Kako napraviti inverznu matricu. Algoritam za izračunavanje inverzne matrice korišćenjem algebarskih sabiranja: metoda adjuntirane matrice. Rješavanje matričnih jednačina
Nastavimo razgovor o akcijama sa matricama. Naime, tokom proučavanja ovog predavanja naučićete kako pronaći inverznu matricu. Naučite. Čak i ako je matematika teška.
Šta je inverzna matrica? Ovdje možemo povući analogiju s inverznim brojevima: razmotrimo, na primjer, optimistični broj 5 i njegov inverzni broj. Proizvod ovih brojeva jednak je jedan: . Sve je slično sa matricama! Proizvod matrice i njene inverzne matrice jednak je – matrica identiteta, što je matrični analog numeričke jedinice. Međutim, prvo prvo - hajde da prvo riješimo ono važno. praktično pitanje, naime, naučit ćemo kako pronaći baš ovu inverznu matricu.
Šta treba da znate i da znate da biste pronašli inverznu matricu? Moraš biti u stanju da odlučiš kvalifikacije. Morate shvatiti šta je to matrica i biti u mogućnosti da izvršite neke radnje sa njima.
Postoje dvije glavne metode za pronalaženje inverzne matrice:
korišćenjem algebarski dodaci I koristeći elementarne transformacije.
Danas ćemo proučiti prvi, jednostavniji metod.
Počnimo s najstrašnijim i najnerazumljivijim. Hajde da razmotrimo kvadrat matrica. Inverzna matrica se može naći pomoću sljedeće formule:
Gdje je determinanta matrice, je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
Koncept inverzne matrice postoji samo za kvadratne matrice, matrice “dva po dva”, “tri po tri” itd.
Oznake: Kao što ste možda već primijetili, inverzna matrica je označena superskriptom
Počnimo s najjednostavnijim slučajem - matricom dva po dva. Najčešće je, naravno, potrebno "tri po tri", ali, ipak, toplo preporučujem proučavanje jednostavnijeg zadatka kako biste savladali opšti princip rješenja.
primjer:
Naći inverz matrice
Hajde da odlučimo. Pogodno je razbiti redoslijed radnji tačku po tačku.
1) Prvo pronalazimo determinantu matrice.
Ako vaše razumijevanje ove akcije nije dobro, pročitajte materijal Kako izračunati determinantu?
Bitan! Ako je determinanta matrice jednaka NULA– inverzna matrica NE POSTOJI.
U primjeru koji se razmatra, kako se ispostavilo, , što znači da je sve u redu.
2) Pronađite matricu minora.
Da bismo riješili naš problem, nije potrebno znati što je maloljetnik, ali je preporučljivo pročitati članak Kako izračunati determinantu.
Matrica minora ima iste dimenzije kao i matrica, odnosno in u ovom slučaju.
Jedino što preostaje je pronaći četiri broja i staviti ih umjesto zvjezdica.
Vratimo se našoj matrici
Pogledajmo prvo gornji lijevi element:
Kako ga pronaći minor?
A to se radi ovako: MENTALNO precrtajte red i stupac u kojem se ovaj element nalazi:
Preostali broj je minor ovog elementa, koje upisujemo u našu matricu minora:
Razmotrite sljedeći element matrice:
Mentalno precrtajte red i stupac u kojem se pojavljuje ovaj element:
Ono što ostaje je minor ovog elementa, koji upisujemo u našu matricu:
Slično, razmatramo elemente drugog reda i pronalazimo njihove minore:
Spreman.
To je jednostavno. U matrici maloljetnika trebate PROMENI ZNAKOVE dva broja:
Ovo su brojevi koje sam zaokružio!
– matrica algebarskih sabiranja odgovarajućih elemenata matrice.
I samo...
4) Pronađite transponovanu matricu algebarskih sabiranja.
– transponovana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
5) Odgovor.
Prisjetimo se naše formule
Sve je pronađeno!
Dakle, inverzna matrica je: 
Bolje je ostaviti odgovor kakav jeste. NO NEED podijelite svaki element matrice sa 2, kako dobijete razlomci brojeva. O ovoj nijansi detaljnije se govori u istom članku. Akcije sa matricama.
Kako provjeriti rješenje?
Potrebno je izvršiti množenje matrice ili
pregled: 
Primljeno već spomenuto matrica identiteta je matrica sa jedinicama po glavna dijagonala i nule na drugim mjestima.
Dakle, inverzna matrica je ispravno pronađena.
Ako izvršite akciju, rezultat će također biti matrica identiteta. Ovo je jedan od rijetkih slučajeva gdje je množenje matrice komutativno, više detalja možete pronaći u članku Svojstva operacija nad matricama. Matrični izrazi. Također imajte na umu da se tokom provjere konstanta (razlomak) prenosi naprijed i obrađuje na samom kraju - nakon množenja matrice. Ovo je standardna tehnika.
Pređimo na češći slučaj u praksi - matricu tri po tri:
primjer:
Naći inverz matrice 
Algoritam je potpuno isti kao i za slučaj „dva po dva“.
Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule: , gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.
1) Pronađite determinantu matrice.
Ovdje se otkriva determinanta na prvoj liniji.
Takođe, ne zaboravite to, što znači da je sve u redu - inverzna matrica postoji.
