Zadaci za rješavanje Gaussovom metodom. Gausova metoda za rješavanje matrica. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Korištenje Gaussove metode
Gaussova metoda je laka! Zašto? Čuveni njemački matematičar Johann Carl Friedrich Gauss za života je dobio priznanje kao najveći matematičar svih vremena, genije, pa čak i nadimak „Kralj matematike“. A sve je genijalno, kao što znate, jednostavno! Inače, novac ne dobijaju samo naivčine, već i genijalci - Gaussov portret bio je na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se još uvijek misteriozno smiješi Nijemcima sa običnih poštanskih maraka.
Gaussova metoda je jednostavna po tome što je ZNANJE UČENIKA PETOG RAZREDA DOVOLJNO za savladavanje. Morate znati sabirati i množiti! Nije slučajno što nastavnici često razmatraju metodu sekvencijalnog isključivanja nepoznatih u školskim izbornim predmetima iz matematike. To je paradoks, ali studentima je Gaussova metoda najteža. Ništa iznenađujuće - sve je u metodologiji, a ja ću pokušati govoriti o algoritmu metode u pristupačnom obliku.
Prvo, sistematizujmo malo znanja o sistemima linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina može:
1) Imati jedinstveno rješenje.
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Nemati rješenja (biti non-joint).
Gaussova metoda je najmoćnije i univerzalno sredstvo za pronalaženje rješenja bilo koji sistemi linearnih jednačina. kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. I metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih U svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! U ovoj lekciji ponovo ćemo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rešenje sistema), članak je posvećen situacijama tačaka br. 2-3. Napominjem da algoritam same metode radi isto u sva tri slučaja.
Vratimo se na najjednostavniji sistem iz lekcije Kako riješiti sistem linearnih jednačina?
i riješiti ga Gaussovom metodom.
Prvi korak je zapisivanje proširena sistemska matrica:
. Mislim da svako može da vidi po kom principu se pišu koeficijenti. Vertikalna linija unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je jednostavno precrtano radi lakšeg dizajna.
Referenca :Preporučujem da zapamtite uslovi linearna algebra. System Matrix je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznate, u ovom primjeru matrica sistema: . Proširena sistemska matrica– ovo je ista matrica sistema plus kolona slobodnih pojmova, u ovom slučaju: . Radi kratkoće, bilo koja od matrica može se jednostavno nazvati matricom.
Nakon što je proširena sistemska matrica napisana, potrebno je izvršiti neke radnje s njom, koje se još nazivaju elementarne transformacije.
Postoje sljedeće elementarne transformacije:
1) Strings matrice Može preurediti na nekim mjestima. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete bezbolno preurediti prvi i drugi red: 
2) Ako postoje (ili su se pojavili) proporcionalni (kao poseban slučaj - identični) redovi u matrici, onda biste trebali izbrisati iz matrice svi ovi redovi osim jednog. Razmotrimo, na primjer, matricu 
. U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih: 
.
3) Ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda bi također trebao biti izbrisati. Neću crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj sve nule.
4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj ne-nula. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti sa –3, a drugi red pomnožiti sa 2: 
. Ova akcija je vrlo korisna jer pojednostavljuje dalje transformacije matrice.
5) Ova transformacija izaziva najviše poteškoća, ali u stvari ni nema ništa komplikovano. Do reda matrice možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule. Pogledajmo našu matricu iz praktičnog primjera: . Prvo ću detaljno opisati transformaciju. Pomnožite prvi red sa –2: 
, And drugom redu dodajemo prvi red pomnožen sa –2: 
. Sada se prvi red može podijeliti “nazad” sa –2: . Kao što vidite, linija koja je DODANA LI – nije se promijenilo. Uvijek mijenja se red KOJI JE DODAN UT.
U praksi, naravno, to ne pišu tako detaljno, već ukratko: 
Još jednom: u drugi red dodao prvi red pomnožen sa –2. Red se obično množi usmeno ili na nacrtu, a proces mentalnog izračunavanja ide otprilike ovako:
“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: 
»
“Prva kolona. Na dnu moram dobiti nulu. Stoga pomnožim onaj na vrhu sa –2: , a prvi dodam u drugi red: 2 + (–2) = 0. Rezultat upišem u drugi red: 
»
“Sada druga kolona. Na vrhu množim -1 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: 
»
“I treća kolona. Na vrhu množim -5 sa -2: . Prvo dodajem u drugi red: –7 + 10 = 3. Rezultat upisujem u drugi red: 
»
Molimo pažljivo razumite ovaj primjer i razumite algoritam sekvencijalnog izračuna, ako ovo razumijete, onda je Gaussova metoda praktički u vašem džepu. Ali, naravno, i dalje ćemo raditi na ovoj transformaciji.
Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina
! PAŽNJA: razmatrane manipulacije ne mogu koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadane „sama po sebi“. Na primjer, sa "klasičnim" operacije sa matricama Ni u kom slučaju ne smijete ništa preuređivati unutar matrica!
Vratimo se našem sistemu. Praktično je rasparčano.
Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, svedemo je na stepenasti pogled:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. I opet: zašto prvi red množimo sa –2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom redu.
(2) Drugi red podijelite sa 3.
Svrha elementarnih transformacija –
svesti matricu na postupni oblik: 
. U dizajnu zadatka jednostavnom olovkom označavaju "stepenice", a također zaokružuju brojeve koji se nalaze na "stepenicama". Sam izraz „stepeni pogled“ nije sasvim teorijski, u naučnoj i obrazovnoj literaturi se često naziva trapezoidni pogled ili trouglasti pogled.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobili smo ekvivalentno originalni sistem jednadžbi:
Sada sistem treba "odmotati" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove inverzno od Gausove metode.
