Navedite primjer funkcionalne zavisnosti bilo koje funkcije. Najjednostavnije funkcionalne zavisnosti. Funkcionalna zavisnost: logika i smisao

Transkript

1 G(O)B POU "Zadonski politehnički koledž" Istraživački rad Funkcionalna zavisnost realnih procesa Izvođači: Černuhin Ivan Aleksejevič, Kopenkin Pavel Vladimirovič, studenti grupe Te-1 G(O)B POU "Zadonski politehnički koledž" Rukovodilac: Storozhuk Valentina Nikolaevna, nastavnik matematike, Državna obrazovna ustanova "Zadonski politehnički koledž" Adresa: Lipetsk region, Zadonsk, ul. Rad, d uch.g.

2 SADRŽAJ Uvod Poglavlje 1. Teorijske osnove za uvođenje pojma funkcije Iz istorije nastanka funkcije Pojam funkcije i graf funkcije Poglavlje 2. Praktični dio Proučavanje funkcionalne zavisnosti u svakodnevnom životu Ilustracija funkcionalne zavisnost u radu električara Zaključak...22 Literatura...23 Dodatak 1 Vrste funkcija i njihova svojstva. 1

3 Uvod Uspjeh čovjeka u savremenom društvu zavisi od toga koliko je kompetentan u osnovama nauke, uključujući matematiku. U matematici se sve pojave i zavisnosti opisuju pomoću funkcija. Funkcija je jedan od osnovnih matematičkih i opštenaučnih pojmova koji izražava odnos između varijabli. Koncept funkcije razvili su veliki naučnici: Francois Viète, Rene Descartes, Fermat, Newton, Leibniz, Bernoulli, Euler, d'Alembert, Fourier i drugi naučnici. Među ruskim naučnicima možemo nazvati: Ojlera. Čebišev, Sobolev, Lobačevski, Lebedev i drugi. Funkcionalna ovisnost javlja se u životu „na svakom koraku“, pa je ova tema relevantna i za svaku osobu i za cijeli grad, i općenito za cijelo čovječanstvo. Godine prolaze, a mi se menjamo. Takođe zavisimo od našeg nasleđa, od knjiga koje čitamo, od temperature našeg okruženja i od mnogih drugih faktora. Stoga smo temu našeg istraživanja formulirali na sljedeći način: “Funkcionalna ovisnost stvarnih procesa”. Volimo da pronalazimo različite obrasce u svetu oko nas, volimo da proučavamo brojeve i gradimo grafikone. Stoga smo odlučili saznati više o tome kako možete povezati različite trenutke života s funkcijama i grafovima. Svrha našeg istraživanja: pokazati primjere nestandardnog pogleda na funkcionalnu ovisnost u životu oko nas. Da bismo to učinili, postavili smo si sljedeće zadatke: 1. proučavanje materijala na ovu temu; 2. upoznati se sa istorijom nastanka pojma funkcije; 3. uvesti pojam funkcije i grafa funkcije; 4. demonstrirati razne funkcionalne zavisnosti oko nas iu radu električara; 5. napraviti prezentaciju. 2

4 Predmet istraživanja: skup matematičkih metoda i modela. Predmet proučavanja: funkcije. Metode istraživanja: proučavanje i korištenje naučnih, publicističkih i obrazovnih publikacija, generalizacija, analiza, sinteza, modeliranje. Hipoteza: događaji koji se stvarno dešavaju u životu osobe mogu se predstaviti u obliku grafa zavisnosti. Materijal koji se odnosi na konstrukciju grafova funkcija nije dovoljno proučen sa stanovišta zahtjeva postavljenih na ispitima. Stoga zadaci grafiranja često izazivaju poteškoće kod učenika. Na osnovu ove činjenice, ovu temu je potrebno detaljno prodiskutovati. Teorijski značaj našeg istraživačkog rada je u tome što se rezultati istraživanja mogu koristiti učenicima tehničkih škola prilikom izučavanja teme „Funkcija“. Praktični značaj rada leži u činjenici da rezultate studije studenti mogu koristiti za unapređenje svog obrazovnog nivoa prilikom proučavanja primjene funkcije u praktičnim aktivnostima električara. Vjerujemo da ovaj rad može pomoći da se učenici zainteresuju i daju im priliku da „pogledaju unutra“ tako složen matematički koncept kao što je „funkcija“. 3

5 Poglavlje I. Teorijski dio Iz istorije nastanka funkcije. Većina matematičkih koncepata je prešla dug put u razvoju. Koncept funkcije prošao je težak put. To seže u ono daleko doba kada su ljudi prvi put shvatili da su pojave oko njih međusobno povezane. Još nisu znali da broje, ali su već znali da što više jelena uspeju da ubiju tokom lova, to će pleme duže biti oslobođeno gladi; što je tetiva luka jače navučena, to će strijela dalje letjeti; Što vatra duže gori, u pećini će biti toplije. Sa razvojem stočarstva, poljoprivrede, zanatstva i razmjene, povećavao se broj odnosa između količina poznatih ljudima. Ideja o zavisnosti određenih veličina seže u drevnu grčku nauku. Ali Grci su razmatrali samo pitanja geometrijske prirode, a nisu postavljali pitanje općeg proučavanja različitih ovisnosti. Grafičko predstavljanje zavisnosti široko su koristili G. Galileo (), P. Fermat () i R. Descartes (), koji su uveli koncept „promenljive količine“. Prema Descartesovoj definiciji: „Funkcija promjenjive količine je veličina koja je na bilo koji način formirana iz ove promjenljive količine i konstanti.” Razvoj mehanike i tehnologije zahtijevao je uvođenje općeg koncepta funkcije, što je učinio njemački filozof i matematičar G. Leibniz. Sljedeći korak u razvoju koncepta funkcije napravio je Bernoullijev učenik, član Sankt Peterburške akademije nauka, Leonard Euler (). U Diferencijalnom računu, objavljenom 1755., L. Euler daje opštu definiciju funkcije: 4

6 Kada neke veličine zavise od drugih na takav način da kada se potonje mijenjaju, same su podložne promjeni, tada se prve nazivaju funkcijama drugih. Ovo ime, nastavlja dalje Ojler, ima izuzetno širok karakter; obuhvata sve načine na koje se jedna veličina određuje pomoću drugih. Uopšteno govoreći, koncept generalizovane funkcije uveo je Francuz Laurent Schwartz. Godine 1834., u svom djelu O nestanku trigonometrijskih nizova, N. I. Lobačevski je, razvijajući gore spomenutu Eulerovu definiciju funkcije 1755. godine, napisao: Opći koncept zahtijeva da se funkcija od x nazove brojem koji je dat za svaki x i, zajedno sa x, postepeno se mijenja. Vrijednost funkcije može biti data ili analitičkim izrazom ili uslovom, koji obezbjeđuje sredstvo za testiranje svih brojeva i odabir jednog od njih; ili, konačno, zavisnost može postojati i ostati nepoznata... Široki pogled na teoriju dozvoljava postojanje zavisnosti samo u smislu da se brojevi, jedan s drugim u vezi, uzimaju kao da su dati zajedno. Čak i prije Lobačevskog, slično gledište o konceptu funkcije iznio je češki matematičar B. Bolzano. Godine 1837. njemački matematičar P. Lejeune-Dirichlet formulirao je opću definiciju pojma funkcije na sljedeći način: y je funkcija varijable x (na intervalu a (x (b), ako je svaka vrijednost x (na ovaj interval) odgovara potpuno određenoj vrijednosti y, a svejedno je kako se ta korespondencija uspostavlja - analitičkom formulom, grafikonom, tablicom ili čak samo riječima. Godine 1936., 28-godišnji sovjetski matematičar a mehaničar S. L. Sobolev je prvi razmatrao poseban slučaj generalizovane funkcije.5