2) Pronađite matricu minora.
Matrica maloljetnika ima dimenziju "tri sa tri" 
, i trebamo pronaći devet brojeva.
Detaljnije ću pogledati par maloljetnika:
Razmotrite sljedeći element matrice: 
MENTALNO precrtajte red i stupac u kojem se nalazi ovaj element: 
Preostala četiri broja upisujemo u odrednicu “dva po dva”. 
Ova determinanta dva po dva i je minor ovog elementa. Potrebno je izračunati: 
To je to, minor je pronađen, upisujemo ga u našu matricu minora: 
Kao što ste verovatno pretpostavili, morate izračunati devet determinanti dva po dva. Proces je, naravno, naporan, ali slučaj nije najteži, može biti i gori.
Pa, da se konsolidujemo – pronalazak još jednog maloletnika na slikama: 
Pokušajte sami izračunati preostale maloljetnike.
Konačan rezultat: 
– matrica minora odgovarajućih elemenata matrice.
To što su svi maloljetnici ispali negativni je čista nesreća.
3) Naći matricu algebarskih sabiranja.
U matrici maloljetnika to je neophodno PROMENI ZNAKOVE striktno za sljedeće elemente: 
U ovom slučaju:
Ne razmatramo pronalaženje inverzne matrice za matricu „četiri puta četiri“, jer takav zadatak može dati samo učitelj sadista (da učenik izračuna jednu determinantu „četiri sa četiri“ i 16 determinanti „tri sa tri“). ). U mojoj praksi bio je samo jedan takav slučaj, i to kupac testni rad skupo platio moju muku =).
U brojnim udžbenicima i priručnicima možete pronaći nešto drugačiji pristup pronalaženju inverzne matrice, ali preporučujem korištenje algoritma rješenja koji je gore opisan. Zašto? Zato što je vjerovatnoća da ćete se zbuniti u proračunima i znakovima mnogo manja.
Za bilo koju nesingularnu matricu A postoji jedinstvena matrica A -1 takva da
A*A -1 =A -1 *A = E,
gdje je E matrica identiteta istih redova kao i A. Matrica A -1 se naziva inverzna matrici A.
U slučaju da je neko zaboravio, u matrici identiteta, osim dijagonale popunjene jedinicama, sve ostale pozicije su popunjene nulama, primjer matrice identiteta:
Pronalaženje inverzne matrice korištenjem metode adjuint matrice
Inverzna matrica je definirana formulom:
gdje je A ij - elementi a ij.
One. Da biste izračunali inverznu matricu, morate izračunati determinantu ove matrice. Zatim pronađite algebarske komplemente za sve njegove elemente i sastavite novu matricu od njih. Zatim morate prenijeti ovu matricu. I podijelite svaki element nove matrice determinantom originalne matrice.
Pogledajmo nekoliko primjera.
Pronađite A -1 za matricu
Rješenje: Nađimo A -1 koristeći metodu adjoint matrice. Imamo det A = 2. Nađimo algebarske komplemente elemenata matrice A. U ovom slučaju, algebarski komplementi elemenata matrice će biti odgovarajući elementi same matrice, uzeti sa predznakom u skladu sa formulom
Imamo A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Formiramo pridruženu matricu
Prevozimo matricu A*:
Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule:
Dobijamo:
Koristeći metodu spojene matrice, pronađite A -1 if
Rješenje Prije svega izračunavamo definiciju ove matrice da bismo provjerili postojanje inverzne matrice. Imamo
Ovdje smo elementima drugog reda dodali elemente trećeg reda, prethodno pomnožene sa (-1), a zatim proširili determinantu za drugi red. Pošto je definicija ove matrice različita od nule, postoji njena inverzna matrica. Da bismo konstruisali pridruženu matricu, nalazimo algebarske komplemente elemenata ove matrice. Imamo
Prema formuli
transportna matrica A*:
Zatim prema formuli
Pronalaženje inverzne matrice metodom elementarnih transformacija
Pored metode pronalaženja inverzne matrice, koja slijedi iz formule (metoda adjuint matrix), postoji i metoda za pronalaženje inverzne matrice koja se zove metoda elementarnih transformacija.
Elementarne matrične transformacije
Sljedeće transformacije se nazivaju transformacije elementarnih matrica:
1) preuređivanje redova (kolona);
2) množenje reda (kolone) brojem koji nije nula;
3) dodavanjem elementima reda (kolone) odgovarajućih elemenata drugog reda (kolone), prethodno pomnoženih određenim brojem.
Da bismo pronašli matricu A -1, konstruišemo pravougaonu matricu B = (A|E) redova (n; 2n), pridajući matrici A na desnoj strani matricu identiteta E kroz liniju razdvajanja:
Pogledajmo primjer.
Koristeći metodu elementarnih transformacija, pronaći A -1 if
Rješenje Formiramo matricu B:
Označimo redove matrice B sa α 1, α 2, α 3. Izvršimo sljedeće transformacije na redovima matrice B.
Slično inverznom u mnogim svojstvima.
