Trigonometrijske jednadžbe - formule, rješenja, primjeri. Trigonometrijske jednadžbe - formule, rješenja, primjeri Kako riješiti trigonometrijske jednadžbe UPOTREBA

Priprema za specijalizovani nivo samca državni ispit matematike. Korisni materijali o trigonometriji, velika teorijska video predavanja, video analiza problema i izbor zadataka iz prethodnih godina.

Korisni materijali

Video kolekcije i online kursevi

Trigonometrijske formule

Geometrijska ilustracija trigonometrijskih formula

Lučne funkcije. Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Trigonometrijske jednadžbe

Potrebna teorija za rješavanje problema.
a) Riješite jednačinu $7\cos^2 x - \cos x - 8 = 0$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -\dfrac(3\pi)(2) \desno]$.
a) Riješite jednačinu $\dfrac(6)(\cos^2 x) - \dfrac(7)(\cos x) + 1 = 0$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[ -3\pi; -\pi \right]$.
Riješite jednačinu $\sin\sqrt(16 - x^2) = \dfrac12$.
a) Riješite jednačinu $2\cos 2x - 12\cos x + 7 = 0$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[ -\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
a) Riješite jednačinu $\dfrac(5)(\mathrm(tg)^2 x) - \dfrac(19)(\sin x) + 17 = 0$.
Riješite jednačinu $\dfrac(2\cos^3 x + 3 \cos^2 x + \cos x)(\sqrt(\mathrm(ctg)x)) = 0$.
Riješite jednačinu $\dfrac(\mathrm(tg)^3x - \mathrm(tg)x)(\sqrt(-\sin x)) = 0$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \desno)$.
a) Riješite jednačinu $\cos 2x = \sin\left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right)$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \dfrac(5\pi)(2) \right]$.
a) Riješite jednačinu $2\sin^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) = \sqrt3\cos x$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \desno]$.

Video analiza zadataka

b) Pronađite sve korijene ove jednačine, koji pripadaju segmentu$\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \desno]$.

b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \desno]$.

b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \desno]$.

a) Riješite jednačinu $\cos 2x = 1 - \cos\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right)$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \desno)$.

a) Riješite jednačinu $\cos^2 (\pi - x) - \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) = 0$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[\dfrac(5\pi)(2); 4\pi \desno]$.

b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[\log_5 2; \log_5 20 \right]$.

a) Riješite jednačinu $8 \sin^2 x + 2\sqrt(3) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x\right) = 9$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[- \dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$.

a) Riješite jednačinu $2\log_3^2 (2 \cos x) - 5\log_3 (2 \cos x) + 2 = 0$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$.

a) Riješite jednačinu $\left(\dfrac(1)(49) \right)^(\sin x) = 7^(2 \sin 2x)$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[\dfrac(3\pi)(2); 3\pi \desno]$.

a) Riješite jednačinu $\sin x + \left(\cos \dfrac(x)(2) - \sin \dfrac(x)(2)\right)\left(\cos \dfrac(x)(2) + \sin \dfrac(x)(2)\right) = 0$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[\pi; \dfrac(5\pi)(2)\right]$.

a) Riješite jednačinu $\log_4 (\sin x + \sin 2x + 16) = 2$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju intervalu $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \desno]$.