U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: .
Razmotrimo prvu jednačinu sistema i u nju zamijenimo već poznatu vrijednost "y":
Razmotrimo najčešću situaciju kada Gaussova metoda zahtijeva rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate.
Primjer 1
Rešite sistem jednačina Gaussovom metodom: 
Napišimo proširenu matricu sistema: 
Sada ću odmah nacrtati rezultat do kojeg ćemo doći tokom rješenja: 
I ponavljam, naš cilj je da dovedemo matricu u postupni oblik koristeći elementarne transformacije. Gdje početi?
Prvo pogledajte gornji lijevi broj: 
Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica. Uopšteno govoreći, –1 (a ponekad i drugi brojevi) će odgovarati, ali nekako se tradicionalno dešavalo da se tamo obično stavlja jedan. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Transformacija prva: zamijenite prvi i treći red: 
Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja. Sada dobro.
Jedinica u gornjem lijevom uglu je organizirana. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima: 
Dobijamo nule koristeći "tešku" transformaciju. Prvo se bavimo drugom linijom (2, –1, 3, 13). Šta je potrebno učiniti da bi se nula na prvoj poziciji? Treba u drugi red dodajte prvi red pomnožen sa –2. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –2: (–2, –4, 2, –18). I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrtu) dodavanje, drugom redu dodajemo prvi red, već pomnožen sa –2:
Rezultat pišemo u drugom redu: 
Na isti način radimo i sa trećom linijom (3, 2, –5, –1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –3: (–3, –6, 3, –27). I trećem redu dodajemo prvi red pomnožen sa –3:
Rezultat pišemo u trećem redu:
U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku: 
Nema potrebe da brojite sve odjednom i istovremeno. Redoslijed izračunavanja i „upisivanje“ rezultata dosljedan i obično je to ovako: prvo prepišemo prvi red, i polako se nadimamo - DOSTOJNO i PAŽLJIVO:
I već sam gore raspravljao o mentalnom procesu samih proračuna.
U ovom primjeru to je lako učiniti; drugi red dijelimo sa –5 (pošto su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, treći red dijelimo sa –2, jer što su brojevi manji, to je rješenje jednostavnije:
U završnoj fazi elementarnih transformacija, ovdje morate dobiti još jednu nulu: 
Za ovo trećem redu dodajemo drugi red pomnožen sa –2:
Pokušajte sami shvatiti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi red sa –2 i izvršite sabiranje.
Posljednja izvršena radnja je frizura rezultata, podijelite treću liniju sa 3.
Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentni sistem linearnih jednačina: 
Cool.
Sada na scenu stupa obrnuto od Gaussove metode. Jednačine se „odmotaju“ odozdo prema gore.
U trećoj jednačini već imamo spreman rezultat:
Pogledajmo drugu jednačinu: . Značenje "zet" je već poznato, dakle:
I na kraju, prva jednadžba: . "Igrek" i "zet" su poznati, samo su male stvari:
Odgovori: 
Kao što je već nekoliko puta napomenuto, za bilo koji sistem jednačina moguće je i potrebno provjeriti pronađeno rješenje, na sreću, to je lako i brzo.
Primjer 2
Ovo je primjer za samostalno rješenje, uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije.
Treba napomenuti da vaš napredak odluke možda se ne poklapa sa mojim procesom odlučivanja, a ovo je karakteristika Gaussove metode. Ali odgovori moraju biti isti!
Primjer 3
Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom 
Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:
Gledamo gornji levi „stupak“. Trebalo bi da imamo jednu tamo. Problem je što u prvoj koloni uopće nema jedinica, tako da preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. uradio sam ovo:
(1) Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa –1 i dodali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.
Sada u gornjem levom uglu stoji „minus jedan“, što nam sasvim odgovara. Svako ko želi da dobije +1 može da izvede dodatni pokret: pomnoži prvi red sa –1 (promeni njegov predznak).
(2) Prvi red pomnožen sa 5 dodaje se drugom redu, a prvi red pomnožen sa 3 dodaje se trećem redu.
(3) Prvi red je pomnožen sa –1, u principu, ovo je za ljepotu. Promijenjen je i predznak trećeg reda i pomjeren je na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” imali potrebnu jedinicu.
(4) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 2.
(5) Treći red je podijeljen sa 3.
Loš znak koji ukazuje na grešku u proračunima (ređe, grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo nešto poput , ispod, i, shodno tome, 
, onda sa velikim stepenom verovatnoće možemo reći da je učinjena greška tokom elementarnih transformacija.
Mi naplaćujemo obrnuto, u dizajnu primjera često ne prepisuju sam sistem, već su jednačine „preuzete direktno iz date matrice“. Obrnuti hod, podsjećam, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona:
Odgovori: 
.
Primjer 4
Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom 
Ovo je primjer koji možete sami riješiti, nešto je komplikovanije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja.
U posljednjem dijelu ćemo pogledati neke karakteristike Gaussovog algoritma.
Prva karakteristika je da ponekad neke varijable nedostaju u sistemskim jednačinama, na primjer: 
Kako ispravno napisati proširenu sistemsku matricu? Već sam pričao o ovome na času. Cramerovo pravilo. Matrična metoda. U proširenoj matrici sistema stavljamo nule umjesto varijabli koje nedostaju: 
Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, budući da prvi stupac već ima jednu nulu, a potrebno je izvesti manje elementarnih transformacija.
Druga karakteristika je ovo. U svim razmatranim primjerima na „stepenice“ smo stavili ili –1 ili +1. Mogu li tamo biti i drugi brojevi? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sistem: 
.
