Kako izgleda razlomak u decimalnom zapisu? Decimalni razlomci. Koncept decimalnog razlomka. Pretvaranje decimalnog razlomka u obični razlomak
Već smo rekli da postoje razlomci običan I decimalni. On ovog trenutka Malo smo proučavali razlomke. Naučili smo da postoje pravilni i nepravilni razlomci. Također smo naučili da se obični razlomci mogu smanjivati, sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti. Takođe smo saznali da postoje takozvani mešoviti brojevi, koji se sastoje od celog i razlomka.
Još nismo u potpunosti istražili obične razlomke. Postoje mnoge suptilnosti i detalji o kojima bi trebalo razgovarati, ali danas ćemo početi proučavati decimalni razlomci, pošto obični i decimaleČesto morate kombinovati. Odnosno, prilikom rješavanja zadataka morate raditi s obje vrste razlomaka.
Ova lekcija može izgledati komplikovano i zbunjujuće. To je sasvim normalno. Ove vrste lekcija zahtijevaju da se proučavaju, a ne da se površno prelistavaju.
Sadržaj lekcijeIzražavanje količina u frakcijskom obliku
Ponekad je zgodno nešto prikazati u frakcijskom obliku. Na primjer, jedna desetina decimetra je napisana ovako:
Ovaj izraz znači da je jedan decimetar podijeljen sa deset jednaki dijelovi, a iz ovih deset dijelova uzet je jedan dio. I jedan dio od deset u ovom slučaju jednak jednom centimetru:
Razmotrite sljedeći primjer. Pokažite 6 cm i još 3 mm u centimetrima u razlomcima.
Dakle, trebate prikazati 6 cm i 3 mm u centimetrima, ali u frakcijskom obliku. Već imamo 6 celih centimetara:
Ali ostalo je još 3 milimetra. Kako prikazati ova 3 milimetra i u centimetrima? Frakcije dolaze u pomoć. Jedan centimetar je deset milimetara. Tri milimetra su tri dijela od deset. I tri dijela od deset se pišu kao cm
Izraz cm znači da je jedan centimetar podijeljen na deset jednakih dijelova, a od ovih deset dijelova uzeta su tri dijela.
Kao rezultat, imamo šest cijelih centimetara i tri desetinke centimetra:
U ovom slučaju, 6 pokazuje broj cijelih centimetara, a razlomak broj razlomaka centimetara. Ovaj razlomak se čita kao "šest zarez tri centimetra".
Razlomci čiji nazivnik sadrži brojeve 10, 100, 1000 mogu se pisati bez imenioca. Prvo napišite cijeli dio, a zatim brojnik razlomaka. Cjelobrojni dio je odvojen zarezom od brojnika razlomka.
Na primjer, zapišimo ga bez nazivnika. Prvo zapisujemo cijeli dio. Cijeli dio je 6
Cijeli dio je snimljen. Odmah nakon pisanja cijelog dijela stavljamo zarez:
A sada zapisujemo brojnik razlomka. U mješovitom broju, brojilac razlomka je broj 3. Nakon decimalnog zareza pišemo trojku:
Bilo koji broj koji je predstavljen u ovom obliku se zove decimalni.
Stoga možete prikazati 6 cm i još 3 mm u centimetrima koristeći decimalni razlomak:
6,3 cm
To će izgledati ovako:
U stvari, decimale su iste kao obični razlomci i mješoviti brojevi. Posebnost takvih razlomaka je u tome što nazivnik njihovog razlomka sadrži brojeve 10, 100, 1000 ili 10000.
Kao i mješoviti broj, decimalni razlomak ima cijeli broj i razlomak. Na primjer, u mješovitom broju cijeli broj je 6, a razlomak je .
U decimalnom razlomku 6.3, cijeli broj je broj 6, a razlomak je brojilac razlomka, odnosno broj 3.
Takođe se dešava da su obični razlomci u nazivniku čiji su brojevi 10, 100, 1000 dati bez celobrojnog dela. Na primjer, razlomak je dat bez cijelog dijela. Da biste zapisali takav razlomak kao decimalni, prvo napišite 0, zatim stavite zarez i napišite brojnik razlomka. Razlomak bez nazivnika će se napisati na sljedeći način:
Reads like "nula tačka pet".
Pretvaranje mješovitih brojeva u decimale
Kada pišemo mješovite brojeve bez nazivnika, na taj način ih pretvaramo u decimalne razlomke. Kada pretvarate razlomke u decimale, morate znati nekoliko stvari o kojima ćemo sada govoriti.
Nakon što je cijeli dio zapisan, potrebno je izbrojati broj nula u nazivniku razlomaka, jer broj nula razlomaka i broj cifara nakon decimalnog zareza u decimalnom razlomku mora biti jednak isto. Šta to znači? Razmotrite sljedeći primjer:
Kao prvo
I možete odmah zapisati brojilac razlomaka i decimalni razlomak je spreman, ali svakako morate izbrojati broj nula u nazivniku razlomaka.
Dakle, brojimo broj nula u razlomku mješovitog broja. Imenilac razlomka ima jednu nulu. To znači da će u decimalnom razlomku biti jedna cifra iza decimalnog zareza i ta će cifra biti brojnik razlomka mješovitog broja, odnosno broja 2
Dakle, kada se pretvori u decimalni razlomak, mješoviti broj postaje 3,2.
Ovaj decimalni razlomak glasi ovako:
"tri tačka dva"
“Desetice” jer je broj 10 u razlomku mješovitog broja.
Primjer 2. Pretvorite mješoviti broj u decimalu.
Zapišite cijeli dio i stavite zarez:
I možete odmah da zapišete brojilac razlomka i dobijete decimalni razlomak 5,3, ali pravilo kaže da iza decimalnog zareza treba da bude onoliko cifara koliko ima nula u nazivniku razlomka mešovitog broja. I vidimo da imenilac razlomka ima dve nule. To znači da naš decimalni razlomak mora imati dvije cifre iza decimalnog zareza, a ne jednu.