Izbor zadataka iz prethodnih godina

a) Riješite jednačinu $\dfrac(\sin x)(\sin^2\dfrac(x)(2)) = 4\cos^2\dfrac(x)(2)$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \desno]$. (Jedinstveni državni ispit 2018. Rani talas)
a) Riješite jednačinu $\sqrt(x^3 - 4x^2 - 10x + 29) = 3 - x$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -\sqrt(3); \sqrt(30) \desno]$. (UPOTREBA 2018. Rani talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $2 \sin^2 x + \sqrt2 \sin \left(x + \dfrac(\pi)(4)\right) = \cos x $.
b) Naći sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -2\pi; -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Glavni talas)
a) Riješite jednačinu $\sqrt6 \sin^2 x + \cos x = 2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(6) \right)$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ 3\pi; \dfrac(9\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Glavni talas)
a) Riješite jednačinu $\sin x + 2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) = \sqrt3 \sin 2x + 1$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \desno]$. (USE-2018. Glavni talas)
a) Riješite jednačinu $\cos^2 x + \sin x = \sqrt2 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right)$.
b) Naći sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -4\pi; -\dfrac(5\pi)(2) \desno]$. (USE-2018. Glavni talas)
a) Riješite jednačinu $2 \sin\left(2x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \sqrt(3) \sin x = \sin 2x + \sqrt3$.
a) Riješite jednačinu $2\sqrt3 \sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ 2\pi; \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Glavni talas)
a) Riješite jednačinu $2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(6) \right) - \cos x = \sqrt3\sin 2x - 1$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \dfrac(5\pi)(2); 4\pi \desno]$. (USE-2018. Glavni talas)
a) Riješite jednačinu $\sqrt2\sin\left(\dfrac(\pi)(4) + x \right) + \cos 2x = \sin x - 1$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \dfrac(7\pi)(2); 5\pi \desno]$. (USE-2018. Glavni talas)
a) Riješite jednačinu $\sqrt2\sin\left(2x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \sqrt2\cos x = \sin 2x - 1$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -\dfrac(5\pi)(2); -\pi \right]$. (USE-2018. Glavni talas)
a) Riješite jednačinu $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(3) \right) + \cos 2x = \sqrt3\cos x + 1$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \desno]$. (USE-2018. Glavni talas)
b) Naći sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Glavni talas)
a) Riješite jednačinu $2\sin\left(x + \dfrac(\pi)(4) \right) + \cos 2x = \sqrt2\cos x + 1$.
b) Naći sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \pi; \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2018. Glavni talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $2\cos x - \sqrt3 \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); -2\pi \desno]$. (USE-2018. Glavni talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $2\cos x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -\dfrac(9\pi)(2); -3\pi \desno]$. (USE-2018. Glavni talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $2\sqrt2\sin \left(x + \dfrac(\pi)(3)\right) + 2\cos^2 x = 2 + \sqrt6 \cos x$.
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -3\pi; -\dfrac(3\pi)(2) \desno]$. (USE-2018. Glavni talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $x - 3\sqrt(x - 1) + 1 = 0$.
b) Naći sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \sqrt(3); \sqrt(20) \desno]$. (USE-2018. Glavni talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $2x\cos x - 8\cos x + x - 4 = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -\dfrac(\pi)(2);\ \pi \right]$. (UPOTREBA 2017, glavni talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $\log_3 (x^2 - 2x) = 1$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \log_2 0(,)2;\ \log_2 5 \right]$. (UPOTREBA 2017, glavni talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $\log_3 (x^2 - 24x) = 4$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \log_2 0(,)1;\ 12\sqrt(5) \right]$. (UPOTREBA 2017, glavni talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $0(,)4^(\sin x) + 2(,)5^(\sin x) = 2$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2) \right]$. (USE-2017, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $\log_8 \left(7\sqrt(3) \sin x - \cos 2x - 10\right) = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (USE-2017, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $\log_4 \left(2^(2x) - \sqrt(3) \cos x - 6\sin^2 x\right) = x$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \dfrac(5\pi)(2);\ 4\pi \right]$. (USE-2017, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $2\log_2^2 \left(\sin x\right) - 5 \log_2 \left(\sin x\right) - 3 = 0$.
b) Navedite korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu $\left[ - 3\pi;\ - \dfrac(3\pi)(2) \right]$. (USE-2017, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $81^(\cos x) - 12\cdot 9^(\cos x) + 27 = 0$.
b) Označite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ - 4\pi;\ - \dfrac(5\pi)(2) \right]$. (USE-2017, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $8^x - 9 \cdot 2^(x + 1) + 2^(5 - x) = 0$.
b) Označite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \log_5 2;\ \log_5 20 \right]$. (USE 2017, rani talas)
a) Riješite jednačinu $2\log^2_9 x - 3 \log_9 x + 1 = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \sqrt(10);\ \sqrt(99) \right]$. (UPOTREBA 2016, glavni talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $6\log^2_8 x - 5 \log_8 x + 1 = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ 2;\ 2(,)5 \right]$. (UPOTREBA 2016, glavni talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $\sin 2x = 2\sin x + \sin \left(x + \dfrac(3\pi)(2) \right) + 1$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (UPOTREBA 2016, glavni talas, rezervni dan)
a) Riješite jednačinu $2\cos^2 x + 1 = 2\sqrt(2) \cos \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right)$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \dfrac(3\pi)(2);\ 3\pi \right]$. (USE-2016, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $2\log^2_2 (2\cos x) - 9 \log_2 (2\cos x) + 4 = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -2\pi;\ -\dfrac(\pi)(2) \right]$. (USE-2016, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $8^x - 7 \cdot 4^x - 2^(x + 4) + 112 = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \log_2 5;\ \log_2 11 \right]$. (Jedinstveni državni ispit 2016, rani talas)
a) Riješite jednačinu $\cos 2x + \cos^2 \left(\dfrac(3\pi)(2) - x \right) = 0,25$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -4\pi;\ -\dfrac(5\pi)(2) \right]$. (Jedinstveni državni ispit 2016, rani talas)
a) Riješite jednačinu $\dfrac(13\sin^2 x - 5\sin x)(13\cos x + 12) = 0$.
b) Označite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2) \right]$. (Jedinstveni državni ispit 2016, rani talas)
a) Riješite jednačinu $\dfrac(\sin2x)(\sin\left(\dfrac(7\pi)(2) - x \right)) = \sqrt(2)$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left$. (USE-2015, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $4 \sin^2 x = \mathrm(tg) x$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ - \pi;\ 0\right]$. (USE-2015, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $3\cos 2x - 5\sin x + 1 = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2015, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $\cos 2x - 5\sqrt(2)\cos x - 5 = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -3\pi;\ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2015, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $\sin 2x + \sqrt(2) \sin x = 2\cos x + \sqrt(2)$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \pi;\ \dfrac(5\pi)(2)\right]$. (Jedinstveni državni ispit 2015., rani talas)
a) Riješite jednačinu $2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0$.
b) Navedite korijene ove jednadžbe koji pripadaju segmentu $\left[ 2\pi;\ \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (Jedinstveni državni ispit 2015., rani talas)
a) Riješite jednačinu $\mathrm(tg)^2 x + (1 + \sqrt(3)) \mathrm(tg) x + \sqrt(3) = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \dfrac(5\pi)(2); \4\pi\right]$. (USE-2014, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $2\sqrt(3) \cos^2\left(\dfrac(3\pi)(2) + x\right) - \sin 2x = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \dfrac(3\pi)(2); \3\pi\right]$. (USE-2014, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $\cos 2x + \sqrt(2) \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right) + 1 = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -3\pi; \ -\dfrac(3\pi)(2)\right]$. (USE-2014, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $-\sqrt(2) \sin\left(-\dfrac(5\pi)(2) + x\right) \cdot \sin x = \cos x$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ \dfrac(9\pi)(2); \6\pi\right]$. (Jedinstveni državni ispit 2014, rani talas)
a) Riješite jednačinu $\sin 2x = \sin\left(\dfrac(\pi)(2) + x\right)$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -\dfrac(7\pi)(2); \ -\dfrac(5\pi)(2)\right]$. (USE-2013, glavni talas)
a) Riješite jednačinu $6\sin^2 x + 5\sin\left(\dfrac(\pi)(2) - x\right) - 2 = 0$.
b) Navedite korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu $\left[ -5\pi; \ - \dfrac(7\pi)(2)\right]$. (USE-2012, drugi talas)

Zadatak br. 1

Logika je jednostavna: radit ćemo kao i prije, bez obzira na to što su sada trigonometrijske funkcije postale više složen argument!