Ovdje na gornjoj lijevoj “stepenici” imamo dvojku. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu djeljivi sa 2 bez ostatka - a drugi je dva i šest. A dva gore lijevo će nam odgovarati! U prvom koraku potrebno je izvršiti sljedeće transformacije: drugom redu dodati prvi red pomnožen sa –1; u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3. Na ovaj način ćemo dobiti tražene nule u prvoj koloni.
Ili još jedan konvencionalni primjer: 
. Ovdje nam odgovara i trojka na drugom “korak” jer je 12 (mjesto na kojem trebamo dobiti nulu) djeljivo sa 3 bez ostatka. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: trećem redu dodati drugi red, pomnožen sa –4, kao rezultat će se dobiti nula koja nam je potrebna.
Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Možete sa sigurnošću naučiti rješavati sisteme koristeći druge metode (Cramerova metoda, matrična metoda) doslovno prvi put - oni imaju vrlo strog algoritam. Ali da biste se osjećali sigurni u Gaussovu metodu, morate se dobro snaći u njoj i riješiti barem 5-10 sistema. Stoga u početku može doći do zabune i grešaka u proračunima, a u tome nema ničeg neobičnog ili tragičnog.
Kišno jesenje vrijeme ispred prozora.... Stoga za sve koji žele složeniji primjer da sami riješe:
Primjer 5
Rešiti sistem od četiri linearne jednačine sa četiri nepoznate Gaussovom metodom. 
Takav zadatak nije tako rijedak u praksi. Mislim da će čak i čajnik koji je temeljno proučio ovu stranicu razumjeti algoritam za rješavanje takvog sistema intuitivno. U osnovi, sve je isto - samo ima više akcija.
Slučajevi kada sistem nema rješenja (nekonzistentan) ili ima beskonačno mnogo rješenja razmatraju se u lekciji Nekompatibilni sistemi i sistemi sa općim rješenjem. Tamo možete popraviti razmatrani algoritam Gausove metode.
Želim ti uspjeh!
Rješenja i odgovori:
Primjer 2: Rješenje
:
Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik.
Izvršene osnovne transformacije:
(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1. Pažnja! Ovdje ćete možda biti u iskušenju da oduzmete prvi od trećeg reda; toplo preporučujem da ga ne oduzimate - rizik od greške se uvelike povećava. Samo ga savijte!
(2) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Drugi i treći red su zamijenjeni. Bilješka, da smo na „stepenicama“ zadovoljni ne samo jednim, već i –1, što je još zgodnije.
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 5.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen (pomnožen sa –1). Treći red je podeljen sa 14.
Revers:
Odgovori: 
.
Primjer 4: Rješenje
:
Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:
Izvršene konverzije:
(1) Drugi red je dodat prvom redu. Dakle, željena jedinica je organizirana na gornjem lijevom “stupanju”.
(2) Prvi red pomnožen sa 7 dodat je drugom redu, a prvi red pomnožen sa 6 dodan je trećem redu.
Sa drugim “korak” sve postaje gore , “kandidati” za to su brojevi 17 i 23, a treba nam ili jedan ili –1. Transformacije (3) i (4) će imati za cilj dobijanje željene jedinice
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.
(4) Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –3.
(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 4. Drugi red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa –1.
(4) Predznak drugog reda je promijenjen. Četvrti red je podijeljen sa 3 i postavljen na mjesto trećeg reda.
(5) Treći red je dodat četvrtom redu, pomnožen sa –5.
Revers:
Carl Friedrich Gauss, najveći matematičar, dugo je oklijevao birajući između filozofije i matematike. Možda mu je upravo taj način razmišljanja omogućio da napravi tako uočljivo "naslijeđe" u svjetskoj nauci. Konkretno, stvaranjem "Gaussove metode" ...
Gotovo 4 godine, članci na ovom sajtu su se bavili školskim obrazovanjem, uglavnom sa stanovišta filozofije, principima (ne)razumijevanja koji se uvode u svijest djece. Dolazi vrijeme konkretnijih, primjera i metoda... Vjerujem da je upravo to pristup poznatom, zbunjujućem i bitan oblasti života daje bolje rezultate.
Mi smo ljudi dizajnirani tako da ma koliko pričali apstraktno razmišljanje, Ali razumijevanje Uvijek dešava se kroz primjere. Ako nema primjera, onda je nemoguće shvatiti principe... Kao što je nemoguće doći do vrha planine osim hodanjem cijelom strminom od podnožja.
Isto i sa školom: za sada žive priče Nije dovoljno što ga instinktivno nastavljamo smatrati mjestom gdje se djeca uče da razumiju.
Na primjer, podučavanje Gaussove metode...
Gaussova metoda u 5. razredu škole
Odmah ću napraviti rezervaciju: Gaussova metoda ima mnogo širu primjenu, na primjer, kod rješavanja sistemi linearnih jednačina. Ono o čemu ćemo pričati dešava se u 5. razredu. Ovo počeo, shvativši koje, mnogo je lakše razumjeti "naprednije opcije". U ovom članku govorimo o Gaussova metoda (metoda) za pronalaženje zbira niza
Evo primjera koji je moj najmlađi sin, koji ide u 5. razred moskovske gimnazije, donio iz škole.
Školska demonstracija Gaussove metode
Nastavnik matematike je koristeći interaktivnu tablu (savremene nastavne metode) pokazao deci prezentaciju istorije „stvaranja metode“ malog Gausa.
Učiteljica je bičevala malog Karla (zastarjela metoda, koja se ovih dana ne koristi u školama) jer je on
umjesto uzastopnog sabiranja brojeva od 1 do 100, pronađite njihov zbir primijetio da parovi brojeva koji su jednako razmaknuti od rubova aritmetičke progresije sabiraju isti broj. na primjer, 100 i 1, 99 i 2. Prebrojavši broj takvih parova, mali Gauss je gotovo trenutno riješio problem koji je predložio učitelj. Zbog čega je pogubljen pred zapanjenom javnošću. Kako bi drugi bili obeshrabreni u razmišljanju.