7 Zaključak: Treba napomenuti da počev od 17.st. Jedan od najvažnijih matematičkih pojmova je koncept funkcije. Igrao je i još uvijek igra veliku ulogu u razumijevanju stvarnog svijeta. Prateći historijski put razvoja koncepta funkcije, nehotice se dolazi do zaključka da evolucija nije daleko od kraja i vjerovatno nikada neće završiti, kao što se evolucija matematike u cjelini nikada neće završiti. Nova otkrića i istraživanja iz prirodnih i drugih nauka dovest će do novih proširenja pojma funkcije i drugih matematičkih koncepata. Matematika je nedovršena nauka, razvijala se hiljadama godina, razvija se u naše doba i nastaviće da se razvija u budućnosti. 6

8 1.2. Definicija funkcije i graf funkcije. Funkcija je jedan od osnovnih matematičkih i opštenaučnih pojmova. Igrao je i još uvijek igra veliku ulogu u razumijevanju stvarnog svijeta. Funkcija nije samo matematički koncept, već i: funkcija je rad koji proizvodi organ, organizam; uloga, značenje nečega; funkcija u matematici, zakon zavisnosti jedne veličine od druge; funkcionalna sposobnost, opcija, vještina programa ili uređaja. odgovornost funkcije, opseg aktivnosti; funkcija lika u književnom djelu; funkcija je vrsta potprograma u informatici, društvena funkcija. Definicija. Numerička funkcija s domenom definicije D je korespondencija u kojoj je svaki broj x iz skupa D povezan, prema nekom pravilu, s jednim brojem y ovisno o x. Uobičajeno je da se x zove nezavisna varijabla ili argument, a y zavisna varijabla ili vrijednost funkcije. Označeni odnos između x i y napišite u opštem obliku na sljedeći način: y = f (x) ili y = F (x), itd. Graf funkcije y = f (x) je skup svih tačaka ravnine , koordinate (x, y ) koje zadovoljavaju relaciju y = f(x). Postoji nekoliko načina za određivanje funkcija: analitičke, verbalne, grafičke, tabele. Analitička metoda. Najčešća analitička metoda za specificiranje funkcije, na 7

9 u kojoj je funkcija data formulom koja utvrđuje koje računske operacije moraju biti izvedene na x da bi se pronašlo y. Primjer: y = k x; V = s h ; s = a b Verbalna metoda (poslovice, izreke) Što dalje u šumu, to više drva za ogrjev. Ne možete pokvariti kašu uljem. Manje pričajte, više radite. Ako volite da se vozite, volite i da nosite sanke. Grafička metoda. Grafička metoda specificiranja funkcije je također uobičajena. Graf funkcije y=f(x), gdje je x iz skupa E, je skup tačaka u ravni sa pravokutnim koordinatama (x,y), gdje je x iz E, y=f(x). Grafička metoda se sastoji od crtanja linije (grafa), u kojoj apscise predstavljaju vrijednosti argumenta, a ordinate odgovarajuće vrijednosti funkcije. Ova metoda vam omogućava da vizualizirate funkcionalnu ovisnost. Primjer: udaljenost km vrijeme t, s Tabelarni metod. Tabelarnom metodom specificiranja, funkcija se specificira u obliku tablice u kojoj je za svaku vrijednost argumenta naznačena odgovarajuća vrijednost funkcije. Tabelarni metod je dobro poznat (tabela kvadrata i tabela kocki prirodnih brojeva itd.). Ova metoda odmah daje numeričku vrijednost funkcije. To je njegova prednost u odnosu na druge

10 načina. Primjer. Tabela kvadrata brojeva od 1 do 10: Vrste funkcija (Prilog 1): 1) linearne: y = ax + b; 2) kvadratni: y = ax 2 + bx + c; 3) inverzna proporcionalnost: y = k x ; n 4) n-koren: y = x; 5) modul: y = x; 6) trigonometrijski: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx; 7) eksponencijalni: y = a x; 8) logaritamski: y = log a x; 9) inverzne trigonometrijske funkcije: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx. Moderne enciklopedije i eksplanatorni rječnici razmatraju funkciju u 5 značenja: 1. Fenomen koji ovisi o drugom i mijenja se kako se ovaj drugi fenomen mijenja. 2. Promjenjiva količina koja se mijenja ovisno o promjeni druge količine. 3. Rad koji obavlja organ ili organizam. 4. Odgovornost, obim aktivnosti osobe, posao koji se obavlja. 5. Značenje, svrha, uloga. Funkcija kao pojam ima jedno generičko značenje, ali se u različitim područjima djelovanja različito manifestira, ostajući nedvosmislen entitet. Koncept funkcije igra važnu ulogu, jer je osnovni koncept u proučavanju algebre i principa analize. 9

11 Zaključak: Funkcija je jedan od osnovnih matematičkih i opštenaučnih pojmova koji izražava zavisnost jednih varijabli od drugih. Igrao je i još uvijek igra veliku ulogu u razumijevanju stvarnog svijeta. Koncept funkcije igra važnu ulogu, jer je osnovni koncept u proučavanju algebre i principa analize. 10

12 Poglavlje 2. Praktični dio Proučavanje funkcionalne zavisnosti u svakodnevnom životu. U svakodnevnom životu stalno se susrećemo s funkcionalnim ovisnostima. Pronašli smo mnogo primjera funkcija i prikazali ih pomoću grafikona. koji Zadatak 1. Na temperaturi od 0 o C šina ima dužinu l 0 = 12,5 m. sa porastom temperature dolazi do toplotnog širenja šine i njena dužina izražena u metrima se menja po zakonu l(t o) = l 0 (1 + t o), gdje je = 1, koeficijent toplinskog širenja u stepenima Celzijusa na minus prvi stepen, t o temperatura (u stepenima Celzijusa). Na kojoj temperaturi će se šina produžiti za 6 mm. Izrazite odgovor u stepenima Celzijusa. Rješenje. Izrazimo t iz date formule: t = l l 0 αl 0. Napomena, l l 0 = Δl = 6mm = m, a zatim t = Odgovor: = 100 = 40 C Primjer 1. Sa hladnoće su donijeli teglu leda u prostoriju i počeo da posmatra promenu temperature supstance u tegli: led se postepeno topio, kada se sav otopio, temperatura vode je počela da raste sve dok se nije izjednačila sa temperaturom u prostoriji. Slika 1 prikazuje grafik temperature u odnosu na vrijeme. Rice. 1 11