Ako bismo riješili jednačinu oblika:

Zatim bismo zapisali sljedeći odgovor:

ili (od)

Ali sada našu ulogu igra ovaj izraz:

Tada možemo napisati:

Naš cilj sa vama je da lijeva strana stoji jednostavno, bez ikakvih "nečistoća"!

Riješimo ih se postepeno!

Prvo, uklonimo nazivnik na: da bismo to učinili, pomnožimo našu jednakost sa:

Sada ga se riješimo tako što ćemo podijeliti oba dijela:

A sada da se riješimo osam:

Rezultirajući izraz se može napisati kao 2 serije rješenja (po analogiji s kvadratnom jednadžbom, gdje ili dodajemo ili oduzimamo diskriminanta)

Moramo pronaći najveći negativni korijen! Jasno je da se moramo srediti.

Pogledajmo prvo prvu epizodu:

Jasno je da ako uzmemo, onda ćemo kao rezultat dobiti pozitivne brojeve, ali oni nas ne zanimaju.

Dakle, morate to uzeti negativno. Neka bude.

Kada će korijen biti uži:

I moramo pronaći najveći negativ!! Pa idi na negativnu stranu ovde više nema smisla. I najveći negativni korijen za ovu seriju bit će jednak.

Pogledajmo sada drugu seriju:

I opet zamjenjujemo: , zatim:

Nezainteresovan!

Onda nema smisla više povećavati! Hajde da ga smanjimo! Neka onda:

Odgovara!

Neka bude. Onda

Zatim - najveći negativni korijen!

odgovor:

Zadatak br. 2

Ponovo rješavamo, bez obzira na kompleksni kosinus argument:

Sada ponovo izražavamo sa leve strane:

Pomnožite obje strane sa

Podijelite obje strane

Ostaje samo da ga pomaknete udesno, mijenjajući njegov predznak iz minusa u plus.

Ponovo dobijamo 2 serije korena, jedan sa i drugi sa.

Moramo pronaći najveći negativni korijen. Pogledajmo prvu epizodu:

Jasno je da ćemo dobiti prvi negativni korijen u, on će biti jednak i bit će najveći negativni korijen u 1 seriji.

Za drugu seriju

Prvi negativni korijen će se također dobiti na i bit će jednak. Budući da je tada najveći negativni korijen jednadžbe.

odgovor: .

Zadatak br. 3

Rješavamo, bez obzira na složeni tangentni argument.

E sad, ne izgleda komplikovano, zar ne?

Kao i ranije, na lijevoj strani izražavamo:

Pa, to je sjajno, ovdje je samo jedan niz korijena! Nađimo opet najveći negativ.

Jasno je da ispada ako ga spustite. I ovaj korijen je jednak.

odgovor:

Sada pokušajte sami riješiti sljedeće probleme.

Domaći zadatak ili 3 zadatka za samostalno rješavanje.

Riješite jednačinu.
Riješite jednačinu.
U odgovoru na pi-ši-najmanji mogući korijen.
Riješite jednačinu.
U odgovoru na pi-ši-najmanji mogući korijen.

Spreman? Hajde da proverimo. Neću detaljno opisivati cijeli algoritam rješenja, čini mi se da mu je gore već pridato dovoljno pažnje.

Pa, je li sve u redu? Oh, ti gadni sinusi, s njima je uvijek neka nevolja!

Pa, sada možete riješiti jednostavne trigonometrijske jednačine!

Pogledajte rješenja i odgovore:

Zadatak br. 1

Hajde da se izrazimo

Najmanje pozitivan korijen ispostaviće se ako stavimo, pošto, tada

odgovor:

Zadatak br. 2

Najmanji pozitivni korijen se dobiva na.

Biće jednako.

odgovor: .

Zadatak br. 3

Kad dobijemo, kad imamo.

odgovor: .

Ovo znanje će vam pomoći da riješite mnoge probleme sa kojima ćete se susresti na ispitu.

Ako se prijavljujete za ocjenu "5", onda samo trebate nastaviti čitati članak za srednji nivo, koji će biti posvećen rješavanju složenijih trigonometrijskih jednačina (zadatak C1).

PROSJEČAN NIVO

U ovom članku ću opisati rješavanje složenijih trigonometrijskih jednačina i kako odabrati njihove korijene. Ovdje ću se osvrnuti na sljedeće teme:

Trigonometrijske jednadžbe za početni nivo (vidi gore).

Složenije trigonometrijske jednadžbe su osnova problema povećana složenost. Oni zahtijevaju i rješavanje same jednadžbe u općem obliku i pronalaženje korijena ove jednadžbe koji pripadaju određenom datom intervalu.

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi svodi se na dva podzadatka:

Rješavanje jednačine
Odabir korijena

Treba napomenuti da drugi nije uvijek potreban, ali u većini primjera odabir je i dalje potreban. Ali ako nije potrebno, onda možemo suosjećati s vama - to znači da je jednadžba sama po sebi prilično složena.

