Srednja linija t. Trapez. Nekretnine, karakteristike, površina. Srednja linija trapeza - materijali za pripremu za ispit iz matematike. Svojstvo simetrale trapeza

Četvorougao sa samo dvije paralelne stranice naziva se trapez.

Paralelne stranice trapeza nazivaju se njegovim osnove, a one stranice koje nisu paralelne se nazivaju strane. Ako su stranice jednake, onda je takav trapez jednakokračan. Udaljenost između baza naziva se visina trapeza.

Srednja linija trapeza

Srednja linija je segment koji povezuje sredine stranica trapeza. Srednja linija trapeza paralelna je s njegovim osnovama.

Teorema:

Ako je prava koja siječe polovište jedne strane paralelna s osnovama trapeza, onda ona prepolovi drugu bočna strana trapezoid.

Teorema:

Dužina srednje linije jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njenih osnova

MN || AB || DC
AM=MD; BN=NC

MN srednja linija, AB i CD - baze, AD i BC - strane

MN=(AB+DC)/2

Teorema:

Dužina srednje linije trapeza jednaka je aritmetičkoj sredini dužina njegovih osnova.

Glavni zadatak: Dokažite da srednja linija trapeza prepolovi segment čiji krajevi leže u sredini osnova trapeza.

Srednja linija trougla

Segment prave koji povezuje sredine dve strane trougla naziva se sredina trougla. Paralelna je sa trećom stranom i njena dužina je polovina dužine treće strane.
Teorema: Ako je prava koja siječe polovište jedne strane trougla paralelna s drugom stranom datog trougla, tada prepolovi treću stranu.

AM = MC i BN = NC =>

Primjena svojstava srednje linije trokuta i trapeza

Podjela segmenta na određeni broj jednakih dijelova.
Zadatak: Podijeliti segment AB na 5 jednakih dijelova.
Rješenje:
Neka je p slučajni zrak čiji je početak tačka A i koji ne leži na pravoj AB. Uzastopno izdvajamo 5 jednakih segmenata na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Povezujemo A 5 sa B i crtamo prave kroz A 4 , A 3 , A 2 i A 1 koje su paralelne sa A 5 B. One sijeku AB na B 4 , B 3 , B 2 i B 1 redom. Ove tačke dijele segment AB na 5 jednakih dijelova. Zaista, iz trapeza BB 3 A 3 A 5 vidimo da je BB 4 = B 4 B 3 . Na isti način, iz trapeza B 4 B 2 A 2 A 4 dobijamo B 4 B 3 = B 3 B 2

Dok je iz trapeza B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Tada iz B 2 AA 2 slijedi da je B 2 B 1 = B 1 A. U zaključku dobijamo:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Jasno je da da bismo segment AB podijelili na još jedan broj jednakih dijelova, trebamo projektovati isti broj jednakih segmenata na zraku p. I onda nastavite na gore opisani način.

srednja linija figure u planimetriji - segment koji povezuje sredine dvije strane date figure. Koncept se koristi za sljedeće figure: trokut, četverokut, trapez.

Encyclopedic YouTube

1 / 3

✪ 8. razred, lekcija 25, Srednja linija trougla

✪ geometrija SREDNJA PRAVA TROKUTA Atanasyan 8. razred

✪ Srednja linija trougla | Geometrija 7-9 razred #62 | info lekcija

Titlovi

Srednja linija trougla

Svojstva

srednja linija trougla je paralelna sa osnovicom i jednaka njenoj polovini.
na preseku sve tri srednje linije formiraju se 4 jednaka trougla, slična (čak i homotetična) originalnom sa koeficijentom 1/2.
srednja linija odsijeca trokut koji je sličan datom, a njegova površina jednaka je jednoj četvrtini površine originalnog trokuta.
Tri srednje linije trougla dijele ga na 4 jednaka (identična) trougla slična originalnom trouglu. Sva 4 takva identična trokuta nazivaju se medijalni trouglovi. Centralni od ova 4 identična trougla naziva se komplementarni trougao.

znakovi

ako je segment paralelan s jednom od stranica trougla i povezuje sredinu jedne strane trougla sa tačkom na drugoj strani trougla, onda je to srednja linija.