U takvim slučajevima, brojnik razlomka treba malo izmijeniti: dodati nulu prije brojila, odnosno prije broja 3
Sada možete pretvoriti ovaj mješoviti broj u decimalni razlomak. Zapišite cijeli dio i stavite zarez:
I zapiši brojilac razlomka:
Decimalni razlomak 5,03 čita se kako slijedi:
"pet tačka tri"
“Stotine” jer nazivnik razlomka mješovitog broja sadrži broj 100.
Primjer 3. Pretvorite mješoviti broj u decimalu.
Iz prethodnih primjera naučili smo da za uspješno pretvaranje mješovitog broja u decimalu, broj cifara u brojniku razlomka i broj nula u nazivniku razlomka moraju biti isti.
Prije pretvaranja mješovitog broja u decimalni razlomak, njegov razlomački dio treba malo modificirati, naime, kako bi se osiguralo da su broj cifara u brojniku razlomka i broj nula u nazivniku razlomaka jednak isto.
Prije svega, gledamo broj nula u nazivniku razlomaka. Vidimo da postoje tri nule:
Naš zadatak je organizirati tri znamenke u brojniku razlomka. Već imamo jednu cifru - ovo je broj 2. Ostaje dodati još dvije znamenke. Biće dve nule. Dodajte ih ispred broja 2. Kao rezultat toga, broj nula u nazivniku i broj cifara u brojniku bit će isti:
Sada možete početi pretvarati ovaj mješoviti broj u decimalni razlomak. Prvo zapišemo cijeli dio i stavimo zarez:
i odmah zapiši brojilac razlomka
3,002
Vidimo da su broj cifara iza decimalnog zareza i broj nula u nazivniku razlomka mešovitog broja isti.
Decimalni razlomak 3,002 čita se na sljedeći način:
"tri zareze dvije hiljaditinke"
„Hiljačice“ jer nazivnik razlomka mešovitog broja sadrži broj 1000.
Pretvaranje razlomaka u decimale
Uobičajeni razlomci sa nazivnicima 10, 100, 1000 ili 10000 također se mogu pretvoriti u decimale. Kako običan razlomak nema cijeli broj, prvo zapišite 0, zatim stavite zarez i zapišite brojnik razlomka.
I ovdje broj nula u nazivniku i broj cifara u brojniku moraju biti isti. Stoga treba biti oprezan.
Primjer 1.
Nedostaje cijeli dio, pa prvo napišemo 0 i stavimo zarez:
Sada gledamo na broj nula u nazivniku. Vidimo da postoji jedna nula. A brojilac ima jednu cifru. To znači da možete bezbedno nastaviti decimalni razlomak tako što ćete napisati broj 5 iza decimalnog zareza
U rezultujućem decimalnom razlomku 0,5, broj cifara iza decimalnog zareza i broj nula u nazivniku razlomka su isti. To znači da je razlomak ispravno preveden.
Decimalni razlomak 0,5 čita se na sljedeći način:
"Nulta tačka pet"
Primjer 2. Pretvorite razlomak u decimalu.
Nedostaje cijeli dio. Prvo napišemo 0 i stavimo zarez:
Sada gledamo na broj nula u nazivniku. Vidimo da postoje dvije nule. A brojilac ima samo jednu cifru. Da bi broj cifara i broj nula bili isti, dodajte jednu nulu u brojilac ispred broja 2. Tada će razlomak poprimiti oblik . Sada su broj nula u nazivniku i broj cifara u brojniku isti. Dakle, možete nastaviti decimalni razlomak:
U rezultujućem decimalnom razlomku 0,02, broj cifara iza decimalnog zareza i broj nula u nazivniku razlomka su isti. To znači da je razlomak ispravno preveden.
Decimalni razlomak 0,02 čita se na sljedeći način:
“Nulta tačka dva.”
Primjer 3. Pretvorite razlomak u decimalu.
Napišite 0 i stavite zarez:
Sada brojimo broj nula u nazivniku razlomka. Vidimo da ima pet nula, a da je u brojiocu samo jedna cifra. Da bi broj nula u nazivniku i broj cifara bio isti, potrebno je dodati četiri nule u brojiocu ispred broja 5:
Sada su broj nula u nazivniku i broj cifara u brojniku isti. Dakle, možemo nastaviti s decimalnim razlomkom. Napišite brojilac razlomka iza decimalnog zareza
U rezultujućem decimalnom razlomku 0,00005, broj cifara iza decimalnog zareza i broj nula u nazivniku razlomka su isti. To znači da je razlomak ispravno preveden.
Decimalni razlomak 0,00005 čita se na sljedeći način:
„Nula petsto hiljaditih delova.”
Pretvaranje nepravilnih razlomaka u decimale
Nepravilan razlomak je razlomak kod kojeg je brojilac veći od nazivnika. Postoje nepravilni razlomci u kojima nazivnik sadrži brojeve 10, 100, 1000 ili 10000. Takvi razlomci se mogu pretvoriti u decimale. Ali prije pretvaranja u decimalni razlomak, takvi razlomci moraju biti razdvojeni u cijeli dio.
Primjer 1.
Razlomak je nepravilan razlomak. Da biste takav razlomak pretvorili u decimalni razlomak, prvo morate odabrati cijeli njegov dio. Prisjetimo se kako izolirati cijeli dio nepravih razlomaka. Ako ste zaboravili, savjetujemo vam da se vratite i proučite.
Dakle, hajde da istaknemo cijeli dio u nepravilnom razlomku. Podsjetimo da razlomak znači dijeljenje - u ovom slučaju, dijeljenje broja 112 sa brojem 10
Pogledajmo ovu sliku i sastavimo novi mješoviti broj, kao dječji konstrukcioni set. Broj 11 će biti cijeli broj, broj 2 će biti brojnik razlomaka, a broj 10 će biti imenilac razlomaka.
Imamo mešoviti broj. Pretvorimo ga u decimalni razlomak. I već znamo kako pretvoriti takve brojeve u decimalne razlomke. Prvo zapišite cijeli dio i stavite zarez:
Sada brojimo broj nula u nazivniku razlomaka. Vidimo da postoji jedna nula. A brojnik razlomka ima jednu cifru. To znači da su broj nula u nazivniku razlomka i broj cifara u brojniku razlomka isti. Ovo nam daje priliku da odmah zapišemo brojilac razlomka nakon decimalnog zareza:
U rezultujućem decimalnom razlomku 11.2, broj cifara iza decimalnog zareza i broj nula u nazivniku razlomka su isti. To znači da je razlomak ispravno preveden.
