarajuću organizaciju uslužnog procesa.
- Postaviti QMS znači postaviti ga strukturu i statistiku karakteristike redoslijeda primljenih zahtjeva i redoslijeda njihovog servisiranja.
- indikatori koji karakterišu sistem u celini: broj n zauzeti servisni kanali, broj servisiranih (λ b), na čekanju za dostavljanje ili odbijene prijave (λ c) po jedinici vremena itd.;
- probabilističke karakteristike: vjerovatnoća da će zahtjev biti uručen ( P obs) ili primite odbijenicu za uslugu ( P otvoren) da su svi uređaji besplatni ( str 0) ili je određeni broj njih zauzet ( p k), vjerovatnoća reda, itd.;
- ekonomski pokazatelji: trošak gubitaka u vezi sa odlaskom aplikacije koja iz ovog ili onog razloga nije servisirana iz sistema, ekonomski efekat koji se dobija kao rezultat servisiranja aplikacije, itd.
Tokom kućnog testa proučavaju se najjednostavniji QS. Ovo su sistemi otvorene petlje; beskonačan izvor aplikacija nije uključen u sistem. Ulazni tok zahtjeva, tokovi usluga i očekivanja ovih sistema su najjednostavniji. Nema prioriteta. Monofazni sistemi.
Višekanalni sistem sa kvarovima
Sistem se sastoji od jednog servisnog čvora koji sadrži n servisnih kanala, od kojih svaki može opsluživati samo jedan zahtjev.Svi servisni kanali imaju iste performanse i ne razlikuju se za model sistema. Ako zahtjev uđe u sistem i nađe barem jedan slobodan kanal, on odmah počinje da se servisira. Ako su u trenutku prijema aplikacije u sistemu svi kanali zauzeti, onda aplikacija napušta sistem neuslužen.
Mješoviti sistemi
- Sistem sa ograničenjem po dužini reda
.
Sastoji se od uređaja za pohranu (red) i servisnog čvora. Aplikacija napušta red čekanja i napušta sistem ako već ima m aplikacija u memoriji do trenutka kada se pojavi (m je maksimalni mogući broj mjesta u redu). Ako je zahtjev ušao u sistem i nađe barem jedan slobodan kanal, on odmah počinje da se servisira. Ako su u trenutku kada aplikacija stigne u sistem svi kanali zauzeti, onda aplikacija ne napušta sistem, već zauzima mjesto u redu čekanja. Aplikacija napušta sistem neuslužen ako su, do trenutka kada uđe u sistem, zauzeti svi servisni kanali i sva mjesta u redu čekanja.
Za svaki sistem određena je disciplina reda. Ovo je sistem pravila koja određuju redosled kojim zahtevi stižu iz reda u servisni čvor. Ako su svi zahtjevi i kanali usluga jednaki, onda najčešće vrijedi pravilo „ko prvi dođe prvi uslužen“. - Sistem sa ograničenjem za vrijeme trajanja aplikacije u redu čekanja.
Sastoji se od uređaja za pohranu (red) i servisnog čvora. Razlikuje se od prethodnog sistema po tome što zahtjev primljen u skladištu (red) može čekati da servis počne samo ograničeno vrijeme Dakle(najčešće je to slučajna varijabla). Ako je vreme Dakle je istekao, tada aplikacija napušta red čekanja i ostavlja sistem neuslužen.
Matematički opis QS-a
QS se smatraju nekim fizičkim sistemima sa diskretna stanja x 0, x 1, ..., x n, koji radi u kontinuirano vrijeme t. Broj stanja n može biti konačan ili prebrojiv (n → ∞). Sistem može preći iz jednog stanja x i (i= 1, 2, … , n) u drugo x j (j= 0, 1,... ,n) u bilo koje vrijeme t. Da biste prikazali pravila za takve prijelaze, koristite dijagram tzv graf stanja. Za gore navedene tipove sistema, grafovi stanja formiraju lanac u kojem je svako stanje (osim ekstremnih) povezano direktnom i povratnom spregom sa dva susjedna stanja. Ovo je dijagram smrti i reprodukcije .Prijelazi iz stanja u stanje se dešavaju u nasumično vrijeme. Zgodno je pretpostaviti da se ovi prijelazi javljaju kao rezultat djelovanja nekih potoci(tokovi ulaznih zahtjeva, odbijanja zahtjeva za servisiranjem, tok obnavljanja uređaja, itd.). Ako sve niti protozoa, zatim slučajni tok koji se javlja u sistemu proces sa diskretnim stanjem i neprekidnim vremenom biće markovski .
Prijenos događaja je niz sličnih događaja koji se dešavaju u nasumične trenutke vremena. Može se posmatrati kao niz slučajnih trenutaka u vremenu t 1 ,t 2 , ... pojava događaja.
Najjednostavniji je tok koji ima sljedeća svojstva:
- Uobičajenost. Događaji slijede jedan po jedan (suprotno od toka, gdje događaji slijede u grupama).
- Stacionarnost. Vjerovatnoća da će se dati broj događaja dogoditi u vremenskom intervalu T zavisi samo od dužine intervala i ne zavisi od toga gde se ovaj interval nalazi na vremenskoj osi.
- Nema naknadnih efekata. Za dva vremenska intervala τ 1 i τ 2 koja se ne preklapaju, broj događaja koji pada na jedan od njih ne zavisi od toga koliko događaja pada na drugi interval.
Markovljevi slučajni događaji se opisuju običnim diferencijalne jednadžbe. Promenljive u njima su verovatnoće stanja R 0 (t), str 1 (t),…,p n (t).
Za vrlo velike trenutke u vremenu funkcionisanja sistema (teoretski pri t → ∞) u najjednostavnijim sistemima (sistemima u kojima su svi tokovi najjednostavniji, a graf je shema smrti i reprodukcije) uočava se postojan, ili stacionarno režim rada. U ovom režimu, sistem će promeniti svoje stanje, ali verovatnoće ovih stanja ( konačne vjerovatnoće) r k, k= 1, 2 ,…, n, ne zavise od vremena i mogu se smatrati kao prosječno relativno vrijeme sistem ostaje u odgovarajućem stanju.
1.1. Struktura i parametri efikasnosti i kvaliteta funkcionisanja QS-a
Mnogi ekonomski problemi su vezani za sisteme čekanja, tj. takvi sistemi u kojima se, s jedne strane, javljaju masovni zahtjevi (zahtjevi) za obavljanje bilo koje usluge, a s druge strane, ti zahtjevi se zadovoljavaju. QS uključuje sljedeće elemente: izvor zahtjeva, ulazni tok zahtjeva, red čekanja, uslužni uređaji (uslužni kanali), odlazni tok zahtjeva. Teorija čekanja proučava takve sisteme.
Objekti koji služe zahtjevima nazivaju se serviseri ili servisni kanali. Na primjer, to uključuje uređaje za dopunu goriva na benzinskim pumpama, telefonske komunikacijske kanale, sletne piste, servisere, blagajnike karata, mjesta za utovar i istovar u bazama i skladištima.