Enciklopedijski YouTube
1 / 5
✪ Inverzna matrica (2 načina za pronalaženje)
✪ Kako pronaći inverz od matrice - bezbotvy
✪ Inverzna matrica #1
✪ Rješavanje sistema jednačina metodom inverzne matrice - bezbotvy
✪ Inverzna matrica
Titlovi
Svojstva inverzne matrice
- det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Gdje det (\displaystyle \\det ) označava determinantu.
- (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) za dvije kvadratne invertibilne matrice A (\displaystyle A) I B (\displaystyle B).
- (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Gdje (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) označava transponovanu matricu.
- (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) za bilo koji koeficijent k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
- E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
- Ako je potrebno riješiti sistem linearnih jednačina, (b je vektor različit od nule) gdje je x (\displaystyle x) je željeni vektor, i if A − 1 (\displaystyle A^(-1)) onda postoji x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Inače, ili je dimenzija prostora rješenja veća od nule, ili rješenja uopće nema.
Metode za pronalaženje inverzne matrice
Ako je matrica invertibilna, tada da biste pronašli inverznu matricu možete koristiti jednu od sljedećih metoda:
Egzaktne (direktne) metode
Gauss-Jordan metoda
Uzmimo dvije matrice: the A i samac E. Hajde da predstavimo matricu A na matricu identiteta koristeći Gauss-Jordan metod, primjenjujući transformacije duž redova (možete primijeniti i transformacije duž kolona, ali ne pomiješane). Nakon primjene svake operacije na prvu matricu, primijeniti istu operaciju na drugu. Kada se svođenje prve matrice na jedinični oblik završi, druga matrica će biti jednaka A−1.
Kada se koristi Gaussova metoda, prva matrica će se pomnožiti s lijeve strane jednom od elementarnih matrica Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvekcija ili dijagonalna matrica sa jedinicama na glavnoj dijagonali, osim za jednu poziciju):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).Druga matrica nakon primjene svih operacija bit će jednaka Λ (\displaystyle \Lambda), odnosno biće ono željeno. Složenost algoritma - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).
Korištenje algebarske matrice komplementa
Matrica inverzna matrici A (\displaystyle A), može se predstaviti u obliku
A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))
Gdje adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- pridružena matrica;
Složenost algoritma zavisi od složenosti algoritma za izračunavanje determinante O det i jednaka je O(n²)·O det.
Korištenje LU/LUP dekompozicije
Matrična jednadžba A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) za inverznu matricu X (\displaystyle X) može se smatrati kolekcijom n (\displaystyle n) sistemi forme A x = b (\displaystyle Ax=b). Označimo i (\displaystyle i) th kolona matrice X (\displaystyle X) kroz X i (\displaystyle X_(i)); Onda A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots,n),zbog i (\displaystyle i) th kolona matrice I n (\displaystyle I_(n)) je jedinični vektor e i (\displaystyle e_(i)). drugim riječima, pronalaženje inverzne matrice svodi se na rješavanje n jednačina sa istom matricom i različitim desnim stranama. Nakon obavljanja LUP dekompozicije (O(n³) vrijeme), rješavanje svake od n jednačina traje O(n²) vremena, tako da je za ovaj dio posla potrebno i O(n³) vremena.
Ako je matrica A nesingularna, tada se za nju može izračunati LUP dekompozicija P A = L U (\displaystyle PA=LU). Neka P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Tada iz svojstava inverzne matrice možemo napisati: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Ako ovu jednakost pomnožite sa U i L, možete dobiti dvije jednakosti oblika U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) I D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prva od ovih jednakosti predstavlja sistem od n² linearne jednačine Za n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) iz kojih su poznate desne strane (iz svojstava trouglastih matrica). Drugi takođe predstavlja sistem od n² linearnih jednačina za n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) iz kojih su poznate desne strane (također iz svojstava trouglastih matrica). Zajedno predstavljaju sistem od n² jednakosti. Koristeći ove jednakosti, možemo rekurzivno odrediti svih n² elemenata matrice D. Tada iz jednakosti (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. dobijamo jednakost A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).
U slučaju korištenja LU dekompozicije, nije potrebna permutacija stupaca matrice D, ali rješenje može divergirati čak i ako je matrica A nesingularna.
Složenost algoritma je O(n³).
Iterativne metode
Schultz metode
( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\suma _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(slučajevi)))
Procjena greške
Odabir početne aproksimacije
Problem izbora početne aproksimacije u procesima iterativne inverzije matrica koje se ovdje razmatraju ne dozvoljava nam da ih tretiramo kao nezavisne univerzalne metode, koji se nadmeće sa direktnim inverzionim metodama zasnovanim, na primjer, na LU dekompoziciji matrica. Postoje neke preporuke za odabir U 0 (\displaystyle U_(0)), osiguravajući ispunjenje uslova ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (spektralni radijus matrice je manji od jedinice), što je neophodno i dovoljno za konvergenciju procesa. Međutim, u ovom slučaju, prije svega, potrebno je odozgo znati procjenu spektra invertibilne matrice A ili matrice A A T (\displaystyle AA^(T))(Naime, ako je A simetrična pozitivno određena matrica i ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), onda možete uzeti U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Gdje ; ako je A proizvoljna nesingularna matrica i ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), onda vjeruju U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), gdje također α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta))\desno)); Možete, naravno, pojednostaviti situaciju i iskoristiti to ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), staviti U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Drugo, kada se početna matrica specificira na ovaj način, nema garancije da će to biti ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)će biti mali (možda će se čak i pokazati ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), a visok red stope konvergencije neće biti odmah otkriven.
