Kako nacrtati četverodimenzionalnu kocku. Program za crtanje četvorodimenzionalne kocke. Šta je teserakt
Čim sam nakon operacije mogao da držim predavanja, prvo pitanje koje su studenti postavili bilo je:
Kada ćete nam nacrtati 4-dimenzionalnu kocku? Ilyas Abdulkhaevich nam je obećao!
Sjećam se da moji dragi prijatelji ponekad vole trenutak matematičke edukativne aktivnosti. Stoga ću ovdje napisati dio svog predavanja za matematičare. I pokušaću da ne bude dosadno. U nekim momentima sam predavanje čitao strože, naravno.
Hajde da se prvo dogovorimo. 4-dimenzionalni, a još više 5-6-7- i općenito k-dimenzionalni prostor nije nam dat u senzornim senzacijama.
“Jadni smo jer smo samo trodimenzionalni”, kako je rekao moj učitelj u nedjeljnoj školi, koji mi je prvi rekao šta je 4-dimenzionalna kocka. Nedjeljna škola je, naravno, bila izrazito religiozno-matematička. Tada smo proučavali hiper-kocke. Sedmicu prije toga, matematička indukcija, sedmicu nakon toga, Hamiltonovi ciklusi u grafovima - prema tome, ovo je 7. razred.
Ne možemo dodirnuti, pomirisati, čuti ili vidjeti 4-dimenzionalnu kocku. Šta možemo s tim? Možemo to zamisliti! Zato što je naš mozak mnogo složeniji od naših očiju i ruku.
Dakle, da bismo razumjeli šta je 4-dimenzionalna kocka, hajde da prvo shvatimo šta nam je dostupno. Šta je 3-dimenzionalna kocka?
UREDU UREDU! Ne tražim od vas jasno matematička definicija. Zamislite samo najjednostavniju i najobičniju trodimenzionalnu kocku. Uvedeni?
U redu.
Da bismo razumjeli kako generalizirati 3-dimenzionalnu kocku u 4-dimenzionalni prostor, hajde da shvatimo šta je 2-dimenzionalna kocka. Tako je jednostavno - to je kvadrat! 
Kvadrat ima 2 koordinate. Kocka ima tri. Kvadratne tačke su tačke sa dve koordinate. Prvi je od 0 do 1. A drugi je od 0 do 1. Tačke kocke imaju tri koordinate. I svaki je bilo koji broj od 0 do 1.
Logično je zamisliti da je 4-dimenzionalna kocka stvar koja ima 4 koordinate i sve je od 0 do 1.
/* Odmah je logično zamisliti 1-dimenzionalnu kocku, koja nije ništa više od jednostavnog segmenta od 0 do 1. */
Pa, čekaj, kako nacrtati 4-dimenzionalnu kocku? Na kraju krajeva, ne možemo nacrtati 4-dimenzionalni prostor na ravni!
Ali ni mi ne crtamo trodimenzionalni prostor na ravni, već ga crtamo projekcija na 2-dimenzionalnu ravan crtanja. Treću koordinatu (z) postavljamo pod uglom, zamišljajući da osa iz ravni crteža ide “prema nama”. 
Sada je potpuno jasno kako nacrtati 4-dimenzionalnu kocku. Na isti način na koji smo pozicionirali treću os pod određenim uglom, uzmimo četvrtu os i takođe je postavimo pod određenim uglom.
I - voila! -- projekcija 4-dimenzionalne kocke na ravan. 
Šta? Šta je ovo uopšte? Uvek čujem šapat sa zadnjih stolova. Dozvolite mi da objasnim detaljnije šta je ova zbrka redova.
Prvo pogledajte trodimenzionalnu kocku. Šta smo uradili? Uzeli smo kvadrat i povukli ga duž treće ose (z). To je poput mnogih, mnogo papirnih kvadrata zalijepljenih zajedno u hrpu.
Isto je i sa 4-dimenzionalnom kockom. Nazovimo četvrtu osovinu, radi pogodnosti i za naučnu fantastiku, „vremenska os“. Trebamo uzeti običnu trodimenzionalnu kocku i povući je kroz vrijeme od vremena „sada“ do vremena „za jedan sat“.
Imamo "sada" kocku. Na slici je roze. 
A sada ga vučemo duž četvrte ose - duž vremenske ose (pokazala sam zeleno). I dobijamo kocku budućnosti - plavu. 
Svaki vrh "kocke sada" ostavlja trag u vremenu - segment. Povezivanje njene sadašnjosti sa budućnošću.
Ukratko, bez teksta: nacrtali smo dvije identične 3-dimenzionalne kocke i spojili odgovarajuće vrhove.
Tačno kao što su uradili sa 3-dimenzionalnom kockom (nacrtajte 2 identične 2-dimenzionalne kocke i povežite vrhove).
Da biste nacrtali 5-dimenzionalnu kocku, morat ćete nacrtati dvije kopije 4-dimenzionalne kocke (4-dimenzionalnu kocku s petom koordinatom 0 i 4-dimenzionalnu kocku s petom koordinatom 1) i povezati odgovarajuće vrhove s rubovima. Istina, na avionu će biti takva zbrka ivica da će biti gotovo nemoguće bilo šta razumjeti.
Jednom kada smo zamislili 4-dimenzionalnu kocku i čak smo je mogli nacrtati, možemo je istraživati na različite načine. Ne zaboravite da ga istražite i u mislima i sa slike.