Koristeći metode teorije redova čekanja, mogu se riješiti mnogi problemi u proučavanju procesa koji se dešavaju u privredi. Dakle, u organizovanju trgovine ove metode omogućavaju određivanje optimalnog broja maloprodajnih objekata datog profila, broja prodavaca, učestalosti isporuke robe i drugih parametara. Drugi tipičan primjer sistema čekanja mogu biti benzinske pumpe, a zadaci teorije čekanja u ovom slučaju svode se na uspostavljanje optimalnog omjera između broja zahtjeva za uslugom koji pristižu na benzinsku pumpu i broja servisnih uređaja, na kojima se ukupni troškovi usluge i gubici od zastoja bi bili minimalni. Teorija čekanja se može primijeniti i pri proračunu površine skladišnih prostora, dok se skladišni prostor smatra uslužnim uređajem, a dolazak vozila na istovar smatra se uslovom. Modeli teorije čekanja koriste se i u rješavanju niza problema organizacije i racionalizacije rada, te drugih društveno-ekonomskih problema.
Svaki QS u svojoj strukturi uključuje određeni broj servisnih uređaja, koji se nazivaju servisni kanali (mogu uključivati osobe koje obavljaju određene operacije - blagajnike, operatere, menadžere, itd.) koji opslužuju određeni tok aplikacija (zahtjeva), koji nasumično dolaze na njegov ulaz puta. Servis aplikacija se javlja u nepoznatom, obično nasumičnom vremenu i zavisi od mnogo različitih faktora. Nakon servisiranja zahtjeva, kanal se oslobađa i spreman je za primanje sljedećeg zahtjeva. Nasumična priroda toka aplikacija i vrijeme njihovog servisiranja dovodi do neravnomjernog učitavanja QS-a - preopterećenja sa formiranjem redova aplikacija ili podopterećenja - sa mirovanjem njegovih kanala. Slučajnost prirode toka zahteva i trajanja njihove usluge dovodi do slučajnog procesa u QS-u, za čije proučavanje je potrebna konstrukcija i analiza njegovog matematičkog modela. Proučavanje funkcionisanja QS-a je pojednostavljeno ako je slučajni proces markovski (proces bez naknadnih efekata, ili bez memorije), kada se rad QS-a lako opisuje korišćenjem konačnih sistema običnih linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda, i u graničnom režimu (sa dovoljno dugim radom QS) pomoću linearnih algebarskih jednačina konačnih sistema. Kao rezultat toga, pokazatelji efektivnosti funkcionisanja QS-a se izražavaju kroz parametre QS-a, protok aplikacija i disciplinu.
Iz teorije je poznato da je da bi slučajni proces bio markovski potrebno i dovoljno da svi tokovi događaja (tokovi aplikacija, tokovi servisnih aplikacija itd.) pod uticajem kojih prelaze sistem iz stanja u stanje stanja nastaju, su Poissonovi, tj. ima svojstva posledice (za bilo koja dva nepreklapajuća vremenska intervala, broj događaja koji se dešavaju tokom jednog od njih ne zavisi od broja događaja koji se dešavaju posle drugog) i običnosti (verovatnoća pojave više od jednog događaja tokom elementarni, ili mali, vremenski period je zanemarljiv u poređenju sa vjerovatnoćom da se jedan događaj dogodi tokom ovog vremenskog perioda). Za najjednostavniji Poissonov tok, slučajna varijabla T (vremenski interval između dva susjedna događaja) raspoređuje se prema eksponencijalnom zakonu, koji predstavlja njegovu gustinu distribucije ili diferencijalnu funkciju raspodjele.
Ako je priroda tokova u QS-u drugačija od Poissonove, onda se njegove karakteristike efikasnosti mogu odrediti približno koristeći Markovu teoriju čekanja, i što je tačnije, to je QS složeniji i ima više servisnih kanala. U većini slučajeva valjane preporuke za praktično upravljanje QS-om ne zahtijevaju poznavanje njegovih tačnih karakteristika, već je dovoljno imati njihove približne vrijednosti.
Svaki QS, u zavisnosti od svojih parametara, ima određenu radnu efikasnost.
Efikasnost funkcionisanja QS-a karakterišu tri glavne grupe indikatora:
1. Efikasnost korišćenja QS – apsolutna ili relativna propusnost, prosečno trajanje perioda zauzetosti QS, stepen iskorišćenja QS, odnos nekorišćenja QS;
2. Kvalitet servisiranja aplikacija - prosječno vrijeme (prosječan broj prijava, zakon o raspodjeli) čekanja aplikacije u redu ili zadržavanja aplikacije u QS-u; vjerovatnoća da će primljeni zahtjev odmah biti prihvaćen za izvršenje;
3. Efikasnost funkcionisanja para CMO-potrošača, a potrošač se shvaća kao skup aplikacija ili neki njihov izvor (npr. prosječni prihod koji donosi CMO po jedinici radnog vremena itd.) .
1.2 Klasifikacija QS-a i njihovih glavnih elemenata
QS se razvrstavaju u različite grupe u zavisnosti od sastava i vremena provedenog u redu prije početka servisa, te od discipline servisiranja zahtjeva.
Prema sastavu QS-a razlikuju se jednokanalne (sa jednim uslužnim uređajem) i višekanalne (sa velikim brojem uređaja za serviranje). Višekanalni sistemi se mogu sastojati od servisnih uređaja istih i različitih performansi.
Na osnovu vremena koje je potrebno u redu prije početka servisiranja, sistemi su podijeljeni u tri grupe:
1) sa neograničenim vremenom čekanja (sa čekanjem),
2) sa odbijanjem;
3) mješoviti tip.
U QS-u s neograničenim vremenom čekanja, sljedeći zahtjev, koji otkriva da su svi uređaji zauzeti, ulazi u red čekanja i čeka servis dok se jedan od uređaja ne oslobodi.
U sistemima sa kvarovima, pristigli zahtjev, koji otkriva da su svi uređaji zauzeti, napušta sistem. Klasičan primjer sistema sa kvarovima je rad automatske telefonske centrale.
U sistemima mješovitog tipa, dolazni zahtjev nalazi da su svi uređaji zauzeti, čekaju u redu i čekaju na servis ograničeno vrijeme.Bez čekanja servisa u zadano vrijeme, zahtjev napušta sistem.
Razmotrimo ukratko karakteristike funkcionisanja nekih od ovih sistema.
1. QS sa čekanjem karakteriše činjenica da u sistemu od n (n>=1) svaki zahtjev koji stigne u QS u trenutku kada su svi kanali zauzeti ulazi u red čekanja i čeka uslugu, a svaki dolazni zahtjev je servisiran. Takav sistem može biti u jednom od beskonačnog broja stanja: s n +k (r=1.2...) – svi kanali su zauzeti i ima r aplikacija u redu čekanja.
2. QS sa čekanjem i ograničenjem dužine reda se razlikuje od gore navedenog po tome što ovaj sistem može biti u jednom od n+m+1 stanja. U stanjima s 0 , s 1 ,…, s n nema reda, jer ili nema aplikacija u sistemu ili ih uopšte nema i kanali su slobodni (s 0), ili ih ima nekoliko I (I = 1,n ) aplikacije u sistemu, koje opslužuje odgovarajući (n+1, n+2,…n+r,…,n+m) broj aplikacija i (1,2,…r,…,m) aplikacije koje stoje u redu. Aplikacija koja stigne na QS ulaz u trenutku kada već ima m aplikacija u redu čekanja se odbija i ostavlja sistem neuslužen.
Dakle, višekanalni QS u suštini funkcioniše kao jednokanalni, kada svih n kanala rade kao jedan sa disciplinom uzajamne pomoći koja se zove svi kao jedan, ali sa većim intenzitetom usluge. Grafikon stanja ovakvog sličnog sistema sadrži samo dva stanja: s 0 (s 1) - svih n kanala su slobodni (zauzeti).