13 Primjer 2. Razmislite o podjeli rođendanske torte među gostima. Šta određuje broj porcija? na broj gostiju. Od čega zavisi težina porcije? takodje i na broj gostiju. U prvom slučaju, što je više gostiju, na veći broj porcija moramo podijeliti tortu (slika 2). Ovdje možete jasno zamisliti direktno proporcionalnu vezu. Rice. 2 U drugom slučaju, što je više gostiju, to je manja težina porcije. Ovdje vidimo obrnutu proporcionalnu vezu (slika 3). Rice. 3 Primjer 3. Živimo u doba informacionih tehnologija. Svakodnevno dobijamo mnogo informacija iz različitih izvora: televizije, radija, novina, časopisa i, naravno, sa interneta. Poznato je da se obim informacija udvostručuje svakih pet godina. Rice. 4 12

14 Ako nacrtamo zavisnost količine informacija od vremena, dobićemo određenu krivu, koja se u matematici naziva eksponencijalna i predstavlja grafik eksponencijalne funkcije (slika 4). Primjer 4. Čovjeku raste kosa na glavi i redovno se šiša. Grafikon rezultirajuće zavisnosti (pod uslovom da se šišanje radi redovno) sličan je funkciji razlomka broja, pomerenog nagore za jedinicu: y = x + a (slika 5). Primjer 5. Za vrijeme školovanja svake godine prelazimo u sljedeći razred. Ova zavisnost je slična funkciji celobrojnog dela broja y = (x) na ograničenom intervalu (slika 6). Rice. 5 Fig. 6 Primjer 6. Promjene temperature u našoj klimatskoj zoni poštuju zakone trigonometrijskih funkcija (slika 7) Sl. 7 Primjer 7. Vrtlarski procesi se također mogu predstaviti kao funkcija i iscrtati. Na primjer, jabuka je rasla, sazrela, a zatim se osušila (slika 8). Imamo neku funkciju po komadima. 13

15 Fig. 8 Funkcije su matematički portreti stabilnih obrazaca koje ljudi mogu prepoznati. Da bismo ilustrirali karakteristična svojstva funkcija, okrenimo se poslovicama i izrekama. Uostalom, poslovice su i odraz stabilnih obrazaca, provjerenih vjekovnim iskustvom naroda. Grafikon može ilustrirati značenje bilo koje poslovice. „Što dalje u šumu, to je više drva za ogrev“ Sl. 9 Grafikon će prikazati količinu drva za ogrjev kao funkciju putanje. Na primjer, poslovica „Kakav život živiš, takvu slavu ćeš steći“ na grafikonu će izgledati ovako (Sl. 10): Sl.

16 Iz grafikona proizilazi da ako tokom svog života činite negativna djela i radnje, tada će slava o vama biti negativna, i obrnuto. Ili će poslovica „Prekomerno zasijati gore nego nedovoljno” na grafikonu izgledati ovako (Sl. 11): Sl. 11 Iz grafikona je jasno da ako ima malo sjemena, onda će žetva biti mala, ako ima previše sjemena, onda će loše rasti, a vi ćete izgubiti sjeme i nećete požnjeti žetvu, trebate posaditi optimalan broj sjemena i žetva će biti visoka. Zaključak: U svakodnevnom životu stalno se susrećemo s funkcionalnim ovisnostima. Našao sam mnogo primjera funkcija koje su prikazane pomoću grafikona. 15

17 2.2. Ilustracija funkcionalne zavisnosti u radu električara. Zadatak 1. Električna sigurnost (uticaj električne struje na ljudski organizam) Uticaj struje na ljudski organizam (u ma) Veličina struje Različite veličine struje frekvencije 50 Hz djeluju na sljedeći način: 1-2 ) 5 10 ma bolovi u mišićima, njihove grčevite kontrakcije, teško je otrgnuti ruke od elektroda; 2-3) bol, ruke se ne mogu odvojiti od elektroda; 3-4) bolovi u rukama i grudima, otežano disanje, moguća je respiratorna paraliza i gubitak svesti; 4-5) klinička smrt je moguća uz produženo djelovanje; 5-6) 100 mA ili više sa trajanjem dužim od 3 s, moguća je klinička smrt. Istraživački zadatak 2. Istražiti: a) Zavisnost struje od napona. Struja, 0,5 1 1,5 ampera Napon, volti 16

18 snaga 2 1,5 1 struja 0, Vrijednosti Y napona Eksperimentalni rezultati pokazuju da napon i struja zavise jedna od druge, a ta zavisnost je direktno proporcionalna, tj. Kako napon raste, struja se povećava. b) Zavisnost struje od otpora provodnika pri istom naponu. Proveo sam eksperiment sa tri različita provodnika na naponu od 2 volta i dobio sledeće rezultate: eksperiment Otpor provodnika, Omska struja u kolu, A.5 i struja 2,5 2 1,5 1 0, otpor kolone 1 Iskustvo pokazuje da otpor i struja su takođe zavisne veličine; što je veći otpor provodnika, to je struja manja. 17

19 Ljudi u svakodnevnom životu vode računa o zavisnosti struje, napona i otpora, na primjer: dalekovodi su napravljeni od metala sa malim otporom (bakar, aluminij). Zadatak 3. Nemoguće je zamisliti život savremenog čovjeka bez naizmjenične električne struje, jer svi uređaji: kućanstvo, grijanje na struju, televizori, kompjuteri itd. rade iz mreže naizmjenične struje. Napon u našim utičnicama se mijenja prema sljedećem zakonu: u= U max cos(wt), gdje je U max = 308 V, w=314. Konstruirajte graf funkcije. Zadatak 4. Nacrtajte detaljan dijagram trofazne struje. Prošireni dijagram trofazne struje. 18

20 Zadatak 5. Prikazati funkcionalnu zavisnost oblika signala električne struje. Oblici signala električne struje: 1. konstanta u obliku prave linije na vremenskom grafikonu; 2. varijabilni sinusni harmonik, dobro opisan osnovnim trigonometrijskim relacijama; 3. meandar, koji otprilike podsjeća na sinusoidu, ali sa oštrim, izraženim uglovima, koji se u nekim slučajevima mogu dobro izgladiti; 4. pulsirajuće, kada smjer ostaje isti bez promjene, a amplituda periodično fluktuira od nule do maksimalne vrijednosti prema dobro definiranom zakonu. Zadatak 6. Na ovom grafikonu vidimo uporednu karakteristiku snage kućnih aparata. Koji kućni aparati imaju najviše snage? 19

21 Snaga kućnih aparata (W) Problem 7. Koliko je LED rasvjeta korisna u poređenju sa konvencionalnim žaruljama sa žarnom niti sa ekonomske tačke gledišta? Ulična LED rasvjeta je vrlo korisna sa ekonomske tačke gledišta. Samo mala količina električne energije (na primjer, 100 vati) dovoljna je za osvjetljavanje prilično velike površine. Za poređenje: svjetlosni tok LED lampe koja troši 100 vati je oko lumena, isto kao i kod 6 konvencionalnih žarulja sa žarnom niti, odnosno ušteda od više od 80%. 20

