Piramida sa 4 strane. Volumen četvorougaone piramide. Elementi pravilne piramide

apothem- visina bočne strane pravilne piramide, koja je povučena iz njenog vrha (osim toga, apotema je dužina okomice koja se spušta od sredine pravilan poligon na 1. strani);
bočne strane (ASB, BSC, CSD, DSA) - trouglovi koji se sastaju na vrhu;
bočna rebra ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — zajedničke strane bočnih strana;
vrh piramide (t. S) - tačka koja spaja bočna rebra i koja ne leži u ravni osnove;
visina ( SO ) - okomiti segment povučen kroz vrh piramide na ravan njene osnove (krajevi takvog segmenta će biti vrh piramide i osnova okomice);
dijagonalni presjek piramide- presek piramide koji prolazi kroz vrh i dijagonalu osnove;
baza (A B C D) - poligon koji ne pripada vrhu piramide.

Svojstva piramide.

1. Kada sve bočne ivice imaju istu veličinu, tada:

lako je opisati krug blizu osnove piramide, a vrh piramide će biti projektovan u centar ovog kruga;
bočna rebra formiraju jednake uglove sa ravninom osnove;
Štaviše, tačno je i suprotno, tj. kada se bočna rebra formiraju sa ravninom osnove jednakih uglova, ili kada se krug može opisati blizu osnove piramide, a vrh piramide će biti projektovan u centar ove kružnice, što znači da su sve bočne ivice piramide iste veličine.

2. Kada bočne strane imaju ugao nagiba prema ravni osnove iste vrijednosti, tada:

lako je opisati krug blizu osnove piramide, a vrh piramide će biti projektovan u centar ovog kruga;
visine bočnih strana su jednake dužine;
površina bočne površine jednaka je ½ umnoška opsega baze i visine bočne površine.

3. Kugla se može opisati oko piramide ako se u osnovi piramide nalazi poligon oko kojeg se može opisati krug (neophodan i dovoljno stanje). Središte sfere će biti tačka presjeka ravnina koje prolaze kroz sredine ivica piramide okomitih na njih. Iz ove teoreme zaključujemo da se sfera može opisati i oko bilo koje trouglaste i oko bilo koje pravilne piramide.

4. Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u 1. tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će postati centar sfere.

Najjednostavnija piramida.

Na osnovu broja uglova, osnova piramide se deli na trouglastu, četvorougaonu i tako dalje.

Biće piramida trouglasti, četvorougaona, i tako dalje, kada je osnova piramide trokut, četverougao i tako dalje. Trouglasta piramida je tetraedar - tetraedar. Četverokutni - peterokutni i tako dalje.

Definicija 1. Piramida se naziva pravilnom ako je njena osnova pravilan poligon, a vrh takve piramide projektovan je u centar njene osnove.

Definicija 2. Piramida se naziva pravilnom ako joj je osnova pravilan poligon i njena visina prolazi kroz centar baze.

Elementi pravilne piramide

Visina bočne strane povučena iz njenog vrha naziva se apothem. Na slici je označen kao segment ON
Tačka koja spaja bočne ivice, a ne leži u ravni baze naziva se vrh piramide(O)
Trokuti koji imaju zajedničku stranu sa osnovom i jedan od vrhova koji se poklapa sa vrhom nazivaju se bočne strane(AOD, DOC, COB, AOB)
Zove se okomit segment povučen kroz vrh piramide na ravan njene osnove visina piramide(UREDU)
Dijagonalni presjek piramide- ovo je dio koji prolazi kroz vrh i dijagonalu baze (AOC, BOD)
Poligon koji ne pripada vrhu piramide naziva se osnovu piramide(A B C D)

Ako je u bazi pravilne piramide leži trougao, četvorougao itd. onda se zove pravilnog trougla , četverokutni itd.

Trouglasta piramida je tetraedar - tetraedar.

Svojstva pravilne piramide

Za rješavanje zadataka potrebno je poznavati svojstva pojedinih elemenata koji se obično izostavljaju u uvjetu, jer se smatra da učenik to treba znati od početka.

bočna rebra su jednaka između sebe
apoteme su jednake
bočne strane su jednake jedni s drugima (u ovom slučaju, njihove površine su respektivno jednake, strane i baze), odnosno jednaki su trouglovi
sve bočne strane su jednaki jednakokraki trouglovi
u bilo kojoj pravilnoj piramidi možete uklopiti i opisati sferu oko nje
ako se centri upisane i opisane sfere poklapaju, tada je zbir ravnih uglova na vrhu piramide jednak π, a svaki od njih je π/n, respektivno, gdje je n broj stranica baze poligon
Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovini umnoška opsega baze i apoteme
krug se može opisati oko osnove pravilne piramide (vidi i polumjer opisane kružnice trokuta)
sve bočne strane formiraju jednake uglove sa ravninom osnove pravilne piramide
sve visine bočnih strana su jednake jedna drugoj

Uputstva za rješavanje problema. Gore navedena svojstva trebala bi pomoći u praktičnom rješenju. Ako trebate pronaći kutove nagiba lica, njihovu površinu itd., onda se opća tehnika svodi na podjelu cijele volumetrijske figure na zasebne ravne figure i korištenje njihovih svojstava za pronalaženje pojedinačnih elemenata piramide, budući da mnogi elementi zajednički su za nekoliko figura.