Šta je uradio mali Gauss? razvijen smisao broja? Primećeno neke karakteristike brojevni niz sa konstantnim korakom (aritmetička progresija). I upravo ovo kasnije ga je učinio velikim naučnikom, oni koji znaju da primete, imajući osećaj, instinkt razumevanja.
Zato je matematika vrijedna, razvija se sposobnost da se vidi generalno posebno - apstraktno razmišljanje. Dakle, većina roditelja i poslodavaca instinktivno smatraju matematiku važnom disciplinom ...
„Onda treba da naučite matematiku, jer to dovodi u red vaš um.
M.V.Lomonosov“.
Međutim, sljedbenici onih koji su buduće genije bičevali štapovima pretvorili su Metodu u nešto suprotno. Kao što je moj supervizor rekao prije 35 godina: “Pitanje je naučeno.” Ili kao što je moj najmlađi sin juče rekao o Gaussovoj metodi: „Možda nije vredno praviti veliku nauku od ovoga, ha?“
Posledice kreativnosti „naučnika” vidljive su u nivou aktuelne školske matematike, nivou njene nastave i shvatanju „Kraljice nauka” kod većine.
Ipak, nastavimo...
Metode objašnjenja Gaussove metode u 5. razredu škole
Nastavnik matematike u moskovskoj gimnaziji, objašnjavajući Gaussovu metodu prema Vilenkinu, zakomplikovao je zadatak.
Šta ako razlika (korak) aritmetičke progresije nije jedan, već drugi broj? Na primjer, 20.
Problem koji je zadao učenicima petog razreda:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Prije nego što se upoznamo sa gimnazijskom metodom, pogledajmo internet: kako to rade školski nastavnici i profesori matematike?..
Gausova metoda: objašnjenje br. 1
Poznati tutor na svom YOUTUBE kanalu daje sljedeće obrazloženje:
„Zapišimo brojeve od 1 do 100 na sljedeći način:
prvo niz brojeva od 1 do 50, a striktno ispod njega još jedan niz brojeva od 50 do 100, ali obrnutim redoslijedom"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Imajte na umu: zbir svakog para brojeva iz gornjeg i donjeg reda je isti i jednak je 101! Izbrojimo broj parova, on je 50 i pomnožimo zbir jednog para sa brojem parova! Voila: odgovor je spreman!"
„Ako nisi mogao da razumeš, nemoj se nervirati!”, ponovio je učitelj tri puta tokom objašnjenja. "Ovu metodu ćete uzeti u 9. razredu!"
Gausova metoda: objašnjenje br. 2
Drugi tutor, manje poznat (sudeći po broju pregleda), koristi naučniji pristup, nudeći algoritam rješenja od 5 tačaka koji se moraju popuniti uzastopno.
Za neupućene, 5 je jedan od Fibonačijevih brojeva koji se tradicionalno smatraju magičnim. Metoda od 5 koraka je uvijek naučnija od metode od 6 koraka, na primjer. ...I teško da je ovo slučajno, najverovatnije, Autor je skriveni pristalica Fibonačijeve teorije
S obzirom na aritmetičku progresiju: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritam za pronalaženje zbira brojeva u nizu pomoću Gaussove metode:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Istovremeno, morate zapamtiti plus jedno pravilo : moramo dodati jedan rezultujućem količniku: inače ćemo dobiti rezultat koji je za jedan manji od pravog broja parova: 42 + 1 = 43.
Ovo je potreban zbir aritmetičke progresije od 4 do 256 sa razlikom od 6!
Gaussova metoda: objašnjenje u 5. razredu moskovske gimnazije
Evo kako riješiti problem pronalaženja zbira niza:
20+40+60+ ... +460+480+500
u 5. razredu moskovske gimnazije, Vilenkinov udžbenik (prema mom sinu).
Nakon prikaza prezentacije, nastavnik matematike je pokazao nekoliko primjera koristeći Gaussovu metodu i dao razredu zadatak da pronađe zbir brojeva u nizu u koracima od 20.
Za to je bilo potrebno sljedeće:
Kao što vidite, ovo je kompaktnija i efikasnija tehnika: broj 3 je takođe član Fibonačijevog niza
Moji komentari o školskoj verziji Gaussove metode
Veliki matematičar bi definitivno odabrao filozofiju da je predvidio u šta će njegov "metod" pretvoriti njegovi sljedbenici Nastavnica njemačkog, koji je bičevao Karla štapovima. Video bi simboliku, dijalektičku spiralu i beskonačnu glupost "učitelja", pokušavajući da izmeri harmoniju žive matematičke misli sa algebrom nesporazuma ....
Usput: da li ste znali. da je naš obrazovni sistem ukorijenjen u njemačkoj školi 18. i 19. vijeka?
Ali Gauss je izabrao matematiku.
Šta je suština njegove metode?
IN pojednostavljenje. IN posmatranje i hvatanje jednostavni obrasci brojeva. IN pretvaranje suve školske aritmetike u zanimljiva i uzbudljiva aktivnost , aktivirajući u mozgu želju za nastavkom, umjesto da blokiraju skupu mentalnu aktivnost.
Da li je moguće koristiti jednu od datih "modifikacija Gaussove metode" za izračunavanje sume brojeva aritmetičke progresije skoro odmah? Prema „algoritmima“, mali Karl bi garantovano izbegao batinanje, razvio averziju prema matematici i potisnuo svoje kreativne impulse u korenu.