Moje iskustvo u analizi C1 problema pokazuje da se oni obično dijele u sljedeće kategorije.

Četiri kategorije zadataka povećane složenosti (ranije C1)

Jednačine koje se svode na faktorizaciju.
Jednačine svedene u formu.
Jednačine se rješavaju promjenom varijable.
Jednačine koje zahtijevaju dodatni odabir korijena zbog iracionalnosti ili nazivnika.

Jednostavno rečeno: ako vas uhvate jedna od jednadžbi prve tri vrste, onda smatrajte da ste srećni. Za njih, u pravilu, potrebno je dodatno odabrati korijene koji pripadaju određenom intervalu.

Ako naiđete na jednadžbu tipa 4, onda ste manje sretni: s njom se morate petljati duže i pažljivije, ali prilično često ne zahtijeva dodatni odabir korijena. Ipak, ovu vrstu jednadžbi ću analizirati u sljedećem članku, a ovaj ću posvetiti rješavanju jednačina prve tri vrste.

Jednačine koje se svode na faktorizaciju

Najvažnija stvar koju trebate zapamtiti da biste riješili ovu vrstu jednadžbe je

Kao što pokazuje praksa, ovo znanje je u pravilu dovoljno. Pogledajmo neke primjere:

Primjer 1. Jednačina svedena na faktorizaciju korištenjem formula redukcije i sinusa dvostrukog ugla

Riješite jednačinu
Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze iznad reza

Ovdje, kao što sam obećao, formule smanjenja rade:

Tada će moja jednadžba izgledati ovako:

Tada će moja jednadžba poprimiti sljedeći oblik:

Kratkovidi student bi mogao reći: sada ću smanjiti obje strane, dobiti najjednostavniju jednačinu i uživati u životu! I grdno će se prevariti!

ZAPAMTITE: NIKAD NE MOŽETE REDUKITI OBJE STRANE TRIGONOMETRIJSKE JEDNAČINE FUNKCIJOM KOJA SADRŽI NEPOZNATO! TAKO DA IZGUBITE SVOJE KORIJENE!

Pa šta da radimo? Da, jednostavno je, pomaknite sve na jednu stranu i izvadite zajednički faktor:

Pa, uračunali smo to u faktore, ura! A sad da odlucimo:

Prva jednadžba ima korijene:

i drugi:

Ovim je završen prvi dio problema. Sada morate odabrati korijene:

Razmak je ovakav:

Ili se može napisati i ovako:

Pa, hajde da uzmemo korene:

Prvo, poradimo na prvoj epizodi (a ona je u najmanju ruku jednostavnija!)

Pošto je naš interval potpuno negativan, nema potrebe uzimati nenegativne, oni će i dalje dati nenegativne korijene.

Uzmimo onda - previše je, ne pogađa.

Neka bude onda - nisam ponovo pogodio.

Još jedan pokušaj - onda - da, dobio sam! Prvi korijen je pronađen!

Opet pucam: pa opet pogodim!

Pa, još jednom: : - ovo je već let.

Dakle, iz prve serije postoje 2 korijena koji pripadaju intervalu: .

Radimo sa drugom serijom (gradimo na vlast prema pravilu):

Undershoot!

Opet nedostaje!

Imam ga!

Let!

Dakle, moj interval ima sljedeće korijene:

Ovo je algoritam koji ćemo koristiti za rješavanje svih ostalih primjera. Vježbajmo zajedno sa još jednim primjerom.

Primjer 2. Jednačina svedena na faktorizaciju korištenjem redukcijskih formula

Riješite jednačinu

Rješenje:

Opet zloglasne formule redukcije:

Ne pokušavajte ponovo smanjiti!

Prva jednadžba ima korijene:

i drugi:

Sada opet potraga za korijenima.

Počeću sa drugom epizodom, već znam sve o njoj iz prethodnog primera! Pogledajte i uvjerite se da su korijeni koji pripadaju intervalu sljedeći:

Sada prva epizoda i sve je jednostavnije:

Ako - prikladno

Ako je i to u redu

Ako je već let.

Tada će korijeni biti sljedeći:

Samostalan rad. 3 jednadžbe.

Pa, da li vam je tehnika jasna? Zar rješavanje trigonometrijskih jednačina više ne izgleda tako teško? Zatim brzo sami riješite sljedeće probleme, a onda ćemo riješiti druge primjere:

Riješite jednačinu
Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze iznad intervala.
Riješite jednačinu
Označite korijene jednadžbe koji se nalaze iznad reza
Riješite jednačinu
Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze između njih.

Jednačina 1.

I opet formula redukcije:

Prva serija korijena:

Druga serija korijena:

Počinjemo selekciju za prazninu

Odgovor: , .

Jednačina 2. Provjera samostalnog rada.

Prilično pametno grupiranje u faktore (koristit ću sinusnu formulu dvostruki ugao):

onda ili

Ovo zajednička odluka. Sada moramo odabrati korijene. Problem je u tome što ne možemo reći tačnu vrijednost ugla čiji je kosinus jednak jednoj četvrtini. Stoga, ne mogu se jednostavno riješiti arc kosinusa - takva šteta!

Ono što mogu da uradim je da shvatim da je tako, tako, onda.

Kreirajmo tabelu: interval:

Pa, kroz bolna pretraživanja došli smo do razočaravajućeg zaključka da naša jednadžba ima jedan korijen na naznačenom intervalu: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Jednačina 3: Nezavisni radni test.