Na primjer. Dvodimenzionalna kocka je sa 4 strane ograničena jednodimenzionalnim kockama. Ovo je logično: za svaku od 2 koordinate ona ima i početak i kraj.
Trodimenzionalna kocka je sa 6 strana ograničena dvodimenzionalnim kockama. Za svaku od tri koordinate ima početak i kraj.
To znači da 4-dimenzionalna kocka mora biti ograničena sa osam 3-dimenzionalnih kocki. Za svaku od 4 koordinate - s obje strane. Na gornjoj slici jasno vidimo 2 lica koja ga ograničavaju duž "vremenske" koordinate.
Evo dvije kocke (blago su koso jer imaju 2 dimenzije projektovane na ravan pod uglom), ograničavaju našu hiperkocku lijevo i desno. 
Takođe je lako uočiti „gornje“ i „donje“. 
Najteže je vizualno shvatiti gdje su "prednji" i "stražnji". Prednji počinje od prednje ivice "kocke sada" i do prednje ivice "kocke budućnosti" - crvene je boje. Zadnja je ljubičasta. 
Njih je najteže uočiti jer su druge kocke zapetljane pod nogama, koje ograničavaju hiperkocku na različitim projektiranim koordinatama. Ali imajte na umu da se kocke ipak razlikuju! Evo opet slike na kojoj su istaknute “kocka sada” i “kocka budućnosti”.
Naravno, moguće je projektirati 4-dimenzionalnu kocku u 3-dimenzionalni prostor.
Prvi mogući prostorni model je jasan kako izgleda: potrebno je uzeti 2 kockasta okvira i povezati njihove odgovarajuće vrhove s novom ivicom.
Trenutno nemam ovaj model na lageru. Na predavanju pokazujem studentima malo drugačiji 3-dimenzionalni model 4-dimenzionalne kocke.
Znate kako se kocka projektuje na ovakvu ravan.
Kao da gledamo kocku odozgo. 
Bliža ivica je, naravno, velika. A dalja ivica izgleda manja, vidimo je kroz bližu.
Ovako možete projektovati 4-dimenzionalnu kocku. Kocka je sada veća, vidimo kocku budućnosti u daljini, tako da izgleda manje. 
Na drugoj strani. Sa gornje strane. 
Direktno tačno sa strane ivice: 
Sa strane rebra: 
I zadnji ugao, asimetričan. Iz odjeljka "reci mi da sam mu gledao između rebara." 
Pa, onda možeš smisliti bilo šta. Na primjer, kao što postoji razvoj 3-dimenzionalne kocke na ravan (to je kao da izrežete list papira tako da kada se presavije dobijete kocku), isto se događa s razvojem 4-dimenzionalne kocke u prostor. To je kao da izrežete komad drveta tako da savijanjem u 4-dimenzionalni prostor dobijemo teserakt.
Možete proučavati ne samo 4-dimenzionalnu kocku, već n-dimenzionalne kocke općenito. Na primjer, da li je tačno da je polumjer sfere opisane oko n-dimenzionalne kocke manji od dužine ivice ove kocke? Ili evo jednostavnijeg pitanja: koliko vrhova ima n-dimenzionalna kocka? Koliko ivica (1-dimenzionalnih lica)?
Teserakt (od starogrčkog τέσσερες ἀκτῖνες - četiri zraka) je četverodimenzionalna hiperkocka - analog kocke u četverodimenzionalnom prostoru.
Slika je projekcija (perspektiva) četverodimenzionalne kocke na trodimenzionalni prostor.
Prema Oksfordskom rječniku, riječ "teserakt" je skovao i koristio 1888. Charles Howard Hinton (1853-1907) u svojoj knjizi Nova era misli“. Kasnije su neki ljudi istu figuru nazvali "tetrakub".
Geometrija
Običan teserakt u euklidskom četvorodimenzionalnom prostoru se definiše kao konveksni omotač tačaka (±1, ±1, ±1, ±1). Drugim riječima, može se predstaviti kao sljedeći skup:
Teserakt je ograničen sa osam hiperplana, čiji presek sa samim teseraktom definiše njegove trodimenzionalne površine (koje su obične kocke). Svaki par neparalelnih 3D lica se seku da bi formirali 2D lica (kvadrate) i tako dalje. Konačno, teserakt ima 8 3D lica, 24 2D lica, 32 ivice i 16 vrhova.
Popularni opis
Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.
U jednodimenzionalnom "prostoru" - na pravoj - biramo segment AB dužine L. Na dvodimenzionalnoj ravni na udaljenosti L od AB, povlačimo paralelan segment DC i povezujemo njihove krajeve. Rezultat je kvadrat ABCD. Ponavljajući ovu operaciju sa ravninom, dobijamo trodimenzionalnu kocku ABCDHEFG. I pomjeranjem kocke u četvrtoj dimenziji (upravno na prve tri) za razmak L, dobijamo hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG
Jednodimenzionalni segment AB služi kao stranica dvodimenzionalnog kvadrata ABCD, kvadrat - kao stranica kocke ABCDHEFG, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Pravi segment ima dvije granične točke, kvadrat ima četiri vrha, a kocka ima osam. U četvorodimenzionalnoj hiperkocki, tako će postojati 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova one pomerene u četvrtoj dimenziji. Ima 32 ivice - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 ivica "crta" njenih osam vrhova, koji su se pomerili u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje se može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru postoji samo jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica pomaknutog kvadrata i još četiri koje opisuju njegove stranice). Četvorodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata originalne kocke u dvije pozicije i 12 kvadrata od njenih dvanaest rubova.