Analiza različitih tipova QS-a uz međusobnu pomoć tipa sve-u-jednom pokazuje da takva uzajamna pomoć smanjuje prosječno vrijeme boravka aplikacije u sistemu, ali pogoršava niz drugih karakteristika kao što su vjerovatnoća kvara, propusnost, prosječan broj aplikacija u redu i vrijeme čekanja na njihovo izvršenje. Stoga se za poboljšanje ovih pokazatelja koristi promjena u disciplini servisiranja zahtjeva uz jednoobraznu međusobnu pomoć između kanala na sljedeći način:
· Ako zahtjev stigne u QS u vrijeme kada su svi kanali slobodni, tada svih n kanala počinje da ga servisira;
· Ako u ovom trenutku stigne sljedeći zahtjev, onda se neki od kanala prebacuju na njegovo servisiranje
· Ako pri servisiranju ova dva zahtjeva stigne treći zahtjev, onda se neki od kanala prebacuju na servisiranje ovog trećeg zahtjeva, sve dok svaki zahtjev koji se nalazi u QS-u ne opsluži samo jedan kanal. U ovom slučaju, prijava primljena u trenutku kada su svi kanali zauzeti, u QS-u sa odbijanjima i jedinstvenom uzajamnom pomoći između kanala, može biti odbijena i biće prinuđena da napusti sistem neopslužen.
Metode i modeli koji se koriste u teoriji čekanja mogu se podijeliti na analitičke i simulacijske.
Analitičke metode teorije čekanja omogućavaju dobijanje karakteristika sistema kao nekih funkcija njegovih parametara rada. Zahvaljujući tome, postaje moguće izvršiti kvalitativnu analizu uticaja pojedinih faktora na efikasnost QS-a. Metode simulacije se baziraju na kompjuterskom modeliranju procesa čekanja i koriste se ako je nemoguće koristiti analitičke modele.
Trenutno su teoretski najrazvijenije i najpogodnije za praktičnu primjenu metode za rješavanje problema čekanja u kojima je dolazni tok zahtjeva najjednostavniji (Poisson).
Za najjednostavniji tok, učestalost zahtjeva koji ulaze u sistem poštuje Poissonov zakon, tj. vjerovatnoća dolaska u vrijeme t od tačno k zahtjeva je data formulom:
Važna karakteristika QS-a je vrijeme potrebno za servisiranje zahtjeva u sistemu. Vrijeme usluge jednog zahtjeva je, po pravilu, slučajna varijabla i stoga se može opisati zakonom distribucije. Eksponencijalni zakon raspodjele vremena servisa se najviše koristi u teoriji, a posebno u praktičnim primjenama. Funkcija distribucije za ovaj zakon ima oblik:
One. vjerovatnoća da vrijeme servisiranja ne pređe određenu vrijednost t određena je ovom formulom, gdje je µ parametar eksponencijalne usluge zahtjeva u sistemu, tj. recipročna vrijednost servisnog vremena t rev:
Razmotrimo analitičke modele najčešćeg QS-a sa očekivanjem, tj. takav QS u kojem se zahtjevi primljeni u vrijeme kada su svi kanali za opsluživanje zauzeti stavljaju u red i servisiraju kako kanali postaju slobodni.
Opća formulacija problema je sljedeća. Sistem ima n kanala za opsluživanje, od kojih svaki može poslužiti samo jedan zahtjev u isto vrijeme.
Sistem prima jednostavan (Paussonov) tok zahtjeva s parametrom . Ako u trenutku kada stigne sljedeći zahtjev, u sistemu već postoji najmanje n zahtjeva za servisiranje (tj. svi kanali su zauzeti), onda ovaj zahtjev postaje u redu čekanja i čeka da servisiranje počne.
U sistemima sa određenom servisnom disciplinom, dolazni zahtev, koji pronalazi da su svi uređaji zauzeti, u zavisnosti od njegovog prioriteta, se ili servisira van reda ili se stavlja u red čekanja.
Glavni elementi QS-a su: ulazni tok zahtjeva, red zahtjeva, opslužujući uređaji (kanali) i odlazni tok zahtjeva.
Proučavanje QS-a počinje analizom dolaznog toka zahtjeva. Dolazni tok zahtjeva je skup zahtjeva koji ulaze u sistem i trebaju biti servisirani. Proučava se dolazni tok zahtjeva kako bi se ustanovili obrasci ovog toka i dodatno unaprijedio kvalitet usluge.
U većini slučajeva, dolazni tok je nekontrolisan i zavisi od niza slučajnih faktora. Broj zahtjeva koji pristižu po jedinici vremena je slučajna varijabla. Slučajna varijabla je također vremenski interval između susjednih dolaznih zahtjeva. Međutim, pretpostavlja se da su dati prosječan broj primljenih zahtjeva po jedinici vremena i prosječni vremenski interval između susjednih dolaznih zahtjeva.
Prosječan broj zahtjeva koji ulaze u uslužni sistem u jedinici vremena naziva se stopa pristizanja potražnje i određuje se sljedećom relacijom:
gdje je T prosječna vrijednost intervala između pristizanja narednih zahtjeva.
Za mnoge stvarne procese, tok zahtjeva je prilično dobro opisan Poissonovim zakonom distribucije. Takav tok se naziva najjednostavnijim.
Najjednostavniji tok ima sljedeća važna svojstva:
1) Svojstvo stacionarnosti, koje izražava nepromjenjivost vjerovatnog režima protoka tokom vremena. To znači da bi broj zahtjeva koji ulaze u sistem u jednakim vremenskim intervalima trebao, u prosjeku, biti konstantan. Na primjer, broj automobila koji u prosjeku dnevno pristižu na utovar trebao bi biti isti za različite vremenske periode, na primjer, na početku i na kraju decenije.
2) odsustvo naknadnog dejstva, koje određuje međusobnu nezavisnost prijema jednog ili drugog broja zahteva za uručenje u vremenskim periodima koji se ne preklapaju. To znači da broj zahtjeva koji pristižu u datom vremenskom periodu ne zavisi od broja zahtjeva koji su servisirani u prethodnom vremenskom periodu. Na primjer, broj vozila koja stižu po materijal desetog dana u mjesecu je nezavisan od broja vozila servisiranih četvrtog ili bilo kojeg drugog prethodnog dana u mjesecu.
3) Svojstvo običnosti, koje izražava praktičnu nemogućnost istovremenog prijema dva ili više zahtjeva (vjerovatnoća takvog događaja je nemjerljivo mala u odnosu na period koji se razmatra, kada potonji teži nuli).
Uz najjednostavniji tok zahtjeva, distribucija zahtjeva koji ulaze u sistem poštuje Poissonov zakon distribucije:
vjerovatnoća da će tačno k zahtjeva stići u servisni sistem za vrijeme t:
Gdje. - prosječan broj primljenih zahtjeva za uslugu po jedinici vremena.
U praksi, uslovi najjednostavnijeg toka nisu uvek striktno ispunjeni. Proces je često nestacionaran (u različitim satima dana i različitim danima u mjesecu, tok zahtjeva se može promijeniti; može biti intenzivniji ujutro ili posljednjih dana u mjesecu). Postoji i posledica, kada broj zahteva za puštanje robe na kraju meseca zavisi od njihovog zadovoljenja na početku meseca. Fenomen heterogenosti se uočava i kada više klijenata istovremeno dolazi u skladište materijala. Međutim, općenito, Poissonov zakon distribucije odražava mnoge procese čekanja s prilično visokom aproksimacijom.
