Pitagorina teorema: istorija, dokaz, primjeri praktične primjene. Drevne teoreme. Istorija Pitagorine teoreme Šta je Pitagora dokazao

Prividentsev Vladislav, Farafonova Ekaterina

Projektni rad učenika za matematičku konferenciju

Skinuti:

Pregled:

BOU TR OO "Srednja škola Trosnjanskaja"

Studentska matematička konferencija posvećena velikom matematičaru Pitagori

(u okviru Sedmice matematike u školi)

Istorija Pitagorine teoreme

(projekat)

Pripremljeno

Učenici 9. razreda

Farafonova Ekaterina i Prividentsev Vladislav

Učitelj Bilyk T.V.

januar – 2016

Ciljevi:

  • 1.Proširite svoje znanje o istoriji matematike.
  • 2. Upoznati biografske činjenice iz Pitagorinog života u vezi sa teoremom.
  • 3. Proučite istoriju Pitagorine teoreme kroz mitove i legende antike.
  • 4. Razmotrite primjenu Pitagorine teoreme u rješavanju problema iz različitih grana geometrije.

Plan.

1. Uvod

2. Iz istorije teoreme

3. Pjesme o Pitagori

4. Sažetak

5. Zaključak

Uvod.

Pitagorina teorema se dugo koristila u raznim oblastima nauke, tehnologije i praktičnog života. O tome su u svojim delima pisali rimski arhitekta i inženjer Vitruvije, grčki pisac moralista Plutarh i grčki naučnik XII veka. Diogen Laertius, matematičar iz 5. stoljeća Proklo i mnogi drugi. Legenda da je u čast svog otkrića Pitagora žrtvovao bika ili, kako drugi kažu, stotinu bikova, poslužila je kao povod za humor u pričama pisaca i u pjesmama pjesnika.

Pjesnik Heinrich Heine (1797-1856), poznat po svojim antireligijskim stavovima i zajedljivom ismijavanju sujeverja, u jednom od svojih djela ismijava “doktrinu” o transmigraciji duša na sljedeći način:

"Ko zna! Ko zna! Pitagorina duša se nastanila, možda, na siromašnom kandidatu koji nije bio u stanju da dokaže Pitagorine teoreme pa je pao na ispitu, dok u njegovim ispitivačima žive duše onih bikova koje je Pitagora jednom žrtvovao besmrtnim bogovima, oduševljen otkrićem njegova teorema.” Istorija Pitagorine teoreme počinje mnogo prije Pitagore. Brojni različiti dokazi Pitagorine teoreme dani su tokom stoljeća.

Iz istorije teoreme

Počnimo naš istorijski pregled sa drevnom Kinom. Ovdje posebnu pažnju privlači matematička knjiga Chu-pei. Ovo delo govori o Pitagorinom trokutu sa stranicama 3, 4 i 5: „Ako se pravi ugao razloži na sastavne delove, tada će linija koja povezuje krajeve njegovih stranica biti 5, kada je osnova 3, a visina 4.” U istoj knjizi predlaže se crtež koji se poklapa s jednim od crteža hinduističke geometrije Bašare.

  • Cantor (vodeći njemački istoričar matematike) smatra da je jednakost 32 + 42 = 52 je već bilo poznato Egipćanima još oko 2300. godine pne. e., za vrijeme kralja Amenemhet I (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonaptes, ili „izvlakači užeta“, gradili su prave uglove koristeći pravougaone trouglove sa stranicama 3, 4 i 5. Njihov način konstrukcije može se vrlo lako reproducirati. Uzmimo konopac dužine 12 m i za njega vežemo traku u boji na udaljenosti od 3 m. sa jednog kraja i 4 metra od drugog. Pravi ugao će biti zatvoren između stranica dužine 3 i 4 metra. Harpedonaptima bi se moglo prigovoriti da njihov način gradnje postaje suvišan ako se koristi, na primjer, drveni kvadrat, koji koriste svi stolari. Zaista, poznati su egipatski crteži u kojima se nalazi takav alat, na primjer, crteži koji prikazuju stolarsku radionicu.
  • Nešto više se zna o Pitagorinoj teoremi Babilonci . U jednom tekstu koji se odnosi na vrijeme Hamurabi , tj. do 2000. godine prije Krista. e., dat je približan proračun hipotenuze pravouglog trougla. Iz ovoga možemo zaključiti da su u Mezopotamiji mogli izvoditi proračune s pravokutnim trokutima, barem u nekim slučajevima. Na osnovu, s jedne strane, sadašnjeg nivoa znanja o egipatskoj i vavilonskoj matematici, as druge, na kritičkom proučavanju grčkih izvora, Van der Waerden (holandski matematičar) došao je do sljedećeg zaključka:"Zasluga prvih grčkih matematičara, poput Talesa, Pitagore i Pitagorejaca, nije otkriće matematike, već njena sistematizacija i opravdanje. U njihovim rukama, računski recepti zasnovani na nejasnim idejama pretvorili su se u egzaktnu nauku." Hindu geometrija , kao i Egipćani i Babilonci, bio je usko povezan s kultom. Vrlo je vjerovatno da je teorema o kvadratu hipotenuze već bila poznata u Indiji oko 18. stoljeća prije nove ere. e.
  • U prvom ruskom prijevodu Euklidskih elemenata, koji je napravio F. I. Petrushevsky, Pitagorina teorema je navedena na sljedeći način:"U pravokutnim trokutima kvadrat stranice suprotne pravom kutu jednak je zbroju kvadrata stranica koje sadrže pravi ugao."Sada je poznato da ovu teoremu nije otkrio Pitagora. Međutim, neki smatraju da je Pitagora prvi dao svoj puni dokaz, dok mu drugi poriču tu zaslugu. Neki pripisuju Pitagori dokaz koji Euklid daje u prvoj knjizi svojih Elementa. S druge strane, Proklo tvrdi da dokaz u Elementima pripada samom Euklidu. Kao što vidimo, istorija matematike nije sačuvala gotovo nikakve pouzdane podatke o Pitagorinom životu i njegovim matematičkim aktivnostima. Ali legenda nam čak govori o neposrednim okolnostima koje su pratile otkriće teoreme. Kažu da je u čast ovog otkrića Pitagora žrtvovao 100 bikova.
  • Dugo se vjerovalo da ova teorema nije bila poznata prije Pitagore i zbog toga je nazvana “Pitagorina teorema”. Ovo ime je opstalo do danas. Međutim, sada je utvrđeno da se ova najvažnija teorema nalazi u babilonskim tekstovima napisanim 1200 godina prije Pitagore.
  • Činjenica da je trougao sa stranicama 3, 4 i 5 pravougaonik poznata je 2000. godine prije Krista. Egipćani, koji su vjerovatno koristili ovaj omjer za izgradnju pravih uglova prilikom izgradnje zgrada. U Kini je prijedlog kvadrata hipotenuze bio poznat najmanje 500 godina prije Pitagore. Ova teorema je također bila poznata u staroj Indiji; O tome svjedoče rečenice sadržane u Sutrama.

Pitagora je napravio mnoga važna otkrića, ali je teorema koju je dokazao, a koja sada nosi njegovo ime, donijela najveću slavu naučniku. Zaista, u modernim udžbenicima teorema je formulirana na sljedeći način: "U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze je jednak zbiru kvadrata kateta." - Kako napisati Pitagorinu teoremu za pravougli trougao ABC sa kracima a, b i hipotenuzom c.

a 2 + b 2 = c 2

Vjeruje se da je u doba Pitagore teorema zvučala drugačije: "Površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednaka je zbroju površina kvadrata izgrađenih na njegovim kracima." stvarno, With 2 – površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi, a 2 i b 2 – površine kvadrata izgrađenih na nogama.

