Razmotrimo neke od najjednostavnijih vrsta pomicanja točke, koje se često susreću u praksi.

Ujednačeno kretanje tačke je njeno kretanje konstantnom algebarskom brzinom ili

gdje je C integracijska konstanta.

Neka u početnom trenutku vremena položaj tačke M na putanji bude tada okarakterisan sa

Dakle, kod ravnomernog kretanja, putanja koju prelazi tačka zavisi linearno od vremena.

Ujednačeno kretanje tačke

Jednako promjenjivo kretanje točke je takvo njeno kretanje u kojem algebarska vrijednost tangencijalnog ubrzanja ostaje konstantna:

Ako se znak a poklapa sa predznakom brzine, tada se kretanje naziva jednoliko ubrzano. Ako se znakovi a i ne podudaraju, kretanje se naziva jednako sporim. Iz posljednje jednakosti imamo:

gdje je konstanta integracije. Ako onda

Dakle, kod ravnomjernog kretanja, brzina linearno ovisi o vremenu. Prepisujemo posljednju jednakost kao:

gdje je konstanta integracije. Utvrđivanje iz uslova da kada nađemo

Dakle, kod ravnomjernog kretanja, putanja koju prelazi tačka je kvadratni trinom u t.

Kružno kretanje tačke

Kretanje tačke u krug ili kružno kretanje se često susreće u praksi. Neka se tačka M kreće duž kružnice poluprečnika R u smeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 24). Računajući luk od neke početne pozicije tačke, zapisujemo ga kroz centralni ugao u obliku:

Algebarska brzina tačke će biti:

gdje - se naziva ugaona brzina tačke i označava se sa ω, njegova dimenzija je .

Koristeći koncept ugaone brzine, pišemo:

Dakle, brzina točke u kružnom kretanju jednaka je proizvodu polumjera putanje i kutne brzine.

Tangencijalno ubrzanje tačke je:

gdje se - naziva ugaono ubrzanje i označava svojom dimenzijom,

Normalno ubrzanje tačke će biti:

Budući da je usmjeren prema centru kruga, često se naziva centripetalnim. Modul ukupnog ubrzanja tačke je jednak

Dakle, kada se tačka kreće jednoliko po kružnici, u ovom slučaju nema tangencijalnog ubrzanja, već postoji samo konstantno centripetalno ubrzanje.

Ujednačenim kružnim pokretima

Fizičko značenje tangencijalnog i normalnog ubrzanja tačke

Uvođenje pojma ravnomjernog i jednoliko promjenjivog kretanja tačke omogućava nam da ukažemo na fizičko značenje tangencijalnog i normalnog ubrzanja tačke. Zaista, neka je tangencijalno ubrzanje svuda nula:

Tada, ako onda iz posljednje jednakosti imamo:

ili se tačka kreće konstantnom brzinom, tj. tačka se kreće jednoliko.

Iz ovoga možemo zaključiti da prisustvo tangencijalnog ubrzanja karakterizira neravnomjerno kretanje točke duž putanje. Neka je dalje normalno ubrzanje jednako nuli:

Zatim, ako to normalno ubrzanje može biti identično jednako nuli samo u slučaju kada

ili je putanja tačke prava linija - kretanje je pravolinijsko.

Dakle, izostanak normalnog ubrzanja u određenom vremenskom periodu ukazuje na pravoliniju kretanja. Iz ovoga možemo zaključiti da prisustvo normalnog ubrzanja ukazuje na zakrivljenost putanje.

Ako su u isto vrijeme tangencijalno i normalno ubrzanje identične nuli, tada će kretanje točke biti ravnomjerno i pravolinijsko. Ako je samo u jednom trenutku tangencijalno ubrzanje nula, onda to ukazuje da na grafu funkcije ekstremi funkcije ili njene točke pregiba odgovaraju ovom trenutku. Ako je samo u jednom trenutku normalno ubrzanje nula, onda to ukazuje da je u tom trenutku brzina pokretne tačke nula ili je radijus zakrivljenosti putanje jednak beskonačnosti.