Osim toga, prisustvo Poissonovog toka zahtjeva može se utvrditi statističkom obradom podataka o prijemu zahtjeva za uslugu. Jedna od karakteristika Poissonovog zakona raspodjele je jednakost matematičkog očekivanja slučajne varijable i varijanse iste varijable, tj.
Jedna od najvažnijih karakteristika servisnih uređaja, koja određuje propusnost čitavog sistema, je servisno vrijeme.
Vrijeme usluge za jedan zahtjev () je slučajna varijabla koja se može mijenjati u širokom rasponu. Zavisi od stabilnosti rada samih servisnih uređaja, kao i od različitih parametara koji ulaze u sistem, zahtjeva (na primjer, različita nosivost vozila koja dolaze na utovar ili istovar.
Slučajnu varijablu u potpunosti karakterizira zakon raspodjele, koji se utvrđuje na osnovu statističkih testova.
U praksi se najčešće prihvata hipoteza o eksponencijalnom zakonu raspodjele vremena usluge.
Eksponencijalni zakon raspodjele vremena servisiranja javlja se kada se gustina distribucije naglo smanjuje s povećanjem vremena t. Na primjer, kada se većina zahtjeva brzo servisira, a dugotrajna usluga je rijetka. Prisustvo eksponencijalnog zakona raspodjele za vrijeme službe utvrđuje se na osnovu statističkih opservacija.
Sa eksponencijalnim zakonom raspodjele vremena servisiranja, vjerovatnoća događaja da vrijeme servisiranja neće trajati duže od t jednaka je:
gdje je v intenzitet servisiranja jednog zahtjeva od strane jednog servisnog uređaja koji se određuje iz relacije:
gdje je prosječno vrijeme za servisiranje jednog zahtjeva od strane jednog servisnog uređaja.
Treba napomenuti da ako je zakon raspodjele radnog vremena indikativan, onda će u prisustvu više servisnih uređaja iste snage biti indikativan i zakon raspodjele vremena rada po nekoliko uređaja:
gdje je n broj servisnih uređaja.
Važan parametar QS-a je faktor opterećenja, koji se definiše kao omjer intenziteta prijema zahtjeva i intenziteta usluge v.
gdje je a faktor opterećenja; - intenzitet zahtjeva koji ulaze u sistem; v je intenzitet servisiranja jednog zahtjeva od strane jednog servisnog uređaja.
Iz (1) i (2) dobijamo to
S obzirom da je to intenzitet zahtjeva koji ulaze u sistem po jedinici vremena, proizvod pokazuje broj zahtjeva koji ulaze u sistem usluga tokom prosječnog vremena servisiranja jednog zahtjeva od strane jednog uređaja.
Za QS sa čekanjem, broj servisiranih uređaja n mora biti striktno veći od faktora opterećenja (zahtjev za stabilan ili stacionarni način rada QS-a):
U suprotnom, broj dolaznih zahtjeva će biti veći od ukupne produktivnosti svih uređaja za opsluživanje, a red čekanja će rasti bez ograničenja.
Za QS sa kvarovima i mješovitim tipovima ovaj uvjet može biti oslabljen; za efikasan rad ovih tipova QS-a dovoljno je zahtijevati da minimalni broj servisiranih uređaja n ne bude manji od faktora opterećenja:
1.3 Proces simulacije
Kao što je ranije napomenuto, proces iterativnog razvoja simulacionog modela počinje kreiranjem jednostavnog modela, koji zatim postepeno postaje složeniji u skladu sa zahtjevima problema koji se rješava. U procesu simulacije mogu se razlikovati sljedeće glavne faze:
1. Formiranje problema: opis problema koji se proučava i određivanje ciljeva studije.
2. Razvoj modela: logički i matematički opis modeliranog sistema u skladu sa formulacijom problema.
3. Priprema podataka: identifikacija, specifikacija i prikupljanje podataka.
4. Prevod modela: prevod modela na jezik prihvatljiv za računar koji se koristi.
5. Verifikacija: utvrđivanje ispravnosti mašinskih programa.
6. Validacija: procjena potrebne tačnosti i usklađenosti simulacionog modela sa realnim sistemom.
7. Strateško i taktičko planiranje: određivanje uslova za izvođenje mašinskog eksperimenta sa simulacionim modelom.
8. Eksperimentisanje: pokretanje simulacionog modela na računaru za dobijanje potrebnih informacija.
9. Analiza rezultata: proučavanje rezultata simulacionog eksperimenta radi pripreme zaključaka i preporuka za rješavanje problema.
10. Implementacija i dokumentacija: implementacija preporuka dobijenih iz simulacije, priprema dokumentacije o modelu i njegovo korištenje.
Razmotrimo glavne faze simulacijskog modeliranja. Prvi zadatak simulacijske studije je precizno definiranje problema i detaljno formuliranje ciljeva studije. Tipično, definicija problema je stalni proces koji se obično dešava tokom studije. Revidira se kao dublje razumijevanje problema koji se proučava i pojavljivanje novih aspekata istog.
Nakon što je formulisana početna definicija problema, počinje faza izgradnje modela sistema koji se proučava. Model uključuje statistički i dinamički opis sistema. U statističkom opisu određuju se elementi sistema i njihove karakteristike, a u dinamičkom opisu interakcija elemenata sistema, usled čega dolazi do promene njegovog stanja tokom vremena.
Proces formiranja modela je na mnogo načina umjetnost. Programer modela mora razumjeti strukturu sistema, identificirati pravila njegovog funkcionisanja i biti u stanju da istakne ono najvažnije u njima, eliminirajući nepotrebne detalje. Model mora biti lak za razumijevanje i u isto vrijeme dovoljno složen da realno predstavlja karakteristike stvarnog sistema. Najvažnije odluke donosi projektant o tome da li su usvojena pojednostavljenja i pretpostavke tačne, koje elemente i interakcije između njih treba uključiti u model. Nivo detalja u modelu zavisi od svrhe njegovog kreiranja. Potrebno je uzeti u obzir samo one elemente koji su bitni za rješavanje problema koji se proučava. I u fazi formiranja problema iu fazi modeliranja, neophodna je bliska interakcija između razvijača modela i njegovih korisnika. Osim toga, bliska interakcija u fazama formulacije problema i razvoja modela daje korisniku povjerenje u ispravnost modela, te stoga pomaže u osiguravanju uspješne implementacije rezultata simulacijske studije.
U fazi razvoja modela određuju se zahtjevi za ulaznim podacima. Neki od ovih podataka možda su već dostupni modelarima, dok će za prikupljanje drugih biti potrebno vrijeme i trud. Obično se vrijednost takvih ulaznih podataka postavlja na osnovu nekih hipoteza ili preliminarne analize. U nekim slučajevima, tačne vrijednosti jednog (ili više) ulaznih parametara imaju mali utjecaj na rezultate pokretanja modela. Osetljivost dobijenih rezultata na promene u ulaznim podacima može se proceniti provođenjem serije simulacionih radnji za različite vrednosti ulaznih parametara. Simulacijski model se stoga može koristiti za smanjenje vremena i troškova potrebnih za preciziranje ulaznih podataka. Nakon što je model razvijen i sakupljeni početni ulazni podaci, sljedeći zadatak je prevesti model u kompjuterski dostupan oblik.
U fazama verifikacije i validacije procjenjuje se funkcioniranje simulacijskog modela. U fazi verifikacije utvrđuje se da li model programiran za računar odgovara namjeri programera. Ovo se obično radi ručnom provjerom izračuna, ali se može koristiti i niz statističkih metoda.