Vjerovatno je da je činjenica navedena u Pitagorinoj teoremi prvo ustanovljena za jednakokračne pravokutne trougle. Kvadrat izgrađen na hipotenuzi sadrži četiri trokuta. I na svakoj strani je kvadrat koji sadrži dva trokuta. Sa slike 9 je jasno da je površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka zbiru površina kvadrata izgrađenih na katetama.

Pjesme o Pitagori.
Njemački romanopisac A. Chamisso, koji je početkom 10. st. Učestvovao je na putovanju oko sveta na ruskom brodu "Rjurik" i napisao sledeće pesme:
Istina će ostati vječna, čim
Slaba osoba će to znati!
A sada Pitagorina teorema
Istina, kao i njegov daleki vek.
Žrtva je bila obilna
Bogovima od Pitagore. Sto bikova
Dao ga je da ga zakolju i spali
Iza svjetlosti je zrak koji je došao iz oblaka.
Stoga, od tada,
Istina se tek rađa,
Bikovi riču, osetivši je, prate je.
Oni nisu u stanju da zaustave svetlo,
Ili mogu samo zatvoriti oči i drhtati
Od straha koji im je ulio Pitagora

Da rezimiramo:
Ako nam je dat trougao
I, štaviše, sa pravim uglom,
To je kvadrat hipotenuze
Uvek možemo lako pronaći:
Mi kvadriramo noge,
Nalazimo zbir snaga
I to na tako jednostavan način
Doći ćemo do rezultata.

Bliži se test iz geometrije, a tokom testova i ispita ponekad se dešavaju slučajevi kada se studenti, nakon što su izvadili kartu, sjete formulacije teoreme, ali zaborave odakle započeti dokaz. Da vam se to ne dogodi, predlažem crtež - referentni signal. Mislim da će vam dugo ostati u sjećanju.

Ivan Tsarevich odsjekao je zmaju glavu, a iz njega su izrasle dvije nove. Matematičkim jezikom to znači: potrošeno u Δ ABC visina CD , i formirana su dva nova pravougla trougla ADC i BDC.

Zaključak.

Nakon proučavanja konstruiranog materijala, možemo zaključiti da je Pitagorina teorema jedna od najvažnijih teorema geometrije jer uz nju možete dokazati mnoge druge teoreme i riješiti mnoge probleme.

Pitagora i pitagorejska škola odigrali su veliku ulogu u poboljšanju metoda za rješavanje naučnih problema: u matematici je čvrsto uspostavljena potreba za rigoroznim dokazima, što joj je dalo značaj posebne nauke.





Uvod

Teško je naći osobu koja ne povezuje Pitagorino ime sa njegovom teoremom. Možda čak i oni koji su se zauvijek oprostili od matematike u životu zadrže sjećanja na "pitagorine pantalone" - kvadrat na hipotenuzi, veličine dva kvadrata na stranama.

Razlog popularnosti Pitagorine teoreme je trojedini: ona

jednostavnost - lepota - značaj. Zaista, Pitagorina teorema je jednostavna, ali nije očigledna. Ovo je kombinacija dva kontradiktorna

počeo joj davati posebnu privlačnu snagu, čini je lijepom.

Osim toga, Pitagorina teorema je od velike važnosti: koristi se u geometriji doslovno na svakom koraku, a činjenica da postoji oko 500 različitih dokaza ove teoreme (geometrijskih, algebarskih, mehaničkih, itd.) svjedoči o gigantskom broju njegove specifične implementacije.

U modernim udžbenicima teorema je formulirana na sljedeći način: "U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze je jednak zbiru kvadrata kateta."

U Pitagorino vrijeme zvučalo je ovako: „Dokaži da je kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak zbroju kvadrata izgrađenih na njegovim kracima“ ili „Površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi pravouglog trougla jednak je zbiru površina kvadrata izgrađenih na njegovim kracima.”

Ciljevi i zadaci

Glavni cilj rada bio je pokazativažnost Pitagorine teoreme u razvoju nauke i tehnologije mnogihzemljama i narodima svijeta, kao iu najjednostavnijim i najzanimljivijimformu za podučavanje sadržaja teoreme.

Glavna metoda koja se koristi u radu jeje metoda organiziranja i obrade podataka.

Uključujući informacijsku tehnologiju, diverzifikacijuzili materijal sa raznim šarenim ilustracijama.

"ZLATNI STIHOVI" PITAGOROVA

Budite pošteni i u svojim rečima i u svojim delima... Pitagora (oko 570-oko 500 pne)

Starogrčki filozof i matematičarrazvio sa svojim učenjem o kosmičkoj harmoniji ipreseljenje duša. Tradicija pripisuje Pitagori zasluge za dokazivanje teoreme koja nosi njegovo ime. Mnogo uPlatonova učenja sežu do Pitagore i njegovih nasljednika tel.

O Pitagori sa Samosa, sinu Mnesarhovom, nema pisanih dokumenata, a iz kasnijih dokaza teško je rekonstruisati pravu sliku njegovog života i dostignuća.(Elektronska enciklopedija:StarSvijet) Poznato je da je Pitagora napustio svoje rodno ostrvo Samos u Egejskom moru na obaligov Male Azije u znak protesta protiv tiranije vladara i već u odrasloj dobigodine (prema legendi, 40 godina) pojavio se u grčkom gradu Crotone u južnoj Italiji. Pitagora i njegovi sljedbenici - Pitagorejci - formirali su tajni savez koji je odigrao značajnu ulogu u životu grčkih kolonija u Iti.Lii. Pitagorejci su se međusobno prepoznavali po petouglu u obliku zvijezde - pentagramu. Ali Pitagora je morao da se povuče u Metapont, gde jeumro. Kasnije u drugom poluvremenuVBC e., njegovo naređenje je uništeno.

Pitagorino učenje bilo je pod velikim uticajem filozofije i religijegija istoka. Mnogo je putovao po zemljama Istoka: bio je uEgipat i Babilon. Tamo se Pitagora susreo i sa istočnjačkom matematikom tikoy.

Pitagorejci su vjerovali da su tajne skrivene u brojčanim obrascima.na svijetu. Svijet brojeva je za Pitagorejca živio posebnim životom; brojevi susvoj poseban životni smisao. Brojevi jednaki zbiru njihovih djelitelja su percipirani kao savršeni (6, 28, 496, 8128); prijateljskiimenovani parovi brojeva, od kojih je svaki jednak zbiru djelitelja drugoggogo (na primjer, 220 i 284). Pitagora je prvi podijelio brojeve na parne ineparni, prosti i složeni, uveo je koncept figuriranih brojeva. U njegovomŠkola je detaljno ispitivala pitagorine trojke prirodnih brojeva, u kojima je kvadrat jednog jednak zbiru kvadrata druga dva (Fermatova posljednja teorema).

Pitagori se pripisuje da je rekao: "Sve je broj." Do brojeva(a mislio je samo na prirodne brojeve) želio je spojiti cijeli svijet, imatematike posebno. Ali u samoj Pitagorinoj školi došlo je do otkrića koje je narušilo ovaj sklad. Dokazano je da korijen od 2 nijeje racionalan broj, tj. ne može se izraziti prirodnim brojevima brojevi.

Naravno, Pitagorina geometrija je bila podređena aritmetici.To se jasno manifestovalo u teoremi koja nosi njegovo ime i koja je kasnije postalaosnova za primenu numeričkih metoda geometrije. (Kasnije je Euklid ponovo stavio geometriju u prvi plan, podredivši joj algebru.) Očigledno, Pitagorejci su poznavali tačna tela: tetraedar, kocku i dodekaedar.

Pitagora je zaslužan za sistematsko uvođenje dokaza u geometriju, stvaranje planimetrije pravolinijskih figura, doktrinu o bii.

Ime Pitagore povezuje se s doktrinom aritmetičkih, geometrijskih i harmonijskih proporcija.