Primjeri
Matrix 2x2
Nije moguće raščlaniti izraz (sintaksička greška): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ početak (bmatrica) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end(bmatrica).)Inverzija matrice 2x2 je moguća samo pod uslovom da a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).
Ova tema je jedna od najomraženijih među studentima. Najgore su, vjerovatno, kvalifikacije.
Trik je u tome što nas sam koncept inverznog elementa (a ne govorim samo o matricama) upućuje na operaciju množenja. Čak i unutra školski program množenje se smatra složenom operacijom, a množenje matrice općenito zasebna tema, kojoj sam posvetio cijeli pasus i video tutorijal.
Danas nećemo ulaziti u detalje matričnih proračuna. Prisjetimo se samo: kako se označavaju matrice, kako se množe i šta iz toga slijedi.
Pregled: Množenje matrica
Prije svega, dogovorimo se oko notacije. Matrica $A$ veličine $\left[ m\times n \right]$ je jednostavno tabela brojeva sa tačno $m$ redova i $n$ kolona:
\=\underbrace(\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(matrica) \desno])_(n)\]
Da ne biste slučajno pomiješali redove i kolone (vjerujte, na ispitu možete pobrkati jedan sa dva, a kamoli neke redove), samo pogledajte sliku:
Određivanje indeksa za ćelije matriksa Šta se dešava? Ako standardni koordinatni sistem $OXY$ postavite u gornji lijevi ugao i usmjerite ose tako da pokrivaju cijelu matricu, onda svaka ćelija ove matrice može biti jedinstveno povezana sa koordinatama $\left(x;y \right)$ - ovo će biti broj reda i kolone.
Zašto je koordinatni sistem postavljen u gornji levi ugao? Da, jer odatle počinjemo čitati bilo kakve tekstove. Vrlo je lako zapamtiti.
Zašto je osa $x$ usmjerena prema dolje, a ne udesno? Opet, jednostavno je: uzmite standardni koordinatni sistem ($x$ osa ide udesno, $y$ osa ide gore) i rotirajte ga tako da pokrije matricu. Ovo je rotacija za 90 stepeni u smeru kazaljke na satu - vidimo rezultat na slici.
Općenito, shvatili smo kako odrediti indekse matričnih elemenata. Pogledajmo sada množenje.
Definicija. Matrice $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$, kada se broj kolona u prvoj poklapa sa brojem redova u drugoj, su naziva konzistentan.
Tačno tim redosledom. Može se zbuniti i reći da matrice $A$ i $B$ formiraju uređeni par $\left(A;B \right)$: ako su konzistentne u ovom redoslijedu, onda uopće nije potrebno da $B $ i $A$ one. par $\left(B;A \right)$ je takođe konzistentan.
Samo uparene matrice se mogu množiti.
Definicija. Proizvod usklađenih matrica $A=\left[ m\times n \right]$ i $B=\left[ n\times k \right]$ je nova matrica $C=\left[ m\times k \right ]$ , čiji se elementi $((c)_(ij))$ izračunavaju prema formuli:
\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]
Drugim riječima: da biste dobili element $((c)_(ij))$ matrice $C=A\cdot B$, trebate uzeti $i$-red prve matrice, $j$ -ti stupac druge matrice, a zatim pomnožiti u parovima elemente iz ovog reda i kolone. Zbrojite rezultate.
Da, to je tako oštra definicija. Iz toga odmah slijedi nekoliko činjenica:
- Množenje matrice, općenito govoreći, nije komutativno: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
- Međutim, množenje je asocijativno: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
- Čak i distributivno: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
- I još jednom distributivno: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.
Distributivnost množenja je morala biti opisana odvojeno za lijevi i desni faktor sume upravo zbog nekomutativnosti operacije množenja.
Ako se ispostavi da je $A\cdot B=B\cdot A$, takve matrice se nazivaju komutativne.
Među svim matricama koje se tamo nečim množe, postoje posebne - one koje, kada se pomnože s bilo kojom matricom $A$, opet daju $A$:
Definicija. Matrica $E$ se naziva identitetom ako je $A\cdot E=A$ ili $E\cdot A=A$. U slučaju kvadratne matrice $A$ možemo napisati:
Matrica identiteta je čest gost prilikom rješavanja matričnih jednadžbi. I općenito čest gost u svijetu matrica. :)
I zbog ovog $E$, neko je smislio sve gluposti koje će se dalje pisati.
Šta je inverzna matrica
Budući da je množenje matrice vrlo naporna operacija (morate pomnožiti gomilu redova i stupaca), koncept inverzne matrice također se ispostavlja da nije najtrivijalniji. I zahtijeva neko objašnjenje.
Ključna definicija
Pa, vrijeme je da saznamo istinu.
Definicija. Matrica $B$ se zove inverzna matrici $A$ if
Inverzna matrica je označena sa $((A)^(-1))$ (ne treba je brkati sa stepenom!), tako da se definicija može prepisati na sljedeći način:
Čini se da je sve krajnje jednostavno i jasno. Ali kada analiziramo ovu definiciju, odmah se nameće nekoliko pitanja:
- Da li inverzna matrica uvijek postoji? I ako ne uvijek, kako onda odrediti: kada postoji, a kada ne?