Slično, možemo nastaviti sa rasuđivanjem za hiperkocke više dimenzijama, ali mnogo je zanimljivije vidjeti kako će nam, stanovnicima trodimenzionalnog prostora, izgledati četverodimenzionalna hiperkocka. Za to ćemo koristiti već poznatu metodu analogija.
Tesseract unwrapping
Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ivice. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravni (njene bliske i dalje ivice), spojena sa četiri linije - bočne ivice. Slično, četverodimenzionalna hiperkocka u svemiru tri dimenzije izgledaće kao dve kubične „kutije“ umetnute jedna u drugu i povezane sa osam ivica. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - projektovaće se na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u četvrtoj dimenziji. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.
Baš kao što trodimenzionalnu kocku formira kvadrat pomeren za dužinu njegovog lica, kocka pomerena u četvrtu dimenziju će formirati hiperkocku. Ograničen je sa osam kockica, koje će u perspektivi izgledati kao neka prilično složena figura. Dio koji je ostao u “našem” prostoru iscrtava se punim linijama, a dio koji je otišao u hiperprostor iscrtan je tačkastim linijama. Sama četvorodimenzionalna hiperkocka se sastoji od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može "iseći" na beskonačan broj ravnih kvadrata.
Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru - razvoj. Imat će kvadrat na svakoj strani originalnog lica, plus još jedan - lice nasuprot njemu. A trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje „rastu“ iz nje, plus još jedna - konačno „hiperface“.
Svojstva teserakta su proširenje svojstava geometrijski oblici manje dimenzije u četvorodimenzionalni prostor.
Projekcije
U dvodimenzionalni prostor
Ovu strukturu je teško zamisliti, ali je moguće projektirati teserak u dvodimenzionalni ili trodimenzionalni prostor. Osim toga, projektiranje na ravan olakšava razumijevanje lokacije vrhova hiperkocke. Na ovaj način moguće je dobiti slike koje više ne odražavaju prostorne odnose unutar teserakta, ali koje ilustriraju strukturu veze vrhova, kao u sljedećim primjerima:
U trodimenzionalni prostor
Projekcija teserakta na trodimenzionalni prostor predstavlja dvije ugniježđene trodimenzionalne kocke, čiji su odgovarajući vrhovi povezani segmentima. Unutrašnja i vanjska kocka imaju različite veličine u trodimenzionalnom prostoru, ali u četverodimenzionalnom prostoru su jednake kocke. Da bi se razumjela jednakost svih teserakt kocki, kreiran je rotirajući model teserakta.
Šest skraćenih piramida duž ivica teserakta su slike jednakih šest kocki.
Stereo par
Stereo par teserakta prikazan je kao dvije projekcije na trodimenzionalni prostor. Ova slika teserakta je dizajnirana da predstavi dubinu kao četvrtu dimenziju. Stereo par se gleda tako da svako oko vidi samo jednu od ovih slika, pojavljuje se stereoskopska slika koja reproducira dubinu teserakta.
Tesseract unwrapping
Površina teserakta može se rasklopiti u osam kocki (slično kao što se površina kocke može rasklopiti u šest kvadrata). Postoji 261 različit dizajn teserakta. Razmatranje teserakta može se izračunati iscrtavanjem povezanih uglova na graf.
Teserakt u umjetnosti
U "New Abbott Plain" Edwine A., hiperkocka djeluje kao narator.
U jednoj epizodi Avanture Džimija Neutrona: "Dečak genije", Džimi izmišlja četvorodimenzionalnu hiperkocku identičnu preklopnoj kutiji iz Hajnlajnovog romana Put slave iz 1963.
Robert E. Heinlein je spomenuo hiperkocke u najmanje tri naučnofantastične priče. U The House of Four Dimensions (The House That Teal Built) (1940.), opisao je kuću izgrađenu kao neumotani teserak.
Heinleinov roman Glory Road opisuje posuđe velike veličine koje je bilo veće iznutra nego spolja.
Priča Henryja Kuttnera "Mimsy Were the Borogoves" opisuje edukativnu igračku za djecu iz daleke budućnosti, sličnu strukturi teseratu.
U romanu Alexa Garlanda (1999.), izraz "teserakt" se koristi za trodimenzionalno odvijanje četverodimenzionalne hiperkocke, a ne same hiperkocke. Ovo je metafora osmišljena da pokaže da kognitivni sistem mora biti širi od spoznatljivog.
Radnja Kocke 2: Hiperkocka se fokusira na osam stranaca zarobljenih u "hiperkocki", ili mreži povezanih kocki.
Televizijska serija Andromeda koristi teseraktne generatore kao uređaj za zaplet. Oni su prvenstveno dizajnirani da manipulišu prostorom i vremenom.
Slika “Raspeće” (Corpus Hypercubus) Salvadora Dalija (1954.)
Nextwave strip prikazuje vozilo koje uključuje 5 teserakt zona.
Na albumu Voivod Nothingface jedna od kompozicija se zove “U mojoj hiperkocki”.
U romanu Route Cube Anthonyja Pearcea, jedan od luna Međunarodnog udruženja za razvoj u orbiti naziva se teseraktom koji je komprimiran u 3 dimenzije.