Tačkasto ubrzanje za sva 3 načina za ubrzanje kretanja

Ubrzanje tačke karakteriše brzinu promene veličine i smera brzine tačke.

1. Ubrzanje tačke pri određivanju njenog kretanja na vektorski način

vektor ubrzanja tačke jednak je prvom izvodu brzine ili drugom izvodu radijus vektora tačke u odnosu na vreme. Vektor ubrzanja je usmjeren prema konkavnosti krivulje

2. Ubrzanje tačke pri određivanju njenog kretanja koordinatnom metodom

Veličina i smjer vektora ubrzanja određuju se iz relacija:

3. Određivanje ubrzanja pri određivanju njegovog kretanja na prirodan način

Prirodne sjekire i prirodni triedar

Prirodne sjekire. Zakrivljenost karakteriše stepen zakrivljenosti (zakrivljenosti) krivine. Dakle, kružnica ima konstantnu krivinu, koja se mjeri vrijednošću K, recipročnom od polumjera,

Što je veći radijus, to je manja zakrivljenost, i obrnuto. Prava linija se može smatrati krugom beskonačno velikog radijusa i zakrivljenosti od nule. Tačka predstavlja krug radijusa R = 0 i ima beskonačno veliku krivinu.

Proizvoljna kriva ima promjenjivu krivinu. U svakoj tački takve krive možete odabrati krug poluprečnika čija je zakrivljenost jednaka zakrivljenosti krive u datoj tački M (slika 9.2). Količina se naziva radijus zakrivljenosti u datoj tački na krivulji. Os usmjerena tangencijalno u smjeru kretanja i os usmjerena radijalno prema centru zakrivljenosti i naziva se normalni oblik prirodnim koordinatnim osama.

Normalno i tangencijalno ubrzanje tačke

U prirodnom načinu definisanja kretanja, ubrzanje tačke je jednako geometrijskom zbroju dva vektora, od kojih je jedan usmeren duž glavne normale i naziva se normalno ubrzanje, a drugi je usmeren duž tangente i naziva se tangencijalno ubrzanje tačke.

Projekcija ubrzanja tačke na glavnu normalu jednaka je kvadratu modula brzine dosade podijeljenom polumjerom zakrivljenosti putanje u odgovarajućoj tački. Normalno ubrzanje tačke je uvijek usmjereno prema centru zakrivljenosti putanje i jednako je po veličini ovoj projekciji.

Promjenu brzine po modulu karakterizira tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje.

one. projekcija ubrzanja tačke na tangentu jednaka je drugom izvodu lučne koordinate tačke u odnosu na vreme ili prvom izvodu algebarske vrednosti brzine tačke u odnosu na vreme.

Ova projekcija ima predznak plus ako se pravci tangencijalnog ubrzanja i jediničnog vektora poklapaju, a minus ako su suprotni.

Dakle, u slučaju prirodne metode specificiranja kretanja, kada su putanja tačke i, prema tome, njen polumjer zakrivljenosti poznati? u bilo kojoj tački i jednadžbi gibanja, možete pronaći projekcije ubrzanja točke na prirodne ose:

Ako je a > 0 i > 0 ili a< 0 и < 0, то движение ускоренное и вектор а направлен в сторону вектора скорости. Если а < 0 и >0 ili a > 0 i< 0, то движение замедленное и вектор а направлен в сторону, противоположную вектору скорости

Posebni slučajevi.

1. Ako se tačka kreće pravolinijsko i neravnomjerno, tada je = , i, prema tome, = 0, a = a.

2. Ako se tačka kreće pravolinijsko i jednoliko, = 0, a = 0 i a = 0.

3. Ako se tačka kreće jednoliko duž zakrivljene putanje, tada je a = 0 i a = . Kod jednolikog krivolinijskog kretanja tačke, zakon kretanja ima oblik s = t. Preporučljivo je dodijeliti pozitivan referentni smjer u zadacima ovisno o specifičnim uvjetima. U slučaju kada je 0 = 0, dobijamo = gt i. Često se u problemima koristi formula (kada tijelo padne s visine H bez početne brzine)