Zašto je učiteljica tako uporno savjetovala petake „da se ne boje pogrešnog razumijevanja“ metode, uvjeravajući ih da će „takve“ probleme rješavati već u 9. razredu? Psihološki nepismena akcija. Bio je to dobar potez za napomenuti: "Vidimo se već u 5. razredu možeš riješite probleme koje ćete riješiti tek za 4 godine! Kakav si ti sjajan momak!”
Za korištenje Gaussove metode dovoljan je nivo klase 3, kada normalna djeca već znaju da zbrajaju, množe i dijele 2-3 cifre. Problemi nastaju zbog nesposobnosti odraslih nastavnika koji su „van kontakta“ da normalnim ljudskim jezikom objasne najjednostavnije stvari, a da ne govorimo o matematici... Oni nisu u stanju da zainteresuju ljude za matematiku i potpuno obeshrabre čak i one koji su “ sposoban.”
Ili, kako je moj sin prokomentarisao: „napraviti veliku nauku od toga“.
Gaussova metoda, moja objašnjenja
Supruga i ja smo objasnili svom detetu ovu "metodu", izgleda, još pre škole...
Jednostavnost umjesto složenosti ili igra pitanja i odgovora
"Vidi, evo brojeva od 1 do 100. Šta vidiš?"
Poenta nije u tome šta dete tačno vidi. Trik je u tome da ga nateramo da pogleda.
"Kako ih možete spojiti?" Sin je shvatio da se takva pitanja ne postavljaju "tek tako" i da na to pitanje treba gledati "nekako drugačije, drugačije nego što on obično radi"
Nije bitno da li dete odmah vidi rešenje, malo je verovatno. Važno je da on prestao da se plaši da gledam, ili kako ja kažem: "pomerio zadatak". Ovo je početak puta ka razumijevanju
„Šta je lakše: sabiranje, na primjer, 5 i 6 ili 5 i 95?“ Sugestivno pitanje... Ali svaka obuka se svodi na to da osobu „vodi“ do „odgovora“ – na bilo koji njemu prihvatljiv način.
U ovoj fazi već se mogu pojaviti nagađanja o tome kako "uštedjeti" na proračunima.
Sve što smo uradili je nagovještaj: “frontalni, linearni” način brojanja nije jedini mogući. Ako dijete to shvati, kasnije će smisliti još mnogo takvih metoda, jer je zanimljivo!!! I definitivno će izbjeći "nerazumijevanje" matematike i neće se osjećati gađenjem prema njoj. On je pobedio!
Ako dete otkriveno da je onda sabiranje parova brojeva koji sabiraju do stotinu "aritmetička progresija s razlikom 1"- prilično turobna i nezanimljiva stvar za dijete - odjednom našao život za njega . Red je nastao iz haosa, a to uvijek izaziva entuzijazam: tako smo stvoreni!
Pitanje na koje treba odgovoriti: zašto bi ga nakon uvida koje dijete dobije opet tjeralo u okvire suhih algoritama, koji su u ovom slučaju i funkcionalno beskorisni?!
Zašto forsirati glupo prepisivanje? redni brojevi u svesci: tako da ni sposobni nemaju ni jednu šansu da razumeju? Statistički, naravno, ali masovno obrazovanje je usmjereno na "statistiku"...
Gdje je nestala nula?
Pa ipak, sabiranje brojeva koji zbrajaju do 100 mnogo je prihvatljivije za um od onih koji zbrajaju 101...
"Metoda Gaussove škole" zahteva upravo ovo: bezumno fold parovi brojeva jednako udaljeni od centra progresije, Uprkos svemu.
Šta ako pogledaš?
Ipak, nula je najveći izum čovječanstva, star više od 2.000 godina. A profesori matematike ga i dalje ignorišu.
Mnogo je lakše transformisati niz brojeva koji počinje sa 1 u niz koji počinje sa 0. Zbir se neće promeniti, zar ne? Morate prestati "razmišljati u udžbenicima" i početi tražiti... I vidite da se parovi sa zbrojem 101 mogu u potpunosti zamijeniti parovima sa zbrojem od 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Kako ukinuti "pravilo plus 1"?
Da budem iskren, prvi put sam čuo za takvo pravilo od onog YouTube tutora...
Šta još da radim kada trebam odrediti broj članova serije?
Gledam redosled:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
a kada ste potpuno umorni, pređite na jednostavniji red:
1, 2, 3, 4, 5
i pretpostavljam: ako oduzmete jedan od 5, dobićete 4, ali apsolutno sam jasan vidim 5 brojeva! Stoga, morate dodati jedan! Osjet brojeva razvijen u osnovnoj školi sugerira: čak i ako postoji cijeli Gugl članova serije (10 na stotu potenciju), obrazac će ostati isti.
Koja su pravila?..
Pa da za par-tri godine popuniš sav prostor između čela i potiljka i prestaneš da razmišljaš? Kako zaraditi svoj kruh i puter? Na kraju krajeva, ravnomjerno se krećemo u eru digitalne ekonomije!
Više o Gaussovoj školskoj metodi: „Zašto praviti nauku od ovoga?..“
Nije uzalud objavio snimak ekrana iz sveske mog sina...
"Šta se dogodilo na času?"
"Pa, ja sam odmah prebrojao, digao ruku, ali ona nije pitala. Zato sam, dok su ostali brojali, počeo da radim domaći na ruskom da ne gubim vreme. Onda, kada su ostali završili pisanje (? ??), pozvala me je na tablu. Rekao sam odgovor."
"Tako je, pokaži mi kako si to riješio", rekao je učitelj. Pokazao sam to. Rekla je: „Pogrešno, treba da brojiš kao što sam pokazala!“
"Dobro je da nije dala lošu ocjenu. I natjerala me da na njihov način zapišem u njihovu svesku "tok rješenja". Zašto od ovoga praviti veliku nauku?.."