Treba napomenuti da je Pitagora smatrao da je Zemlja lopta koja se krećeoko sunca. Kada uXVIveka crkva je počela da bude žestoko proganjanaAko uzmemo učenje Kopernika, ovo učenje se tvrdoglavo nazivalo pitagorejskim.(Enciklopedijski rečnik mladog matematičara: E-68. A. P. Savin.- M.: Pedagogija, 1989, str. 28.)

Neki fundamentalni koncepti nesumnjivo pripadajusamom Pitagori. Prvi- ideja o prostoru kao matematicitipično uređena celina. Pitagora je došao do njega nakon što je otkrio da osnovni harmonijski intervali, tj. oktava, savršena kvinta i savršena kvarta, nastaju kada se dužine vibrirajućih žica povežu kao 2:1, 3:2 i 4:3 (Legenda kaže da je otkriće došlo kadaPitagora je prošao pored kovačnice: nakovnja različitih masagenerira odgovarajuće omjere zvuka nakon udara). UsmotOtkrivajući analogiju između uređenosti u muzici, izražene odnosima koje je ona otkrila, i uređenosti materijalnog svijeta, Pitagoradošao do zaključka da je prožeta matematičkim odnosimacijeli prostor. Pokušaj primjene Pitagorinih matematičkih otkrića na spekulativne fizičke konstrukcije doveo je do zanimljivih posljedica.rezultate. Dakle, pretpostavljalo se da svaka planeta tokom svoje revolucijeoko Zemlje emituje dok prolazi kroz čisti gornji vazduh, ili "etar",ton određene visine. Visina zvuka se mijenja ovisno o brzinibrzina kretanja planete, brzina zavisi od udaljenosti do Zemlje. ŠljivaKada se nebeski zvuci spoje, formiraju ono što se naziva "harmonija sfera" ili "muzika sfera", o čemu se često govori u evropskoj literaturi.

Rani pitagorejci su vjerovali da je Zemlja ravna i da se nalazi u centruprostor. Kasnije su počeli vjerovati da Zemlja ima sferni oblik i da je, zajedno s drugim planetama (koje su uključivali i Sunce), oblikovanaokreće se oko centra prostora, odnosno "ognjišta".

U antici, Pitagora je bio najpoznatiji kao propovjednikpovučen način života. U središtu njegovog učenja bila je idejagovore o reinkarnaciji (preseljenju duša), koja, naravno, pretpostavlja sposobnost duše da preživi smrt tijela, a samim tim i njenu besmrtnost. Budući da se u novoj inkarnaciji duša može useliti u tijelo životinje, Pitagora se protivio ubijanju životinja, jedenju njihovog mesa, pa je čak izjavio da se ne treba baviti onima koji kolju životinje ili kolju njihove leševe. Koliko se može suditi iz Empedoklovih spisa, koji je dijelio Pitagorine vjerske poglede, ovdje se prolivanje krvi smatralo izvornim grijehom, zbog kojeg se duša protjeruje u smrtni svijet, gdje luta, bivajući zatočena u jedno ili drugo telo. Duša strastveno želi oslobođenje, ali iz neznanja neprestano ponavlja grešni čin.

Može spasiti dušu od beskonačnog niza reinkarnacijačišćenje Najjednostavnije čišćenje se sastoji u promatranju određenihzabrane (na primjer, uzdržavanje od opijanja ili pijenjajedenje pasulja) i pravila ponašanja (na primjer, poštovanje starijih, poštivanje zakona i ne ljutnje).

Pitagorejci su visoko cijenili prijateljstvo, i prema njihovim konceptima, sva imovina prijatelja trebala bi biti zajednička. Nekolicini odabranih ponuđen je najviši oblik pročišćenja - filozofija, odnosno ljubav prema mudrosti, a samim tim i želja za njom (ovu je riječ, prema Ciceronu, prvi upotrijebio Pitagora, koji sebe nije nazivao mudracem, već ljubavnikom mudrosti). Pomoću ovih sredstava duša dolazi u dodir sa principima kosmičkog poretka i usklađuje se s njima, oslobađa se svoje vezanosti za tijelo, njegovih bezakonih i neuređenih želja. Matematika je jedna od komponenti religijePitagorejci, koji su učili da je Bog postavio broj u osnovu svijetared.

Uticaj Pitagorejskog bratstva u prvoj poloviniVV. BC e. Nekontinuirano povećavao. Ali njegova želja da da vlast „najboljima“ došla je u sukob s porastom demokratskog raspoloženja u grčkim gradovima južne Italije, a ubrzo nakon 450. godine prije Krista. e. došlo je do izbijanja bolesti u Crotoneupobuna protiv Pitagorejaca koja je rezultirala ubistvom i protjerivanjem mnogih, ako ne i svih, članova bratstva. Međutim, još uvijek uIVV. BC e. pythagoRajhovi su uživali uticaj u južnoj Italiji, a u Tarentu, gde je živeo Platonov prijatelj Arhita, ostao je još duže. Međutim, mnogo važnije za istoriju filozofije bilo je stvaranje pitagorejskih centara u samoj Grčkoj,na primjer u Tebi, u drugoj poloviniVV. BC e. Otuda pitagorejacideje su prodrle u Atinu, gde je, prema Platonovom dijalogufedon,usvojio ih je Sokrat i pretvoren u širok ideološki pokret,započeli su Platon i njegov učenik Aristotel.

U narednim vekovima, lik samog Pitagore je bio okružen
mnoge legende: smatran je reinkarniranim bogom Apolonom,
Verovalo se da ima zlatnu butinu i da je sposoban da podučava
u isto vreme na dva mesta. Ranokršćanski crkveni oci odgovaraju
da li Pitagora ima počasno mjesto između Mojsija i Platona. Takođe uXVIV[
bilo je čestih pozivanja na Pitagorin autoritet u pitanjima ne samo nauke |.:
ali i magiju.(Elektronska enciklopedija:StarSvijet.).

Iza legende je istina

Otkriće Pitagorine teoreme okruženo je oreolom prekrasnih legendiProclus, komentarišući posljednju rečenicuIknjige Euklida "Elementi",piše: „Ako slušate one koji vole da ponavljaju drevne legende, ondamoramo reći da ova teorema seže do Pitagore; oni kazuda je žrtvovao bika u čast ovoga.” Ova legenda je čvrsto sraslasa Pitagorinom teoremom i nakon 2000 godina nastavio da uzrokuje vruće klikovi. Tako je optimista Mihailo Lomonosov napisao: „Pitagora za pronalazak jedne geometrijePrema Zevsovom pravilu, žrtvovao je stotinu volova.Ali ako za one koji se nalaze u modernim vremenima izduhoviti matematičari vladaju u skladu sa svojim praznovjerjemljubomora da glumi, onda jedvakad bi ih bilo toliko na cijelom svijetupronađena je stoka."

Ali ironični Heinrich Heine je razvoj iste situacije vidio nešto drugačije : « Ko zna ! Ko zna ! Možda , duša planine Pit uselila se u jadnog kandidata , koji nije mogao dokazati Pitagorinu teoremu i nije uspio - za ovo na ispitima , dok u njegovim ispitivačima žive duše tih bikova , koji Pitagora , oduševljen otkrićem svoje teoreme , žrtvovan besmrtnim bogovima ».

Istorija otkrića teoreme

Otkriće Pitagorine teoreme obično se pripisuje starogrčkom filozofu i matematičaru Pitagori (VIV. BC e.). Ali proučavanje babilonskih klinopisnih tablica i drevnih kineskih rukopisa (kopije još drevnijih rukopisa) pokazalo je da je ova izjava bila poznata mnogo prije Pitagore, možda milenijumima prije njega. Pitagorina zasluga je u tome što je otkrio dokaz ove teoreme.

Počnimo naš istorijski pregled sa drevnom Kinom. Ovdje postoji posebna napomenamaniju privlači matematička knjiga Chu-pei. Ovaj rad govori o Pitagorinom trouglu sa stranicama 3, 4 i 5:“Ako se pravi ugao razloži na njegove sastavne dijelove, tada će linija koja povezuje krajeve njegovih stranica biti 5, kada je osnova 3, a visina 4.”