22 Zadatak 8. Sastaviti uporedni opis LED sijalica, fluorescentnih i žarulja sa žarnom niti. Karakteristike LED lampa Fluorescentna lampa Žarulja sa žarnom niti Potrošnja energije 5 W 15W 40 W Efikasnost svjetlosnog izlaza 90 Lm/W 30 Lm/W 10,5 Lm/W Svjetlosni fluks 450 Lm Lm Radna temperatura 70 C 60 C 180 C Vek trajanja Do sati Do sati Do sati Ekološki da Sadrži živu da 21

23 I. Zaključak U toku našeg rada analizirali smo i proučavali literaturu o istoriji razvoja funkcije, te na primjerima proučavali funkcionalnu ovisnost u životu oko nas. Kratak pregled razvoja koncepta funkcije dovodi do ideje da je evolucija daleko od kraja i da vjerovatno nikada neće završiti, kao što se evolucija matematike općenito nikada neće završiti. Nova otkrića i istraživanja iz prirodnih i drugih nauka dovest će do novih proširenja pojma funkcije i drugih matematičkih koncepata. Funkcija je jedan od osnovnih matematičkih i opštenaučnih pojmova koji izražava zavisnost jednih varijabli od drugih. Igrao je i još uvijek igra veliku ulogu u razumijevanju stvarnog svijeta. Koncept funkcije igra važnu ulogu, jer je osnovni koncept u proučavanju algebre i principa analize. Posebnost našeg rada je odabir primjera funkcionalnih ovisnosti iz svakodnevnog života. Shvatili smo da takvih primjera ima beskrajno mnogo. Kao rezultat rada, stekli smo razumijevanje važnosti izučavanja matematike i dobili priliku da svojim kolegama studentima pokažemo ljepotu i značaj matematike. Radom smo stekli ne samo potrebna znanja, vještine i sposobnosti, već i određeno lično iskustvo. Teorijski značaj našeg istraživačkog rada je u tome što se rezultati istraživanja mogu koristiti učenicima tehničkih škola prilikom izučavanja teme „Funkcija“. Praktični značaj mog rada je u tome što rezultate studije studenti mogu koristiti za unapređenje svog obrazovnog nivoa prilikom proučavanja upotrebe funkcija u praktičnim aktivnostima električara. 22

24 Literatura 1. Vilenkin N. Ya Funkcije u prirodi i tehnologiji: Knjiga za vannastavnu lektiru, 2. izd., revidirano. M.: Obrazovanje, Nagibin F.F. Matematička kutija.- M., Prosvjeta, Ulyanovskaya N. N. O, funkcija, koliko ste važni // Matematički enciklopedijski rječnik mladog matematičara. Sastavio Savin A.P.-M., Prosvjeta, Enciklopedijski rečnik mladog matematičara. - M.: Pedagogija Rybnikov K.A. Pojava i razvoj matematičke nauke, Moskva, Prosveščenie, 1987. 7. Koljagin Yu. M. „Algebra 10. i 11. razred“ - 3. izdanje - M.: Izdavačka kuća Prosveščenie, Glazer G.I. Istorija matematike u školi: 9-10 razredi - M.: Prosveshchenie Internet resursi: function.ru

25 Vrste funkcija. Dodatak 1. Razmotrimo glavne postojeće tipove funkcija i njihova svojstva. 24

26 25

27 26

28 1. Kvadratna funkcija. 27

29 28

30 29

31 30

32 31

33 32

34 33

35 34

36 35

37 36

38 37

39 38

40 39

BBK.4ya7t+.4ya7.6 M5 Udžbenik je uvršten na saveznu listu Merzlyak A.G. M5 Algebra: 9. razred: udžbenik za učenike opšteobrazovnih organizacija / A.G. Merzlyak, V.M. Polyakov. M.: Ventana-Graf, 07.368

Matematička analiza Sekcija: Uvod u analizu Tema: Pojam funkcije (osnovne definicije, klasifikacija, osnovne karakteristike ponašanja) Predavač Rozhkova S.V. 2012 Literatura Piskunov N.S. Diferencijal

Banka zadataka na temu „IZVOD“ čas MATEMATIKA (profil) Učenici treba da znaju/razumeju: Pojam izvoda. Definicija derivata. Teoreme i pravila za pronalaženje izvoda zbira, razlike, proizvoda

Regionalna naučno-praktična konferencija obrazovno-istraživačkog i projektantskog rada učenika 6-11. razreda “Primijenjena i fundamentalna pitanja matematike” Metodološki aspekti izučavanja matematike Upotreba

Dakle, u poglavlju 3 formulisali smo definicije sledećih matematičkih koncepata: funkcija, domen definicije, opseg vrednosti funkcije; monotonost (povećanje i smanjenje) funkcije; ograničena funkcija

MINISTARSTVO PROSVETE MOSKOVSKOG REGIJA Državna obrazovna ustanova visokog obrazovanja "Državni humanitarno-tehnološki univerzitet" Industrijsko-ekonomski koledž

ODELJENJE ZA OBRAZOVANJE GRADA MOSKVE Državna budžetska obrazovna ustanova grada Moskve „Škola 830” 25362, Moskva, ul. Bolshaya Naberezhnaya, 23, tel./fax: 8-495-49-3-45 Identifikacioni broj poreskog obveznika/KPP

Banka zadataka na temu „DERIVAT“ MATEMATIKA 11. razred (osnovni) Učenici treba da znaju/razumeju: Pojam izvoda. Definicija derivata. Teoreme i pravila za pronalaženje izvoda zbira, razlike, proizvoda

Poglavlje 8 Funkcije i grafikoni Varijable i zavisnosti između njih. Dvije veličine nazivaju se direktno proporcionalnim ako je njihov omjer konstantan, odnosno ako je =, gdje je konstantan broj koji se ne mijenja s promjenama

PREDGOVOR Poštovani čitaoci! Ovaj udžbenik završava kurs matematike za 5-9 razred. Sadržaj udžbenika je usmjeren na proširenje i produbljivanje znanja o već poznatim pojmovima, te uvođenje novih.

Električni krugovi nesinusoidne struje „na dlanu” Ako na kolo djeluju nesinusoidni izvori EMF ili struje, ili u kolu postoje nelinearni elementi, tada u takvom kolu struje i naponi

Čas A Naziv odjeljaka i tema Kalendarsko-tematsko planiranje iz algebre 7. razred (3 časa sedmično, 102 časa godišnje) Prema udžbeniku A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrova i dr. Karakteristike glavne

Opštinska budžetska obrazovna ustanova "Tomarovskaya srednja škola 2 Jakovljevskog okruga Belgorodske oblasti" nazvana po heroju Sovjetskog Saveza V. V. Shvetsu. Sažetak lekcije

Opšta uputstva Na ispitu iz matematike kandidat mora pokazati: jasno poznavanje matematičkih definicija i teorema predviđenih programom, sposobnost dokazivanja ovih teorema; sposobnost da bude precizan i koncizan

SADRŽAJ ALGEBRA I POČECI ANALIZE FUNKCIJA...10 Osnovna svojstva funkcija...11 Parni i neparni...11 Periodičnost...12 Nule funkcije...12 Monotoničnost (rastući, opadajući)...13 Ekstremi (maksimum

PROGRAM RADA IZ ALGEBRE 7 A, B razred Broj časova: Ukupno: 102 časa Sedmično: 3 časa Nastavni materijali: Programi Algebra 7-9 / auto.-komp. Zubareva I.I., Mordkovich A.G. Odobreno od strane Ministarstva obrazovanja Ruske Federacije

PROGRAM RADA IZ ALGEBRE ZA 8 RAZREDA (opšti nivo obrazovanja) Sastavio: Tikhonov V.A., nastavnik matematike; Period realizacije programa: 1 godina Program rada je zasnovan na federalnom

SREDNJE STRUČNO OBRAZOVANJE S. G. GRIGORIEV, S. V. IVOLGINA MATEMATIKA Urednik prof. V. A. Guseva UDŽBENIK Preporuka Federalne državne ustanove “Federalni zavod za razvoj

Predmet. Funkcija. Metode dodjele. Implicitna funkcija. Inverzna funkcija. Klasifikacija funkcija Elementi teorije skupova. Osnovni pojmovi Jedan od osnovnih koncepata moderne matematike je koncept skupa.