Jednačina zastrašujućeg izgleda. Međutim, to se može riješiti vrlo jednostavno primjenom formule dvostrukog ugla sinusa:

Smanjimo ga za 2:

Grupirajmo prvi član sa drugim, a treći sa četvrtim i izvadimo zajedničke faktore:

Jasno je da prva jednadžba nema korijen, a sada razmotrimo drugu:

Uglavnom, htela sam malo kasnije da se zadržim na rešavanju ovakvih jednačina, ali pošto se ispostavilo, nema šta da se radi, moram to da rešim...

Jednačine oblika:

Ova jednačina se rješava dijeljenjem obje strane sa:

Dakle, naša jednadžba ima jednu seriju korijena:

Moramo pronaći one koji pripadaju intervalu: .

Hajde da ponovo napravimo tabelu, kao što sam uradio ranije:

Odgovor: .

Jednačine svedene na oblik:

E pa, sada je vrijeme da prijeđemo na drugi dio jednadžbi, pogotovo jer sam već prosuo bob o tome od čega se sastoji rješenje trigonometrijskih jednačina novog tipa. Ali vrijedi ponoviti da je jednadžba u obliku

Rješava se dijeljenjem obje strane kosinusom:

Riješite jednačinu
Označite korijene jednadžbe koji se nalaze iznad reza.
Riješite jednačinu
Navedite korijene jednadžbe koji se nalaze između njih.

Primjer 1.

Prvi je prilično jednostavan. Pomaknite se udesno i primijenite formulu kosinusa dvostrukog ugla:

Da! Jednadžba oblika: . Podijelim oba dijela

Vršimo root screening:

jaz:

odgovor:

Primjer 2.

Sve je također prilično trivijalno: otvorimo zagrade s desne strane:

Osnovni trigonometrijski identitet:

Sinus dvostrukog ugla:

Konačno dobijamo:

Skrining korijena: interval.

Odgovor: .

Pa, kako vam se sviđa tehnika, zar nije previše komplikovana? Nadam se da ne. Odmah možemo napraviti rezervu: u svom čistom obliku, jednadžbe koje se odmah svode na jednadžbu za tangentu su prilično rijetke. Tipično, ova tranzicija (podjela kosinusom) je samo dio složenijeg problema. Evo primjera za vježbanje:

Riješite jednačinu
Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze iznad reza.

provjerimo:

Jednačina se može odmah riješiti, dovoljno je obje strane podijeliti sa:

Root screening:

Odgovor: .

Na ovaj ili onaj način, tek treba da se susrećemo sa jednačinama tipa koji smo upravo ispitali. Međutim, prerano je da to nazivamo danom: ostao je još jedan "sloj" jednačina koji nismo riješili. dakle:

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi promjenom varijabli

Ovdje je sve transparentno: pažljivo promatramo jednačinu, pojednostavljujemo je što je više moguće, vršimo zamjenu, rješavamo je, vršimo obrnutu zamjenu! Rečima je sve veoma lako. Da vidimo na djelu:

Primjer.

Riješite jednačinu: .
Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze iznad reza.

E, tu nam se sama zamjena nagovještava!

Tada će se naša jednačina pretvoriti u ovo:

Prva jednadžba ima korijene:

A druga je ovakva:

Sada pronađimo korijene koji pripadaju intervalu

Odgovor: .

Pogledajmo zajedno malo složeniji primjer:

Riješite jednačinu
Označite korijene date jednadžbe, koji se nalaze iznad njih između njih.

Ovdje zamjena nije odmah vidljiva, štoviše, nije baš očigledna. Hajde da prvo razmislimo: šta možemo učiniti?

Možemo, na primjer, zamisliti

I u isto vreme

Tada će moja jednadžba poprimiti oblik:

A sada pažnja, fokus:

Podijelimo obje strane jednačine sa:

Odjednom smo ti i ja dobili kvadratna jednačina relativno! Napravimo zamjenu, onda dobijamo:

Jednačina ima sljedeće korijene:

Neugodna druga serija korijena, ali ništa se ne može učiniti! Odabiremo korijene u intervalu.

To također moramo uzeti u obzir

Od i tada

odgovor:

Kako biste to pojačali prije nego što sami riješite probleme, evo još jedne vježbe za vas:

Riješite jednačinu
Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze između njih.

Ovdje morate držati oči otvorene: sada imamo nazivnike koji mogu biti nula! Stoga, morate biti posebno pažljivi na korijene!

Prije svega, moram preurediti jednačinu tako da mogu napraviti odgovarajuću zamjenu. Sada ne mogu smisliti ništa bolje nego da prepišem tangentu u smislu sinusa i kosinusa:

Sada ću se kretati s kosinusa na sinus koristeći osnovni trigonometrijski identitet:

I na kraju, sve ću dovesti do zajedničkog imenioca:

Sada mogu da pređem na jednačinu:

Ali at (to jest, at).

Sada je sve spremno za zamjenu:

Onda ili

Međutim, imajte na umu da ako, onda u isto vrijeme!

Ko pati od ovoga? Problem sa tangentom je što nije definisan kada je kosinus jednaka nuli(dolazi do podjele nulom).

Dakle, korijeni jednadžbe su:

Sada izvlačimo korijene u intervalu:


	- odgovara
	- preterivanje

Dakle, naša jednadžba ima jedan korijen na intervalu, i on je jednak.

Vidite: pojava nazivnika (baš kao i tangenta, dovodi do određenih poteškoća s korijenima! Ovdje morate biti oprezniji!).

Pa, ti i ja smo skoro završili sa analizom trigonometrijskih jednačina, ostalo je vrlo malo - da sami riješite dva problema. Evo ih.