Glavni zločin nastavnika matematike
Jedva posle taj incident Carl Gauss je iskusio veliko poštovanje prema svom školskom nastavniku matematike. Ali kad bi znao kako sledbenici tog učitelja će iskriviti samu suštinu metode... urlao bi od ogorčenja i preko Svjetske organizacije za intelektualnu svojinu WIPO postigao zabranu korištenja njegovog dobrog imena u školskim udžbenicima!..
U čemu glavna greška školskog pristupa? Ili, kako sam rekao, zločin školskih nastavnika matematike nad djecom?
Algoritam nesporazuma
Šta rade školski metodičari, od kojih velika većina ne zna razmišljati?
Oni kreiraju metode i algoritme (vidi). Ovo odbrambena reakcija koja štiti nastavnike od kritike (“Sve se radi po...”), a djecu od razumijevanja. I tako – iz želje da se kritikuju nastavnici!(Drugi derivat birokratske „mudrosti“, naučni pristup problemu). Osoba koja ne shvaća značenje radije će kriviti svoje nerazumijevanje, a ne glupost školskog sistema.
Evo šta se dešava: roditelji krive svoju decu, a učitelji... čine isto za decu koja "ne razumeju matematiku!"
Jesi li pametan?
Šta je uradio mali Karl?
Potpuno nekonvencionalan pristup formulisanom zadatku. Ovo je suština Njegovog pristupa. Ovo glavna stvar koju treba naučiti u školi je razmišljati ne udžbenicima, već svojom glavom. Naravno, postoji i instrumentalna komponenta koja se može koristiti... u potrazi jednostavnije i efikasnije metode brojanja.
Gaussova metoda prema Vilenkinu
U školi uče da je Gaussova metoda da
Šta, ako je broj elemenata serije neparan, kao u problemu koji je dodeljen mom sinu?..
"Kvaka" je u tome u ovom slučaju trebalo bi da nađete "dodatni" broj u seriji i dodajte je zbiru parova. U našem primjeru ovaj broj je 260.
Kako otkriti? Kopiranje svih parova brojeva u svesku!(Zato je učitelj natjerao djecu da rade ovaj glupi posao pokušavajući da podučavaju "kreativnost" koristeći Gaussovu metodu... I zato je takva "metoda" praktično neprimjenjiva na velike serije podataka, I zato je ne Gausovom metodom.)
Malo kreativnosti u skolskoj rutini...
Sin je postupio drugačije.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Nije teško, zar ne?
Ali u praksi to postaje još lakše, što vam omogućava da odvojite 2-3 minute za daljinsko ispitivanje na ruskom, dok se ostali "broje". Osim toga, zadržava broj koraka metode: 5, što ne dozvoljava da se pristup kritikuje kao nenaučan.
Očigledno je da je ovaj pristup jednostavniji, brži i univerzalniji, u stilu Metode. Ali... učiteljica ne samo da nije pohvalila, već me je i natjerala da to prepišem “na pravi način” (vidi screenshot). Odnosno, učinila je očajnički pokušaj da uguši kreativni impuls i sposobnost razumijevanja matematike u korijenu! Navodno, da bi kasnije bila angažovana kao tutor... Napala je pogrešnu osobu...
Sve što sam tako dugo i zamorno opisivao normalnom djetetu može se objasniti za najviše pola sata. Uz primjere.
I to na način da to nikada neće zaboraviti.
I biće korak ka razumevanju...ne samo matematičari.
Priznajte: koliko ste puta u životu dodavali koristeći Gaussovu metodu? I nikad nisam!
Ali instinkt razumevanja, koji se razvija (ili se gasi) u procesu izučavanja matematičkih metoda u školi... Oh!.. Ovo je zaista nezamjenjiva stvar!
Pogotovo u doba univerzalne digitalizacije u koje smo tiho ušli pod strogim rukovodstvom Partije i Vlade.
Par reči u odbranu nastavnika...
Nepravedno je i pogrešno svu odgovornost za ovakav način poučavanja svaljivati isključivo na školske nastavnike. Sistem je na snazi.
Neki nastavnici shvataju apsurdnost onoga što se dešava, ali šta da se radi? Zakon o obrazovanju, Federalni državni obrazovni standardi, metode, planovi nastave... Sve se mora raditi „u skladu i na osnovu“ i sve mora biti dokumentovano. Odmaknite se - stajali u redu za otpuštanje. Ne budimo licemeri: plate moskovskih nastavnika su veoma dobre... Ako vas otpuste, gde da idete?..
Stoga ova stranica ne o obrazovanju. On je oko individualno obrazovanje, jedini mogući način da se izvučete iz gomile generacija Z ...
Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom. Pretpostavimo da moramo pronaći rješenje za sistem iz n linearne jednačine sa n nepoznate varijable
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.
Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog eliminisanja nepoznatih varijabli: prvo eliminisanje x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge, dalje je isključeno x 2 od svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok u posljednjoj jednačini ne ostane samo nepoznata varijabla x n. Ovaj proces transformacije sistemskih jednačina da bi se sekvencijalno eliminisale nepoznate varijable naziva se direktna Gausova metoda. Nakon završetka napredovanja Gaussove metode prema naprijed, iz posljednje jednačine nalazimo x n, koristeći ovu vrijednost iz pretposljednje jednadžbe koju izračunavamo xn-1, i tako dalje, iz prve jednačine koju nalazimo x 1. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se inverzno od Gausove metode.
Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.
Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Uklonite nepoznatu varijablu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa , trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa , i tako dalje, da nth jednadžbi dodajemo prvu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik
gdje , a .
Došli bismo do istog rezultata kada bismo se izrazili x 1 kroz druge nepoznate varijable u prvoj jednačini sistema i rezultirajući izraz je zamijenjen u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 isključeno iz svih jednačina, počevši od druge.