Sredstva nepravilan razlomak kada se pretvori u decimalni razlomak postaje 11,2
Decimalni razlomak 11,2 čita se na sljedeći način:
"Jedanaest tačka dva."
Primjer 2. Pretvorite nepravilan razlomak u decimalni.
To je nepravilan razlomak jer je brojilac veći od nazivnika. Ali može se pretvoriti u decimalni razlomak, jer nazivnik sadrži broj 100.
Prije svega, odaberimo cijeli dio ovog razlomka. Da biste to učinili, podijelite 450 sa 100 uglom:
Sakupimo novi mješoviti broj - dobijemo . I već znamo kako pretvoriti mješovite brojeve u decimalne razlomke.
Zapišite cijeli dio i stavite zarez:
Sada brojimo broj nula u nazivniku razlomaka i broj cifara u brojniku razlomaka. Vidimo da su broj nula u nazivniku i broj cifara u brojniku isti. Ovo nam daje priliku da odmah zapišemo brojilac razlomka nakon decimalnog zareza:
U rezultujućem decimalnom razlomku 4,50, broj cifara iza decimalnog zareza i broj nula u nazivniku razlomka su isti. To znači da je razlomak ispravno preveden.
To znači da nepravilan razlomak postaje 4,50 kada se pretvori u decimalu.
Prilikom rješavanja zadataka, ako se na kraju decimalnog razlomka nalaze nule, one se mogu odbaciti. Ispustimo i nulu u našem odgovoru. Tada dobijamo 4.5
Ovo je jedan od zanimljive karakteristike decimalni razlomci. Ona leži u činjenici da nule koje se pojavljuju na kraju razlomka ne daju ovom razlomku nikakvu težinu. Drugim riječima, decimale 4,50 i 4,5 su jednake. Stavimo znak jednakosti između njih:
4,50 = 4,5
Postavlja se pitanje: zašto se to dešava? Uostalom, izgleda kao 4,50 i 4,5 različite frakcije. Cijela tajna leži u osnovnom svojstvu razlomaka, koje smo ranije proučavali. Pokušat ćemo dokazati zašto su decimalni razlomci 4,50 i 4,5 jednaki, ali nakon proučavanja sljedeće teme, koja se zove "pretvaranje decimalnog razlomka u mješoviti broj".
Pretvaranje decimale u mješoviti broj
Bilo koji decimalni razlomak može se ponovo pretvoriti u mješoviti broj. Da biste to učinili, dovoljno je znati čitati decimalne razlomke. Na primjer, pretvorimo 6,3 u mješoviti broj. 6.3 je šest poena tri. Prvo zapisujemo šest cijelih brojeva:
i pored tri desetine:
Primjer 2. Pretvorite decimalni 3.002 u mješoviti broj
3.002 je tri cijele i dvije hiljaditinke. Prvo zapisujemo tri cijela broja
a pored njega pišemo dvije hiljaditinke:
Primjer 3. Pretvorite decimalni 4,50 u mješoviti broj
4.50 je četiri zarez i pedeset. Zapišite četiri cijela broja
i sljedećih pedeset stotinki:
Usput, prisjetimo se posljednjeg primjera iz prethodne teme. Rekli smo da su decimale 4,50 i 4,5 jednake. Takođe smo rekli da se nula može odbaciti. Pokušajmo dokazati da su decimale 4,50 i 4,5 jednake. Da bismo to učinili, oba decimalna razlomka pretvaramo u mješovite brojeve.
Kada se pretvori u mješoviti broj, decimalni broj 4,50 postaje , a decimalni 4,5 postaje
Imamo dva mješovita broja i . Pretvorimo ove mješovite brojeve u nepravilne razlomke:
Sada imamo dva razlomka i . Vrijeme je da se prisjetimo osnovnog svojstva razlomka, koje kaže da kada pomnožite (ili podijelite) brojilac i imenilac razlomka istim brojem, vrijednost razlomka se ne mijenja.
Podijelimo prvi razlomak sa 10
Dobili smo , a ovo je drugi razlomak. To znači da su oba jednaka jedno drugom i jednaka istoj vrijednosti:
Pokušajte koristiti kalkulator da prvo podijelite 450 sa 100, a zatim 45 sa 10. Bit će to smiješno.
Pretvaranje decimalnog razlomka u razlomak
Bilo koji decimalni razlomak može se ponovo pretvoriti u razlomak. Da biste to učinili, opet je dovoljno znati čitati decimalne razlomke. Na primjer, pretvorimo 0,3 u običan razlomak. 0,3 je nula tačka tri. Prvo zapisujemo nula cijelih brojeva:
i pored tri desetine 0. Nula se tradicionalno ne zapisuje, tako da konačni odgovor neće biti 0, već jednostavno .
Primjer 2. Pretvorite decimalni razlomak 0,02 u razlomak.
0,02 je nula tačka dva. Ne zapisujemo nulu, pa odmah zapisujemo dvije stotinke
Primjer 3. Pretvorite 0,00005 u razlomak
0,00005 je nula zarez pet. Ne zapisujemo nulu, pa odmah zapisujemo petstohiljaditih
Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama
Takvima ćemo posvetiti ovaj materijal važna tema, kao decimale. Prvo, definirajmo osnovne definicije, damo primjere i zadržimo se na pravilima decimalni zapis, kao i šta su decimalna mjesta. Zatim ističemo glavne vrste: konačni i beskonačni, periodični i neperiodični razlomci. U završnom dijelu ćemo pokazati kako se na koordinatnoj osi nalaze tačke koje odgovaraju razlomcima.
Šta je decimalni zapis razlomaka
Takozvani decimalni zapis razlomaka može se koristiti i za prirodne i za razlomke. Izgleda kao skup od dva ili više brojeva sa zarezom između njih.