U istoj knjizi predlaže se crtež koji se poklapa s jednim od crteža hinduističke geometrije Bašare.

Takođe, Pitagorina teorema je otkrivena u drevnoj kineskoj raspravi „Zhou-bi suan jin“ („Matematički traktato gnomonu"), čije vrijeme nastanka nije tačno poznato, ali gdje se navodi da je uXVV. BC e. Kinezi su poznavali svojstva egipatskog trougla, i uXVIV. BC e. - i opšti oblik teoreme.

Cantor (najveći njemački istoričar matematike) smatra da je jednakost 3 2 + 4 2 = 5 2 je već bio poznat Egipćanima oko 2300. godine prije Krista. e. za vrijeme kralja AmenemhetaI(prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja).

Prema Cantoru, harpedonaptes, ili „vlagači užeta“, gradili su prave uglove kada

koristeći pravokutne trougle sa stranicama 3, 4 i 5.

Vrlo je lako reproducirati njihovu metoduizgradnja. Uzmimo konopac dužine 12 m i zavežemo traku u boji za njega na udaljenosti3 m od jednog kraja i 4 m od drugog. Pravi ugaobiće zatvoren između stranica dužine 3 i 4 m. Harpedonaptima bi se moglo prigovoriti da njihov način gradnje postaje suvišan ako se koristi, na primjer, drveni kvadrat, koji koriste svi stolari. Zaista, poznati su egipatski crteži u kojima se nalazi takav alat, na primjer, crteži koji prikazuju stolarsku radionicu.O tome se nešto više znaPitagorina teorema među Babilonima.U jednom tekstu koji datira iz vremenaMeni Hamurabi, tj. do 2000BC e., direktno je dat približan proračun hipotenuzetrougao uglja. Odavdemožemo zaključiti da u Dvurikoji je znao da radi proračunesa pravokutnim trouglovimami, barem u nekimaslučajevima. Na osnovu jednogstrane, na današnjem nivouznanje o egipatskom i vavilonskommatematike, a s druge - u kriticilogička studija grčkih izvora, Van der Waerden (holandskiruski matematičar) donio je sljedeći zaključak:

“Zasluga prvih grčkih matematičara, poput Talesa, Pitagora i Pitagorejci, nije otkriće matematike, već njeno sistematizacija i opravdanost. Računarski recept je u njihovim rukama ti si se na osnovu nejasnih ideja pretvorio u precizne nova nauka."

Geometrija Hindusa, poput Egipćana i Babilonaca, bila je bliskapovezan sa kultom. Vrlo je vjerovatno da je teorema o kvadratu hipotenuse je u Indiji već bilo poznato okoXVIIIvek pne e., takođebio je poznat i u staroindijskoj geometrijiteološka raspravaVII- Vvekovima BC e. "Sulva Sutra" ("Pravilaužad").

Ali uprkos svim ovim dokazima, Pitagorino ime je takočvrsto stopljen sa Pitagorinom teoremom, što je sada jednostavno nemogućemože se zamisliti da će se ova fraza raspasti. Isto odtakođer se odnosi na legendu o čaroliji Pitagorinih bikova. I malo je vjerovatnopotrebno je secirati istorijsko-matematičkim skalpelomduboke drevne legende.

Metode za dokazivanje teoreme

Dokaz Pitagorine teoreme od strane srednjovjekovnih studenatasmatrao to veoma teškim i nazvao gaDons asinorum - magareći most, ilielefuga - bijeg “siromašnih”, jer su pobjegli neki “siromašni” učenici koji nisu imali ozbiljnu matematičku obukuda li iz geometrije. Slabi učenici koji su naučili teoremebez razumijevanja i zbog toga prozvani “magarci”, nisu bili u stanjusposobnost da savladaju Pitagorinu teoremu, koja im je služilapremostivi most. Zbog crteža koji prate teoremuPitagore, učenici su je nazvali i „vetrenjača“, sapisali su pesme poput “Pitagorine pantalone jednake na sve strane” i crtali karikature.

A). Najjednostavniji dokaz

Vjerovatno je činjenica navedena u Pitagorinoj teoremi bila sanchala je postavljena za jednakokračne pravokutnike. Pogledajte samo mozaik crnih i svijetlih trouglova,da se potvrdi valjanost teoreme za trougloveka ABC : kvadrat izgrađen na hipotenuzi sadrži četiri trokuta, a na svakoj strani je izgrađen kvadrat koji sadržidva trougla (sl. 1, 2).

Dokazi zasnovani na korištenju koncepta jednake veličine figura.

U ovom slučaju, možemo uzeti u obzir dokaze u kojem quadrath izgrađen na hipotenuzi datog pravokutnog trouglakvadrat, "sastavljen" od istih figura kao kvadrati izgrađeni na stranama. Mogu se uzeti u obzir i sljedeći dokaziva, u kojem je permutacija sabirnih figura iuzimaju se u obzir brojne nove ideje.

Na sl. 3 prikazuje dva jednaka kvadrata. Dužina svake stranejednak kvadratua + b. Svaki od kvadrata je podijeljen na dijelove,koji se sastoji od kvadrata i pravokutnih trougla. Jasno je da ako od površine kvadrata oduzmete četverostruku površinu pravokutnog trokuta s nogamaa, b, onda će oni ostati jednaki smiluj se, tj. With 2 = a 2 + b 2 . Međutim, drevni hindusi, koji su pripadaliovo obrazloženje laže, obično ga nisu zapisivali, već ga pratilicrtanje samo jednom riječju: "Pogledaj!" Sasvim je moguće da onaPitagora je takođe ponudio neke dokaze.


b). Dokaz metodom kompletiranja.

Suština ove metode je da se kvadrati konstruišuna nogama, i na kvadrat izgrađen na hipotenuzi, sapovežite jednake figure tako da budu jednakenove brojke.

Na sl. 4 prikazuje običnog Pitagared figura pravokutni trokutABCsa kvadratima izgrađenim na svojim stranama. U prilogu ove figure su trikvadrati 1 i 2, jednaki originalnoj ravnitrougao uglja.

Valjanost Pitagorine teoreme proizlazi iz jednake veličine šesterokutaAEDFPB I ACBNMQ. Evo direktnog EP delit hexagonAEDFPBna dva jednaka četverougla, linija CM dijeli šestougaoACBNMQna dva jednaka četvorougla; rotiranje ravnine za 90° oko centra A preslikava četverougao AERB na četverougaoACMQ.

(Ovaj dokaz je prvi dao Leonard prije da Vincija.)

Pitagorina figura završenana pravougaonik čije su stranice paralelneporavnati sa odgovarajućim stranama kvadracoms izgrađen na nogama. Podijelimo ovaj pravougaonik na trouglove i ravankvadrata. Iz rezultirajućeg pravokutnikaPrvo oduzimamo sve poligone 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ostavljajući kvadrat izgrađen na hipotenuzi. Zatim od istog pravokutnika oduzimamo pravokutnike 5, 6, 7 i zasjenimo ravnokvadrate, dobijamo kvadrate izgrađene na nogama.

Dokažimo sada da su brojevi oduzeti u prvom slučajujednake su po veličini ciframa oduzetim u drugom slučaju.

Ovo ilustruje dokaz,dao Nassir-ed-Din (1594). ovdje: P.L.- ravno;

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO= SVMR = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO= c 2 ;

dakle sa 2 = a 2 + b 2 .

Rice. 7 ilustruje dokaz,dao Hoffmann (1821). EvoPitagorina figura je konstruisana na takav način dakvadrati leže na jednoj strani linijeAB. ovdje:

OCLP = ACLF = ACED = b 2 ;

CBML=CBNQ= A 2 ;

OVMR =ABMF= With 2 ;

OVMR = OCLP + CBML;

Dakle, c 2 = a 2 + b.