0 razred, matematika (profil) 0-08 školska godina Tema modula “Korijeni, potenci, logaritmi” Poznavati pojmove realnog broja, skupa brojeva, svojstva realnih brojeva, djeljivost cijelih brojeva****, svojstva

EKSTRAKLUDORNI SAMOSTALNI RAD U MATEMATICI Izradio: Kamenovskaya E.S. GOU NPO YaO PU 1 2013 Topic. Funkcije, njihova svojstva i grafovi. Potencijalna, eksponencijalna, logaritamska i trigonometrijska

Tema Cijeli i razlomci broja Lekcija 1 (sati) Svrha časa Didaktika Upoznati učenike sa cijelim i razlomkom broja Ustanoviti njihova svojstva i odnose među njima Naučiti kako da konstruišu najjednostavniji

Razred 7.1, 7.2, 7.3, 7.6 Udžbenik: Algebra (Makarychev N.V.) Modul 5 “Funkcije” Testom se testiraju teorijski i praktični dio. Šta je funkcija? Funkcijski graf. Grafički prikaz statističkih

DODATAK 17 OOP SOO FC GOS MAOU Licej Bor Opštinska autonomna obrazovna ustanova Licej Bor, oblast Nižnji Novgorod Program rada nastavnog predmeta „Algebra i počeci matematike“

Napomena uz program rada iz algebre i principa analize (osnovni nivo) za udžbenik „Algebra i principi matematičke analize“, 11. razred, autor. S.M.Nikolsky, M.K.Potapov, N.N.Reshetnikov, A.V. Shevkina

Formiranje koncepta derivacije i integrala u istoriji matematike Galikeev V.Z. (naučni savjetnik A.V. Dorofeev) Sterlitamak ogranak Baškirskog državnog univerziteta Sterlitamak, Republika Baškortostan

Istraživački rad Matematika “Primjena ekstremnih svojstava funkcije za rješavanje jednačina” Izvršila: Elena Gudkova, učenica 11. razreda “G” MBOU srednje škole “Anninsky Lyceum” gradsko naselje. Anna Head:

Umk: Yu. N Makarychev, Algebra, 8. razred, M.: Prosvjeta, 20 Yu. N Makarychev, Algebra, 9. razred, M.: Prosvjeta, 20 L. S. Atanasyan, Geometrija, 7-9 razred, M.: Education, 20 Uslovi za nivo obuke

PROGRAM RADA iz predmeta „Algebra i počeci matematičke analize“ za 10. razred „A“ za školsku 2018 2019. godinu Sastavila: Ševeleva Marina Stanislavovna, nastavnik matematike 1 1. Podaci o programu (okvirni/standardni/

Dodatak OOP DOO Časovi -9 Program rada nastavnog predmeta "Algebra" FKGOS Lipetsk 208 209 akademska godina OBJAŠNJENJE Studij matematike na nivou osnovnog opšteg obrazovanja ima za cilj

Predmet lekcije 1 Brojevi izrazi. Interes. Datum 8A 8B KES (kod elementa sadržaja) 1.3.6 1.5.4 Element sadržaja Numerički izrazi, redosled operacija u njima, upotreba zagrada. Zakoni aritmetike

Regionalna naučno-praktična konferencija obrazovno-istraživačkog i projektantskog rada učenika 6-11. razreda “Primijenjena i fundamentalna pitanja matematike” primijenjena pitanja matematike Matematička industrija

Opštinska budžetska obrazovna ustanova "Srednja škola 2 u Navashinu" ODOBRENA naredbom direktora MBOU "Srednja škola 2 u Navashinu" od septembra 208. 363 PROGRAM RADA IZ ALGEBRE

Testovi iz algebre i počeci matematičke analize, 10. razred Testni rad 1. Tema: “Osnovni trigonometrijski identiteti.” 1. Pronađite vrijednost izraza: a) 2cos 60º - 3 tg45 º + sin

Operacije nad funkcijama i problemi prošlih vekova vezani za funkcije Aliya Ilnurovna Gaisina, student Fakulteta za strane jezike, EI KFU Naučni rukovodilac: Julia Nikolaevna Mironova, kandidat fizike i matematike

PROGRAM prijemnog ispita iz matematike Program polaganja prijemnog ispita za predmet matematike sastavljen je u skladu sa savremenim zahtjevima za provjeru znanja kandidata. Na ispitu iz matematike

MATEMATIKA, 5. razred, UMK Sažetak, 20. maja za regionalni dijagnostički rad iz MATEMATIKA 5. razred (2. maj 20.) za učenike koji uče uz pomoć nastavno-metodičkih kompleta: N.Ya. Vilenkina i drugi; I.I. Zubareva

Sadržaj: 1. OBJAŠNJENJE.3 2. GLAVNI SADRŽAJ PROGRAMA..5 3. ZAHTJEVI ZA NIVO PRIPREMLJENOSTI UČENIKA 6 4. KALENDAR I TEMATSKO PLANIRANJE.9 5. SPISAK OBRAZOVNO-METODIČNOG OBRAZOVANJA1.

Državna budžetska obrazovna ustanova Srednja škola 354, Moskovski okrug Sankt Peterburga Pregledano u metodološkom udruženju Srednja škola 354 Zapisnik od 08.2012.

Obrazloženje Program rada iz algebre za 8. razred izrađen je u skladu sa Modelom programa osnovnog opšteg matematičkog obrazovanja, uzimajući u obzir zahtjeve federalne komponente

I MIA r o s FEDERALNA DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA SREDNJEG (PUNOG) OPŠTEG OBRAZOVANJA „NOVOČERKASKA VOJNA ŠKOLA SUVOROVA MINISTARSTVA UNUTRAŠNJIH POSLOVA RUSKOG FEDERACIJE”

PROGRAM RADA PREDMETA Nastavnik Novickaja Svetlana Aleksandrovna Školska godina 2018 / 2019 10. razred Naziv predmeta Algebra i počeci matematičke analize. Broj sati godišnje

ODELJENJE ZA OBRAZOVANJE GRADA MOSKVE DRŽAVNA BUDŽETSKA OBRAZOVNA USTANOVA GRADA MOSKVE „ŠKOLA 1223” (GBOU škola 1223) „Dogovoreno” Metodološko veće GBOU škola 1223 Protokol 1 od

Državna budžetska obrazovna ustanova Licej 344 Nevski okrug Sankt Peterburga RADNI PROGRAM IZ ALGEBRE I POČETCI MATEMATIČKE ANALIZE ZA NASTAVNIKA RAZREDA 10 “_” (prezime, ime,

Tema časa: Kolo naizmjenične struje koje sadrži kapacitivnu reaktanciju Svrha časa: Istražiti mehanizam toka naizmjenične struje u kolu sa kapacitivnom reaktancijom. Analizu izvršio nastavnik.