Decimalna točka je potrebna da se cijeli dio odvoji od razlomaka. Po pravilu, zadnja znamenka decimalnog razlomka nije nula, osim ako se decimalni zarez ne pojavi odmah iza prve nule.
Koji su neki primjeri razlomaka u decimalnom zapisu? Ovo može biti 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11,231,552, 9, itd.
U nekim udžbenicima možete pronaći upotrebu tačke umjesto zareza (5.67, 6789.1011, itd.) Ova opcija se smatra ekvivalentnom, ali je tipičnija za izvore na engleskom jeziku.
Definicija decimala
Na osnovu gornjeg koncepta decimalnog zapisa, možemo formulisati sljedeća definicija decimalni razlomci:
Definicija 1
Decimalni razlomci predstavljaju razlomci brojeva u decimalnom zapisu.
Zašto trebamo pisati razlomke u ovom obliku? To nam daje neke prednosti u odnosu na obične, na primjer, kompaktniji zapis, posebno u slučajevima kada nazivnik sadrži 1000, 100, 10, itd., ili mješoviti broj. Na primjer, umjesto 6 10 možemo odrediti 0,6, umjesto 25 10000 - 0,0023, umjesto 512 3 100 - 512,03.
Kako pravilno predstaviti obične razlomke sa desetinama, stotinama, hiljadama u nazivniku u decimalnom obliku, raspravljat ćemo u posebnom materijalu.
Kako pravilno čitati decimale
Postoje neka pravila za čitanje decimalnih zapisa. Dakle, oni decimalni razlomci koji odgovaraju njihovim redovnim običnim ekvivalentima čitaju se gotovo na isti način, ali sa dodatkom riječi "nula desetina" na početku. Dakle, unos 0, 14, koji odgovara 14.100, čita se kao „nulta tačka četrnaest stotinki“.
Ako se decimalni razlomak može povezati s mješovitim brojem, onda se čita na isti način kao i ovaj broj. Dakle, ako imamo razlomak 56, 002, koji odgovara 56 2 1000, ovaj unos čitamo kao „pedeset šest zareza dve hiljaditinke“.
Značenje cifre u decimalnom razlomku zavisi od toga gde se nalazi (isto kao u slučaju prirodnih brojeva). Dakle, u decimalnom razlomku 0,7 sedam je desetine, u 0,0007 je deset hiljaditih, a u razlomku 70.000.345 znači sedam desetina hiljada celih jedinica. Dakle, u decimalnim razlomcima postoji i koncept mesne vrednosti.
Imena cifara koje se nalaze ispred decimalnog zareza slična su onima koja postoje u prirodnim brojevima. Imena onih koji se nalaze poslije jasno su predstavljena u tabeli:
Pogledajmo primjer.
Primjer 1
Imamo decimalni razlomak 43,098. Ona ima četvorku na mjestu desetica, trojku na mjestu jedinica, nulu na mjestu desetine, 9 na mjestu stotinki i 8 na mjestu hiljaditih.
Uobičajeno je da se rangovi decimalnih razlomaka razlikuju po prioritetu. Ako se krećemo kroz brojeve s lijeva na desno, onda ćemo ići od najznačajnijeg do najmanje značajnog. Ispostavilo se da su stotine starije od desetina, a dijelovi na milion mlađi od stotinki. Ako uzmemo taj konačni decimalni razlomak koji smo gore naveli kao primjer, onda će najviše, odnosno najviše mjesto u njemu biti mjesto stotine, a najniže, odnosno najniže mjesto će biti mjesto 10-hiljaditi.
Bilo koji decimalni razlomak može se proširiti na pojedinačne znamenke, odnosno predstaviti kao zbir. Ova radnja se izvodi na isti način kao za prirodni brojevi.
Primjer 2
Pokušajmo proširiti razlomak 56, 0455 u znamenke.
dobićemo:
56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005
Ako se prisjetimo svojstava sabiranja, ovaj razlomak možemo predstaviti u drugim oblicima, na primjer, kao zbir 56 + 0, 0455 ili 56, 0055 + 0, 4, itd.
Šta su zadnje decimale?
Svi razlomci o kojima smo gore govorili su konačne decimale. To znači da je broj cifara iza decimalnog zareza konačan. Hajde da izvedemo definiciju:
Definicija 1
Završne decimale su tip decimalnog razlomka koji ima konačan broj decimalnih mjesta iza decimalnog znaka.
Primjeri takvih razlomaka mogu biti 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49, itd.
Bilo koji od ovih razlomaka može se pretvoriti u mješoviti broj (ako je vrijednost njihovog razlomka različita od nule) ili u običan razlomak (ako je cijeli broj nula). Kako se to radi, posvetili smo poseban članak. Ovdje ćemo samo ukazati na nekoliko primjera: na primjer, možemo svesti konačni decimalni razlomak 5, 63 na oblik 5 63 100, a 0, 2 odgovara 2 10 (ili bilo kojem drugom jednakom razlomku, za na primjer, 4 20 ili 1 5.)
Ali obrnuti proces, tj. zapisivanje običnog razlomka u decimalnom obliku možda nije uvijek moguće. Dakle, 5 13 se ne može zamijeniti jednakim razlomkom sa nazivnikom 100, 10 itd., što znači da se iz njega ne može dobiti konačni decimalni razlomak.
Glavne vrste beskonačnih decimalnih razlomaka: periodični i neperiodični razlomci
Gore smo naveli da se konačni razlomci nazivaju tako jer imaju konačan broj cifara iza decimalnog zareza. Međutim, on može biti beskonačan, u kom slučaju će se i sami razlomci zvati beskonačnim.
Definicija 2
Beskonačni decimalni razlomci su oni koji imaju beskonačan broj cifara iza decimalnog zareza.
Očigledno je da se takvi brojevi jednostavno ne mogu zapisati u cijelosti, pa naznačimo samo dio njih, a zatim dodamo trotočku. Ovaj znak označava beskonačan nastavak niza decimalnih mjesta. Primjeri beskonačnih decimalnih razlomaka uključuju 0, 143346732…, 3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. itd.