Riješite jednačinu
Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji se nalaze iznad reza.
Riješite jednačinu
Označite korijene ove jednadžbe, koji se nalaze iznad reza.

Odlučili? Zar nije jako teško? provjerimo:

Radimo prema formulama redukcije:
Zamijenite u jednačinu:
Prepišimo sve kroz kosinuse da bismo lakše napravili zamjenu:
Sada je lako napraviti zamjenu:
Jasno je da je to strani korijen, budući da jednačina nema rješenja. onda:
Tražimo korijene koji su nam potrebni u intervalu
Odgovor: .
Ovdje je zamjena odmah vidljiva:
Onda ili

- odgovara! - odgovara!
- odgovara! - odgovara!
- puno! - takođe mnogo!
odgovor:

E, to je to sada! Ali rješavanje trigonometrijskih jednadžbi se tu ne završava; zaostali smo u najtežim slučajevima: kada jednačine sadrže iracionalnost ili razne vrste „složenih nazivnika“. Kako riješiti takve zadatke, pogledat ćemo u članku za napredni nivo.

NAPREDNI NIVO

Uz trigonometrijske jednadžbe o kojima se raspravljalo u prethodna dva članka, razmotrit ćemo još jednu klasu jednačina koje zahtijevaju još pažljiviju analizu. Ovi trigonometrijski primjeri sadrže ili iracionalnost ili nazivnik, što otežava njihovu analizu. Međutim, možda ćete se sresti sa ovim jednadžbama u dijelu C ispitnog rada. Međutim, svaki oblak ima srebrnu postavu: za takve jednačine se po pravilu više ne postavlja pitanje koji od njegovih korijena pripada datom intervalu. Hajde da ne lupamo okolo, nego idemo pravo na trigonometrijske primjere.

Primjer 1.

Riješite jednačinu i pronađite korijene koji pripadaju segmentu.

Rješenje:

Imamo imenilac koji ne bi trebao biti jednak nuli! Tada je rješavanje ove jednačine isto kao i rješavanje sistema

Rešimo svaku od jednačina:

A sada druga:

A sada pogledajmo seriju:

Jasno je da nam ova opcija ne odgovara, jer se u ovom slučaju naš imenilac vraća na nulu (pogledajte formulu za korijene druge jednadžbe)

Ako, onda je sve u redu, a imenilac nije nula! Tada su korijeni jednadžbe sljedeći: , .

Sada biramo korijene koji pripadaju intervalu.


	- nije prikladno	- odgovara
	- odgovara	- odgovara
	overkill	overkill

Tada su korijeni sljedeći:

Vidite, čak i pojava malog poremećaja u obliku nazivnika značajno je utjecala na rješenje jednačine: odbacili smo niz korijena koji su poništili imenilac. Stvari mogu postati još složenije ako naiđete na trigonometrijske primjere koji su iracionalni.

Primjer 2.

Riješite jednačinu:

Rješenje:

Pa, barem ne morate vaditi korijene, i to je dobro! Hajde da prvo riješimo jednačinu, bez obzira na iracionalnost:

Pa, je li to sve? Ne, avaj, bilo bi previše lako! Moramo zapamtiti da se ispod korijena mogu pojaviti samo nenegativni brojevi. onda:

Rješenje ove nejednakosti je:

Sada ostaje da se utvrdi da li je deo korena prve jednadžbe slučajno završio tamo gde nejednakost ne važi.

Da biste to učinili, ponovo možete koristiti tabelu:


	: , Ali	Ne!
		Da!
		Da!

Tako mi je “ispao” jedan od korijena! Ispada ako ga spustiš. Tada se odgovor može napisati na sljedeći način:

odgovor:

Vidite, korijen zahtijeva još više pažnje! Hajde da to zakomplikujemo: neka sada stoji ispod mog korena trigonometrijska funkcija.

Primjer 3.

Kao i do sada: prvo ćemo riješiti svako posebno, a onda ćemo razmisliti šta smo uradili.

Sada druga jednadžba:

Sada je najteže saznati da li se negativne vrijednosti dobiva pod aritmetičkim korijenom ako tu zamijenimo korijene iz prve jednadžbe:

Broj se mora shvatiti kao radijani. Pošto je radijan približno stepeni, onda su radijani reda stepeni. Ovo je ugao druge četvrtine. Koji je znak kosinusa druge četvrtine? Oduzeti. Šta je sa sinusom? Plus. Dakle, šta možemo reći o izrazu:

Manje je od nule!

To znači da to nije korijen jednačine.

Sada je vrijeme.

Uporedimo ovaj broj sa nulom.

Kotangens je funkcija koja se smanjuje za 1 četvrtinu (što je manji argument, veći je kotangens). radijani su otprilike stepeni. U isto vrijeme

od tada i stoga
,

Odgovor: .

Može li biti još komplikovanije? Molim te! Biće teže ako je korijen i dalje trigonometrijska funkcija, a drugi dio jednadžbe opet trigonometrijska funkcija.

Što više trigonometrijskih primjera, to bolje, pogledajte u nastavku:

Primjer 4.

Korijen nije prikladan zbog ograničenog kosinusa

Sada drugi:

Istovremeno, po definiciji korijena:

Moramo zapamtiti jedinični krug: naime, one četvrtine gdje je sinus manji od nule. Šta su ove četvrti? Treći i četvrti. Tada će nas zanimati ona rješenja prve jednačine koja se nalaze u trećoj ili četvrtoj četvrtini.

Prva serija daje korijene na raskrsnici treće i četvrte četvrtine. Druga serija - dijametralno suprotna od njega - daje korijene koji leže na granici prve i druge četvrti. Stoga ova serija nije prikladna za nas.