Ovo ilustruje još jedan oriponuđeni osnovni dokaziHoffman. Ovdje: trougaoABC sa ravnim ugao pranja C; linijski segmentB.F.okomitoNE i jednak njemu, segmentBEokomitoAB i jednak joj, segmentAD okomito ren AC i jednak mu; bodovaF, SA, D pripada požnjeti jednu ravnu liniju; četvorougloviADFBi ACVE su jednake po veličini, poštoABF= ESV; trougloviADF I ACE su jednake veličine;

oduzmi od oba jednaka četvorouglanicks imaju zajednički trougaoABC, dobijamo ½ a* a + ½ b* b – ½ c* c

V). Algebarska metoda dokazivanja.


Slika ilustruje dokaz velikog indijskog matematičara Bhaskarija (poznatog autora Li-lavatija,XIIV.). Crtež je pratila samo jedna riječ: POGLEDAJ! Među dokazima Pitagorine teoreme algebarskom metodom prvo mjesto (možda najstariji) zaizvodi dokaze koristeći podtekst pčela.

Istoričari vjeruju da je Bhaskara rođen područje uboda sa 2 izgrađen na trguhipotenuza, kao zbir površina četiri trokuta 4(ab/2) i površine kvadrata sa stranicom jednakom razlici kateta.

Predstavimo u modernoj prezentaciji jedan od ovih dokaza:tijela koja pripadaju Pitagorini.

I "

Na sl. 10 ABC - pravougaoni, C - pravi ugao, ( CM.L AB) b - projekcija nogu b na hipotenuzu, A - projekcija noguA na hipotenuzi, h - visina trougla koji je nacrtan hipotenuza. Iz činjenice da je ABC sličan AFM-u, slijedib 2 = cb; (1) iz činjenice da je ABC sličan VSM-u, slijedi da 2 = CA (2) Zbrajanjem jednakosti (1) i (2) član po član, dobijamo a 2 + b 2 = cb + ca = = c (b + a) = c 2 .

Ako je Pitagora zaista ponudio takav dokaz,tada je bio upoznat sa nizom važnih geometrijskih teorema,koje savremeni istoričari matematike obično pripisuju Euclid.

Dokaz o Möhl- mana. Dato područje pravougaonog trouglanika, s jedne strane, jednaka je 0,5 a* b, s druge strane 0,5* str*g, gdje str - poluperimetar trouglar - radijus upisan u njega je cca.obim (r = 0,5 - (a + b - c)).Imamo: 0,5*a*b - 0,5*p*g - 0,5 (a + b + c) * 0,5-(a + b - c), odakle slijedi da je c 2 = a 2 + b 2 .

d) Garfieldov dokaz.

Na slici 12 postoje tri ravnatrouglovi formiraju trapez. Zbog toga.moguća je površina ove figure.\ pronađite pomoću formule površinedi pravougaoni trapez,ili kao zbir površinatri trougla. U traciU ovom slučaju, ova površina je jednakaza 0,5 (a + b) (a + b), u sekundi rum - 0,5* a* b+ 0,5*a* b+ 0,5*s 2

Izjednačavajući ove izraze, dobijamo Pitagorinu teoremu.

Postoje mnogi izvedeni dokazi Pitagorine teoremekoristeći obje opisane metode i korištenjem kombinacijecija raznih metoda. Završni pregled primjera raznih dokovaizjave, evo još nekih crteža koji ilustruju osam načinabov, na koje se spominju u Euklidovim „Elementima“ (sl. 13 - 20).Na ovim crtežima Pitagorina figura je prikazana kao puna linijanju, a dodatne konstrukcije - tačkaste.




Kao što je gore spomenuto, stari Egipćani više od 2000 godinaprije su praktično koristili svojstva trougla sa stranicama 3, 4, 5 za konstruiranje pravog ugla, odnosno zapravo su koristili teoremu inverznu Pitagorinoj teoremi. Izložimo dokaz ove teoreme zasnovan na kriteriju jednakosti trokuta (tj. onom koji se može uvesti vrlo rano u školunova praksa). Dakle, neka stranice trouglaABC (Sl. 21) vezano za 2 = a 2 + b 2 . (3)

Dokažimo da je ovaj trougao pravougao.

Konstruirajmo pravougli trougaoA B C sa dvije strane, čije su dužine jednake dužinamaA I b katete datog trougla. Neka je dužina hipotenuze konstruisanog trougla on c . Pošto je konstruisani trougao pravougao, onda po teorijiu pitagorejskoj remi koju imamoc = a + b (4)

Upoređujući relacije (3) i (4), dobijamo toWith= sa ili c = c Dakle, trouglovi - dati i konstruisani - su jednaki, jer imaju tri respektivno jednake stranice. Ugao Cje ravan, pa je ugao C ovog trougla takođe pravi.

Dodatni dokazi.

Ovi se dokazi zasnivaju na dekompoziciji kvadrata izgrađenih na stranicama u figure od kojih se može formirati četverostrukrath izgrađen na hipotenuzi.

Ajnštajnov dokaz ( pirinač. 23) na osnovu dekompozicijekvadrat izgrađen na hipotenuzi u 8 trouglova.

ovdje: ABC- pravougaona trougao sa pravim uglom C;COMN; SK MN; P.O.|| MN; E.F.|| MN.

Dokažite samijednakost trouglova, polovinaizračunava se dijeljenjem kvadrata premaizgrađena na nogama i hipotenuzi.

b) Na osnovu dokaza al-Nayriziyah-a, izvršeno je još jedno razlaganje kvadrata na parno jednake figure (ovdjeABC - pravougli trougao sa pravim uglom C).

Ovaj dokaz se naziva i „zglobnim“ jerda ovdje samo dva dijela, jednaka originalnom trokutu, mijenjaju svoj položaj, a oni su, takoreći, vezani za ostatakfigura na šarkama oko kojih se okreću (slika 25).

c) Još jedan dokaz metodom razlaganja kvadrata najednaki dijelovi, nazvani "točak sa oštricama", prikazan je u pirinač. 26. Evo: ABC - pravougli trougao sa pravim uglom otpad S, O - centar kvadrata izgrađen na velikoj strani; isprekidane linije koje prolaze kroz tačkuO, okomito iliparalelno sa hipotenuzom.

Ova dekompozicija kvadrata je zanimljiva jer se njegovi po paru jednaki četvorouglovi mogu preslikati jedan na drugi paralelnim prevođenjem.

"Pitagorine pantalone" (Euklidov dokaz).

Za dve hiljade godinapromijenio izmišljeni dokazEuklida, koji se nalazi u njegovomčuveni "Principi". Euclid opus cal visina VN iz vrha pravokutnog trokuta na hipotenuzu i dokazao da njegov nastavak dijeli kvadrat konstruiran na hipotenuzi na dva pravokutnika čije su površine jednake

površine odgovarajućih kvadrata izgrađenih na stranama. Euklidov dokaz u poređenju sa drevnim kineskim ili staroindijskim izgledapreterano komplikovano. Iz ovog razlogačesto su ga nazivali "našiljenim" i "izmišljenim". Ali ovo mišljenjepovršno. Crtež koji se koristi za dokazivanje teoreme u šali se naziva "pitagorine pantalone". Tokomdugo se smatrao jednim od simbola matematičke nauke.

Drevni kineski dokazi.

Matematički traktati Drevne Kine stizali su do nas u izdanjimaIIV. BC e. Činjenica je da je 213. pne. e. kineski car

Shi Huangdi, pokušavajući eliminirati prethodne tradicije, naredio je da se spale sve drevne knjige. UIIV. BC e. Papir je izmišljen u Kini i istovremeno je počela restauracijadrevne knjige. Tako je nastala “Matematika u devet knjiga” -glavna sačuvana matematička i astronomska djela ny.

U 9. knjizi "Matematike" nalazi se crtežkoji dokazuje Pitagorinu teoremu.Ključ za ovaj dokaz nije teško pronaći (slika 27).