U seriji “Škola crnih rupa” u trećoj sezoni nalazi se epizoda “Tesseract”. Lucas pritisne tajno dugme i škola počinje da se oblikuje kao matematički teserak.
Pojam „teserat” i njegov derivat „teserat” nalaze se u priči „Bora u vremenu” Madeleine L’Engle.
U geometriji hiperkocka- Ovo n-dimenzionalna analogija kvadrata ( n= 2) i kocka ( n= 3). To je zatvorena konveksna figura koja se sastoji od grupa paralelnih linija koje se nalaze na suprotnim rubovima figure, a međusobno su povezane pod pravim uglom.
Ova brojka je poznata i kao teseract(teserakt). Teserak je prema kocki kao što je kocka prema kvadratu. Formalnije, teserak se može opisati kao pravilan konveksni četverodimenzionalni politop (poliedar) čija se granica sastoji od osam kubnih ćelija.
Prema Oksfordskom rječniku engleskog jezika, riječ "tesseract" skovao je 1888. Charles Howard Hinton i koristio je u svojoj knjizi "A New Era of Thought". Reč je izvedena od grčkog "τεσσερες ακτινες" ("četiri zraka"), u obliku četiri koordinatne ose. Osim toga, u nekim izvorima je nazvana ista cifra tetracube(tetrakub).
n-dimenzionalna hiperkocka se također naziva n-kocka.
Tačka je hiperkocka dimenzije 0. Ako pomaknete tačku za jedinicu dužine, dobićete segment jedinične dužine - hiperkocka dimenzije 1. Dalje, ako pomaknete segment za jedinicu dužine u smjeru okomitom u pravcu segmenta, dobija se kocka - hiperkocka dimenzije 2. Pomeranjem kvadrata za jedinicu dužine u pravcu okomitom na ravan kvadrata, dobija se kocka - hiperkocka dimenzije 3. Ovaj proces može se generalizirati na bilo koji broj dimenzija. Na primjer, ako pomjerite kocku za jednu jedinicu dužine u četvrtoj dimenziji, dobićete teserakt.
Porodica hiperkocka je jedan od rijetkih pravilnih poliedara koji se mogu predstaviti u bilo kojoj dimenziji.
Elementi hiperkocke
Hiperkocka dimenzija n ima 2 n„strane“ (jednodimenzionalna linija ima 2 tačke; dvodimenzionalni kvadrat ima 4 strane; trodimenzionalna kocka ima 6 strana; četvorodimenzionalni teserakt ima 8 ćelija). Broj vrhova (tačaka) hiperkocke je 2 n(na primjer, za kocku - 2 3 vrha).
Količina m-dimenzionalne hiperkocke na granici n-kocka jednaka
Na primjer, na granici hiperkocke nalazi se 8 kocki, 24 kvadrata, 32 ivice i 16 vrhova.
| n-kocka | Ime | Vertex (0-lice) |
Edge (1 lice) |
Edge (2 lica) |
Cell (3 lica) |
(4 lica) | (5 lica) | (6-strano) | (7 lica) | (8 lica) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-kocka | Dot | 1 | ||||||||
| 1-kocka | Segment linije | 2 | 1 | |||||||
| 2-kocka | Square | 4 | 4 | 1 | ||||||
| 3-cube | Kocka | 8 | 12 | 6 | 1 | |||||
| 4-kocka | Teserakt | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||
| 5-kocka | Penterakt | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||
| 6-kocka | Hexeract | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||
| 7-kocka | Hepterakt | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |
| 8-kocka | Octeract | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 |
| 9-kocka | Eneneract | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 |
Projekcija na ravan
Formiranje hiperkocke može se predstaviti na sljedeći način:
- Dvije tačke A i B mogu se spojiti tako da formiraju odsječak AB.
- Dva paralelna segmenta AB i CD mogu se spojiti u kvadrat ABCD.
- Dva paralelna kvadrata ABCD i EFGH mogu se povezati da formiraju kocku ABCDEFGH.
- Dvije paralelne kocke ABCDEFGH i IJKLMNOP mogu se povezati da formiraju hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.
Posljednju strukturu nije lako vizualizirati, ali je moguće prikazati njenu projekciju u dvodimenzionalni ili trodimenzionalni prostor. Štaviše, projekcije na dvodimenzionalnu ravan mogu biti korisnije dopuštajući da se pozicije projektovanih vrhova preurede. U ovom slučaju, moguće je dobiti slike koje više ne odražavaju prostorne odnose elemenata unutar teserakta, ali ilustriraju strukturu veza vrhova, kao u primjerima ispod.
Prva ilustracija pokazuje kako se, u principu, teserak formira spajanjem dvije kocke. Ova shema je slična shemi za stvaranje kocke iz dva kvadrata. Drugi dijagram pokazuje da su svi rubovi teserakta iste dužine. Ova šema vas također prisiljava da tražite kocke povezane jedna s drugom. U trećem dijagramu, vrhovi teserakta nalaze se u skladu s udaljenostima duž lica u odnosu na donju tačku. Ova šema je interesantna jer se koristi kao osnovna šema za mrežnu topologiju povezivanja procesora pri organizovanju paralelnog računarstva: rastojanje između bilo koja dva čvora ne prelazi 4 dužine ivice, a postoji mnogo različitih puteva za balansiranje opterećenja.