"Rep" takvog razlomka može sadržavati ne samo naizgled nasumične nizove brojeva, već i stalno ponavljanje istog znaka ili grupe znakova. Razlomci sa naizmjeničnim brojevima iza decimalnog zareza nazivaju se periodični.
Definicija 3
Periodični decimalni razlomci su oni beskonačni decimalni razlomci u kojima se jedna cifra ili grupa od nekoliko cifara ponavlja iza decimalnog zareza. Ponavljajući dio naziva se period razlomka.
Na primjer, za razlomak 3, 444444…. period će biti broj 4, a za 76, 134134134134... - grupa 134.
Kakva minimalni iznos Da li je dozvoljeno ostavljati znakove u zapisu periodičnog razlomka? Za periodične razlomke bit će dovoljno cijeli period napisati jednom u zagradi. Dakle, razlomak 3, 444444…. Bilo bi ispravno zapisati kao 3, (4) i 76, 134134134134... – kao 76, (134).
Općenito, unosi s nekoliko tačaka u zagradama imat će potpuno isto značenje: na primjer, periodični razlomak 0,677777 je isti kao 0,6 (7) i 0,6 (77), itd. Prihvatljivi su i zapisi oblika 0, 67777 (7), 0, 67 (7777) itd.
Da bismo izbjegli greške, uvodimo uniformnost notacije. Dogovorimo se da zapišemo samo jednu tačku (najkraći mogući niz brojeva), koja je najbliža decimalnoj zarezi, i stavimo je u zagrade.
Odnosno, za gornji razlomak smatrat ćemo glavni unos 0, 6 (7), a, na primjer, u slučaju razlomka 8, 9134343434, pisaćemo 8, 91 (34).
Ako nazivnik običnog razlomka sadrži proste faktore koji nisu jednaki 5 i 2, onda kada se pretvore u decimalni zapis, oni će rezultirati beskonačnim razlomcima.
U principu, bilo koji konačni razlomak možemo zapisati kao periodični. Da bismo to učinili, samo trebamo dodati beskonačan broj nula s desne strane. Kako to izgleda na snimku? Recimo da imamo konačni razlomak 45, 32. U periodičnom obliku to će izgledati kao 45, 32 (0). Ova radnja je moguća jer dodavanjem nula desno od bilo kojeg decimalnog razlomka dobije se razlomak koji mu je jednak.
Posebnu pažnju treba obratiti na periodične razlomke sa periodom od 9, na primjer, 4, 89 (9), 31, 6 (9). Oni su alternativna oznaka za slične razlomke s periodom od 0, tako da se često zamjenjuju kada se piše razlomcima sa nultom tačkom. U ovom slučaju, vrijednost sljedeće znamenke dodaje se jedan, a (0) je naznačeno u zagradama. Jednakost rezultirajućih brojeva može se lako provjeriti predstavljanjem ih kao obične razlomke.
Na primjer, razlomak 8, 31 (9) može se zamijeniti odgovarajućim razlomkom 8, 32 (0). Ili 4, (9) = 5, (0) = 5.
Beskonačni decimalni periodični razlomci se klasifikuju kao racionalni brojevi. Drugim riječima, bilo koji periodični razlomak se može predstaviti kao običan razlomak, i obrnuto.
Postoje i razlomci koji nemaju beskonačno ponavljanje niza nakon decimalnog zareza. U ovom slučaju nazivaju se neperiodični razlomci.
Definicija 4
Neperiodični decimalni razlomci uključuju one beskonačne decimalne razlomke koji ne sadrže tačku nakon decimalnog zareza, tj. ponavljajuća grupa brojeva.
Ponekad neperiodični razlomci izgledaju vrlo slično periodičnim. Na primjer, 9, 03003000300003 ... na prvi pogled izgleda da ima menstruaciju, međutim detaljna analiza decimalna mjesta potvrđuje da je ovo još uvijek neperiodični razlomak. Sa takvim brojevima morate biti veoma oprezni.
Neperiodični razlomci se odnose na iracionalni brojevi. Oni se ne pretvaraju u obične razlomke.
Osnovne operacije sa decimalama
Sa decimalnim razlomcima se mogu izvoditi sljedeće operacije: poređenje, oduzimanje, sabiranje, dijeljenje i množenje. Pogledajmo svaki od njih posebno.
Poređenje decimala može se svesti na poređenje razlomaka koji odgovaraju originalnim decimalima. Ali beskonačni neperiodični razlomci ne mogu se svesti na ovaj oblik, a pretvaranje decimalnih razlomaka u obične razlomke je često naporan zadatak. Kako možemo brzo izvršiti radnju poređenja ako to trebamo učiniti dok rješavamo problem? Pogodno je porediti decimalne razlomke po znamenki na isti način kao što poredimo prirodne brojeve. Ovoj metodi ćemo posvetiti poseban članak.
Za dodavanje nekih decimalnih razlomaka s drugima, zgodno je koristiti metodu sabiranja stupaca, kao i za prirodne brojeve. Da biste dodali periodične decimalne razlomke, prvo ih morate zamijeniti običnim i računati prema standardnoj shemi. Ako, prema uslovima zadatka, treba da saberemo beskonačne neperiodične razlomke, onda ih prvo treba zaokružiti na određenu cifru, a zatim sabrati. Što je manja cifra na koju zaokružujemo, to će biti veća tačnost izračuna. Za oduzimanje, množenje i dijeljenje beskonačnih razlomaka potrebno je i prethodno zaokruživanje.
Pronalaženje razlike između decimalnih razlomaka je inverzno sabiranju. U suštini, pomoću oduzimanja možemo pronaći broj čiji će nam zbir s razlomkom koji oduzimamo dati razlomak koji minimiziramo. O tome ćemo detaljnije govoriti u posebnom članku.
Množenje decimalnih razlomaka vrši se na isti način kao i za prirodne brojeve. Metoda proračuna stupaca je također pogodna za to. Ovu radnju s periodičnim razlomcima opet svodimo na množenje običnih razlomaka prema već proučavanim pravilima. Beskonačni razlomci, kao što se sjećamo, moraju se zaokružiti prije izračunavanja.
Proces dijeljenja decimala je inverzan od množenja. Prilikom rješavanja zadataka koristimo i stupaste proračune.