Općinska budžetska obrazovna ustanova Srednja škola Vilskaya Razmotreno na sastanku pedagoškog vijeća Zapisnik od 2.08.2007. Odobren. Direktor Opštinske budžetske obrazovne ustanove srednja škola Vil E.I. Shvyndova

PROGRAM RADA NASTAVNOG PREDMETA “ALGEBRA I POČECI ANALIZE” Federalna komponenta državnih obrazovnih standarda srednjeg opšteg obrazovanja (10-11. razred) (2004) 1. PLANIRANI REZULTATI

Funkcija Pojam funkcije Metode specificiranja funkcije Karakteristike funkcije Inverzna funkcija Granica funkcije Granica funkcije u tački Jednostrane granice Granica funkcije na x Beskonačno velika funkcija 4 Predavanje

Predavanje 2. Funkcije 2-1 Pojam funkcije i metode dodjeljivanja 2-2 Svojstva funkcija 2-3 Elementarne funkcije 2-4 Sekvence 23. septembar 2007. Epigraf Matematička analiza nije ništa manje opsežna od

Sažetak programa rada iz algebre (7-9 razredi) Sastavili: Aleksandrova I.V., Markova O.P., Grigorieva N.A., Pavelina I.V., Semjonova N.L. Izrađeni su programi rada iz algebre za 7-9 razred

Poglavlje 8 FUNKCIJE I GRAFIKA Algoritmi A- Postavljanje standardnih funkcija A- Koncept funkcije. Grafikon funkcija A-3 Kanonsko snimanje zavisnosti A- Postavljanje standardnih funkcija. Standardne funkcije uključuju

Predmet Tema časa (broj sati) Šifra elementa sadržaja (CES) Kalendarsko-tematski plan za algebru (7. razred) Element sadržaja 1. odjeljak: Matematički jezik. Matematički model (14 sati) 1 Numerički izrazi

Odjeljak VI. Glossary Matrix. Skup brojeva raspoređenih u obliku pravougaone tabele koja sadrži n redova i m kolona naziva se matrica dimenzija Determinanta matrice. Odrednica kvadrata

Obrazloženje Posljednjih godina došlo je do naglog porasta aktivnosti na tržištu obrazovne literature o matematici za srednje škole: pojavljuju se na desetine novih obrazovnih i metodičkih pomagala,

Dijagnostički rad iz MATEMATIKA 09.12.2010. 11. razred 5. opcija (bez izvoda) Matematika. 11. razred. Opcija 5 (bez izvoda) 2 Uputstvo za izradu rada Za ispit

Zahtjevi za nivo pripremljenosti učenika Kao rezultat izučavanja matematike na specijalističkom nivou, student mora znati/razumjeti: značaj matematičke nauke za rješavanje problema koji se javljaju u teoriji

Razred 7.3, 7.5 Udžbenik: Algebra (Makarychev N.V.) Tema modula je „Formula za skraćeno množenje. Funkcije" Testom se testiraju teorijski i praktični dio. Formule za skraćeno množenje TEMA Znati

MATEMATIKA, časova sedmično, ukupno 0 časova časa Sadržaj nastavnog materijala Broj časova str. „Prirodni brojevi i skale“ (8 časova) Datum - -7 8-0 - -7 8 9- -9 0 - -7 8 - -8 9- -8 9- -9 70-7 7 7-7

AUTONOMNA NEPROFITNA OPŠTA OBRAZOVNA ORGANIZACIJA “SOSNY SCHOOL” ODOBRAVA Direktora I.P. Guryankin Order 8 od 9. avgusta 017. Program rada na predmetu “Algebra i počeci matematike”

MATEMATIČKO OBJAŠNJENJE Ovaj program rada izrađen je na osnovu Federalne komponente Državnog obrazovnog standarda osnovnog opšteg obrazovanja i Programa osnovnog opšteg obrazovanja.

OPŠTINSKA AUTONOMNA OBRAZOVNA USTANOVA GAGINSKAYA SREDNJA ŠKOLA GAGINSKOG OKRUGA NIŽNJEG NOVGORODSKOG REGIJA KOJA JE USVAJLO PEDAGOŠKO VIJEĆE MAOU GAGINSKAYA SSH od 29.08.2008.

ISTRAŽNI KOMITET RUSKE FEDERACIJE FEDERALNE DRŽAVNE OBRAZOVNE USTANOVE „SANKTPETERBUŠKI KADETSKI KORPUS ISTRAŽIVNOG KOMITETA RUSKOG FEDERACIJE 199178,

Funkcije. Domen i skup vrijednosti. Funkcijski graf. Iscrtavanje grafova funkcija specificiranih na različite načine. Svojstva funkcija: monotonost, parne i neparne, periodičnost, ograničenost. Intervali porasta i opadanja, najviše i najniže vrijednosti, tačke ekstrema (lokalni maksimum i minimum). Konveksnost funkcije. Grafička interpretacija. Primjeri funkcionalnih ovisnosti u stvarnim procesima i pojavama.

Kompleksna funkcija (sastav funkcija). Međusobno inverzne funkcije. Domen i raspon vrijednosti inverzne funkcije. Grafikon inverzne funkcije. Pronalaženje inverzne funkcije date.

Ovisnost jedne varijable o drugoj naziva se funkcionalna ovisnost. Zavisnost varijable o varijabli se zove funkcija, ako svaka vrijednost odgovara jednoj vrijednosti.

Oznaka: .

Varijabla se naziva nezavisna varijabla ili argument, a varijabla se naziva zavisna varijabla. Rečeno je da je funkcija . Vrijednost koja odgovara datoj vrijednosti naziva se vrijednost funkcije.

Sve vrijednosti koje, uzimaju, čine domenu funkcije; sve vrijednosti koje, uzimaju, formiraju skup vrijednosti funkcije.

Oznake:

– domen definicije funkcije;

– raspon vrijednosti funkcije;

– vrijednost funkcije u tački .

– vrijednosti argumenata. – vrijednosti funkcije. Ako je funkcija data formulom, onda se smatra da se domen definicije sastoji od svih vrijednosti varijable za koje ova formula ima smisla.

Graf funkcije je skup svih točaka na koordinatnoj ravni čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a čije su ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije. Ako nekoliko vrijednosti (a ne samo jedna) odgovara određenoj vrijednosti, onda takva korespondencija nije funkcija. Da bi skup tačaka na koordinatnoj ravni bio grafik određene funkcije, potrebno je i dovoljno da se svaka prava paralelna osi siječe sa grafikom u najviše jednoj tački.