Hiperkocka u umjetnosti
Hiperkocka se u naučnofantastičnoj literaturi pojavljuje od 1940. godine, kada je Robert Heinlein u priči “I sagradio je krivu kuću” opisao kuću izgrađenu u obliku skeniranog teserakta. U priči, ovo Sljedeće, ova kuća se ruši, pretvarajući se u četverodimenzionalni teserakt. Nakon toga, hiperkocka se pojavljuje u mnogim knjigama i kratkim pričama.
Film Kocka 2: Hiperkocka govori o osam ljudi zarobljenih u mreži hiperkocki.
Slika Salvadora Dalija "Raspeće (Corpus Hypercubus)", 1954., prikazuje Isusa razapetog na teseraktu. Ova slika se može vidjeti u Metropolitan muzeju umjetnosti u New Yorku.
Zaključak
Hiperkocka je jedan od najjednostavnijih četverodimenzionalnih objekata, na čijem primjeru možete vidjeti svu složenost i neobičnost četvrta dimenzija. A ono što izgleda nemoguće u tri dimenzije moguće je u četiri, na primjer, nemoguće figure. Tako će, na primjer, šipke nemogućeg trokuta u četiri dimenzije biti povezane pod pravim uglom. I ova figura će izgledati ovako sa svih tačaka gledanja, i neće biti izobličena, za razliku od implementacije nemogućeg trougla u trodimenzionalnom prostoru (vidi.
Počnimo s objašnjenjem šta je četverodimenzionalni prostor.
Ovo je jednodimenzionalni prostor, to jest, jednostavno OX os. Bilo koju tačku na njoj karakterizira jedna koordinata.
Sada nacrtajmo os OY okomito na osu OX. Tako dobijamo dvodimenzionalni prostor, odnosno ravan XOY. Bilo koju tačku na njoj karakteriziraju dvije koordinate - apscisa i ordinata.
Nacrtajmo os OZ okomito na osi OX i OY. Rezultat je trodimenzionalni prostor u kojem bilo koja tačka ima apscisu, ordinatu i aplikaciju.
Logično je da četvrta os, OQ, bude istovremeno okomita na osi OX, OY i OZ. Ali takvu osu ne možemo precizno konstruirati, pa stoga možemo samo pokušati da je zamislimo. Svaka tačka u četvorodimenzionalnom prostoru ima četiri koordinate: x, y, z i q.
Sada da vidimo kako se pojavila četverodimenzionalna kocka.
Na slici je prikazana figura u jednodimenzionalnom prostoru - linija.
Ako napravite paralelni prijevod ove linije duž ose OY, a zatim spojite odgovarajuće krajeve dvije rezultirajuće linije, dobit ćete kvadrat.
Slično, ako napravite paralelnu translaciju kvadrata duž OZ ose i povežete odgovarajuće vrhove, dobit ćete kocku.
A ako napravimo paralelnu translaciju kocke duž ose OQ i povežemo vrhove ove dvije kocke, onda ćemo dobiti četverodimenzionalnu kocku. Uzgred, zove se teseract.
Da nacrtate kocku na ravni, potrebna vam je projekat. Vizuelno to izgleda ovako: 
Zamislimo da visi u zraku iznad površine žičani model kocka, odnosno kao da je "od žice", a iznad nje je sijalica. Ako upalite sijalicu, olovkom ocrtate sjenu kocke, a zatim ugasite sijalicu, na površini će se prikazati projekcija kocke.
Pređimo na nešto malo složenije. Pogledajte ponovo crtež sa sijalicom: kao što vidite, svi zraci konvergiraju u jednoj tački. To se zove tačka nestajanja i koristi se za gradnju perspektivna projekcija(a može biti i paralelna, kada su sve zrake paralelne jedna s drugom. Rezultat je da se ne stvara osjećaj volumena, već je lakši, a osim toga, ako je tačka nestajanja prilično udaljena od projektovanog objekta , onda je razlika između ove dvije projekcije malo primjetna). Projektovati datu tačku na dati avion, koristeći tačku nestajanja, potrebno je povući pravu liniju kroz tačku nestajanja i datu tačku, a zatim pronaći tačku presjeka rezultirajuće prave linije i ravnine. A da biste projektovali složeniju figuru, recimo, kocku, potrebno je projektovati svaki njen vrh, a zatim povezati odgovarajuće tačke. Treba napomenuti da algoritam za projektovanje prostora na podprostor može se generalizirati na slučaj 4D->3D, a ne samo 3D->2D.
Kao što sam rekao, ne možemo zamisliti kako tačno izgleda OQ osa, baš kao teserakt. Ali možemo dobiti ograničenu ideju o tome ako ga projiciramo na volumen, a zatim nacrtamo na ekranu kompjutera!
Hajde sada da pričamo o projekciji teserakta.
Lijevo je projekcija kocke na ravan, a desno teserakt na volumen. Oni su prilično slični: projekcija kocke izgleda kao dva kvadrata, mala i velika, jedan unutar drugog, a čiji su odgovarajući vrhovi povezani linijama. A projekcija teserakta izgleda kao dvije kocke, male i velike, jedna unutar druge, a čiji su odgovarajući vrhovi povezani. Ali svi smo vidjeli kocku, i možemo sa sigurnošću reći da je i mali kvadrat i veliki, i četiri trapeza iznad, ispod, desno i lijevo od mali kvadrat, su zapravo kvadrati i jednaki su. I teserakt ima istu stvar. I velika kocka, i mala kocka, i šest skraćenih piramida na stranicama male kocke - sve su to kocke, i jednake su.