Odgovor: ,

I opet trigonometrijski primjeri sa "teškom iracionalnošću". Ne samo da opet imamo trigonometrijsku funkciju pod korijenom, već je sada i u nazivniku!

Primjer 5.

Pa, ništa se ne može učiniti - radimo kao i prije.

Sada radimo sa imeniocem:

Ne želim da odlučujem trigonometrijske nejednakosti, i zato ću postupiti lukavo: uzet ću i zamijeniti svoj niz korijena u nejednakosti:

Ako je - paran broj, onda imamo:

pošto svi uglovi gledanja leže u četvrtoj četvrtini. I opet sveto pitanje: koji je znak sinusa u četvrtoj četvrtini? Negativno. Zatim nejednakost

Ako je -neparno, onda:

U kojoj četvrtini leži ugao? Ovo je ugao druge četvrtine. Tada su svi uglovi opet uglovi druge četvrtine. Sinus je tamo pozitivan. Baš ono što vam treba! Dakle serija:

Odgovara!

S drugom serijom korijena postupamo na isti način:

Zamjenjujemo u našu nejednakost:

Ako - čak, onda

Uglovi prve četvrtine. Tamo je sinus pozitivan, što znači da je serija prikladna. Sada ako je - neparno, onda:

odgovara takođe!

Pa, sada zapisujemo odgovor!

odgovor:

Pa, ovo je bio možda najzahtjevniji slučaj. Sada vam nudim probleme koje možete sami riješiti.

Trening

Riješite i pronađite sve korijene jednadžbe koji pripadaju segmentu.

rješenja:

Prva jednadžba:
ili
ODZ korijena:
Druga jednadžba:
Izbor korijena koji pripadaju intervalu
odgovor:

Or
ili
Ali

Razmotrimo: . Ako - čak, onda
- ne odgovara!
Ako je - neparno, : - pogodno!
To znači da naša jednadžba ima sljedeći niz korijena:
ili
Izbor korijena u intervalu:


	- nije prikladno	- odgovara
	- odgovara	- puno
	- odgovara	puno

Odgovor: , .

Or
Budući da tada tangenta nije definirana. Odmah odbacujemo ovu seriju korijena!

drugi dio:

Istovremeno, prema DZ, to se traži

Provjeravamo korijene pronađene u prvoj jednadžbi:

ako je znak:

Uglovi prve četvrtine gdje je tangenta pozitivna. Ne odgovara!
ako je znak:

Četvrti korner. Tu je tangenta negativna. Odgovara. Zapisujemo odgovor:

Odgovor: , .

Zajedno smo u ovom članku pogledali složene trigonometrijske primjere, ali jednadžbe biste trebali riješiti sami.

SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Trigonometrijska jednadžba je jednačina u kojoj je nepoznata striktno pod znakom trigonometrijske funkcije.

Postoje dva načina za rješavanje trigonometrijskih jednačina:

Prvi način je korištenje formula.

Drugi način je kroz trigonometrijski krug.

Omogućava vam mjerenje uglova, pronalaženje njihovih sinusa, kosinusa itd.

A) Riješite jednačinu 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

b) \levo[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \desno].

Pokaži rješenje

Rješenje

A) Otvarajući zagrade i pomerajući sve članove u lijevu stranu, dobijamo jednačinu 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Uzimajući u obzir da je \cos x \neq 0, pojam 2 \sin x može biti zamijenjen sa 2 tan x \cos x, dobijamo jednačinu 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, koji se grupisanjem može svesti na oblik (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tg x=0, tan x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

b) Korišćenjem brojčani krug odaberite korijene koji pripadaju intervalu \levo[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \desno].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Odgovori

A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Stanje

A) Riješite jednačinu (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

b) Navedite korijene ove jednadžbe koji pripadaju intervalu \levo(0;\,\frac(3\pi )2\desno] ;

Pokaži rješenje

Rješenje

A) ODZ: \begin(slučajevi) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(slučajevi)

Originalna jednadžba na ODZ-u je ekvivalentna skupu jednadžbi

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(niz)\desno.

Rešimo prvu jednačinu. Za to ćemo napraviti zamjenu \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Tada je \sin^24x=1-t^2. Dobijamo:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\ne u [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Rešimo drugu jednačinu.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Koristeći jedinični krug, nalazimo rješenja koja zadovoljavaju ODZ.

Znak “+” označava 1. i 3. četvrtinu, u kojima je tg x>0.

Dobijamo: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) Nađimo korijene koji pripadaju intervalu \levo(0;\,\frac(3\pi )2\desno].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Odgovori

A) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

A) Riješite jednačinu: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

b) Navedite sve korijene koji pripadaju intervalu \levo(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\desno].

Pokaži rješenje

Rješenje

A) Jer \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, To \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, znači, zadata jednačina je ekvivalentna jednačini \cos^2x=\cos ^22x, koja je, zauzvrat, ekvivalentna jednačini \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Ali \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) I

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, tako da jednačina postaje

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Tada je ili 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, ili 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Rješavajući prvu jednačinu kao kvadratnu jednačinu za \cos x, dobijamo:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Stoga ili \cos x=1 ili \cos x=-\frac12. Ako je \cos x=1, tada je x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Ako \cos x=-\frac12, To x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

Slično, rješavanjem druge jednačine dobijamo ili \cos x=-1 ili \cos x=\frac12. Ako je \cos x=-1, tada su korijeni x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Ako \cos x=\frac12, To x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Kombinirajmo dobijena rješenja:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

b) Odaberimo korijene u koje spadaju specificirani interval, koristeći brojčani krug.