Potrebno je razbiti cijelu trodimenzionalnu figuru na pojedinačne elemente - trokute, kvadrate, segmente. Zatim primijenite znanja iz kursa planimetrije na pojedine elemente, što uvelike pojednostavljuje pronalaženje odgovora.

Formule za pravilnu piramidu

Formule za pronalaženje zapremine i bočne površine:

Oznake:
V - zapremina piramide
S - osnovna površina
h - visina piramide
Sb - bočna površina
a - apotema (ne brkati sa α)
P - osnovni perimetar
n - broj strana baze
b - dužina bočnog rebra
α - ravan ugao na vrhu piramide

Ova formula za pronalaženje volumena se može primijeniti samo Za ispravna piramida:

, Gdje

V - zapremina pravilne piramide
h - visina pravilne piramide
n je broj stranica pravilnog mnogougla, koji je osnova pravilne piramide
a - dužina stranice pravilnog mnogougla

Pravilna skraćena piramida

Ako nacrtamo presjek paralelan osnovici piramide, tada se tijelo zatvoreno između ovih ravnina i bočne površine naziva krnje piramide. Ovaj dio za skraćenu piramidu je jedna od njenih osnova.

Visina bočne strane (koja je jednakokraki trapez) naziva se - apotema pravilne krnje piramide.

Skraćena piramida se naziva pravilnom ako je piramida iz koje je izvedena pravilna.

Razmak između osnova krnje piramide naziva se visina krnje piramide
Sve lica pravilne skraćene piramide su jednakostrani (jednakokraki) trapezi

Bilješke

Vidi također: specijalni slučajevi (formule) za pravilnu piramidu:

Kako koristiti teorijske materijale koji se nalaze ovdje da riješim svoj problem:

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije u cilju poboljšanja usluga koje pružamo i pružanja preporuka u vezi sa našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu nasljednika.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Četvorougaona piramida je poliedar čija je osnova kvadrat, a sve njegove bočne strane su identični jednakokraki trouglovi.

Ovaj poliedar ima mnogo različitih svojstava:

Njegove bočne ivice i susedni diedarski uglovi su jednaki jedni drugima;
Područja bočnih strana su ista;
U osnovi pravilne četvorougaone piramide leži kvadrat;
Visina spuštena sa vrha piramide seče tačku u kojoj se seku dijagonale osnove.

Sva ova svojstva olakšavaju pronalaženje. Međutim, prilično često, pored ovoga, potrebno je izračunati i volumen poliedra. Da biste to učinili, koristite formulu za volumen četverokutne piramide:

Odnosno, volumen piramide jednak je jednoj trećini proizvoda visine piramide i površine baze. Pošto je jednak njegovom proizvodu jednake strane, onda odmah unosimo formulu za površinu kvadrata u izraz volumena.
Razmotrimo primjer izračunavanja volumena četverokutne piramide.

Neka je data četvorougaona piramida čija je osnova kvadrat sa stranicom a = 6 cm. Bočna strana piramide je b = 8 cm. Nađite zapreminu piramide.

Da bismo pronašli zapreminu datog poliedra, potrebna nam je dužina njegove visine. Stoga ćemo ga pronaći primjenom Pitagorine teoreme. Prvo izračunajmo dužinu dijagonale. U plavom trouglu to će biti hipotenuza. Također je vrijedno zapamtiti da su dijagonale kvadrata jednake jedna drugoj i podijeljene su na pola na mjestu presjeka:

Sada iz crvenog trougla nalazimo visinu h koja nam je potrebna. Biće jednako:

Zamijenimo potrebne vrijednosti i pronađemo visinu piramide:

Sada, znajući visinu, možemo zamijeniti sve vrijednosti u formulu za volumen piramide i izračunati potrebnu vrijednost:

Ovako, znajući nekoliko jednostavne formule, bili smo u mogućnosti da izračunamo zapreminu pravilne četvorougaone piramide. Zapamtite da se ova vrijednost mjeri u kubičnim jedinicama.