Utvrđivanje adekvatnosti simulacionog modela sistema koji se proučava vrši se u fazi validacije. Validacija modela se obično izvodi na različitim nivoima. Specifične metode validacije uključuju utvrđivanje adekvatnosti korištenjem konstantnih vrijednosti za sve parametre simulacijskog modela ili procjenom osjetljivosti izlaza na promjene vrijednosti ulaznih podataka. Tokom procesa validacije, poređenja treba napraviti na osnovu analize stvarnih i eksperimentalnih podataka o funkcionisanju sistema.
Uslovi za izvođenje mašinskih vožnji modela određuju se u fazama strateškog i taktičkog planiranja. Zadatak strateškog planiranja je razviti efikasan eksperimentalni plan, kao rezultat kojeg se razjašnjava odnos između kontroliranih varijabli ili pronalazi kombinacija vrijednosti kontroliranih varijabli, minimiziranje ili maksimiziranje simulacijskog modela. Taktičko planiranje, za razliku od strateškog planiranja, bavi se pitanjem kako provesti svaku simulaciju u okviru eksperimentalnog plana kako bi se dobila najveća količina informacija iz izlaznih podataka. Važno mjesto u taktičkom planiranju zauzima definicija uslova za simulacijske vožnje i metode za smanjenje varijanse prosječne vrijednosti odziva modela.
Sljedeće faze u procesu simulacijskog istraživanja - izvođenje kompjuterskog eksperimenta i analiza rezultata - uključuju pokretanje simulacionog modela na računaru i interpretaciju rezultirajućih izlaznih podataka. Posljednja faza simulacijske studije je implementacija rezultirajućih rješenja i dokumentiranje simulacijskog modela i njegove upotrebe. Nijedan projekat simulacije ne treba smatrati završenim dok se rezultati ne koriste u procesu donošenja odluka. Uspeh implementacije u velikoj meri zavisi od toga koliko je korektno programer modela završio sve prethodne faze procesa simulacionog istraživanja. Ako su programer i korisnik blisko sarađivali i postigli međusobno razumijevanje u razvoju modela i njegovom istraživanju, onda je vjerovatno da će rezultat projekta biti uspješno implementiran. Ako između njih nije bilo bliskog odnosa, tada će, uprkos eleganciji i adekvatnosti simulacijskog modeliranja, biti teško razviti učinkovite preporuke.
Gore navedeni koraci se rijetko izvode u strogo definiranom nizu, od definicije problema do dokumentacije. Tokom simulacije može doći do neuspjeha u izvođenju modela, pogrešnih pretpostavki koje kasnije moraju biti napuštene, ponovnog fokusiranja istraživačkih ciljeva, ponovnih procjena i ponovne izgradnje modela. Ovaj proces omogućava razvoj simulacionog modela koji daje valjanu procjenu alternativa i olakšava proces donošenja odluka.
Poglavlje 2. Distribucije i generatori pseudoslučajnih brojeva
U nastavku će se koristiti sljedeće oznake:
X je slučajna varijabla; f(x) - funkcija gustine vjerovatnoće X; F(x) - funkcija vjerovatnoće X;
a - minimalna vrijednost;
b - maksimalna vrijednost;
μ - matematičko očekivanje M[X]; σ2 - varijansa M[(X-μ)2];
σ - standardna devijacija; α-parametar funkcije gustoće vjerovatnoće;
Red dužine k ostaje u njemu sa verovatnoćom Pk i ne pridružuje se redu sa verovatnoćom gk=1 - Pk." Upravo tako se ljudi obično ponašaju u redovima. U sistemima čekanja, koji su matematički modeli proizvodnih procesa, moguće je Dužina reda čekanja je ograničena konstantnom veličinom (kapacitet bunkera, na primjer). Očigledno, ovo je poseban slučaj općenite postavke. Neki...
1. Indikatori efikasnosti upotrebe QS:
Apsolutni kapacitet QS-a je prosječan broj zahtjeva koji mogu biti
može poslužiti QS po jedinici vremena.
Relativni kapacitet QS – odnos prosječnog broja zahtjeva,
broj uslužnih pružalaca usluga u jedinici vremena, na prosječan broj dolazaka za iste
vrijeme primjene.
Prosječno trajanje radnog staža CMO-a.
Stopa iskorištenosti QS-a je prosječan udio vremena tokom kojeg
CMO je zauzet servisiranjem zahtjeva itd.
2. Indikatori kvaliteta za servisiranje aplikacija:
Prosječno vrijeme čekanja za aplikaciju u redu čekanja.
Prosječno vrijeme boravka aplikacije u CMO-u.
Vjerovatnoća da će zahtjev biti odbijen bez čekanja.
Vjerovatnoća da će novoprimljena prijava biti odmah prihvaćena za servis.
Zakon raspodjele vremena čekanja za aplikaciju u redu čekanja.
Zakon raspodjele vremena boravka aplikacije u QS-u.
Prosječan broj aplikacija u redu čekanja.
Prosječan broj prijava u CMO, itd.
3. Indikatori efikasnosti funkcionisanja para „SMO – klijent“, pri čemu se pod „klijentom“ podrazumeva čitav skup zahteva ili određeni izvor istih. Takvi pokazatelji uključuju, na primjer, prosječan prihod koji je ostvario CMO po jedinici vremena
Klasifikacija sistema čekanja
Po broju QS kanala:
jednokanalni(kada postoji jedan servisni kanal)
višekanalni, preciznije n-kanal (kada je broj kanala n≥ 2).
Po servisnoj disciplini:
1. SMO sa neuspjesima, u kojem je aplikacija primljena na ulaz QS-a u trenutku kada je sve
kanali su zauzeti, prima "odbijanje" i napušta QS ("nestaje"). Tako da je ova aplikacija još uvijek
servisiran, mora ponovo ući na QS ulaz i smatrati se prijavom primljenom po prvi put. Primjer QS-a sa odbijanjima je rad automatske telefonske centrale: ako je birani telefonski broj (aplikacija primljena na ulazu) zauzeta, tada aplikacija prima odbijenicu, a da bi došla do ovog broja, mora biti ponovo birao.
2. SMO sa iščekivanjem(neograničeno čekanje ili queue). U takvim sistemima
zahtjev koji stigne kada su svi kanali zauzeti stavlja se u red čekanja i čeka da kanal postane dostupan i prihvati ga za uslugu. Svaka prijava primljena na ulazu će na kraju biti servisirana. Takvi samouslužni sistemi se često nalaze u trgovini, u oblasti potrošačkih i medicinskih usluga, te u preduzećima (na primjer, servisiranje mašina od strane tima montera).
3. SMO mješoviti tip(sa ograničenim očekivanjima). To su sistemi u kojima se nameću određena ograničenja ostanku aplikacije u redu čekanja.
Ova ograničenja se mogu odnositi na dužina reda čekanja, tj. maksimalno moguće
broj aplikacija koje mogu biti u redu u isto vrijeme. Primjer takvog sistema je automehaničarska radionica koja ima ograničen parking za neispravne automobile koji čekaju popravku.
Ograničenja čekanja mogu biti zabrinuta vrijeme koje je aplikacija provela u redu čekanja, prema istoriji
u kom trenutku izlazi iz reda i napušta sistem).