Moj program ne samo da može nacrtati projekciju teserakta na volumen, već ga i rotirati. Pogledajmo kako se to radi.
Prvo ću vam reći šta je to rotacija paralelna sa ravninom.
Zamislite da se kocka rotira oko OZ ose. Tada svaki njegov vrh opisuje kružnicu oko OZ ose. 
Krug je ravna figura. A ravni svakog od ovih krugova su paralelne jedna s drugom i unutar u ovom slučaju paralelno sa ravninom XOY. Odnosno, ne možemo govoriti samo o rotaciji oko OZ ose, već io rotaciji paralelnoj sa ravninom XOY.Kao što vidimo, za tačke koje rotiraju paralelno sa osom XOY menjaju se samo apscisa i ordinata, dok aplikacija ostaje I, zapravo, o rotaciji oko prave linije možemo govoriti samo kada imamo posla sa trodimenzionalnim prostorom. U dvodimenzionalnom prostoru sve se rotira oko tačke, u četvorodimenzionalnom prostoru sve rotira oko ravni, u petodimenzionalnom prostoru govorimo o rotaciji oko volumena. A ako možemo zamisliti rotaciju oko tačke, onda je rotacija oko ravnine i zapremine nešto nezamislivo. A ako govorimo o rotaciji paralelnoj s ravninom, onda u bilo kojem n-dimenzionalnom prostoru tačka može rotirati paralelno s ravninom.
Mnogi od vas su vjerovatno čuli za matricu rotacije. Pomnožeći tačku sa njom, dobijamo tačku rotiranu paralelno sa ravninom za ugao phi. Za dvodimenzionalni prostor izgleda ovako: 
Kako pomnožiti: x tačke rotirane za ugao phi = kosinus ugla phi*ix originalne tačke minus sinus ugla phi*ig originalne tačke;
ig tačke rotirane za ugao phi = sinus ugla phi * ix originalne tačke plus kosinus ugla phi * ig originalne tačke.
Xa`=cosf*Xa - sinf*Ya
Ya`=sinf*Xa + cosf*Ya
, gdje su Xa i Ya apscisa i ordinata tačke koju treba rotirati, Xa` i Ya` su apscisa i ordinata već rotirane tačke
Za trodimenzionalni prostor, ova matrica je generalizirana na sljedeći način: 
Rotacija paralelna sa ravninom XOY. Kao što vidite, Z koordinate se ne mijenjaju, već se mijenjaju samo X i Y
Xa`=cosf*Xa - sinf*Ya + Za*0
Ya`=sinf*Xa +cosf*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (u suštini, Za`=Za)
Paralelna rotacija XOZ avion. Ništa novo,
Xa`=cosf*Xa + Ya*0 - sinf*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (u suštini, Ya`=Ya)
Za`=sinf*Xa + Ya*0 + cosf*Za
I treća matrica.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (u suštini, Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosf*Ya - sinf*Za
Za`=Xa*0 + sinf*Ya + cosf*Za
A za četvrtu dimenziju izgledaju ovako: 
Mislim da već razumete čime množite, pa neću ponovo ulaziti u detalje. Ali napominjem da radi istu stvar kao matrica za rotaciju paralelno s ravninom u trodimenzionalnom prostoru! I jedni i drugi mijenjaju samo ordinatu i aplikaciju, a ne dodiruju ostale koordinate, pa se može koristiti u trodimenzionalnom slučaju, jednostavno ne obraćajući pažnju na četvrtu koordinatu.
Ali s formulom projekcije nije sve tako jednostavno. Koliko god foruma pročitao, nijedna od metoda projekcije mi nije uspjela. Paralelna mi nije odgovarala, jer projekcija ne bi izgledala trodimenzionalno. U nekim formulama za projekciju, da biste pronašli tačku morate da rešite sistem jednačina (a ne znam kako da naučim računar da ih rešava), druge jednostavno nisam razumeo... Generalno, odlučio sam da smisli svoj način. U tu svrhu razmotrite 2D->1D projekciju.
pov znači "Tačka gledišta", ptp znači "Tačka do projekta" (tačka koja se projektuje), a ptp` je željena tačka na OX osi.
Uglovi povptpB i ptpptp`A su jednaki kao odgovarajući (isprekidana linija je paralelna sa OX osom, prava linija povptp je sekansa).
X tačke ptp` je jednako x tačke ptp minus dužina segmenta ptp`A. Ovaj segment se može naći iz trougla ptpptp`A: ptp`A = ptpA/tangenta ugla ptpptp`A. Ovu tangentu možemo pronaći iz trougla povptpB: tangenta ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Odgovor: Xptp`=Xptp-Yptp/tangent ugla ptpptp`A.
Ovdje nisam detaljno opisivao ovaj algoritam, jer postoji puno posebnih slučajeva kada se formula donekle mijenja. Ako nekoga zanima, pogledajte izvorni kod programa, tamo je sve opisano u komentarima.
Da bismo projektirali tačku u trodimenzionalnom prostoru na ravan, jednostavno razmatramo dvije ravni - XOZ i YOZ, i rješavamo ovaj problem za svaku od njih. U slučaju četvorodimenzionalnog prostora, potrebno je razmotriti tri ravni: XOQ, YOQ i ZOQ.