Zapravo, na drevnom kineskomista četiri jednaka pravougaona trouglakvadrat sa nogamaa, c i hipotenuzu With položene tako da im je spoljna konturapostoji kvadrat sa stranoma + b, i unutrašnje - kvadrat sa stranicom c, izgrađen na hipotenuzi (sl. 28).

Ako je kvadrat sa stranicomWith izrezati i preostala 4 zasjenjena trouglapostavljena u dva pravougaonika, jasno je da nastala praznina, s jedne strane,

jednak sa, i sa druge strane

a + b 2 , tj. With 2 = a 2 + b

Teorema je dokazana.

Imajte na umu da sa takvim dokazom

Konstrukcije unutar kvadrata na hipotenuvidimo
dim na drevnom kineskom crtežu se ne koriste (sl. 30). Očigledno, drevni kineski matematičari ranije su imali nešto drugačijedokaz, odnosno: ako je na kvadrat sa
stranaWith dva zasjenjena trouglaodsjeći zarez i pričvrstiti hipotenuzedvije druge hipotenuze, onda je lako pronaćipotvrditi da je rezultirajuća cifra, koja koji se ponekad naziva i "nevestina stolica", sasastoji se od dva kvadrata sa stranicamaA Ib, tj. sa 2 = A 2 + b 2 .

Slika reproducira crnuiz rasprave “Zhou-bi...”. EvoRazmatrana Pitagorina teoremaEgipatski trougao sa nogama3, 4 i hipotenuza 5 mjerne jedinice.Kvadrat na hipotenuzi sadrži 25ćelija, a kvadrat upisan u njega na većoj strani je 16. Jasno je da preostali dio sadrži 9 ćelija. Ovo ina manjoj strani će biti kvadrat.


Pitagorina teorema kaže:

U pravokutnom trokutu, zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze:

a 2 + b 2 = c 2,

  • a I b– noge koje formiraju pravi ugao.
  • With– hipotenuza trougla.

Formule Pitagorine teoreme

  • a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
  • b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
  • c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Dokaz Pitagorine teoreme

Površina pravokutnog trokuta izračunava se po formuli:

S = \frac(1)(2)ab

Za izračunavanje površine proizvoljnog trokuta, formula površine je:

  • str– poluperimetar. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
  • r– poluprečnik upisane kružnice. Za pravougaonik r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Zatim izjednačavamo desne strane obje formule za površinu trokuta:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \lijevo((a+b)^(2) -c^(2) \desno)

2 ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Obratna Pitagorina teorema:

Ako je kvadrat jedne strane trokuta jednak zbiru kvadrata druge dvije stranice, onda je trokut pravougao. Odnosno, za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b I c, takav da

a 2 + b 2 = c 2,

postoji pravougli trougao sa katetama a I b i hipotenuzu c.

Pitagorina teorema- jedna od osnovnih teorema euklidske geometrije, koja uspostavlja odnos između stranica pravouglog trougla. To je dokazao učeni matematičar i filozof Pitagora.

Značenje teoreme Poenta je da se može koristiti za dokazivanje drugih teorema i rješavanje problema.

Dodatni materijal:

Jedna stvar u koju možete biti stopostotno sigurni je da će na pitanje koliki je kvadrat hipotenuze, svaka odrasla osoba hrabro odgovoriti: "Zbroj kvadrata nogu." Ova teorema je čvrsto ukorijenjena u glavama svake obrazovane osobe, ali samo treba zamoliti nekoga da to dokaže i mogu nastati poteškoće. Stoga, prisjetimo se i razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme.

Kratka biografija

Pitagorina teorema poznata je gotovo svima, ali iz nekog razloga biografija osobe koja ju je donijela na svijet nije toliko popularna. Ovo se može popraviti. Stoga, prije nego što istražite različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme, morate nakratko upoznati njegovu ličnost.

Pitagora - filozof, matematičar, mislilac porijeklom iz Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su se razvile u spomen na ovog velikog čovjeka. Ali, kao što slijedi iz djela njegovih sljedbenika, Pitagora sa Samosa rođen je na ostrvu Samos. Otac mu je bio običan kamenorezac, ali majka je bila iz plemićke porodice.

Sudeći po legendi, Pitagorino je rođenje predskazala žena po imenu Pitija, u čiju je čast dečak i dobio ime. Prema njenom predviđanju, rođeni dečak je trebalo da donese mnogo koristi i dobra čovečanstvu. To je upravo ono što je on uradio.

Rođenje teoreme

U mladosti, Pitagora se preselio u Egipat kako bi tamo upoznao poznate egipatske mudrace. Nakon susreta s njima, dozvoljeno mu je studiranje, gdje je naučio sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.

Verovatno je u Egiptu Pitagora bio inspirisan veličanstvenošću i lepotom piramida i stvorio svoju veliku teoriju. Ovo može šokirati čitaoce, ali savremeni istoričari veruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. Ali svoje znanje je samo prenio svojim sljedbenicima, koji su kasnije izvršili sve potrebne matematičke proračune.

Kako god bilo, danas nije poznata jedna metoda dokazivanja ove teoreme, već nekoliko odjednom. Danas možemo samo nagađati kako su tačno stari Grci izvodili svoje proračune, pa ćemo ovdje pogledati različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme.

Pitagorina teorema

Prije nego počnete s bilo kakvim proračunima, morate shvatiti koju teoriju želite dokazati. Pitagorina teorema glasi ovako: "U trokutu u kojem je jedan od uglova 90°, zbir kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze."

Postoji ukupno 15 različitih načina da se dokaže Pitagorina teorema. Ovo je prilično velik broj, pa ćemo obratiti pažnju na najpopularnije od njih.

Prvi metod

Prvo, hajde da definišemo šta nam je dato. Ovi podaci će se primijeniti i na druge metode dokazivanja Pitagorine teoreme, pa je vrijedno odmah zapamtiti sve dostupne notacije.

Pretpostavimo da nam je dat pravougli trokut sa katetama a, b i hipotenuzom jednakom c. Prva metoda dokaza temelji se na činjenici da trebate nacrtati kvadrat iz pravokutnog trokuta.

Da biste to učinili, trebate dodati segment jednak kraku b dužini noge a, i obrnuto. Ovo bi trebalo rezultirati dvije jednake strane kvadrata. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne linije i kvadrat je spreman.

Unutar rezultirajuće figure morate nacrtati još jedan kvadrat sa stranom jednakom hipotenuzi izvornog trokuta. Da biste to učinili, iz vrhova as i sv morate nacrtati dva paralelna segmenta jednaka s. Tako dobijamo tri stranice kvadrata, od kojih je jedna hipotenuza prvobitnog pravokutnog trokuta. Ostaje samo nacrtati četvrti segment.

Na osnovu rezultirajuće figure možemo zaključiti da je površina vanjskog kvadrata (a + b) 2. Ako pogledate unutar figure, možete vidjeti da pored unutrašnjeg kvadrata postoje četiri pravokutna trougla. Površina svake je 0,5av.

Dakle, površina je jednaka: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2

Dakle (a+c) 2 =2ab+c 2

I, prema tome, c 2 =a 2 +b 2

Teorema je dokazana.

Drugi metod: slični trouglovi

Ova formula za dokazivanje Pitagorine teoreme izvedena je na osnovu iskaza iz odeljka geometrije o sličnim trouglovima. Kaže da je krak pravokutnog trokuta prosjek proporcionalan njegovoj hipotenuzi i segmentu hipotenuze koji izlazi iz vrha ugla od 90°.

Početni podaci ostaju isti, pa krenimo odmah s dokazom. Nacrtajmo segment CD okomit na stranicu AB. Na osnovu gornje tvrdnje, stranice trokuta su jednake:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Da bi se odgovorilo na pitanje kako dokazati Pitagorinu teoremu, dokaz se mora završiti kvadriranjem obje nejednačine.