Možete uspostaviti tačnu korespondenciju između konačnog decimalnog razlomka i točke na koordinatnoj osi. Hajde da shvatimo kako označiti tačku na osi koja će tačno odgovarati traženom decimalnom razlomku.
Već smo proučavali kako konstruirati tačke koje odgovaraju običnim razlomcima, ali decimalni razlomci se mogu svesti na ovaj oblik. Na primjer, obični razlomak 14 10 je isti kao 1, 4, tako da će odgovarajuća točka biti uklonjena iz ishodišta u pozitivnom smjeru za potpuno istu udaljenost:
Možete bez zamjene decimalnog razlomka običnim, ali kao osnovu koristite metodu proširenja ciframa. Dakle, ako treba da označimo tačku čija će koordinata biti jednaka 15, 4008, onda ćemo ovaj broj prvo prikazati kao zbir 15 + 0, 4 +, 0008. Za početak, odvojimo 15 cijelih jediničnih segmenata u pozitivnom smjeru od početka odbrojavanja, zatim 4 desetine jednog segmenta, a zatim 8 desethiljaditih dijelova jednog segmenta. Kao rezultat, dobijamo koordinatnu tačku koja odgovara razlomku 15, 4008.
Za beskonačni decimalni razlomak, bolje je koristiti ovu metodu, jer vam omogućava da se što više približite željenoj tački. U nekim slučajevima moguće je konstruirati tačnu korespondenciju beskonačnog razlomka na koordinatnoj osi: na primjer, 2 = 1, 41421. . . , a ovaj razlomak se može povezati s tačkom na koordinatnoj zraci, udaljenom od 0 po dužini dijagonale kvadrata, čija će stranica biti jednaka jednom jediničnom segmentu.
Ako ne pronađemo tačku na osi, već decimalni razlomak koji joj odgovara, tada se ova radnja naziva decimalno mjerenje segmenta. Hajde da vidimo kako to ispravno uraditi.
Recimo da treba da dođemo od nule do date tačke na koordinatnoj osi (ili da se što više približimo u slučaju beskonačnog razlomka). Da bismo to učinili, postepeno odgađamo segmente jedinica od početka dok ne dođemo do željene tačke. Nakon cijelih segmenata, po potrebi, mjerimo desetinke, stotinke i manje razlomke kako bi podudaranje bilo što preciznije. Kao rezultat, dobili smo decimalni razlomak koji odgovara dati poen na koordinatnoj osi.
Iznad smo prikazali crtež sa tačkom M. Pogledajte ponovo: da biste došli do ove tačke, morate izmjeriti jedan jedinični segment i četiri desetine od nule, jer ova tačka odgovara decimalnom razlomku 1, 4.
Ako ne možemo doći do tačke u procesu decimalnog mjerenja, onda to znači da ona odgovara beskonačnom decimalnom razlomku.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Postoji još jedan prikaz racionalnog broja 1/2, različit od prikaza oblika 2/4, 3/6, 4/8, itd. Mislimo na prikaz u obliku decimalnog razlomka 0,5. Neki razlomci imaju konačan decimalni prikaz, npr.
dok su decimalni prikazi drugih razlomaka beskonačni:
Ove beskonačne decimale se mogu dobiti iz odgovarajućih racionalnih razlomaka dijeljenjem brojnika sa nazivnikom. Na primjer, u slučaju razlomka 5/11, dijeljenje 5.000... sa 11 daje 0.454545...
Koji racionalni razlomci imaju konačan decimalni prikaz? Prije nego što odgovorite na ovo pitanje u opštem slučaju, razmislite konkretan primjer. Uzmimo, recimo, konačni decimalni razlomak 0,8625. Znamo to
i da se bilo koji konačni decimalni razlomak može napisati kao racionalni decimalni razlomak sa nazivnikom jednakim 10, 100, 1000 ili nekom drugom stepenu broja 10.
Svodeći razlomak na desnoj strani na nesvodljivi razlomak, dobijamo
Imenilac 80 se dobija dijeljenjem 10.000 sa 125 - najvećim zajednički djelitelj 10 000 i 8625. Dakle, prost faktorizacija broja 80, kao i broj 10 000, uključuje samo dva prosta faktora: 2 i 5. Ako ne počnemo sa 0,8625, već s bilo kojim drugim konačnim decimalnim razlomkom, onda dobijeni nesvodljivi racionalni frakcija bi takođe imala ovo svojstvo. Drugim riječima, proširenje nazivnika b u proste faktore može uključivati samo primarni brojevi 2 i 5, budući da je b djelitelj nekog stepena 10, i . Ova okolnost se pokazuje kao odlučujuća, naime vrijedi sljedeća opšta izjava:
Nesvodljivi racionalni razlomak ima konačan decimalni prikaz ako i samo ako broj b nema primarni faktori, lični od 2 i 5.
Imajte na umu da b ne mora imati oba broja 2 i 5 među svojim prostim faktorima: može biti djeljiv samo sa jednim od njih ili uopće nije djeljiv s njima. Na primjer,
ovdje je b jednako 25, 16 i 1. Ono što je značajno je da b nema drugih djelitelja osim 2 i 5.
Gornja rečenica sadrži izraz ako i samo ako. Do sada smo dokazali samo dio koji se odnosi na promet samo tada. Mi smo pokazali da će dekompozicija racionalnog broja na decimalni razlomak biti konačna samo u slučaju kada b nema prostih faktora osim 2 i 5.
(Drugim riječima, ako je b djeljiv prostim brojem koji nije 2 i 5, tada nesvodivi razlomak nema konačni decimalni izraz.)