I na kraju, o programu. Funkcioniše ovako: inicijalizirati šesnaest vrhova teserakta -> ovisno o naredbama koje je unio korisnik, rotirati -> projektirati na volumen -> ovisno o naredbama koje je unio korisnik, rotirati njegovu projekciju -> projektirati na avion -> izvlačenje.
Sam sam napisao projekcije i rotacije. Oni rade prema formulama koje sam upravo opisao. OpenGL biblioteka crta linije i takođe rukuje mešanjem boja. A koordinate vrhova teserakta izračunavaju se na ovaj način:
Koordinate vrhova prave sa centrom u ishodištu i dužinom 2 - (1) i (-1);
- " - " - kvadrat - " - " - i ivica dužine 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) i (-1; -1);
- " - " - kocka - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Kao što vidite, kvadrat je jedna linija iznad ose OY i jedna linija ispod ose OY; kocka je jedan kvadrat ispred ravni XOY, a jedan iza nje; Teserakt je jedna kocka s druge strane volumena XOYZ, a jedna s ove strane. Ali mnogo je lakše uočiti ovu izmjenu jedinica i minusa ako su napisane u stupcu
1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1
U prvoj koloni, jedan i minus jedan naizmjenično. U drugoj koloni prvo su dva plusa, pa dva minusa. U trećem - četiri plus jedan, a zatim četiri minus. To su bili vrhovi kocke. Teserakt ih ima duplo više, pa je stoga bilo potrebno napisati petlju da ih proglasimo, inače se vrlo lako zbuniti.
Moj program također može crtati anaglif. Sretni vlasnici 3D naočara mogu promatrati stereoskopsku sliku. Nema ništa teško u crtanju slike; jednostavno nacrtate dvije projekcije na ravan, za desno i lijevo oko. Ali program postaje mnogo vizualniji i zanimljiviji, i što je najvažnije, daje bolju predstavu o četverodimenzionalnom svijetu.
Manje značajne funkcije su osvjetljenje jedne od ivica crvenom bojom kako bi se zavoji bolje vidjeli, kao i manje pogodnosti - regulacija koordinata "očnih" tačaka, povećanje i smanjenje brzine okretanja.
Arhivirajte s programom, izvornim kodom i uputama za korištenje.
Ako vam se desio neobičan incident, vidjeli ste čudno stvorenje ili neshvatljiv fenomen, možete nam poslati svoju priču i ona će biti objavljena na našoj web stranici ===> .
Doktrina višedimenzionalnih prostora počela je da se javlja sredinom 19. veka. ideja četvorodimenzionalni prostor pisci naučne fantastike posudili su od naučnika. U svojim radovima pričali su svijetu o nevjerovatnim čudima četvrte dimenzije.
Junaci njihovih radova, koristeći svojstva četvorodimenzionalnog prostora, mogli su da jedu sadržaj jajeta bez oštećenja ljuske i popiju piće bez otvaranja čepa flaše. Lopovi su uklonili blago iz sefa kroz četvrtu dimenziju. Hirurzi su radili operacije na unutrašnje organe bez rezanja tjelesnog tkiva pacijenta.
Teserakt
U geometriji, hiperkocka je n-dimenzionalna analogija kvadrata (n = 2) i kocke (n = 3). Četvorodimenzionalni analog naše uobičajene 3-dimenzionalne kocke poznat je kao teserakt. Teserak je prema kocki kao što je kocka prema kvadratu. Formalnije, teserakt se može opisati kao pravilan konveksni četverodimenzionalni poliedar čija se granica sastoji od osam kubnih ćelija.
Svaki par neparalelnih 3D lica se seku da bi formirali 2D lica (kvadrate) i tako dalje. Konačno, teserakt ima 8 3D lica, 24 2D lica, 32 ivice i 16 vrhova.
Inače, prema Oksfordskom rječniku, riječ teserakt je skovao i upotrijebio 1888. Charles Howard Hinton (1853-1907) u svojoj knjizi Novo doba misli. Kasnije su neki ljudi istu figuru nazvali tetrakub (grčki tetra - četiri) - četverodimenzionalna kocka.
Konstrukcija i opis
Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.
U jednodimenzionalnom "prostoru" - na pravoj - biramo segment AB dužine L. Na dvodimenzionalnoj ravni na udaljenosti L od AB, povlačimo paralelan segment DC i povezujemo njihove krajeve. Rezultat je kvadratni CDBA. Ponavljajući ovu operaciju sa ravninom, dobijamo trodimenzionalnu kocku CDBAGHFE. I pomjeranjem kocke u četvrtoj dimenziji (upravno na prve tri) za razmak L, dobijamo hiperkocku CDBAGHFEKLJOPNM.
Na sličan način možemo nastaviti razmišljanje o hiperkockama većeg broja dimenzija, ali je mnogo zanimljivije vidjeti kako će četverodimenzionalna hiperkocka izgledati za nas, stanovnike trodimenzionalnog prostora.
Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ivice. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravni (njene bliske i dalje ivice), spojena sa četiri linije - bočne ivice. Slično, četvorodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru će izgledati kao dve kubične „kutije“ umetnute jedna u drugu i povezane sa osam ivica. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - projiciraju se na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u smjeru četvrte ose. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.
Baš kao što trodimenzionalnu kocku formira kvadrat pomeren za dužinu njegovog lica, kocka pomerena u četvrtu dimenziju će formirati hiperkocku. Ograničen je sa osam kockica, koje će u perspektivi izgledati kao neka prilično složena figura. Sama četvorodimenzionalna hiperkocka se može podeliti na beskonačan broj kocki, kao što se trodimenzionalna kocka može „iseći“ na beskonačan broj ravnih kvadrata.
Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru - razvoj. Imat će kvadrat na svakoj strani originalnog lica plus još jedan - lice nasuprot njemu. A trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje „rastu“ iz nje, plus još jedna - konačno „hiperface“.
Hiperkocka u umjetnosti
Teserakt je toliko zanimljiva figura da je više puta privlačio pažnju pisaca i filmaša.
Robert E. Heinlein je nekoliko puta spomenuo hiperkocke. U The House That Teal Built (1940), opisao je kuću sagrađenu kao neumotani teserak, a zatim, usled zemljotresa, "savijenu" u četvrtu dimenziju da bi postala "pravi" teserak. Heinleinov roman Glory Road opisuje kutiju hiper-veličine koja je bila veća iznutra nego spolja.
Priča Henryja Kuttnera "Svi Tenali Borogov" opisuje edukativnu igračku za djecu iz daleke budućnosti, sličnu strukturi teseratu.
Radnja Kocke 2: Hiperkocka se fokusira na osam stranaca zarobljenih u "hiperkocki", ili mreži povezanih kocki.
Paralelni svijet
Matematičke apstrakcije dovele su do ideje postojanja paralelni svetovi. One se shvataju kao realnosti koje postoje istovremeno sa našom, ali nezavisno od nje. Paralelni svijet može imati različite veličine: od malog geografskog područja do cijelog svemira. U paralelnom svijetu događaji se odvijaju na svoj način, on se može razlikovati od našeg svijeta, kako u pojedinim detaljima, tako iu gotovo svemu. Štaviše, fizički zakoni paralelnog svijeta nisu nužno slični zakonima našeg Univerzuma.
Ova tema je plodno tlo za pisce naučne fantastike.
Slika Salvadora Dalija "Raspeće" prikazuje teserak. “Raspeće ili hiperkubično tijelo” je slika španskog umjetnika Salvadora Dalija, naslikana 1954. godine. Prikazuje raspetog Isusa Krista na teseraktu. Slika se čuva u Metropolitan muzeju umetnosti u Njujorku
Sve je počelo 1895. godine, kada je H.G. Wells svojom pričom “Vrata u zidu” otkrio postojanje paralelnih svjetova naučnoj fantastici. Godine 1923. Wells se vratio ideji paralelnih svjetova i u jedan od njih smjestio utopijsku zemlju u koju odlaze likovi iz romana Ljudi poput bogova.
Roman nije prošao nezapaženo. Godine 1926. pojavila se priča G. Denta “Car zemlje “Ako””. U Dentovoj priči se prvi put javila ideja da mogu postojati zemlje (svjetovi) čija bi istorija mogla ići drugačije od istorije stvarnih zemalja. u našem svijetu, a ovi svjetovi nisu ništa manje stvarni od našeg.
Horhe Luis Borhes je 1944. objavio priču „Bašta staza koje se račvaju“ u svojoj knjizi Izmišljene priče. Ovdje je ideja o grananju vremena konačno izražena s najvećom jasnoćom.
Unatoč pojavi gore navedenih djela, ideja o mnogim svjetovima počela se ozbiljno razvijati u naučnoj fantastici tek krajem četrdesetih godina 20. stoljeća, otprilike u isto vrijeme kada se slična ideja pojavila u fizici.
Jedan od pionira novog pravca naučne fantastike bio je Džon Biksbi, koji je u priči “Ulica u jednom pravcu” (1954) sugerisao da se između svetova možete kretati samo u jednom smeru – kada iz svog sveta pređete u paralelni, nećete se vratiti, ali ćete se preseliti iz jednog svijeta u drugi. Međutim, nije isključen ni povratak u vlastiti svijet - za to je neophodno da se sistem svjetova zatvori.
Roman Clifforda Simaka „Prsten oko sunca“ (1982) opisuje brojne planete Zemlje, od kojih svaka postoji u svom svijetu, ali u istoj orbiti, a ti svjetovi i ove planete se međusobno razlikuju samo po malom (mikrosekundnom) pomaku u vremenu. Brojne Zemlje koje je obišao junak romana unificirani sistem svjetova.
Alfred Bester iznio je zanimljiv pogled na grananje svjetova u svojoj priči “Čovjek koji je ubio Muhameda” (1958). “Promjenom prošlosti”, tvrdio je junak priče, “mijenjate je samo za sebe.” Drugim riječima, nakon promjene u prošlosti, nastaje grana historije u kojoj samo za lik koji je izvršio promjenu postoji ova promjena.
Priča braće Strugacki "Ponedjeljak počinje subotom" (1962.) opisuje putovanja likova u različite verzije budućnosti koje su opisali pisci naučne fantastike - za razliku od putovanja u različite verzije prošlosti koje su već postojale u naučnoj fantastici.
Međutim, čak i jednostavno nabrajanje svih djela koja se dotiču teme paralelnih svjetova oduzelo bi previše vremena. I iako pisci naučne fantastike, po pravilu, naučno ne potkrepljuju postulat višedimenzionalnosti, u jednom su u pravu - ovo je hipoteza koja ima pravo na postojanje.
Četvrta dimenzija teserakta još uvijek nas čeka da posjetimo.
Viktor Savinov