U QS-u sa čekanjem iu QS-u mješovitog tipa koriste se različite komunikacijske sheme.
servisiranje zahtjeva iz reda. Usluga može biti naredio, kada se zahtjevi iz reda servisiraju redoslijedom kojim ulaze u sistem, i poremećen, u kojem se aplikacije iz reda poslužuju slučajnim redoslijedom. Ponekad se koristi prioritetna usluga, kada se neki zahtjevi iz reda smatraju prioritetnim i stoga se poslužuju prvi.
Da ograničite protok aplikacija:
zatvoreno I otvoren.
Ako je protok aplikacija ograničen i aplikacije koje su napustile sistem mu se mogu vratiti,
xia, onda je QS zatvoreno, inače - otvoren.
Po broju servisnih faza:
jednofazni I višefazni
Ako su QS kanali homogeni, tj. izvršite istu operaciju održavanja
niya, onda se takvi QS nazivaju jednofazni. Ako se servisni kanali nalaze uzastopno i heterogeni su, budući da obavljaju različite uslužne operacije (tj. usluga se sastoji od nekoliko uzastopnih faza ili faza), tada se QS naziva višefazni. Primjer rada višefaznog QS-a je servis automobila na servisu (pranje, dijagnostika itd.).
Pokazatelji učinka QS-a- apsolutni i relativni kapacitet sistema;
- stope opterećenja i praznog hoda;
- prosječno vrijeme za potpuno učitavanje sistema;
- prosječno vrijeme koje aplikacija ostaje u sistemu.
- P obs – vjerovatnoća servisiranja zahtjeva,
- t syst – vrijeme boravka aplikacije u sistemu.
- λ b– apsolutnu propusnost sistema (prosečan broj usluženih zahteva u jedinici vremena),
- P obs – relativni kapacitet sistema,
- k z – faktor opterećenja sistema.
Zadatak. Zajednički računarski centar sa tri računara prima narudžbine od preduzeća za rad na računaru. Ako sva tri računara rade, onda se novoprimljeni nalog ne prihvata i preduzeće je prinuđeno da kontaktira drugi računarski centar. Prosječno vrijeme rada sa jednom narudžbom je 3 sata.Intenzitet toka aplikacija je 0,25 (1/sat). Naći granične vjerovatnoće stanja i indikatora performansi računskog centra.
Rješenje.
Prema uslovu n=3, λ=0,25(1/h), t vol. =3 (h). Intenzitet servisnog protoka μ=1/t vol. =1/3=0,33. Intenzitet opterećenja računara prema formuli (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Nađimo granične vjerovatnoće stanja:
prema formuli (25) p 0 =(1+0,75+0,75 2 /2!+0,75 3 /3!) -1 =0,476;
prema formuli (26) p 1 =0,75∙0,476=0,357; p 2 =(0,75 2 /2!)∙0,476=0,134; p 3 =(0,75 3 /3!)∙0,476=0,033 tj. u stacionarnom režimu rada računarskog centra, u proseku 47,6% vremena nema zahteva, 35,7% - postoji jedan zahtev (jedan računar je zauzet), 13,4% - dva zahteva (dva računara), 3,3% od vrijeme -
tri zahtjeva (tri računara su zauzeta).
Verovatnoća kvara (kada su sva tri računara zauzeta), dakle, P otvoren. =p 3 =0,033.
Prema formuli (28), relativni kapacitet centra je Q = 1-0,033 = 0,967, tj. U prosjeku, na svakih 100 zahtjeva, računski centar obradi 96,7 zahtjeva.
Prema formuli (29), apsolutni kapacitet centra je A = 0,25∙0,967 = 0,242, tj. U prosjeku se uruče 0,242 prijave na sat.
Prema formuli (30) prosječan broj zauzetih računara k = 0,242/0,33 = 0,725, tj. svaki od tri računara će biti zauzet servisiranjem zahtjeva u prosjeku samo 72,5/3 = 24,2%.
Prilikom procene efikasnosti računarskog centra potrebno je uporediti prihod od izvršenja zahteva sa gubicima od zastoja skupih računara (s jedne strane imamo visoku propusnost QS-a, a sa druge strane , postoji značajan zastoj servisnih kanala) i izabrati kompromisno rješenje.
Zadatak. Luka ima jedan vez za iskrcaj brodova. Brzina protoka plovila je 0,4 (brodovi dnevno). Prosječno vrijeme istovara za jedno plovilo je 2 dana. Pretpostavlja se da red može biti neograničene dužine. Pronađite pokazatelje učinka veza, kao i vjerojatnost da ne više od 2 plovila čekaju iskrcaj.
Rješenje.
Imamo ρ = λ/μ = μt vol. =0,4∙2=0,8. Pošto je ρ = 0,8 <
1, onda se red za istovar ne može neograničeno povećavati i postoje granične vjerovatnoće. Hajde da ih nađemo.
Vjerovatnoća da je vez slobodan, prema (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, a vjerovatnoća da je zauzet, P popunjenost. = 1-0,2 = 0,8. Prema formuli (34), vjerovatnoće da se na vezu nalazi 1, 2, 3 plovila (tj. 0, 1, 2 broda čekaju na istovar) jednake su p 1 = 0,8 (1-0,8) = 0, 16; p 2 = 0,8 2 ∙(1-0,8) = 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙(1-0,8) = 0,1024.
Vjerovatnoća da najviše 2 plovila čekaju na istovar je jednaka
P=p 1 +p 2 +p 3 = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904
Prema formuli (40), prosječan broj brodova koji čekaju iskrcaj
L jh =0,8 2 /(1-0,8) = 3,2
i prosječno vrijeme čekanja na istovar prema formuli (15,42)
Tp = 3,2/0,8 = 4 dana.
Prema formuli (36), prosječan broj plovila smještenih na vezu, L sist. = 0,8/(1-0,8) = 4 (dana) (ili jednostavnije prema (37) L sist. = 3,2+0,8 = 4 (dana), a prosječno vrijeme boravka plovila na vezu prema formuli (41 ) T sist = 4/0,8 = 5 (dana).
Očigledno je da je efikasnost iskrcaja brodova niska. Da bi se to povećalo, potrebno je smanjiti prosječno vrijeme istovara plovila t oko ili povećati broj vezova n.
Zadatak. U supermarketu, tok kupaca stiže u naplatni centar sa intenzitetom λ = 81 osoba. u jedan sat. Prosječno trajanje usluge kontrolora blagajne jednom kupcu t rev = 2 min. Definiraj:
A. Minimalni broj blagajnika n min, u kojoj red neće rasti do beskonačnosti, i odgovarajuće karakteristike usluge za n=n min.
b. Optimalna količina n opt. kontrolori-blagajnici, kod kojih će relativna vrijednost troškova C rel., povezanih sa troškovima održavanja servisnih kanala i zadržavanja u redu kupaca, datih, na primjer, kao , biti minimalna, te uporediti karakteristike usluge sa n= n min i n=n opt.
V. Vjerovatnoća da neće biti više od tri klijenta u redu.
Rješenje.
A. Po stanju l = 81(1/h) = 81/60 = 1,35 (1/min.). Prema formuli (24) r = l/m = lt rev = 1,35×2 = 2,7. Red neće rasti beskonačno pod uvjetom r/n< 1, т.е. при n >r = 2,7. Dakle, minimalni broj kontrolora blagajne je n min = 3.
Nađimo karakteristike servisa QS-a na P= 3.
Vjerovatnoća da u čvoru poravnanja nema kupaca, prema formuli (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3 -2,7)) - 1 = 0,025, tj. u prosjeku 2,5%
kontrolori i blagajnici će neko vrijeme mirovati.