- A ko je rekao da postoji tačno jedna takva matrica? Šta ako za neku početnu matricu $A$ postoji čitava gomila inverza?
- Kako izgledaju svi ovi „preokreti“? I kako, tačno, da ih brojimo?
Što se tiče algoritama proračuna, o tome ćemo govoriti nešto kasnije. Ali na preostala pitanja ćemo odmah odgovoriti. Formulirajmo ih u obliku zasebnih iskaza-lema.
Osnovna svojstva
Počnimo od toga kako bi matrica $A$ u principu trebala izgledati da bi za nju postojao $((A)^(-1))$. Sada ćemo se pobrinuti da obje ove matrice moraju biti kvadratne i iste veličine: $\left[ n\times n \right]$.
Lema 1. Date matricu $A$ i njen inverzni $((A)^(-1))$. Tada su obje ove matrice kvadratne, i istog reda $n$.
Dokaz. To je jednostavno. Neka je matrica $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Budući da proizvod $A\cdot ((A)^(-1))=E$ postoji po definiciji, matrice $A$ i $((A)^(-1))$ su konzistentne u prikazanom redoslijedu:
\[\begin(poravnati) & \left[ m\puta n \desno]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( poravnati)\]
Ovo je direktna posljedica algoritma množenja matrice: koeficijenti $n$ i $a$ su "tranzitni" i moraju biti jednaki.
Istovremeno je definirano i obrnuto množenje: $((A)^(-1))\cdot A=E$, stoga su matrice $((A)^(-1))$ i $A$ također konzistentan u navedenom redoslijedu:
\[\begin(poravnati) & \left[ a\puta b \desno]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\puts n \right] \\ & b=m \end( poravnati)\]
Dakle, bez gubitka opštosti, možemo pretpostaviti da je $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Međutim, prema definiciji $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, stoga se veličine matrica striktno podudaraju:
\[\početak(poravnati) & \lijevo[ m\puta n \desno]=\lijevo[ n\puta m \desno] \\ & m=n \end(poravnati)\]
Dakle, ispada da su sve tri matrice - $A$, $(A)^(-1))$ i $E$ - kvadratne matrice veličine $\left[ n\puta n \right]$. Lema je dokazana.
Pa, to je već dobro. Vidimo da su samo kvadratne matrice invertibilne. Sada se uvjerimo da je inverzna matrica uvijek ista.
Lema 2. Date matricu $A$ i njen inverzni $((A)^(-1))$. Tada je ova inverzna matrica jedina.
Dokaz. Idemo kontradiktorno: neka matrica $A$ ima najmanje dva inverza - $B$ i $C$. Tada su, prema definiciji, tačne sljedeće jednakosti:
\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(poravnati)\]
Iz leme 1 zaključujemo da su sve četiri matrice - $A$, $B$, $C$ i $E$ - kvadrati istog reda: $\left[ n\times n \right]$. Dakle, proizvod je definiran:
Pošto je množenje matrice asocijativno (ali ne i komutativno!), možemo napisati:
\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \desno)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end(poravnati)\]
Dobili smo jedini moguća varijanta: dvije instance inverzne matrice su jednake. Lema je dokazana.
Gore navedeni argumenti ponavljaju gotovo doslovno dokaz jedinstvenosti inverznog elementa za sve realni brojevi$b\ne 0$. Jedini značajan dodatak je uzimanje u obzir dimenzije matrica.
Međutim, još uvijek ne znamo ništa o tome da li je svaka kvadratna matrica inverzibilna. Ovdje nam u pomoć priskače determinanta - ovo je ključna karakteristika za sve kvadratne matrice.
Lema 3. Zadana je matrica $A$. Ako postoji njena inverzna matrica $((A)^(-1))$, tada je determinanta originalne matrice različita od nula:
\[\lijevo| A\desno|\ne 0\]
Dokaz. Već znamo da su $A$ i $((A)^(-1))$ kvadratne matrice veličine $\left[ n\puta n \right]$. Dakle, za svaki od njih možemo izračunati determinantu: $\left| A\desno|$ i $\levo| ((A)^(-1)) \right|$. Međutim, determinanta proizvoda jednaka je proizvodu determinanti:
\[\lijevo| A\cdot B \desno|=\lijevo| A \desno|\cdot \levo| B \right|\Rightarrow \levo| A\cdot ((A)^(-1)) \desno|=\lijevo| A \desno|\cdot \levo| ((A)^(-1)) \desno|\]
Ali prema definiciji, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, a determinanta $E$ je uvijek jednaka 1, tako da
\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \lijevo| A\cdot ((A)^(-1)) \desno|=\lijevo| E\desno|; \\ & \lijevo| A \desno|\cdot \levo| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(poravnati)\]
Proizvod dva broja jednak je jedan samo ako je svaki od ovih brojeva različit od nule:
\[\lijevo| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]
Dakle, ispada da je $\left| A \right|\ne 0$. Lema je dokazana.
Zapravo, ovaj zahtjev je sasvim logičan. Sada ćemo analizirati algoritam za pronalaženje inverzne matrice - i biće potpuno jasno zašto, sa nultom determinantom, inverzna matrica u principu ne može postojati.