Dobijamo: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

Odgovori

A) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

A) Riješite jednačinu 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Navedite korijene ove jednadžbe koji pripadaju intervalu \levo(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\desno).

Pokaži rješenje

Rješenje

A) 1. Prema formuli redukcije, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Područje definicije jednadžbe će biti takve vrijednosti x takve da je \cos x \neq 0 i tan x \neq -1. Transformirajmo jednačinu koristeći kosinusnu formulu dvostrukog kuta 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Dobijamo jednačinu: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

primeti, to \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), pa jednačina postaje: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). Odavde \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.

2. Transformirajte \sin x+\cos x koristeći formulu redukcije i zbir kosinusa formule: \sin x=\cos \levo(\frac\pi 2-x\desno), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\desno) = \frac65.

Odavde \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. znači, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

ili x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Zbog toga x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

ili x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Pronađene vrijednosti x pripadaju domeni definicije.

b) Najprije otkrijmo gdje padaju korijeni jednadžbe na k=0 i t=0. To će biti brojevi u skladu s tim a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5 I b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Dokažimo pomoćnu nejednakost:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

stvarno, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Imajte na umu i to \levo(\frac(3\sqrt 2)5\desno) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, Sredstva \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Iz nejednakosti (1) Po svojstvu arc kosinusa dobijamo:

arccos 1

Odavde \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

Isto tako, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

Za k=-1 i t=-1 dobijamo korijene jednadžbe a-2\pi i b-2\pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg). Gde -2\pi

2\pi To znači da ovi korijeni pripadaju datom intervalu \levo(-2\pi , -\frac(3\pi )2\desno).

Za ostale vrijednosti k i t, korijeni jednadžbe ne pripadaju datom intervalu.

Zaista, ako je k\geqslant 1 i t\geqslant 1, tada su korijeni veći od 2\pi. Ako je k\leqslant -2 i t\leqslant -2, tada su korijeni manji -\frac(7\pi )2.

Odgovori

A) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

A) Riješite jednačinu \sin \left(\frac\pi 2+x\desno) =\sin (-2x).

b) Pronađite sve korijene ove jednadžbe koji pripadaju intervalu ;

Pokaži rješenje

Rješenje

A) Hajde da transformišemo jednačinu:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Korijene koji pripadaju segmentu nalazimo koristeći jedinični krug.

Označeni interval sadrži jedan broj \frac\pi 2.

Odgovori

A) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

b) \frac\pi 2.

Izvor: „Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2017. Nivo profila." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Stanje

nije uključena u DZ.

znači, \sin x \neq 1.

Podijelite obje strane jednačine faktorom (\sin x-1), različito od nule. Dobijamo jednačinu \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), ili jednačina 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Primjenom formule redukcije na lijevoj strani i formule redukcije na desnoj, dobijamo jednačinu 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Ova jednadžba je supstitucijom \cos x=t, Gdje -1 \leqslant t \leqslant 1 svesti na kvadrat: 2t^2+t-1=0,čiji su koreni t_1=-1 I t_2=\frac12. Vraćajući se na varijablu x, dobijamo \cos x = \frac12 ili \cos x=-1, gdje x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Hajde da riješimo nejednačine

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\levo [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

U rasponu nema cijelih brojeva \levo[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\desno].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Ova nejednakost je zadovoljena sa k=-1, tada je x=-\pi.

Odgovori

A) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

b) -\pi .

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!

Jednakost koja sadrži nepoznatu pod znakom trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednačina, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednačine su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` ugao koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo korijenske formule za svaku od njih.

1. Jednačina `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednačina `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao iu slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednačina `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Formula korijena: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednačina `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koje vrijednosti `a`.

Formula korijena: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tabeli

za sinus:
za kosinus:
Za tangentu i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina

Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

uz pomoć transformacije u najjednostavnije;
riješiti najjednostavniju jednačinu dobivenu korištenjem korijenskih formula i tablica koje su gore napisane.

Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.

Algebarska metoda.

Ova metoda uključuje zamjenu varijable i zamjenu u jednakost.

Primjer. Riješite jednačinu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

napravite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednačinu: `sin x+cos x=1`.

Rješenje. Pomjerimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija na homogenu jednačinu

Prvo, trebate svesti ovu trigonometrijsku jednačinu na jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednačina prvog stepena) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednačina drugog stepena).

Zatim podijelite oba dijela sa `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i sa `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobijamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje treba riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednačinu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stepena, njezinu lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijamo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Hajde da uvedemo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su `t_1=-2` i `t_2=1`. onda:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prelazak na pola ugla

Primjer. Riješite jednačinu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rješenje. Primijenimo formule dvostrukog ugla, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom algebarske metode koja je gore opisana dobijamo:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \u Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovori. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \u Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Uvođenje pomoćnog ugla

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x je varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbir njihovih kvadrata je jednak 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, onda:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednačinu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobićemo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Pošto `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, onda uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni ugao. Zatim zapisujemo našu jednakost u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbir uglova za sinus, zapisujemo našu jednakost u sljedećem obliku:

`grijeh (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovori. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Frakcionalne racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti sa razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednačinu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti sa `(1+cos x)`. Kao rezultat dobijamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da imenilac ne može biti jednak nuli, dobijamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačimo brojilac razlomka sa nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Tada je `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovori. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i inženjerstva. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - one će vam sigurno biti korisne!

Međutim, ne morate ih čak ni zapamtiti, najvažnije je razumjeti suštinu i moći je izvući. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se sami gledajući video.


	- odgovara!	- odgovara!
	- odgovara!	- odgovara!
	- puno!	- takođe mnogo!