Zaključak: normalno ubrzanje postoji samo pri krivolinijskom

32. Klasifikacija kretanja tačke po njenom ubrzanju

ako su tokom određenog vremenskog perioda normalno i tangencijalno ubrzanje tačke jednake nuli, tada se tokom ovog intervala neće promeniti ni smer ni veličina brzine, tj. tačka se kreće jednoliko pravolinijski i njeno ubrzanje je nula.

ako za određeni vremenski period normalno ubrzanje nije nula, a tangencijalno ubrzanje tačke nula, tada se smjer brzine mijenja bez promjene njenog modula, tj. tačka se kreće krivolinijsko jednoliko i modul ubrzanja.

Ako se u jednom trenutku tačka ne kreće jednoliko i u ovom trenutku modul njene brzine ima maksimalnu, minimalnu ili najmanju brzinu monotone promjene.

ako je za određeni vremenski period normalno ubrzanje tačke nula, a tangentno ubrzanje nije nula, tada se smjer brzine ne mijenja, već se mijenja njena veličina, tj. tačka se kreće neravnomjerno u pravoj liniji. Modul točkastog ubrzanja u ovom slučaju

Štoviše, ako se smjerovi vektora brzina poklapaju, tada je kretanje točke ubrzano, a ako se ne poklapaju, tada je kretanje točke sporo.

Ako se u nekom trenutku, tačka ne kreće pravolinijski, već prođe točku pregiba putanje ili modul njene brzine postaje nula.

Ako za određeni vremenski period ni normalno ni tangencijalno ubrzanje nisu jednaki nuli, tada se mijenjaju i smjer i veličina njegove brzine, tj. tačka pravi krivolinijski neravnomerno kretanje. Modul za ubrzanje tačke

Štoviše, ako se smjerovi vektora brzina poklapaju, tada je kretanje ubrzano, a ako su suprotni, onda je kretanje sporo.

Ako je modul tangencijalnog ubrzanja konstantan, tj. , tada se modul brzine tačke mijenja proporcionalno vremenu, tj. tačka se kreće ravnomerno. I onda

Formula za brzinu jednoliko promjenjivog kretanja tačke;

Jednačina ravnomjernog kretanja tačke

Da biste mogli riješiti različite probleme o kretanju tijela u fizici, potrebno je znati definicije fizičkih veličina, kao i formule pomoću kojih su one povezane. Ovaj članak će pokriti pitanja šta je tangencijalna brzina, šta je ukupno ubrzanje i koje komponente ga čine.

Koncept brzine

Dvije glavne veličine kinematike kretanja tijela u prostoru su brzina i ubrzanje. Brzina opisuje brzinu kretanja, pa je matematički oblik za nju sljedeći:

Možda će vas zanimati:

Ovdje je l¯ vektor pomaka. Drugim riječima, brzina je vremenski derivat prijeđenog puta.

Kao što znate, svako tijelo se kreće duž zamišljene linije, koja se naziva putanjom. Vektor brzine je uvijek usmjeren tangencijalno na ovu putanju, bez obzira na to u kojoj se tački nalazi tijelo koje se kreće.

Postoji nekoliko naziva za veličinu v¯, ako je posmatramo zajedno sa putanjom. Dakle, budući da je usmjerena tangencijalno, naziva se tangencijalna brzina. Takođe se može govoriti o linearnoj fizičkoj veličini za razliku od ugaone brzine.

Brzina se računa u metrima u sekundi u SI, ali se u praksi često koriste kilometri na sat.

Koncept ubrzanja

Za razliku od brzine, koja karakterizira brzinu kojom tijelo prolazi putanju, ubrzanje je veličina koja opisuje brzinu promjene brzine, koja se matematički zapisuje na sljedeći način:

Kao i brzina, ubrzanje je vektorska karakteristika. Međutim, njegov smjer nije povezan s vektorom brzine. Određuje se promjenom smjera v¯. Ako tokom kretanja brzina ne promijeni svoj vektor, tada će ubrzanje a¯ biti usmjereno duž iste linije kao i brzina. Ovo ubrzanje se naziva tangencijalno. Ako brzina promijeni smjer uz zadržavanje apsolutne vrijednosti, tada će ubrzanje biti usmjereno prema centru zakrivljenosti putanje. To se zove normalno.