Srednja linija četvorougla

Srednja linija četvorougla Segment prave koji spaja sredine suprotnih strana četvorougla.

Svojstva

Prva linija povezuje 2 suprotne strane. Drugi povezuje 2 druge suprotne strane. Treći spaja središta dviju dijagonala (nisu u svim četverouglovima dijagonale popolovljene točkom presjeka).

Ako se u konveksnom četverokutu formira srednja linija jednakih uglova sa dijagonalama četvorougla, tada su dijagonale jednake.
Dužina srednje linije četvorougla je manja ili jednaka polovini zbira druge dve stranice ako su ove stranice paralelne, i to samo u ovom slučaju.
Sredina stranica proizvoljnog četverougla su vrhovi paralelograma. Njegova površina je jednaka polovini površine četverokuta, a centar mu leži u tački presjeka srednjih linija. Ovaj paralelogram se naziva Varignon paralelogram;
Poslednja tačka znači sledeće: U konveksnom četvorouglu, četiri srednje linije druge vrste. Srednje linije druge vrste- četiri segmenta unutar četverougla koji prolaze kroz sredine njegovih susjednih stranica paralelno sa dijagonalama. Četiri srednje linije druge vrste konveksni četvorougao iseći ga na četiri trougla i jedan centralni četvorougao. Ovaj centralni četvorougao je paralelogram od Varignona.
Točka preseka srednjih linija četvorougla je njihova zajednička sredina i prepolovi segment koji povezuje sredine dijagonala. Osim toga, ona je

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Prikupljeno od nas lična informacija omogućava nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije da poboljšamo usluge koje pružamo i da vam damo preporuke u vezi sa našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz razloga sigurnosti, provođenja zakona ili drugih razloga javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlašćenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

U ovom članku za vas je napravljen još jedan izbor zadataka s trapezom. Uslovi su nekako povezani sa njegovom srednjom linijom. Tipovi zadataka su preuzeti iz otvorene banke tipičnih zadataka. Ako želite, možete osvježiti svoj teorijsko znanje. Blog je već pokrio zadatke čiji su uslovi povezani, kao i. Ukratko o srednjoj liniji:

Srednja linija trapeza spaja sredine stranica. Paralelan je bazama i jednak njihovom poluzbiru.

Prije rješavanja problema, razmotrimo teoretski primjer.

Dat je trapez ABCD. Dijagonala AC koja se siječe sa srednjom linijom formira tačku K, dijagonala BD tačku L. Dokazati da je odsječak KL jednak polovini razlike baza.

Zapazimo prvo činjenicu da srednja linija trapeza prepolovi svaki segment čiji krajevi leže na njegovim osnovama. Ovaj zaključak se nameće sam od sebe. Zamislite segment koji spaja dvije tačke baza, on će ovaj trapez podijeliti na dva druga. Ispada da će segment paralelan sa bazama trapeza i koji prolazi kroz sredinu stranice s druge strane proći kroz njegovu sredinu.

Takođe se zasniva na Talesovoj teoremi:

Ako se na jednoj od dvije prave linije uzastopno položi nekoliko jednakih segmenata i kroz njihove krajeve se povuku paralelne linije koje sijeku drugu ravnu liniju, tada će odsjeći jednake segmente na drugoj pravoj liniji.

To jest, u ovaj slučaj K je sredina AC, a L je sredina BD. Stoga je EK srednja linija trougao ABC, LF je srednja linija trougla DCB. Prema svojstvu srednje linije trougla:

Sada možemo da izrazimo segment KL u terminima baza:

Dokazan!

Ovaj primjer nije samo dat. U zadacima za nezavisna odluka postoji takav zadatak. Samo to ne kaže da segment koji povezuje sredine dijagonala leži na srednjoj liniji. Razmotrite zadatke:

27819. Pronađite srednju liniju trapeza ako su njegove osnove 30 i 16.

Računamo po formuli:

27820. Srednja linija trapeza je 28, a manja osnova je 18. Pronađite veću osnovu trapeza.

Izrazimo veću bazu:

Na ovaj način:

27836. Okomita spuštena sa vrha tupog ugla na veću osnovu jednakokračnog trapeza dijeli ga na dijelove dužine 10 i 4. Pronađite srednju liniju ovog trapeza.