Ali prvo, formulirajmo "pomoćnu" definiciju:
Definicija. Singularna matrica je kvadratna matrica veličine $\left[ n\puta n \right]$ čija je determinanta nula.
Dakle, možemo tvrditi da je svaka invertibilna matrica nesingularna.
Kako pronaći inverz od matrice
Sada ćemo razmotriti univerzalni algoritam za pronalaženje inverznih matrica. Generalno, postoje dva općeprihvaćena algoritma, a danas ćemo razmotriti i drugi.
Ona o kojoj ćemo sada govoriti je vrlo efikasna za matrice veličine $\left[ 2\times 2 \right]$ i - djelimično - veličine $\left[ 3\times 3 \right]$. Ali počevši od veličine $\left[ 4\times 4 \right]$ bolje je ne koristiti je. Zašto - sada ćete sve sami shvatiti.
Algebarski dodaci
Spremiti se. Sada će biti bola. Ne, ne brini: lijepa medicinska sestra u suknji, čarapama sa čipkom neće ti doći i dati ti injekciju u zadnjicu. Sve je mnogo prozaičnije: algebarski dodaci i Njeno Veličanstvo "Matrica Unije" dolaze vam.
Počnimo od glavne stvari. Neka postoji kvadratna matrica veličine $A=\left[ n\times n \right]$, čiji se elementi nazivaju $((a)_(ij))$. Tada za svaki takav element možemo definirati algebarski komplement:
Definicija. Algebarski komplement $((A)_(ij))$ elementu $((a)_(ij))$ koji se nalazi u $i$th redu i $j$toj koloni matrice $A=\left[ n \times n \right]$ je konstrukcija forme
\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]
Gdje je $M_(ij)^(*)$ determinanta matrice dobijene iz originalnog $A$ brisanjem istog $i$th reda i $j$th kolone.
Opet. Algebarski komplement matričnom elementu sa koordinatama $\left(i;j \right)$ označava se kao $((A)_(ij))$ i izračunava se prema šemi:
- Prvo, brišemo $i$-red i $j$-tu kolonu iz originalne matrice. Dobijamo novu kvadratnu matricu i njenu determinantu označavamo sa $M_(ij)^(*)$.
- Zatim pomnožimo ovu determinantu sa $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - u početku ovaj izraz može izgledati zapanjujuće, ali u suštini jednostavno otkrivamo znak ispred $M_(ij)^(*) $.
- Računamo i dobijamo konkretan broj. One. algebarsko sabiranje je upravo broj, a ne neka nova matrica itd.
Sama matrica $M_(ij)^(*)$ naziva se dodatnim minorom elementu $((a)_(ij))$. I u tom smislu, gornja definicija algebarskog komplementa je poseban slučaj složenije definicije – onoga što smo gledali u lekciji o determinanti.
Važna napomena. Zapravo, u matematici „odraslih“ algebarski sabirci se definiraju na sljedeći način:
- Uzimamo $k$ redova i $k$ kolona u kvadratnoj matrici. Na njihovom preseku dobijamo matricu veličine $\left[ k\times k \right]$ - njena determinanta se naziva minor reda $k$ i označava se kao $((M)_(k))$.
- Zatim precrtavamo ove “odabrane” $k$ redove i $k$ kolone. Još jednom dobijate kvadratnu matricu - njena determinanta se zove dodatni minor i označava se kao $M_(k)^(*)$.
- Pomnožite $M_(k)^(*)$ sa $((\left(-1 \right))^(t))$, gdje je $t$ (pažnja!) zbir brojeva svih odabranih redova i kolone. Ovo će biti algebarski dodatak.
Pogledajte treći korak: zapravo postoji zbir termina od $2k$! Druga stvar je što ćemo za $k=1$ dobiti samo 2 člana - to će biti isti $i+j$ - "koordinate" elementa $((a)_(ij))$ za koji smo tražeći algebarski komplement.
Dakle, danas koristimo malo pojednostavljenu definiciju. Ali kako ćemo kasnije vidjeti, to će biti više nego dovoljno. Mnogo je važnija sledeća stvar:
Definicija. Povezana matrica $S$ sa kvadratnom matricom $A=\left[ n\times n \right]$ je nova matrica veličine $\left[ n\times n \right]$, koja se dobija iz $A$ zamjenom $(( a)_(ij))$ algebarskim dodacima $((A)_(ij))$:
\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(matrica) \desno]\]
Prva pomisao koja se nameće u trenutku realizacije ove definicije je “koliko će se morati izbrojati!” Opustite se: moraćete da računate, ali ne toliko. :)
Pa, sve je ovo jako lepo, ali zašto je potrebno? Ali zašto.
Glavna teorema
Vratimo se malo unazad. Zapamtite, u lemi 3 je navedeno da je invertibilna matrica $A$ uvijek nesingularna (to jest, njena determinanta nije nula: $\left| A \right|\ne 0$).