Ubrzanje se mjeri u m/s2. Na primjer, dobro poznato ubrzanje gravitacije je tangencijalno kada se objekt diže ili pada okomito. Njegova vrijednost u blizini površine naše planete je 9,81 m/s2, odnosno za svaku sekundu pada brzina tijela se povećava za 9,81 m/s.

Uzrok ubrzanja nije brzina, već sila. Ako sila F djeluje na tijelo mase m, onda će neizbježno stvoriti ubrzanje a, koje se može izračunati na sljedeći način:

Ova formula je direktna posljedica Newtonovog drugog zakona.

Puno, normalno i tangencijalno ubrzanje

Brzina i ubrzanje kao fizičke veličine razmatrani su u prethodnim paragrafima. Sada ćemo detaljnije proučiti koje komponente čine ukupno ubrzanje a¯.

Pretpostavimo da se tijelo kreće brzinom v¯ duž zakrivljene putanje. Tada će jednakost biti tačna:

Vektor u¯ ima jediničnu dužinu i usmjeren je duž tangentne linije na putanju. Koristeći ovaj prikaz brzine v¯, dobijamo jednakost za ukupno ubrzanje:

a¯ = dv¯/dt = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt.

Prvi član dobiven u pravoj jednakosti naziva se tangencijalno ubrzanje. Brzina je povezana s njom činjenicom da kvantificira promjenu apsolutne vrijednosti v¯ bez uzimanja u obzir njenog smjera.

Drugi član je normalno ubrzanje. On kvantitativno opisuje promjenu vektora brzine, ne uzimajući u obzir promjenu njegovog modula.

Ako tangencijalnu i normalnu komponentu ukupnog ubrzanja a označimo kao at i an, tada se modul potonjeg može izračunati pomoću formule:

a = √(at2 + an2).

Odnos tangencijalnog ubrzanja i brzine

Odgovarajuća veza je opisana kinematičkim izrazima. Na primjer, u slučaju pravolinijskog kretanja sa konstantnim ubrzanjem, koje je tangencijalno (normalna komponenta je nula), vrijede sljedeći izrazi:

U slučaju kružnog kretanja sa konstantnim ubrzanjem, ove formule također vrijede.

Dakle, bez obzira na putanju kretanja tijela, tangencijalno ubrzanje kroz tangencijalnu brzinu izračunava se kao vremenski izvod njegovog modula, odnosno:

Na primjer, ako se brzina mijenja prema zakonu v = 3*t3 + 4*t, tada će at biti jednako:

at = dv/dt = 9*t2 + 4.

Brzina i normalno ubrzanje

Pišemo eksplicitno formulu za normalnu komponentu an, imamo:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Gdje je re¯ vektor jedinične dužine, koji je usmjeren prema centru zakrivljenosti putanje. Ovaj izraz uspostavlja odnos između tangencijalne brzine i normalnog ubrzanja. Vidimo da potonje zavisi od modula v u datom trenutku i od radijusa zakrivljenosti r.

Normalno ubrzanje se pojavljuje kad god se vektor brzine promijeni, ali je nula ako ovaj vektor ostane u istom smjeru. O količini an¯ ima smisla govoriti samo kada je zakrivljenost putanje konačna veličina.

Gore smo primijetili da kada se krećete pravolinijski, nema normalnog ubrzanja. Međutim, u prirodi postoji vrsta putanje duž koje an ima konačnu vrijednost, a pri = 0 za |v¯| = konst. Ova putanja je kružnica. Na primjer, rotacija na konstantnoj frekvenciji metalne osovine, vrtuljka ili planete oko vlastite ose događa se sa konstantnim normalnim ubrzanjem i nultim tangencijalnim ubrzanjem pri.