Da bismo to učinili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu, pomnoženu sa , četvrtoj jednačini dodamo drugu, pomnoženu sa , i tako dalje, da nth jednadžbi dodajemo drugu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik
gdje , a . Dakle, varijabla x 2 isključeno iz svih jednačina počevši od treće.
Tako nastavljamo direktnu progresiju Gausove metode sve dok sistem ne poprimi oblik
Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: računamo x n iz posljednje jednačine kao, koristeći dobijenu vrijednost x n mi nalazimo xn-1 iz pretposljednje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine.
Primjer.
Riješite sistem linearnih jednadžbi Gausovom metodom. .
odgovor:
x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Definicija i opis Gausove metode
Metoda Gaussove transformacije (poznata i kao metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli iz jednačine ili matrice) za rješavanje sistema linearnih jednačina je klasična metoda za rješavanje sistema algebarskih jednačina (SLAE). Ova klasična metoda se također koristi za rješavanje problema kao što je dobivanje inverznih matrica i određivanje ranga matrice.
Transformacija pomoću Gaussove metode sastoji se od malih (elementarnih) sekvencijalnih promjena u sistemu linearnih algebarskih jednadžbi, što dovodi do eliminacije varijabli iz njega od vrha do dna uz formiranje novog trokutastog sistema jednadžbi koji je ekvivalentan izvornom jedan.
Definicija 1
Ovaj dio rješenja naziva se naprijed Gaussovo rješenje, jer se cijeli proces odvija od vrha do dna.
Nakon svođenja originalnog sistema jednadžbi na trokutasti, sve varijable sistema se nalaze odozdo prema gore (odnosno, prve pronađene varijable nalaze se tačno na poslednjim redovima sistema ili matrice). Ovaj dio rješenja je također poznat kao inverz Gaussovog rješenja. Njegov algoritam je sljedeći: prvo se izračunaju varijable koje su najbliže dnu sistema jednadžbi ili matrice, zatim se rezultirajuće vrijednosti zamjenjuju višim i tako se pronađe druga varijabla itd.
Opis algoritma Gausove metode
Redoslijed radnji za opće rješenje sistema jednačina pomoću Gaussove metode sastoji se u naizmjeničnom primjeni poteza naprijed i nazad na matricu zasnovanu na SLAE. Neka početni sistem jednačina ima sljedeći oblik:
$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$
Za rješavanje SLAE pomoću Gaussove metode potrebno je originalni sistem jednadžbi napisati u obliku matrice:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
Matrica $A$ naziva se glavna matrica i predstavlja koeficijente varijabli zapisanih redom, a $b$ se naziva stupac njegovih slobodnih članova. Matrica $A$, ispisana kroz traku sa kolonom slobodnih pojmova, naziva se proširena matrica:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(niz)$
Sada je potrebno, koristeći elementarne transformacije na sistemu jednadžbi (ili na matrici, pošto je to pogodnije), dovesti ga u sljedeći oblik:
$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(slučajevi)$ (1)
Matrica dobijena iz koeficijenata transformisanog sistema jednadžbe (1) naziva se matrica koraka; ovako obično izgledaju matrice koraka:
$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(niz)$
Ove matrice karakterizira sljedeći skup svojstava:
- Sve njegove nulte linije dolaze iza ne-nula linija
- Ako je neki red matrice sa brojem $k$ različit od nule, tada prethodni red iste matrice ima manje nula od ovog sa brojem $k$.
Nakon dobivanja matrice koraka, potrebno je zamijeniti rezultirajuće varijable u preostale jednadžbe (počevši od kraja) i dobiti preostale vrijednosti varijabli.
Osnovna pravila i dozvoljene transformacije pri korištenju Gaussove metode
Kada pojednostavljujete matricu ili sistem jednačina pomoću ove metode, trebate koristiti samo elementarne transformacije.
Takve transformacije se smatraju operacijama koje se mogu primijeniti na matricu ili sistem jednačina bez promjene njegovog značenja:
- preuređivanje nekoliko redova,
- dodavanje ili oduzimanje od jednog reda matrice drugog reda iz njega,
- množenje ili dijeljenje niza konstantom koja nije jednaka nuli,
- red koji se sastoji samo od nula, dobijenih u procesu izračunavanja i pojednostavljivanja sistema, mora biti obrisan,
- Također morate ukloniti nepotrebne proporcionalne linije, birajući za sistem jedini s koeficijentima koji su prikladniji i pogodniji za daljnje proračune.
Sve elementarne transformacije su reverzibilne.
Analiza tri glavna slučaja koji nastaju pri rješavanju linearnih jednadžbi metodom jednostavnih Gaussovih transformacija
Postoje tri slučaja koji se javljaju kada se koristi Gaussova metoda za rješavanje sistema:
- Kada je sistem nekonzistentan, odnosno nema rješenja
- Sistem jednačina ima rješenje, i to jedinstveno, a broj redova i stupaca koji nisu nula u matrici je jednak jedni drugima.
- Sistem ima određeni broj ili skup mogućih rješenja, a broj redova u njemu je manji od broja kolona.