Metode za određivanje funkcije

1) Funkcija se može analitički specificirati kao formula. Na primjer,

2) Funkcija se može specificirati pomoću tabele sa više parova.

3) Funkcija se može specificirati grafički. Parovi vrijednosti su prikazani na koordinatnoj ravni.

Definicija: Kaže se da je funkcija parna ako za bilo koju domenu. Grafikon proizvoljne parne funkcije prikazan je na donjoj slici.

Predavanje 3. Opšti pojmovi i definicije. Klasifikacija funkcija. Ograničenje funkcije. Beskonačno male i beskonačno velike funkcije. Osnovne teoreme o infinitezimalnim funkcijama.

Funkcija

Prilikom rješavanja raznih problema obično se morate baviti konstantnim i promjenjivim veličinama.

Definicija

Konstantna količina je veličina koja zadržava istu vrijednost bilo općenito ili u datom procesu: u posljednjem slučaju naziva se parametar.

Varijabilna veličina je veličina koja može poprimiti različite numeričke vrijednosti.

Koncept funkcije

Prilikom proučavanja različitih pojava obično se bavimo skupom varijabilnih veličina koje su međusobno povezane na način da vrijednosti nekih veličina (nezavisne varijable) u potpunosti određuju vrijednosti drugih (zavisne varijable i funkcije).

Definicija

Promenljiva veličina y naziva se (jednoznačna) funkcija promenljive količine x ako su međusobno povezane na takav način da svaka vrednost x koja se razmatra odgovara jednoj dobro definisanoj vrednosti veličine y (formulisana N.I. Lobačevskog).

Oznaka y=f(x) (1)

x– nezavisna varijabla ili argument;

y– zavisna varijabla (funkcija);

f– karakteristika funkcije.

Skup svih vrijednosti nezavisne varijable za koju je funkcija definirana naziva se domena definicije ili domena postojanja ove funkcije. Domen definicije funkcije može biti: segment, poluinterval, interval ili cijela numerička os.

Svaka vrijednost radijusa odgovara vrijednosti površine kruga. Površina je funkcija radijusa definiranog u beskonačnom intervalu

2. Funkcija (2). Funkcija definirana na

Da biste vizualizirali ponašanje funkcije, konstruirajte graf funkcije.

Definicija

Funkcijski graf y=f(x) se naziva skup tačaka M(x,y) avion OXY, čije su koordinate povezane ovom funkcionalnom zavisnošću. Ili je graf funkcije pravac čija je jednadžba jednakost koja definira funkciju.

Na primjer, graf funkcije (2) je polukrug polumjera 2 sa središtem u početku.

Najjednostavnije funkcionalne zavisnosti

Pogledajmo nekoliko jednostavnih funkcionalnih ovisnosti

Direktna funkcionalna ovisnost

Definicija

Dvije varijable se nazivaju direktno proporcionalnim ako se jedna od njih promijeni u određenom omjeru, druga se promijeni u istom omjeru.

y=kx, Gdje k– koeficijent proporcionalnosti.

Grafikon funkcije

Linearna zavisnost

Definicija

Dvije promjenljive veličine povezane su linearnim odnosom, ako je , gdje su neke konstantne veličine.

Grafikon funkcije

Obrnuti proporcionalni odnos

Definicija

Dvije varijable se nazivaju obrnuto proporcionalne ako se jedna od njih promijeni u nekom omjeru, druga se promijeni u suprotnom omjeru.

Kvadratna zavisnost

Kvadratna zavisnost u najjednostavnijem slučaju ima oblik , gdje je k neka konstantna vrijednost. Graf funkcije je parabola.

Sinusoidna zavisnost.

Prilikom proučavanja periodičnih pojava, sinusna zavisnost igra važnu ulogu

- funkcija se naziva harmonikom.

A- amplituda;

Frekvencija;

Inicijalna faza.

Funkcija je periodična s tačkom. Vrijednosti funkcije u tačkama x I x+T, koji se razlikuju po periodu, isti.

Funkcija se može svesti na formu , Gdje . Odavde dobijamo da je harmonijski graf deformisana sinusoida sa amplitudom A i periodom T, pomerena duž ose OX za iznos

Metode za određivanje funkcije

Obično se razmatraju tri načina specificiranja funkcije: analitički, tabelarni i grafički.

Analitička metoda specificiranja funkcije

Ako je funkcija izražena pomoću formule, tada se ona specificira analitički.

Na primjer

Ako je funkcija y=f(x) je data formulom, a zatim njegova karakteristika f označava skup radnji koje je potrebno izvršiti određenim redoslijedom na vrijednosti argumenta x da dobijete odgovarajuću vrijednost funkcije.

Primjer . Tri akcije se izvode na vrijednosti argumenta.

Tabelarni metod specificiranja funkcije

Ova metoda uspostavlja korespondenciju između varijabli pomoću tabele. Poznavajući analitički izraz funkcije, ovu funkciju možemo predstaviti za vrijednosti argumenata koji nas zanimaju pomoću tablice.

Da li je moguće prijeći sa dodjeljivanja tabelarne funkcije na analitički izraz?

Imajte na umu da tabela ne daje sve vrijednosti funkcije, a srednje vrijednosti funkcije mogu se pronaći samo približno. Ovo je tzv interpolacija funkcije. Stoga je u općem slučaju nemoguće pronaći tačan analitički izraz za funkciju koristeći tabelarne podatke. Međutim, uvijek je moguće konstruirati formulu, i to više od jedne, koja će za vrijednosti argumenta dostupne u tablici dati odgovarajuće tablične vrijednosti funkcije. Ova vrsta formule se zove interpolacija.

Grafički način specificiranja funkcije

Analitičke i tabelarne metode ne daju jasnu predstavu o funkciji.

Grafička metoda specificiranja funkcije nema ovaj nedostatak. y=f(x), kada je korespondencija između argumenta x i funkciju y postaviti pomoću rasporeda.

Koncept implicitne funkcije

Funkcija se naziva eksplicitnom ako je data formulom čija desna strana ne sadrži zavisnu varijablu.

Funkcija y iz argumenta x naziva se implicitnim ako je dat jednačinom

F(x,y)=0(1) neriješen u odnosu na zavisnu varijablu.

Koncept inverzne funkcije

Neka je funkcija data y=f(x)(1). Određivanjem vrijednosti argumenta x dobijamo vrijednosti funkcije y.

Moguće je, s obzirom y argument, i X– funkcija, zadate vrijednosti y i dobiju vrijednosti x. U ovom slučaju, jednačina (1) će odrediti x, kao implicitna funkcija od y. Ova posljednja funkcija se zove obrnuto u odnosu na ovu funkciju y.

Uz pretpostavku da je jednadžba (1) riješena u odnosu na x, dobijamo eksplicitni izraz za inverznu funkciju

(2), gdje je funkcija za sve važeće vrijednosti y zadovoljava uslov

Tačna matematička analiza društveno-ekonomskih problema uvijek se zasniva na konceptu funkcije. Funkcija je pravilo po kojem se elementi jednog numeričkog skupa upoređuju sa elementima drugog numeričkog skupa. Funkcije su označene kao:

x je argument funkcije, eksplanatorna ili nezavisna varijabla, y je vrijednost funkcije, objašnjena ili zavisna varijabla.