A zašto je to potrebno? Već znamo šta su referentni sistem, relativnost kretanja i materijalna tačka. Pa, vrijeme je da krenemo dalje! Ovdje ćemo pogledati osnovne pojmove kinematike, sastaviti najkorisnije formule za osnove kinematike i dati praktičan primjer rješavanja problema.

Hajde da riješimo ovaj problem: tačka se kreće u krugu poluprečnika 4 metra. Zakon njegovog kretanja izražava se jednačinom S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. U kom trenutku je normalno ubrzanje tačke jednako 9 m/s^2? Pronađite brzinu, tangencijalno i ukupno ubrzanje tačke za ovaj trenutak u vremenu.

Rješenje: znamo da za pronalaženje brzine trebamo uzeti prvi vremenski izvod zakona kretanja, a normalno ubrzanje je jednako količniku kvadrata brzine i polumjera kružnice duž koje je tačka se kreće. Naoružani ovim znanjem, pronaći ćemo potrebne količine.

Trebate pomoć u rješavanju problema? Profesionalni studentski servis je spreman da to pruži.

Proučavanje fizike počinje razmatranjem mehaničkog kretanja. U opštem slučaju, tela se kreću duž zakrivljenih putanja sa promenljivim brzinama. Za njihovo opisivanje koristi se koncept ubrzanja. U ovom članku ćemo pogledati što su tangencijalno i normalno ubrzanje.

Kinematske veličine. Brzina i ubrzanje u fizici

Kinematika mehaničkog kretanja je grana fizike koja se bavi proučavanjem i opisom kretanja tijela u prostoru. Kinematika djeluje na tri glavne veličine:

• prijeđena udaljenost;
• brzina;
• ubrzanje.

U slučaju kretanja u krugu koriste se slične kinematičke karakteristike koje se svode na središnji ugao kružnice.

Svima je poznat pojam brzine. Pokazuje brzinu promjene koordinata tijela u pokretu. Brzina je uvijek usmjerena tangencijalno na liniju po kojoj se tijelo kreće (putanja). U nastavku ćemo linearnu brzinu označavati sa v¯, a kutnu sa ω¯.

Ubrzanje je brzina promjene veličina v¯ i ω¯. Ubrzanje je također, ali njegov smjer je potpuno nezavisan od vektora brzine. Ubrzanje je uvijek usmjereno prema sili koja djeluje na tijelo, što uzrokuje promjenu vektora brzine. Ubrzanje za bilo koju vrstu kretanja može se izračunati pomoću formule:

Što se brzina više mijenja u vremenskom intervalu dt, to će biti veće ubrzanje.

Tangencijalno i normalno ubrzanje

Pretpostavimo da se materijalna tačka kreće duž neke krive linije. Poznato je da je u nekom trenutku t njegova brzina bila jednaka v¯. Budući da je brzina vektor tangenta na putanju, može se predstaviti u sljedećem obliku:

Ovdje je v dužina vektora v¯, a u t ¯ je vektor jedinične brzine.

Da bi se izračunao vektor ukupnog ubrzanja u trenutku t, potrebno je pronaći vremenski izvod brzine. Imamo:

a¯ = dv¯ / dt = d (v × u t ¯) / dt

Kako se modul brzine i jedinični vektor mijenjaju s vremenom, koristeći pravilo za pronalaženje derivacije proizvoda funkcija dobijamo:

a¯ = dv / dt × u t ¯ + d (u t ¯) / dt × v

Prvi član u formuli naziva se tangencijalna, odnosno tangencijalna komponenta ubrzanja, drugi član je normalno ubrzanje.

Tangencijalno ubrzanje

Napišimo ponovo formulu za izračunavanje tangencijalnog ubrzanja:

a t ¯ = dv / dt × u t ¯

Ova jednakost znači da je tangencijalno (tangencijalno) ubrzanje usmjereno na isti način kao i vektor brzine u bilo kojoj tački putanje. Numerički određuje promjenu modula brzine. Na primjer, u slučaju pravolinijskog kretanja sastoji se samo od tangencijalne komponente. Normalno ubrzanje za ovu vrstu kretanja je nula.