Ishod rješenja sa nekonzistentnim sistemom
Za ovu opciju, prilikom rješavanja matrične jednadžbe Gaussovom metodom, tipično je dobiti neku liniju uz nemogućnost ispunjenja jednakosti. Stoga, ako se pojavi barem jedna netačna jednakost, rezultirajući i originalni sistemi nemaju rješenja, bez obzira na ostale jednačine koje sadrže. Primjer nekonzistentne matrice:
$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$
U posljednjem redu pojavila se nemoguća jednakost: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
Sistem jednačina koji ima samo jedno rješenje
Ovi sistemi, nakon svođenja na matricu koraka i uklanjanja redova sa nulama, imaju isti broj redova i kolona u glavnoj matrici. Evo najjednostavnijeg primjera takvog sistema:
$\begin(slučajevi) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(slučajevi)$
Zapišimo to u obliku matrice:
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$
Da bismo prvu ćeliju drugog reda doveli na nulu, pomnožimo gornji red sa $-2$ i oduzmemo ga od donjeg reda matrice, a gornji red ostavimo u originalnom obliku, kao rezultat imamo sljedeće :
$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$
Ovaj primjer se može napisati kao sistem:
$\begin(slučajevi) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(slučajevi)$
Niža jednačina daje sljedeću vrijednost za $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Zamijenite ovu vrijednost u gornju jednačinu: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, dobićemo $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.
Sistem sa mnogo mogućih rješenja
Ovaj sistem karakteriše manji broj značajnih redova od broja kolona u njemu (uzimaju se u obzir redovi glavne matrice).
Varijable u takvom sistemu se dijele na dvije vrste: osnovne i slobodne. Prilikom transformacije takvog sistema glavne varijable koje se nalaze u njemu moraju biti ostavljene u lijevom području do znaka “=”, a preostale varijable se moraju pomjeriti na desnu stranu jednakosti.
Takav sistem ima samo određeno opšte rešenje.
Hajde da analiziramo sledeći sistem jednačina:
$\begin(slučajevi) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(slučajevi)$
Zapišimo to u obliku matrice:
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$
Naš zadatak je da pronađemo opšte rešenje za sistem. Za ovu matricu, osnovne varijable će biti $y_1$ i $y_3$ (za $y_1$ - pošto je prva, au slučaju $y_3$ - nalazi se iza nula).
Kao bazne varijable biramo upravo one koje su prve u nizu i koje nisu jednake nuli.
Preostale varijable se nazivaju slobodnim; kroz njih moramo izraziti osnovne.
Koristeći takozvani obrnuti hod, analiziramo sistem odozdo prema gore; da bismo to učinili, prvo izrazimo $y_3$ iz donjeg reda sistema:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
Sada zamjenjujemo izraženi $y_3$ u gornju jednačinu sistema $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$
Izražavamo $y_1$ u terminima slobodnih varijabli $y_2$ i $y_4$:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$
Rešenje je spremno.
Primjer 1
Riješite slough koristeći Gaussovu metodu. Primjeri. Primjer rješavanja sistema linearnih jednadžbi datih matricom 3x3 korištenjem Gaussove metode
$\begin(slučajevi) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(slučajevi)$
Zapišimo naš sistem u obliku proširene matrice:
$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
Sada, radi praktičnosti i praktičnosti, trebate transformirati matricu tako da $1$ bude u gornjem uglu najudaljenije kolone.
Da biste to učinili, u 1. red morate dodati liniju iz sredine, pomnoženu sa $-1$, i napisati samu srednju liniju kakva jeste, ispada:
$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$
$\begin(niz)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(niz) $
Pomnožite gornji i zadnji red sa $-1$, a također zamijenite zadnji i srednji red:
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$
$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$
I podijelite zadnji red sa $3$:
$\begin(niz)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(niz)$
Dobijamo sljedeći sistem jednačina, ekvivalentan izvornom:
$\begin(slučajevi) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(slučajevi)$
Iz gornje jednačine izražavamo $x_1$:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
Primjer 2
Primjer rješavanja sistema definiranog korištenjem matrice 4 sa 4 korištenjem Gausove metode
$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(niz)$.
Na početku mijenjamo gornje linije koje slijede da dobijemo $1$ u gornjem lijevom uglu:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(niz)$.
Sada pomnožite gornju liniju sa $-2$ i dodajte 2. i 3.. Četvrtom dodamo 1. red, pomnožen sa $-3$:
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(niz)$
Sada na red broj 3 dodajemo red 2 pomnožen sa $4$, a na red 4 dodajemo red 2 pomnožen sa $-1$.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(niz)$
Pomnožimo red 2 sa $-1$, a red 4 podijelimo sa $3$ i zamijenimo red 3.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(niz)$
Sada u zadnji red dodajemo pretposljednji, pomnožen sa $-5$.
$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(niz)$
Rezultujući sistem jednačina rešavamo:
$\begin(slučajevi) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(slučajevi)$
U našem kalkulatoru ćete naći besplatno rješavanje sistema linearnih jednačina korištenjem Gaussove metode online sa detaljnim rješenjima, pa čak i kompleksnim brojevima. Kod nas možete riješiti i običan određen i neodređen sistem jednačina, koji ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, u odgovoru ćete dobiti ovisnost nekih varijabli preko drugih - slobodnih. Također možete provjeriti konzistentnost sistema koristeći istu Gaussovu metodu.
Više o tome kako koristiti naš online kalkulator možete pročitati u uputama.
O metodi
Prilikom rješavanja sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom izvode se sljedeći koraci.
- Pišemo proširenu matricu.
- U stvari, algoritam je podijeljen na naprijed i nazad. Direktan potez je svođenje matrice na stepenasti oblik. Obrnuti potez je svođenje matrice na poseban stepenasti oblik. Ali u praksi je zgodnije odmah nulirati ono što se nalazi i iznad i ispod dotičnog elementa. Naš kalkulator koristi upravo ovaj pristup.
- Važno je napomenuti da pri rješavanju Gaussovom metodom prisustvo u matrici najmanje jednog nultog reda sa desnom stranom koja nije nula (kolona slobodnih pojmova) ukazuje na nekonzistentnost sistema. U ovom slučaju nema rješenja.
Da biste najbolje razumjeli kako algoritam funkcionira, unesite bilo koji primjer, odaberite "vrlo detaljno rješenje" i proučite odgovor.