Vjerovatnoća da će postojati red na proračunskom čvoru, prema (48) P vrlo. = (2,7 4 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735
Prosječan broj kupaca u redu za (50) L och. = (2,7 4 /3∙3!(1-2,7/3) 2)0,025 = 7,35.
Prosječno vrijeme čekanja u redu za (42) T vrlo. = 7,35/1,35 = 5,44 (min).
Prosječan broj kupaca u čvoru poravnanja prema (51) L sistemu. = 7,35+2,7 = 10,05.
Prosječno vrijeme provedeno od strane kupaca u čvoru poravnanja prema (41) T sist. = 10,05/1,35 = 7,44 (min).
Tabela 1
| Karakteristike usluge | Broj blagajnika | ||||
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| Vjerovatnoća zastoja blagajnika p 0 | 0,025 | 0,057 | 0,065 | 0,067 | 0,067 |
| Prosječan broj kupaca u redu T vrlo. | 5,44 | 0,60 | 0,15 | 0,03 | 0,01 |
| Relativna vrijednost troškova C rel. | 18,54 | 4,77 | 4,14 | 4,53 | 5,22 |
Koeficijent (udio) blagajnika zaposlenih u servisu
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Apsolutna propusnost računskog čvora A = 1,35 (1/min), ili 81 (1/h), tj. 81 kupac na sat.
Analiza karakteristika usluge ukazuje na značajno preopterećenje platnog centra u prisustvu tri blagajnika.
b. Relativna vrijednost troškova za n = 3
C rel. = = 3/1,35+3∙5,44 = 18,54.
Izračunajmo relativnu vrijednost troškova za ostale vrijednosti P(Tabela 1).
Kao što se vidi iz tabele. 2, minimalni troškovi se dobijaju pri n = n opt. = 5 kontrolora-blagajnika.
Odredimo karakteristike usluge proračunskog čvora za n = n opt. =5. Dobijamo P vrlo dobro. = 0,091; L vrlo = 0,198; T och. = 0,146 (min); L syst. = 2,90; T snst. = 2,15 (min); k = 2,7; k 3 = 0,54.
Kao što vidimo, sa n = 5 u poređenju sa n = 3, verovatnoća pojavljivanja reda P veoma je značajno smanjena. , dužina reda L vrlo i prosječno vrijeme provedeno u redu T vrlo. i, shodno tome, prosječan broj kupaca L sistema. i prosječno vrijeme provedeno u sistemu platnog čvora T, kao i udio kontrolora uključenih u servisiranje k 3. Ali prosječan broj kontrolora blagajne uključenih u servisiranje k i apsolutna propusnost platnog čvora A se prirodno nisu promijenili.
V. Vjerovatnoća da neće biti više od 3 kupca u redu je data sa
= 1- P vrlo dobro + p 5+1 + p 5+2 + p 5+3 , pri čemu svaki član nalazimo pomoću formula (45) – (48). Dobijamo za n=5:
Imajte na umu da je u slučaju n=3 blagajnika ista vjerovatnoća znatno manja: P(r ≤ 3) =0,464.
Sistem čekanja se sastoji od sljedećih elemenata (slika 5.6).
1 - dolazni tok zahtjevi ω( t) – skup zahtjeva za pružaoca usluga za obavljanje određenih poslova (dopuna goriva, pranje, održavanje i sl.) ili pružanje usluga (nabavka proizvoda, dijelova, materijala i sl.). Dolazni tok zahtjeva može biti konstantan ili varijabilan.
Zahtjevi mogu biti homogeni (iste vrste poslova ili usluga) i heterogeni (različite vrste poslova ili usluga).
2 - red - zahtjevi koji čekaju uslugu. Red se procjenjuje prosječna dužina r– broj objekata ili klijenata koji čekaju uslugu.
Slika 5.6 – Opšti dijagram sistema čekanja
3 - servisnih uređaja(uslužni kanali) – skup radnih mjesta, izvođača, opreme koja servisira zahtjeve koristeći određenu tehnologiju.
4 -odlazni tok potražnjeω’( t) – tok zahtjeva koji su prošli QS. Općenito, izlazni tok se može sastojati od servisiranih i neservisanih zahtjeva. Primjer neispunjenih potraživanja: nedostaje potreban dio na vozilu koje se popravlja.
5- kratki spoj(moguće) QS – stanje sistema u kojem ulazni tok zahtjeva zavisi od odlaznog toka.
U drumskom saobraćaju, nakon servisiranja (održavanje, popravke), vozilo mora biti tehnički ispravno.
Sistemi čekanja su klasifikovani na sledeći način.
1 Prema ograničenjima dužine reda čekanja:
QS sa gubicima – zahtjev ostavlja QS neuslužen ako su u trenutku njegovog dolaska svi kanali zauzeti;
Upit bez gubitka - zahtjev zauzima red, čak i ako su svi kanali
zauzeto;
QS sa ograničenjima dužine reda čekanja m ili vrijeme čekanja: ako postoji ograničenje u redu čekanja, onda novopristigli ( m Zahtjev +1) ostavlja sistem neiskorišćenim (na primjer, ograničeni kapacitet skladišnog prostora ispred benzinske stanice).
2 Po broju servisnih kanala n:
Jedan kanal: n=1;
Višekanalni n≥2.
3 Po vrsti servisnih kanala:
Isti tip (univerzalni);
Razne vrste (specijalizirane).
4 Redoslijed servisa:
Monofazni – održavanje se vrši na jednom uređaju (stanici);
Višefazni - zahtjevi se uzastopno prolaze kroz nekoliko servisnih uređaja (na primjer, proizvodne linije za održavanje; linija za sklapanje automobila; linija vanjske nege: čišćenje → pranje → sušenje → poliranje).
5 Po prioritetu usluge:
Bez prioriteta – zahtevi se servisiraju po redosledu kojim QS prima;
Sa prioritetom - zahtjevi se servisiraju ovisno o rangu prioriteta koji im je dodijeljen po prijemu (na primjer, punjenje vozila hitne pomoći na benzinskoj pumpi; prioritetne popravke na ATP-u vozila koja donose najveću dobit u transportu).
6 Po veličini dolaznog toka zahtjeva:
Sa neograničenim dolaznim protokom;
Sa ograničenim dolaznim protokom (na primjer, u slučaju predbilježbe za određene vrste poslova i usluga).
7 Prema strukturi QS-a:
Zatvoreno - dolazni tok zahtjeva, pod svim ostalim jednakim uvjetima, ovisi o broju prethodno servisiranih zahtjeva (kompleksni ATP servisira samo svoje automobile ( 5 na slici 5.6));
Otvoreno – dolazni tok potražnje ne zavisi od broja prethodno servisiranih: javne benzinske pumpe, prodavnica rezervnih delova.
8 Prema odnosu servisnih uređaja:
Uz međusobnu pomoć - kapacitet uređaja je promjenjiv i zavisi od popunjenosti ostalih uređaja: timsko održavanje više servisa; korištenje "kliznih" radnika;
Bez međusobne pomoći - propusnost uređaja ne zavisi od rada drugih QS uređaja.
Što se tiče tehničkog rada automobila, sve su rasprostranjeni zatvoreni i otvoreni, jednokanalni i višekanalni sistemi čekanja, sa istim tipom ili specijalizovanim servisnim uređajima, sa jednofaznim ili višefaznim servisom, bez gubitaka ili sa ograničenjima na dužina reda ili vrijeme provedeno u njemu.