Tadašnji dio rečenice kaže da ako cijeli broj b nema proste faktore osim 2 i 5, onda se nesvodljivi racionalni razlomak može predstaviti konačnim decimalnim razlomkom. Da bismo to dokazali, moramo uzeti proizvoljan nesvodljivi racionalni razlomak u kojem b nema prostih faktora osim 2 i 5, i provjeriti da je odgovarajući decimalni razlomak konačan. Pogledajmo prvo primjer. Neka
Da bismo dobili decimalni razmak, ovaj razlomak transformiramo u razlomak čiji je nazivnik cijeli broj potenc od deset. To se može postići množenjem brojnika i nazivnika sa:
Gornje obrazloženje može se proširiti na opći slučaj na sljedeći način. Pretpostavimo da je b oblika , gdje su tip nenegativni cijeli brojevi (tj. pozitivni brojevi ili nula). Moguća su dva slučaja: ili manje ili jednako (ovaj uslov je napisan) ili veći (što je zapisano). Kada pomnožimo brojilac i imenilac razlomka sa
Budući da cijeli broj nije negativan (to jest, pozitivan ili jednak nuli), tada je , i stoga a pozitivan cijeli broj. Hajde da to stavimo. Onda
U ovom članku ćemo razumjeti što je decimalni razlomak, koje karakteristike i svojstva ima. Idi! 🙂
Decimalni razlomak je poseban slučaj običnih razlomaka (gdje je nazivnik višekratnik 10).
Definicija
Decimale su razlomci čiji su imenioci brojevi koji se sastoje od jedan i niza nula iza njega. Odnosno, to su razlomci sa nazivnikom 10, 100, 1000 itd. Inače, decimalni razlomak se može okarakterisati kao razlomak sa nazivnikom 10 ili jednim od stepena desetice.
Primjeri razlomaka:
, ,
Decimalni razlomci se pišu drugačije od običnih razlomaka. Operacije s ovim razlomcima također se razlikuju od operacija s običnim. Pravila za operacije s njima su u velikoj mjeri slična pravilima za operacije s cijelim brojevima. To posebno objašnjava njihovu potrebu za rješavanjem praktičnih problema.
Predstavljanje razlomaka u decimalnim zapisima
Decimalni razlomak nema nazivnik; on prikazuje broj brojioca. Općenito, decimalni razlomak se piše prema sljedećoj shemi:
gdje je X cijeli broj razlomka, Y je njegov razlomak, “,” je decimalni zarez.
Da bi se razlomak ispravno predstavio kao decimalni razlomak, potrebno je da bude običan razlomak, to jest, s istaknutim cijelim dijelom (ako je moguće) i brojnikom manjim od nazivnika. Tada se u decimalnom zapisu cijeli broj upisuje prije decimalnog zareza (X), a brojnik običnog razlomka se upisuje nakon decimalnog zareza (Y).
Ako brojilac sadrži broj s manje cifara od broja nula u nazivniku, tada se u dijelu Y broj cifara koji nedostaju u decimalnom zapisu popunjava nulama ispred cifara brojilaca.
primjer: 
Ako je obični razlomak manji od 1, tj. nema cijeli broj, tada za X u decimalnom obliku upišite 0.
U razlomljeni dio (Y), nakon posljednje značajne (ne-nula) cifre, može se unijeti proizvoljan broj nula. To ne utječe na vrijednost razlomka. Suprotno tome, sve nule na kraju razlomka decimale mogu se izostaviti.
Čitanje decimala
Dio X se općenito čita na sljedeći način: "X cijeli brojevi."
Y dio se čita prema broju u nazivniku. Za imenilac 10 treba da pročitate: “Y desetine”, za nazivnik 100: “Y stotinke”, za imenilac 1000: “Y hiljaditih” i tako dalje... 😉
Drugi pristup čitanju, zasnovan na brojanju broja cifara razlomka, smatra se ispravnijim. Da biste to učinili, morate razumjeti da se razlomke nalaze u zrcalnoj slici u odnosu na znamenke cijelog dijela razlomka.
Nazivi za pravilno čitanje dati su u tabeli:
Na osnovu toga, čitanje bi trebalo biti zasnovano na usklađenosti s nazivom cifre posljednje znamenke razlomka.
- 3.5 glasi "tri tačka pet"
- 0,016 glasi "nula tačka šesnaest hiljaditih"
Pretvaranje proizvoljnog razlomka u decimalu
Ako je nazivnik običnog razlomka 10 ili neki stepen desetice, onda se konverzija razlomka izvodi kao što je gore opisano. U drugim situacijama potrebne su dodatne transformacije.
Postoje 2 načina prevođenja.
Prvi način prijenosa
Brojilac i nazivnik moraju se pomnožiti s takvim cijelim brojem da nazivnik proizvede broj 10 ili jedan od potencija desetice. I tada je razlomak predstavljen decimalnim zapisom.
Ova metoda je primjenjiva za razlomke čiji se imenilac može proširiti samo na 2 i 5. Dakle, u prethodnom primjeru 
. Ako proširenje sadrži druge osnovne faktore (na primjer, ), tada ćete morati pribjeći 2. metodi.
Drugi način prevođenja
Druga metoda je da se brojnik podijeli sa nazivnikom u stupcu ili na kalkulatoru. Cijeli dio, ako ga ima, ne učestvuje u transformaciji.
Pravilo za dugo dijeljenje koje rezultira decimalnim razlomkom opisano je u nastavku (pogledajte Dijeljenje decimala).
Pretvaranje decimalnog razlomka u obični razlomak
Da biste to učinili, trebali biste zapisati njegov razlomak (desno od decimalnog zareza) kao brojnik, a rezultat čitanja razlomka kao odgovarajući broj u nazivniku. Zatim, ako je moguće, trebate smanjiti rezultujuću frakciju.
Konačan i beskonačan decimalni razlomak
Decimalni razlomak se naziva konačni razlomak, čiji se razlomak sastoji od konačnog broja znamenki.
Svi gornji primjeri sadrže konačne decimalne razlomke. Međutim, ne može se svaki obični razlomak predstaviti kao konačna decimala. Ako 1. metoda konverzije nije primjenjiva za dati razlomak, a 2. metoda pokazuje da se dijeljenje ne može završiti, tada se može dobiti samo beskonačan decimalni razlomak.
Nemoguće je napisati beskonačan razlomak u njegovom potpunom obliku. U nepotpunom obliku, takvi razlomci se mogu predstaviti:
- kao rezultat smanjenja na željeni broj decimalnih mjesta;
- kao periodični razlomak.
Razlomak se naziva periodičnim ako je iza decimalnog zareza moguće razlikovati niz cifara koji se beskonačno ponavlja.