Dakle, istina je i suprotno: ako matrica $A$ nije singularna, onda je uvijek inverzibilna. Čak postoji i šema pretraživanja za $((A)^(-1))$. Provjeri:
Teorema inverzne matrice. Neka je data kvadratna matrica $A=\left[ n\times n \right]$, a njena determinanta je različita od nule: $\left| A \right|\ne 0$. Tada inverzna matrica $((A)^(-1))$ postoji i izračunava se po formuli:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]
A sada - sve je isto, ali čitljivim rukopisom. Da biste pronašli inverznu matricu, trebate:
- Izračunajte determinantu $\left| \right|$ i uvjerite se da nije nula.
- Konstruirajte union matricu $S$, tj. izbrojte 100500 algebarskih dodataka $((A)_(ij))$ i postavite ih na mjesto $((a)_(ij))$.
- Transponirajte ovu matricu $S$, a zatim je pomnožite nekim brojem $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.
To je sve! Inverzna matrica $((A)^(-1))$ je pronađena. Pogledajmo primjere:
\[\left[ \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right]\]
Rješenje. Hajde da proverimo reverzibilnost. Izračunajmo determinantu:
\[\lijevo| A\desno|=\lijevo| \begin(matrica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end(matrica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]
Odrednica se razlikuje od nule. To znači da je matrica invertibilna. Kreirajmo matricu sindikata:
Izračunajmo algebarske sabirke:
\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+2))\cdot \lijevo| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\lijevo(-1 \desno))^(2+1))\cdot \lijevo| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\lijevo(-1 \desno))^(2+2))\cdot \lijevo| 3\desno|=3. \\ \end(poravnati)\]
Obratite pažnju: determinante |2|, |5|, |1| i |3| su determinante matrica veličine $\left[ 1\puts 1 \right]$, a ne moduli. One. Ako su u determinantama bili negativni brojevi, nema potrebe za uklanjanjem “minusa”.
Ukupno, naša sindikalna matrica izgleda ovako:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(niz) \desno])^(T))=\left[ \begin (niz)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(niz) \desno]\]
OK, sve je gotovo. Problem je riješen.
Odgovori. $\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(niz) \right]$
Zadatak. Pronađite inverznu matricu:
\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \]
Rješenje. Ponovo izračunavamo determinantu:
\[\početi(poravnati) & \lijevo| \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(niz) \right|=\begin(matrica ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matrica)= \ \ & =\left(2+1+0 \desno)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]
Determinanta je različita od nule - matrica je invertibilna. Ali sada će biti jako teško: trebamo izbrojati čak 9 (devet, jebem ti mater!) algebarskih dodataka. I svaki od njih će sadržavati determinantu $\left[ 2\puts 2 \right]$. leteo:
\[\begin(matrica) ((A)_(11))=((\left(-1 \desno))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(matrica) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+2))\cdot \lijevo| \begin(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(matrix) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\lijevo(-1 \desno))^(1+3))\cdot \lijevo| \begin(matrica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end(matrica) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \desno))^(3+3))\cdot \left| \begin(matrica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(matrica) \right|=2; \\ \end(matrica)\]
Ukratko, matrica sindikata će izgledati ovako:
Dakle, inverzna matrica će biti:
\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end(matrica) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\kraj (niz) \desno]\]
To je to. Evo odgovora.
Odgovori. $\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(niz) \right ]$
Kao što vidite, na kraju svakog primjera izvršili smo provjeru. S tim u vezi, važna napomena:
Ne budite lijeni provjeriti. Pomnožite originalnu matricu sa pronađenom inverznom matricom - trebali biste dobiti $E$.
Izvođenje ove provjere je mnogo lakše i brže od traženja greške u daljim proračunima kada, na primjer, rješavate matričnu jednačinu.
Alternativni način
Kao što sam rekao, teorema inverzne matrice odlično radi za veličine $\left[ 2\times 2 \right]$ i $\left[ 3\times 3 \right]$ (u drugom slučaju, nije tako "odlično" " ), ali za veće matrice počinje tuga.
Ali ne brinite: postoji alternativni algoritam s kojim možete mirno pronaći inverz čak i za matricu $\left[ 10\x 10 \right]$. Ali, kao što se često dešava, da bismo razmotrili ovaj algoritam potrebno nam je malo teorijske pozadine.
Elementarne transformacije
Među svim mogućim matričnim transformacijama postoji nekoliko posebnih - nazivaju se elementarnim. Postoje tačno tri takve transformacije:
- Množenje. Možete uzeti $i$-ti red (kolona) i pomnožiti ga bilo kojim brojem $k\ne 0$;
- Dodatak. Dodajte u $i$-ti red (kolona) bilo koji drugi $j$-ti red (kolona), pomnožen sa bilo kojim brojem $k\ne 0$ (možete, naravno, učiniti $k=0$, ali šta je poenta? ? Ništa se neće promijeniti).
- Preuređenje. Uzmite $i$th i $j$th redove (kolone) i zamijenite mjesta.
Zašto se ove transformacije nazivaju elementarnim (za velike matrice ne izgledaju tako elementarne) i zašto ih ima samo tri - ova pitanja su izvan okvira današnje lekcije. Stoga, nećemo ulaziti u detalje.
Još jedna stvar je važna: sve ove perverzije moramo izvesti na adjuint matrici. Da, da: dobro ste čuli. Sada će biti još jedna definicija - posljednja u današnjoj lekciji.
Adjoint matrica
Sigurno ste u školi rješavali sisteme jednačina metodom sabiranja. Pa, eto, oduzmite drugu od jedne linije, pomnožite neki red brojem - to je sve.