AC 2 = AB * AD i CB 2 = AB * DV

Sada moramo sabrati rezultirajuće nejednakosti.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), gdje je AD + DV = AB

Ispada da:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

I zbog toga:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Dokaz Pitagorine teoreme i različite metode za njeno rješavanje zahtijevaju svestran pristup ovom problemu. Međutim, ova opcija je jedna od najjednostavnijih.

Druga metoda proračuna

Opisi različitih metoda dokazivanja Pitagorine teoreme možda neće ništa značiti dok sami ne počnete vježbati. Mnoge tehnike uključuju ne samo matematičke proračune, već i konstrukciju novih figura iz originalnog trougla.

U ovom slučaju potrebno je popuniti još jedan pravokutni trokut VSD sa stranice BC. Dakle, sada postoje dva trougla sa zajedničkim krakom BC.

Znajući da površine sličnih figura imaju omjer kao kvadrati njihovih sličnih linearnih dimenzija, tada:

S avs * c 2 - S avd * u 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(od 2 - do 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

od 2 - do 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Budući da od različitih metoda dokazivanja Pitagorine teoreme za 8. razred, ova opcija nije prikladna, možete koristiti sljedeću metodu.

Najlakši način da se dokaže Pitagorina teorema. Recenzije

Prema istoričarima, ova metoda je prvi put korištena za dokazivanje teoreme u staroj Grčkoj. Najjednostavniji je, jer ne zahtijeva apsolutno nikakve proračune. Ako pravilno nacrtate sliku, onda će se jasno vidjeti dokaz tvrdnje da a 2 + b 2 = c 2.

Uslovi za ovu metodu bit će malo drugačiji od prethodne. Da bismo dokazali teoremu, pretpostavimo da je pravougli trokut ABC jednakokrak.

Uzimamo hipotenuzu AC kao stranu kvadrata i nacrtamo njegove tri stranice. Osim toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne linije u rezultirajućem kvadratu. Tako da unutar njega dobijete četiri jednakokračna trougla.

Također morate nacrtati kvadrat na katete AB i CB i nacrtati po jednu dijagonalnu ravnu liniju u svakoj od njih. Crtamo prvu liniju iz temena A, drugu iz C.

Sada morate pažljivo pogledati rezultirajući crtež. Kako na hipotenuzi AC postoje četiri trokuta jednaka originalnom, a na stranicama dva, to ukazuje na istinitost ove teoreme.

Inače, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagorine teoreme, rođena je poznata fraza: "Pitagorine pantalone su jednake u svim smjerovima."

Dokaz od J. Garfielda

James Garfield je dvadeseti predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim što je ostavio trag u istoriji kao vladar Sjedinjenih Država, bio je i nadareni samodidakt.

Na početku svoje karijere bio je običan nastavnik u javnoj školi, ali je ubrzo postao direktor jedne od visokoškolskih ustanova. Želja za samorazvojom omogućila mu je da predloži novu teoriju za dokazivanje Pitagorine teoreme. Teorema i primjer njenog rješenja su sljedeći.

Prvo morate nacrtati dva pravokutna trokuta na komadu papira tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog. Vrhovi ovih trouglova moraju biti povezani da bi se na kraju formirao trapez.

Kao što znate, površina trapeza jednaka je umnošku polovine zbira njegovih baza i visine.

S=a+b/2 * (a+b)

Ako dobijeni trapez smatramo figurom koja se sastoji od tri trokuta, tada se njegova površina može naći na sljedeći način:

S=av/2 *2 + s 2 /2

Sada treba da izjednačimo dva originalna izraza

2ab/2 + c/2=(a+b) 2 /2

c 2 =a 2 +b 2

O Pitagorinoj teoremi i metodama njenog dokazivanja moglo bi se napisati više od jednog toma udžbenika. Ali ima li smisla u tome kada se to znanje ne može primijeniti u praksi?

Praktična primjena Pitagorine teoreme

Nažalost, savremeni školski programi predviđaju upotrebu ove teoreme samo u geometrijskim problemima. Maturanti će uskoro napustiti školu ne znajući kako svoje znanje i vještine primijeniti u praksi.

Zapravo, svako može koristiti Pitagorinu teoremu u svom svakodnevnom životu. I to ne samo u profesionalnim aktivnostima, već iu običnim kućnim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva kada Pitagorina teorema i metode njenog dokazivanja mogu biti izuzetno potrebni.

Odnos između teoreme i astronomije

Čini se kako se zvijezde i trouglovi na papiru mogu povezati. Zapravo, astronomija je naučna oblast u kojoj se Pitagorina teorema široko koristi.

Na primjer, razmotrite kretanje svjetlosnog snopa u prostoru. Poznato je da se svjetlost kreće u oba smjera istom brzinom. Nazovimo putanju AB duž koje se svjetlosni zrak kreće l. I nazovimo pola vremena koje je potrebno svjetlosti da stigne od tačke A do tačke B t. I brzinu zraka - c. Ispada da: c*t=l

Ako pogledate ovu istu zraku iz druge ravni, na primjer, iz svemirskog broda koji se kreće brzinom v, tada će se pri promatranju tijela na ovaj način njihova brzina promijeniti. U ovom slučaju, čak i nepokretni elementi će se početi kretati brzinom v u suprotnom smjeru.

Recimo da strip brod plovi udesno. Tada će se tačke A i B, između kojih snop juri, početi pomicati ulijevo. Štaviše, kada se snop kreće od tačke A do tačke B, tačka A ima vremena da se pomeri i, shodno tome, svetlost će već stići u novu tačku C. Da biste pronašli polovinu udaljenosti za koju se tačka A pomerila, morate pomnožiti brzina košuljice za polovinu vremena putovanja snopa (t").

A da biste pronašli koliko daleko zrak svjetlosti može putovati za to vrijeme, morate označiti pola puta novim slovom s i dobiti sljedeći izraz:

Ako zamislimo da su svjetlosne točke C i B, kao i linija prostora, vrhovi jednakokračnog trougla, tada će ga odsječak od tačke A do linije podijeliti na dva pravokutna trougla. Stoga, zahvaljujući Pitagorinoj teoremi, možete pronaći udaljenost koju zrak svjetlosti može prijeći.

Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, jer samo rijetki mogu imati sreće da ga isprobaju u praksi. Stoga, razmotrimo uobičajenije primjene ove teoreme.

Domet prijenosa mobilnog signala

Savremeni život se više ne može zamisliti bez postojanja pametnih telefona. Ali kolika bi im bila korist da ne mogu povezati pretplatnike putem mobilnih komunikacija?!

Kvaliteta mobilnih komunikacija direktno ovisi o visini na kojoj se nalazi antena mobilnog operatera. Da biste izračunali koliko daleko od mobilnog tornja telefon može primiti signal, možete primijeniti Pitagorinu teoremu.

Recimo da trebate pronaći približnu visinu stacionarnog tornja kako bi mogao distribuirati signal u radijusu od 200 kilometara.

AB (visina tornja) = x;

BC (radijus prijenosa signala) = 200 km;

OS (radijus globusa) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Primjenom Pitagorine teoreme saznajemo da bi minimalna visina tornja trebala biti 2,3 kilometra.

Pitagorina teorema u svakodnevnom životu

Začudo, Pitagorina teorema može biti korisna čak iu svakodnevnim stvarima, kao što je određivanje visine ormara, na primjer. Na prvi pogled, nema potrebe za korištenjem tako složenih proračuna, jer možete jednostavno mjeriti pomoću mjerne trake. Ali mnogi ljudi se pitaju zašto nastaju određeni problemi tokom procesa montaže ako su sva mjerenja uzeta više nego precizno.

Činjenica je da se ormar sastavlja u horizontalnom položaju, a tek onda podiže i postavlja uza zid. Stoga, tokom procesa podizanja konstrukcije, strana ormara mora se slobodno kretati i po visini i po dijagonali prostorije.

Pretpostavimo da postoji ormar dubine 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja će reći da visina ormarića treba biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto baš 126 mm? Pogledajmo primjer.