Kao indikatori performansi QS-a koriste se sljedeći parametri.
Intenzitet usluge
gdje je ω parametar toka potražnje.
prikazuje broj zahtjeva koji pristižu u jedinici vremena, tj.
| A=ω g, | (5.13) |
Gdje g- .
Relativna širina pojasa određuje udio servisiranih zahtjeva od njihovog ukupnog broja.
Verovatnoća da da su svi postovi besplatni R 0 , karakteriše stanje sistema u kojem su svi objekti u funkciji i ne zahtevaju tehničke intervencije, tj. nema zahtjeva.
Vjerovatnoća uskraćivanja usluge P otk ima smisla za QS sa gubicima i sa ograničenjem dužine reda ili vremena provedenog u njemu. Pokazuje udio "izgubljenih" zahtjeva za sistem.
R och definira stanje sistema u kojem su svi servisni uređaji zauzeti, a sljedeći zahtjev "stoji" u redu s brojem zahtjeva na čekanju r.
Zavisnosti za određivanje imenovanih parametara funkcionisanja QS-a određene su njegovom strukturom.
Gdje n zan - .
Vrijeme potrebno za komunikaciju sa sistemom:
QS sa gubicima
| t syst = GT d; | (5.16) |
QS bez gubitaka
| t syst = t d + t cool | (5.17) |
| I=WITH 1 r+WITH 2 n dn +( WITH 1 +C 2)ρ, | (5.18) |
Gdje WITH 1 - trošak vremena mirovanja automobila u redu;
r- prosječna dužina čekanja;
WITH 2 - trošak zastoja uslužnog kanala;
n sn - broj slobodnih (slobodnih) kanala;
t ozh - prosječno vrijeme provedeno u redu čekanja.
Zbog slučajnosti dolaznog toka zahtjeva i trajanja njihovog završetka, uvijek postoji neki prosječan broj vozila u stanju mirovanja. Stoga je potrebno rasporediti broj uslužnih uređaja (posta, poslova, izvođača) između različitih podsistema tako da And= min. Ova klasa problema bavi se diskretnim promjenama parametara, jer se broj uređaja može mijenjati samo na diskretan način. Stoga se pri analizi sistema performansi vozila koriste metode iz operativnog istraživanja, teorije čekanja, linearnog, nelinearnog i dinamičkog programiranja i simulacije.
Primjer. Servis ima jedan dijagnostički post ( n= 1). Dužina reda je ograničena na dva automobila ( t= 2). Odredite parametre performansi dijagnostičkog posta ako je intenzitet protoka zahtjeva za dijagnozu u prosjeku A=2 potrebno/sat, trajanje dijagnostike t d = 0,4 sata
Dijagnostički intenzitet μ=1/0,4=2,5.
Smanjena gustina protoka ρ=2/2,5=0,8.
Vjerovatnoća da je mjesto upražnjeno je
P 0 =(1-ρ)/(1-ρ m +2)=(1-0,8)/(1-0,8 4)=0,339.
Vjerovatnoća formiranja reda
P och =ρ 2 R 0 =0,8 2 0,339=0,217.
Vjerovatnoća uskraćivanja usluge
P otk =ρ m+1 (1-ρ)/(1-ρ m +2)=0,8 3 (1-0,8)/(1-0,84)=0,173.
Relativna širina pojasa
g=1-P otk =1-0,173=0,827.
Apsolutna propusnost
A=2 0,827=1,654 potrebno/sat.
Prosječan broj zauzetih postova ili vjerovatnoća učitavanja posta
n zan =(ρ-ρ m+2)/(1-ρ m +2)=(0,8-0,8 4)/(1-0,8 4)=0,661=1-P 0 .
Prosječan broj zahtjeva u redu čekanja
Prosječno vrijeme koje zahtjev provede u redu čekanja
t cool = r/ω=0,564/2=0,282 h.
Primjer. U autotransportnom preduzeću postoji jedno dijagnostičko mesto ( n= 1). U ovom slučaju, dužina reda čekanja je praktično neograničena. Odredite parametre performansi dijagnostičkog posta ako je trošak vremena mirovanja vozila u redu WITH 1 = 20 re (obračunske jedinice) po smjeni i trošak zastoja radnih mjesta WITH 2 = 15 re Preostali početni podaci su isti kao u prethodnom primjeru.
Verovatnoća da je radno mesto upražnjeno
P 0 =1-ρ=1-0,8=0,2.
Vjerovatnoća formiranja reda
P och =ρ 2 R 0 =0,8 2 0,2=0,128.
Relativna širina pojasa g=1, pošto će svi ciljani automobili proći kroz dijagnostičku stanicu.
Apsolutna propusnost A=ω=2 potrebno/sat.
Prosječan broj zauzetih radnih mjesta n zan =ρ=0,8.
r=ρ 2 /(1-ρ)=0,8 2 /(1-0,8)=3,2.
Prosječno vrijeme čekanja u redu
t rashladno sredstvo =ρ 2 /(1-ρ)/μ=0,8 2 /(1-0,8)/2,5=1,6.
Operativni troškovi sistema
I=WITH 1 r+WITH 2 n dn +( WITH 1 +C 2)ρ=20 3,2+15 0,2+(20+15) 0,8=95,0 re/sm.
Primjer. U istom auto-transportnom preduzeću broj dijagnostičkih mjesta je povećan na dva ( n=2), tj. kreiran je višekanalni sistem. Budući da su kapitalna ulaganja (prostor, oprema, itd.) potrebna za stvaranje drugog radnog mjesta, troškovi zastoja opreme za održavanje se povećavaju na SA' 1 =22 re. Odredite parametre performansi dijagnostičkog sistema. Ostatak početnih podataka je isti kao u prethodnom primjeru.
Dijagnostički intenzitet i smanjena gustina fluksa ostaju isti: μ=2,5, ρ=0,8.
Vjerovatnoća da su oba mjesta upražnjena je
R 0 =1: 
=0,294.
Vjerovatnoća formiranja reda
P och =ρ n P 0 /n!=0,8 2 0,294/2=0,094,
one. 37% niže nego u prethodnom primjeru.
Relativna širina pojasa g=1, pošto će svi automobili proći kroz dijagnostičke postove.
Apsolutna propusnost A=2 potrebno/sat
Prosječan broj zauzetih radnih mjesta n zan =ρ=0,8.
Prosječan broj zahtjeva u redu čekanja
r=ρ P vrlo /( n-ρ)=0,8 2 0,094/(2-0,8)=0,063.
Prosječno vrijeme provedeno u redu čekanja
t cool = P vrlo /( n-ρ)/μ=0,094/(2-0,8)/2,5=0,031.
Operativni troškovi sistema
I=WITH 1 r+WITH 2 n dn +( WITH 1 +C 2)ρ=20 0,063+22 1,2+(20+22) 0,8=61,26 re/smjena,
one. 1,55 puta manje nego pod istim uslovima za jedno dijagnostičko mesto, uglavnom zbog smanjenja reda automobila za dijagnostiku i vremena čekanja automobila za više od 50 puta. Stoga je preporučljiva izgradnja drugog dijagnostičkog posta u datim uslovima. Koristeći formulu (5.18) iz uvjeta I 1 =I 2 , moguće je procijeniti maksimalne vrijednosti troškova zastoja uslužnih objekata prilikom izgradnje i opremanja druge dijagnostičke stanice, što je u razmatranom primjeru C 2 pr = 39 re.