Dakle: sada će sve biti isto, ali na „odrasli“ način. Spreman?
Definicija. Neka su data matrica $A=\left[ n\times n \right]$ i matrica identiteta $E$ iste veličine $n$. Tada je pridružena matrica $\left[ A\left| E\desno. \right]$ je nova matrica veličine $\left[ n\puta 2n \right]$ koja izgleda ovako:
\[\lijevo[ A\lijevo| E\desno. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(niz) \desno]\]
Ukratko, uzimamo matricu $A$, desno joj dodjeljujemo matricu identiteta $E$ tražene veličine, odvajamo ih vertikalnom trakom radi ljepote - evo vam adjoint. :)
u čemu je kvaka? Evo šta:
Teorema. Neka je matrica $A$ invertibilna. Razmotrimo pridruženu matricu $\left[ A\left| E\desno. \right]$. Ako koristite elementarne konverzije nizova dovedite ga u oblik $\left[ E\left| Svijetao. \right]$, tj. množenjem, oduzimanjem i preuređivanjem redova da se od $A$ dobije matrica $E$ s desne strane, tada je matrica $B$ dobijena s lijeve strane inverzna od $A$:
\[\lijevo[ A\lijevo| E\desno. \desno]\na \lijevo[ E\lijevo| Svijetao. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]
To je tako jednostavno! Ukratko, algoritam za pronalaženje inverzne matrice izgleda ovako:
- Napišite pridruženu matricu $\left[ A\left| E\desno. \right]$;
- Izvodite elementarne konverzije nizova dok se ne pojavi $E$ umjesto $A$;
- Naravno, nešto će se pojaviti i na lijevoj strani - određena matrica $B$. Ovo će biti suprotno;
- PROFIT!:)
Naravno, ovo je mnogo lakše reći nego učiniti. Dakle, pogledajmo nekoliko primjera: za veličine $\left[ 3\times 3 \right]$ i $\left[ 4\times 4 \right]$.
Zadatak. Pronađite inverznu matricu:
\[\left[ \begin(niz)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno]\ ]
Rješenje. Kreiramo pridruženu matricu:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\kraj (niz) \desno]\]
Budući da je posljednja kolona originalne matrice popunjena jedinicama, oduzmite prvi red od ostatka:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \strelica prema dolje \\ -1 \\ -1 \\\kraj(matrica)\do \\ & \na \lijevo [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(poravnati)\]
Nema više jedinica, osim prve linije. Ali mi to ne diramo, inače će se novouklonjene jedinice početi "množavati" u trećem stupcu.
Ali možemo dva puta oduzeti drugi red od posljednjeg - dobijamo jedan u donjem lijevom uglu:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \strelica prema dolje \\ -2 \\\kraj(matrica)\do \\ & \lijevo [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(poravnati)\]
Sada možemo oduzeti posljednji red od prvog i dva puta od drugog - na ovaj način "nuliramo" prvi stupac:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(niz) \desno]\početak(matrica) -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\do \\ & \ na \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]
Pomnožite drugi red sa −1, a zatim ga oduzmite 6 puta od prvog i dodajte 1 put poslednjem:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\kraj(niz) \desno]\početak(matrica) -6 \\ \strelica nagore \\ +1 \\\end (matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]
Ostaje samo zamijeniti redove 1 i 3:
\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\kraj (niz) \desno]\]
Spremni! Desno je tražena inverzna matrica.
Odgovori. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(array) \right ]$
Zadatak. Pronađite inverznu matricu:
\[\left[ \begin(matrica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\kraj (matrica) \desno]\]
Rješenje. Ponovo sastavljamo adjoint:
\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\kraj (niz) \desno]\]
Hajde da se malo rasplačemo, da budemo tužni koliko sada moramo da brojimo... i počnimo da brojimo. Prvo, hajde da "nulimo" prvu kolonu oduzimanjem reda 1 od reda 2 i 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno]\begin(matrica) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]
Vidimo previše "protiv" u redovima 2-4. Pomnožite sva tri reda sa −1, a zatim spalite treći stupac oduzimanjem reda 3 od ostatka:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(niz) \desno]\početak(matrica) \ \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\ \lijevo| \cdot \lijevo(-1 \desno) \desno. \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end (niz) \desno]\početak(matrica) -2 \\ -1 \\ \strelica nagore \\ -2 \\\kraj(matrica)\na \\ & \na \levo[ \begin(niz)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]
Sada je vrijeme da se "prži" posljednji stupac originalne matrice: od ostatka oduzmite red 4:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz ) \desno]\begin(matrica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\kraj (niz) \desno] \\ \end(poravnanje)\]
Završno bacanje: "sagorite" drugu kolonu oduzimanjem reda 2 od redova 1 i 3:
\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( niz) \desno]\početak(matrica) 6 \\ \strelica nagore \\ -5 \\ \ \\\end(matrica)\to \\ & \to \left[ \begin(niz)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(niz) \desno] \\ \end(align)\]
I opet je matrica identiteta na lijevoj strani, što znači da je inverzna desno. :)
Odgovori. $\left[ \begin(matrica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(matrica) \desno]$
OK, sve je gotovo. Provjeri sam - sjeban sam. :)