Sa idealnim dimenzijama ormara, provjerimo rad Pitagorine teoreme:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - sve odgovara.

Recimo da visina ormarića nije 2474 mm, već 2505 mm. onda:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Stoga ovaj ormar nije pogodan za ugradnju u ovu prostoriju. Jer podizanje u vertikalni položaj može oštetiti njegovo tijelo.

Možda, razmatrajući različite načine dokazivanja Pitagorine teoreme od strane različitih naučnika, možemo zaključiti da je ona i više nego istinita. Sada možete koristiti primljene informacije u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi proračuni biti ne samo korisni, već i ispravni.

Ne bi se povezivalo s Pitagorinom teoremom. Čak i oni koji su u životu daleko od matematike i dalje zadržavaju uspomene na "pitagorine pantalone" - kvadrat na hipotenuzi, jednak po veličini sa dva kvadrata na stranama. Razlog popularnosti Pitagorine teoreme je jasan: to je jednostavnost – ljepota – značaj. Zaista, Pitagorina teorema je jednostavna, ali nije očigledna. Kontradikcija ova dva principa daje joj posebnu privlačnu snagu i čini je lijepom. Ali, pored toga, Pitagorina teorema je od velike važnosti. Koristi se u geometriji doslovno na svakom koraku. Postoji oko pet stotina različitih dokaza ove teoreme, što ukazuje na gigantski broj njenih specifičnih implementacija.

Istorijske studije datiraju Pitagorino rođenje u otprilike 580. pne. Srećni otac Mnesarchus okružuje dječaka brigom. Imao je priliku da svom sinu pruži dobar odgoj i obrazovanje.

Budući veliki matematičar i filozof već je u djetinjstvu pokazao velike sposobnosti za nauku. Od svog prvog učitelja Hermodamasa, Pitagora je naučio osnove muzike i slikarstva. Kako bi vježbao svoje pamćenje, Hermodamas ga je prisilio da uči pjesme iz Odiseje i Ilijade. Prvi učitelj je mladom Pitagori usadio ljubav prema prirodi i njenim tajnama.

Prošlo je nekoliko godina, a po savjetu svog učitelja, Pitagora odlučuje nastaviti školovanje u Egiptu. Uz pomoć svog učitelja, Pitagora uspijeva napustiti ostrvo Samos. Ali još je daleko od Egipta. Živi na ostrvu Lezbos sa svojim rođakom Zoilom. Tamo Pitagora susreće filozofa Ferekida, prijatelja Talesa iz Mileta. Od Ferekida je Pitagora proučavao astrologiju, predviđanje pomračenja, tajne brojeva, medicinu i druge nauke potrebne za to vreme.

Zatim u Miletu sluša predavanja Talesa i njegovog mlađeg kolege i učenika Anaksimandra, izvanrednog geografa i astronoma. Pitagora je stekao mnoga važna znanja tokom svog boravka u Milezijskoj školi.

Prije Egipta, on se neko vrijeme zaustavlja u Fenikiji, gdje, prema legendi, uči kod poznatih sidonskih sveštenika.

Prema drevnim legendama, dok je bio u zatočeništvu u Babilonu, Pitagora se susreo sa perzijskim magičarima, upoznao se sa istočnjačkom astrologijom i misticizmom i upoznao se sa učenjem kaldejskih mudraca. Kaldejci su upoznali Pitagoru sa znanjem koje su istočni narodi akumulirali tokom mnogih vekova: astronomiju i astrologiju, medicinu i aritmetiku.

Pitagora je proveo dvanaest godina u vavilonskom ropstvu sve dok ga nije oslobodio perzijski kralj Darije Histasp, koji je čuo za slavnog Grka. Pitagora ima već šezdeset godina, odlučuje se vratiti u domovinu kako bi upoznao svoj narod sa stečenim znanjem.

Otkako je Pitagora napustio Grčku, tamo su se dogodile velike promjene. Najbolji umovi, bježeći od perzijskog jarma, preselili su se u južnu Italiju, koja se tada zvala Magna Graecia, i tamo osnovali gradove kolonije Sirakuzu, Agrigent i Kroton. Ovde je Pitagora odlučio da stvori sopstvenu filozofsku školu.

Vrlo brzo stječe veliku popularnost među stanovnicima. Pitagora vješto koristi znanje stečeno na putovanjima oko svijeta. Vremenom, naučnik prestaje da nastupa u crkvama i na ulicama. Pitagora je već u svom domu predavao medicinu, principe političkog djelovanja, astronomiju, matematiku, muziku, etiku i još mnogo toga. Iz njegove škole poticali su istaknuti politički i državnici, istoričari, matematičari i astronomi. On nije bio samo učitelj, već i istraživač. Njegovi učenici su takođe postali istraživači. Pitagora je razvio teoriju muzike i akustike, stvorivši čuvenu „Pitagorinu skalu“ i izvodeći fundamentalne eksperimente na proučavanju muzičkih tonova: odnose koje je pronašao izrazio je jezikom matematike. Pitagorina škola je prva sugerisala sferičnost Zemlje. Ideja da se kretanje nebeskih tijela pokorava određenim matematičkim odnosima, idejama “harmonije svijeta” i “muzike sfera”, koje su kasnije dovele do revolucije u astronomiji, prvi put se pojavila upravo u Pitagorinoj školi.

Naučnik je takođe mnogo uradio u geometriji. Proklo je ocenio doprinos grčkog naučnika geometriji na sledeći način: „Pitagora je transformisao geometriju, dajući joj oblik slobodne nauke, razmatrajući njene principe na čisto apstraktan način i istražujući teoreme sa nematerijalnog, intelektualnog gledišta. onaj koji je pronašao teoriju iracionalnih veličina i dizajn kosmičkih tijela.”

U Pitagorinoj školi geometrija je po prvi put formalizovana u samostalnu naučnu disciplinu. Pitagora i njegovi učenici su bili prvi koji su sistematski proučavali geometriju - kao teorijsku doktrinu o svojstvima apstraktnih geometrijskih figura, a ne kao zbir primijenjenih recepata za mjerenje zemljišta.

Najvažnija naučna zasluga Pitagore smatra se sistematskim uvođenjem dokaza u matematiku, a prije svega u geometriju. Strogo govoreći, tek od ovog trenutka matematika počinje da postoji kao nauka, a ne kao zbirka drevnih egipatskih i starobabilonskih praktičnih recepata. Sa rođenjem matematike, rođena je i nauka uopšte, jer „nijedno ljudsko istraživanje ne može se nazvati pravom naukom ako nije prošlo kroz matematički dokaz“ (Leonardo da Vinči).

Dakle, Pitagorina zasluga je bila u tome što je on, očigledno, prvi došao na sljedeću misao: u geometriji, prvo, treba uzeti u obzir apstraktne idealne objekte, i, kao drugo, svojstva ovih idealnih objekata ne treba utvrđivati ​​korištenjem mjerenja na konačnom broju objekata, ali korištenjem rasuđivanja koje vrijedi za beskonačan broj objekata. Ovaj lanac rasuđivanja, koji, koristeći zakone logike, svodi neočigledne izjave na poznate ili očigledne istine, matematički je dokaz.

Pitagorino otkriće teoreme okruženo je aurom prekrasnih legendi. Proklo, komentarišući posljednju rečenicu prve knjige Elementa, piše: „Ako slušate one koji vole da ponavljaju drevne legende, morat ćete reći da ova teorema seže do Pitagore; kažu da u čast ovog otkrića žrtvovao je bika.” Međutim, velikodušniji pripovjedači pretvorili su jednog bika u jednu hekatombu, a ovo je već cijela sto. I premda je Ciceron primijetio da je svako prolivanje krvi strano povelji Pitagorejskog reda, ova legenda se čvrsto stopila s Pitagorinom teoremom i, dvije hiljade godina kasnije, nastavila je izazivati ​​gorljive odgovore.

mob_info