Razlog za pojavu vrijednosti a t ¯ je utjecaj vanjske sile na tijelo koje se kreće.

U slučaju rotacije sa konstantnim ugaonim ubrzanjem α, tangencijalna komponenta ubrzanja može se izračunati pomoću sljedeće formule:

Ovdje je r polumjer rotacije predmetne materijalne tačke, za koju se izračunava vrijednost a t.

Normalno ili centripetalno ubrzanje

Sada ponovo zapišemo drugu komponentu ukupnog ubrzanja:

a c ¯ = d (u t ¯) / dt × v

Iz geometrijskih razmatranja može se pokazati da je vremenski izvod jedinične tangente na putanju vektora jednak omjeru modula brzine v i poluprečnika r u trenutku t. Tada će gornji izraz biti napisan ovako:

Ova formula za normalno ubrzanje pokazuje da, za razliku od tangencijalne komponente, ono ne ovisi o promjenama brzine, već je određeno kvadratom modula same brzine. Također, a c se povećava sa smanjenjem radijusa rotacije pri konstantnoj vrijednosti v.

Normalno ubrzanje naziva se centripetalno jer je usmjereno od centra mase rotirajućeg tijela prema osi rotacije.

Razlog za pojavu ovog ubrzanja je centralna komponenta sile koja djeluje na tijelo. Na primjer, u slučaju planeta koje se okreću oko našeg Sunca, centripetalna sila je gravitacijska privlačnost.

Normalno ubrzanje tijela mijenja samo smjer brzine. Nije u stanju promijeniti svoj modul. Ova činjenica je bitna razlika u odnosu na tangencijalnu komponentu ukupnog ubrzanja.

Kako se centripetalno ubrzanje uvijek javlja kada se vektor brzine rotira, ono postoji i u slučaju ravnomjerne kružne rotacije, u kojoj je tangencijalno ubrzanje nula.

U praksi možete osjetiti efekte normalnog ubrzanja ako se nalazite u automobilu kada se dugo skreće. U ovom slučaju, putnici su pritisnuti u smjeru rotacije vrata automobila. Ova pojava je rezultat djelovanja dvije sile: centrifugalne (pomjeranje putnika sa sjedišta) i centripetalne (pritisak na putnike sa strane vrata automobila).

Modul i smjer ukupnog ubrzanja

Dakle, otkrili smo da je tangencijalna komponenta fizičke veličine koja se razmatra usmjerena tangencijalno na putanju kretanja. Zauzvrat, normalna komponenta je okomita na putanju u datoj tački. To znači da su dvije komponente ubrzanja okomite jedna na drugu. Njihov vektorski zbroj daje vektor ukupnog ubrzanja. Njegov modul se može izračunati pomoću sljedeće formule:

a = √(a t 2 + a c 2)

Smjer vektora a¯ se može odrediti kako u odnosu na vektor a t ¯ tako i u odnosu na a c ¯. Da biste to učinili, koristite odgovarajuću trigonometrijsku funkciju. Na primjer, kut između punog i normalnog ubrzanja je:

Rješavanje problema određivanja centripetalnog ubrzanja

Točak, koji ima radijus od 20 cm, okreće se sa ugaonim ubrzanjem od 5 rad/s 2 10 sekundi. Potrebno je odrediti normalno ubrzanje tačaka koje se nalaze na periferiji točka nakon određenog vremena.

Za rješavanje problema koristit ćemo formulu za vezu između tangencijalnog i kutnog ubrzanja. Dobijamo:

Budući da je jednoliko ubrzano kretanje trajalo vrijeme t = 10 sekundi, linearna brzina postignuta za to vrijeme bila je jednaka:

v = a t × t = α × r × t

Dobivenu formulu zamjenjujemo u odgovarajući izraz za normalno ubrzanje:

a c = v 2 / r = α 2 × t 2 × r

Ostaje zamijeniti poznate vrijednosti u ovu jednakost i zapisati odgovor: a c = 500 m/s 2 .