Postoje četiri načina za definiranje funkcije: tabelarni, grafički, analitički, algoritamski. Neki od navedenih načina specificiranja funkcija (ponekad se nazivaju “funkcionalne zavisnosti”) će biti razmotreni u nastavku koristeći konkretne primjere.

Primjer 1: Rezultati proučavanja sezonske potražnje za pojedinom robom dati su u tabeli.

	Vremenski period	Potražnja, hiljade komada

Za svaki određeni trenutak u vremenu, tabela pokazuje vrijednost potražnje za proizvodom u tom trenutku, odnosno pravilo je navedeno u tabeli.

Primjer 2: Proučavanje potražnje za određenim proizvodom u zavisnosti od promene njegove cene omogućilo je konstruisanje sledeće grafičke zavisnosti:

Grafička metoda predstavljanja je očigledno najpogodnija sa stanovišta jasnoće prezentacije podataka, ali najmanje pogodna sa stanovišta tačnosti.

Primjer 3. Potrošnja hrane Y u zavisnosti od prihoda porodice X može se opisati sljedećom relacijom

Primjer 4. Troškovi upravljanja zalihama U Sastoje se od troškova skladištenja i troškova dostave. Zauzvrat, svaki termin zavisi od zapremine robne mase

Gdje A, b - koeficijenti koji karakterišu uslove skladištenja i isporuke robe.

Primjer 5: U mikroekonomiji, koja proučava ponašanje potrošača na tržištu roba i usluga, široko se koristi funkcija korisnosti. U. U slučaju dvije robe, na primjer, čaja i kafe, to može izgledati ovako:

Evo U1, U2 - količine potrošnje svake vrste proizvoda.

Navedeni primjeri su dovoljni da se izvuku neki zaključci.

prvo, Analitičke zavisnosti (formule) su potpuno različite, ali se sve sastoje od konačnog broja jednostavnih zavisnosti, koje se nazivaju osnovne elementarne funkcije .

Slika 1 prikazuje šest glavnih elementarnih funkcija (redom s lijeva na desno):

1. Linearni -

2. Kvadratično

3. Hiperbola

4. Logaritamski

5. Demonstrativna

6. Snaga

Funkcije koje se koriste u praksi sastoje se od kombinacija nekoliko elementarnih i grade se po principu “funkcija iz funkcije”. Na primjer, neka je z = F(y). Zauzvrat, varijabla U je također funkcija koja ovisi o x - to jest, y = F(x). Tada kažu da je funkcija z kompleksna funkcija oblika Z = F(f(x)).

Može se primijetiti da funkcija može ovisiti o jednoj varijabli, a zatim se može prikazati na ravni u obliku grafa u koordinatnom sistemu. Ako postoje dva argumenta, kao što je funkcija korisnosti, onda se može prikazati na ravni kao skup linija nivoa (vidi sliku 2).

Drugo , Svaka od navedenih metoda specificiranja funkcije ne isključuje nijednu drugu. One se samo nadopunjuju. U nekim je problemima zgodnije koristiti analitičku zavisnost, dok je u drugim pogodnije koristiti grafičku.

Osim toga, može se primijetiti da je moguć prijelaz s jedne metode predstavljanja funkcija na drugu.

IN- treće, funkcionalne zavisnosti su korisne ne samo zato što omogućavaju da se izračuna varijabla koja se objašnjava za date vrednosti varijabli objašnjenja, već i zato što omogućavaju da se identifikuju kvalitativne karakteristike fenomena koji se opisuje.

Na primjer, proučimo kako se mijenjaju troškovi hrane (vidi primjer 2) ako se prihod poveća za iznos Dx. Nova vrijednost koštanja će se odrediti kao

Dakle, očigledno je da povećanje troškova hrane ne zavisi od prihoda X, i zavisi samo od povećanja prihoda Dx. To znači da ako je pojedinac primio 800 rubalja. mjesečno i njegova plata se povećava za 20 rubalja, tada će od ovog iznosa izdvojiti dodatnih 14 rubalja za hranu. Druga osoba će učiniti isto sa platom od 1600 rubalja. mjesečno ako se i njegova plata poveća za 20 rubalja.

Zadatak br. 16

Interpretacija realnog grafa zavisnosti.

Primjeri grafova zavisnosti koji okružuju stvarne procese; čitanje i tumačenje.

Ovaj zadatak testira sposobnost analize grafova funkcija koji opisuju ovisnost m/y veličina.

Teorija.

Definicija.

1. Funkcija je zakon, po kojoj svaki element vrijedi x iz nekog seta X jedan element se podudara y od mnogih Y.

2. Zavisnost varijable y od varijable x naziva se funkcija ako svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Varijabla x se naziva nezavisna varijabla ili argument, a varijabla y se naziva zavisna varijabla. Vrijednost y koja odgovara datoj vrijednosti x naziva se vrijednošću funkcije.

Zapišite: y = f (x). Slovo f označava ovu funkciju, odnosno funkcionalni odnos između varijabli x i y; f(x) je vrijednost funkcije, što odgovara vrijednosti argument X. I oni to kažu f(x) je vrijednost funkcije u tački x. Sve vrijednosti koje nezavisna varijabla ima oblik domenu funkcije. Sve vrijednosti koje funkcija f (x) uzima (za x koji pripada njenoj domeni definicije) oblik opseg funkcija.

Metode za određivanje funkcije

Da biste specificirali funkciju, morate specificirati način na koji se za svaku vrijednost argumenta može pronaći odgovarajuća vrijednost funkcije. Najčešći način za specificiranje funkcije je korištenje formule y = f (x),
gdje je f (x) neki izraz sa varijablom x. U ovom slučaju kažu da je funkcija data formulom ili da je funkcija data analitički.

U praksi se često koristi tabelarni metod specificiranja funkcije. Uz ovu metodu, pruža se tabela koja pokazuje vrijednosti funkcije za vrijednosti argumenatadostupne u tabeli.

Funkcijski graf.

Neka je funkcija data analitički formulom y = f (x). Ako na koordinatnoj ravni označimo sve tačke koje imaju sljedeće svojstvo: apscisa tačke pripada domeni definicije funkcije, a ordinata je jednaka odgovarajućoj vrijednosti funkcije, tada skup tačaka (x; f (x)) je graf funkcije.

U praksi, da bi se konstruirao graf funkcije, oni sastavljaju tablicu vrijednosti funkcije za određene vrijednosti argumenta, iscrtavaju odgovarajuće točke na ravni i povezuju rezultirajuće točke linijom. U ovom slučaju se pretpostavlja da je graf funkcije glatka linija, a pronađene tačke prilično precizno pokazuju napredak promjene funkcije. Prednost grafičke slike u odnosu na tabelarnu je njena jasnoća i laka vidljivost; Nedostatak je nizak stepen tačnosti. Uspješan izbor vaga je od velike praktične važnosti. Koristeći graf, možete pronaći (približno) vrijednost funkcije za one vrijednosti argumenata koje nisu uključene u tablicu.