Preostali razlomci se nazivaju neperiodični. Za neperiodične razlomke dozvoljen je samo 1. način predstavljanja (zaokruživanje).
Primjer periodičnog razlomka: 0,8888888... Ovdje se ponavlja broj 8, koji će se, očito, ponavljati beskonačno, jer nema razloga da se pretpostavlja drugačije. Ova cifra se zove period razlomka.
Periodični razlomci mogu biti čisti ili mješoviti. Čisti decimalni razlomak je onaj čiji period počinje odmah nakon decimalnog zareza. Mješoviti razlomak ima 1 ili više znamenki prije decimalnog zareza.
54,33333… – periodični čisti decimalni razlomak
2,5621212121… – periodična mješovita frakcija
Primjeri pisanja beskonačnih decimalnih razlomaka:
Drugi primjer pokazuje kako pravilno formatirati tačku u pisanju periodičnog razlomka.
Pretvaranje periodičnih decimalnih razlomaka u obične razlomke
Da biste čisti periodični razlomak pretvorili u običan period, upišite ga u brojilac, a u nazivnik upišite broj koji se sastoji od devetki u iznosu jednakom broju cifara u periodu.
Mješoviti periodični decimalni razlomak se prevodi na sljedeći način:
- potrebno je da formirate broj koji se sastoji od broja iza decimalne tačke pre tačke i prve tačke;
- Od rezultirajućeg broja oduzmite broj iza decimalne točke prije tačke. Rezultat će biti brojnik običnog razlomka;
- u nazivnik treba da unesete broj koji se sastoji od broja devetki jednakog broju cifara perioda, nakon čega slijede nule, čiji je broj jednak broju cifara broja iza decimalnog zareza prije 1. period.
Poređenje decimala
Decimalni razlomci se u početku upoređuju po cijelim dijelovima. Razlomak čiji je cijeli dio veći je veći.
Ako su cjelobrojni dijelovi isti, uporedite znamenke odgovarajućih znamenki razlomaka, počevši od prvog (od desetih). Ovdje vrijedi isti princip: veći razlomak je onaj sa više desetina; ako su cifre desetine jednake, upoređuju se cifre stotih dela, i tako dalje.
Zbog
, budući da sa jednakim cijelim dijelovima i jednakim desetinama u razlomku, 2. razlomak ima veću stotinu.
Sabiranje i oduzimanje decimala
Decimale se sabiraju i oduzimaju na isti način kao i cijeli brojevi tako što se odgovarajuće znamenke zapisuju jedna ispod druge. Da biste to učinili, morate imati decimalne točke jedna ispod druge. Tada će jedinice (desetice, itd.) cijelog broja, kao i desetine (stotine, itd.) razlomnog dijela, biti u skladu. Cifre koje nedostaju u razlomku su ispunjene nulama. Direktno Proces sabiranja i oduzimanja izvodi se na isti način kao i za cijele brojeve.
Množenje decimala
Da biste pomnožili decimale, morate ih napisati jednu ispod druge, poravnati sa posljednjom znamenkom i ne obraćajući pažnju na lokaciju decimalnih zareza. Zatim morate pomnožiti brojeve na isti način kao kada množite cijele brojeve. Nakon što dobijete rezultat, trebali biste ponovo izračunati broj znamenki iza decimalnog zareza u oba razlomka i odvojiti ukupan broj razlomaka u rezultirajućem broju zarezom. Ako nema dovoljno cifara, one se zamjenjuju nulama.
Množenje i dijeljenje decimala sa 10n
Ove radnje su jednostavne i svode se na pomicanje decimalne točke. P Prilikom množenja, decimalni zarez se pomiče udesno (razlomak se povećava) za broj cifara jednak broju nula u 10n, gdje je n proizvoljni cijeli broj. Odnosno, određeni broj cifara se prenosi iz razlomka u cijeli dio. Prilikom dijeljenja, u skladu s tim, zarez se pomiče ulijevo (broj se smanjuje), a neke od znamenki se prenose iz cijelog broja u razlomak. Ako nema dovoljno brojeva za prijenos, bitovi koji nedostaju se popunjavaju nulama.
Dijeljenje decimale i cijelog broja cijelim brojem i decimalom
Dijeljenje decimale cijelim brojem je slično dijeljenju dva cijela broja. Osim toga, potrebno je samo uzeti u obzir poziciju decimalnog zareza: kada uklanjate cifru mjesta iza koje slijedi zarez, morate staviti zarez iza trenutne cifre generiranog odgovora. Zatim morate nastaviti dijeljenje dok ne dobijete nulu. Ako u dividendi nema dovoljno znakova za potpuno dijeljenje, kao njih treba koristiti nule.
Slično, 2 cijela broja se dijele u stupac ako su sve znamenke dividende uklonjene, a kompletno dijeljenje još nije završeno. U ovom slučaju, nakon uklanjanja posljednje znamenke dividende, decimalni zarez se stavlja u rezultirajući odgovor, a nule se koriste kao uklonjene znamenke. One. dividenda je ovdje u suštini predstavljena kao decimalni razlomak sa nultim razlomkom.
Da biste podijelili decimalni razlomak (ili cijeli broj) decimalnim brojem, morate pomnožiti dividendu i djelitelj brojem 10 n, u kojem je broj nula jednak broju cifara nakon decimalne točke u djelitelju. Na ovaj način ćete se riješiti decimalne točke u razlomku kojim želite podijeliti. Nadalje, proces podjele se poklapa s gore opisanim.
Grafički prikaz decimalnih razlomaka
Decimalni razlomci su grafički predstavljeni pomoću koordinatne linije. Da bi se to postiglo, pojedinačni segmenti se dalje dijele na 10 jednakih dijelova, baš kao što su centimetri i milimetri istovremeno označeni na ravnalu. Ovo osigurava da se decimale prikazuju tačno i da se mogu objektivno upoređivati.
Da bi podjele na pojedinačne segmente bile identične, treba pažljivo razmotriti dužinu samog pojedinačnog segmenta. Trebao bi biti takav da se može osigurati pogodnost dodatne podjele.