Da biste pronašli srednju liniju, morate znati baze. Osnovu AB je lako pronaći: 10+4=14. Pronađite DC.

Konstruirajmo drugu okomitu DF:

Segmenti AF, FE i EB će biti jednaki 4, 6 i 4. Zašto?

U jednakokračnom trapezu, okomice spuštene na veću osnovu dijele ga na tri segmenta. Dva od njih, koji su kraci odsječenih pravokutnih trougla, jednaka su jedna drugoj. Treći segment je jednak manjoj osnovici, jer se pri konstruisanju navedenih visina formira pravougaonik, a u pravougaoniku su suprotne stranice jednake. U ovom zadatku:

Tako je DC=6. Računamo:

27839. Osnove trapeza su u omjeru 2:3, a srednja linija je 5. Pronađite manju osnovu.

Hajde da uvedemo koeficijent proporcionalnosti x. Tada je AB=3x, DC=2x. možemo napisati:

Dakle, manja baza je 2∙2=4.

27840. Opseg jednakokračnog trapeza je 80, njegova srednja linija jednaka je bočnoj strani. Pronađite stranu trapeza.

Na osnovu uslova možemo napisati:

Ako srednju liniju označimo kroz x, dobićemo:

Druga jednačina se već može napisati kao:

27841. Srednja linija trapeza je 7, a jedna od njegovih osnova je 4 veća od druge. Pronađite veću osnovu trapeza.

Označimo manju bazu (DC) sa x, tada će veća (AB) biti jednaka x + 4. Možemo snimati

Dobili smo da je manja baza rana od pet, što znači da je veća jednaka 9.

27842. Srednja linija trapeza je 12. Jedna od dijagonala dijeli ga na dva segmenta, čija je razlika 2. Pronađite veću osnovu trapeza.

Lako možemo pronaći veću osnovu trapeza ako izračunamo segment EO. To je srednja linija u trouglu ADB, i AB=2∙EO.

šta imamo? Kaže se da je srednja linija jednaka 12 i da je razlika između segmenata EO i OF jednaka 2. Možemo zapisati dvije jednačine i riješiti sistem:

Jasno je da je u ovom slučaju moguće odabrati par brojeva bez izračunavanja, to su 5 i 7. Ali, ipak, riješit ćemo sistem:

Dakle EO=12–5=7. Dakle, veća baza je jednaka AB=2∙EO=14.

27844. U jednakokračnom trapezu, dijagonale su okomite. Visina trapeza je 12. Pronađite njegovu srednju liniju.

Odmah napominjemo da visina povučena kroz točku presjeka dijagonala u jednakokračnom trapezu leži na osi simetrije i dijeli trapez na dva jednaka pravokutna trapeza, odnosno da su osnove ove visine podijeljene na pola.

Čini se da da bismo izračunali prosječnu liniju, moramo pronaći osnove. Ovdje nastaje mala slijepa ulica ... Kako, znajući visinu, u ovom slučaju izračunati baze? I ne kako! Mogu se izgraditi mnogi takvi trapezi sa fiksnom visinom i dijagonalama koje se seku pod uglom od 90 stepeni. Kako biti?

Pogledajte formulu za srednju liniju trapeza. Uostalom, ne moramo znati same baze, dovoljno je znati njihov zbir (ili poluzbir). Ovo možemo da uradimo.

Kako se dijagonale sijeku pod pravim uglom, formiraju se jednakokraki pravokutni trokuti visine EF:

Iz navedenog slijedi da je FO=DF=FC, a OE=AE=EB. Zapišimo sada koliko je jednaka visina izražena kroz segmente DF i AE:

Dakle, srednja linija je 12.

* Generalno, ovo je problem, kao što ste shvatili, za usmeni iskaz. Ali siguran sam da je potrebno detaljno objašnjenje. I tako... Ako pogledate sliku (pod uslovom da se tokom konstruisanja posmatra ugao između dijagonala), jednakost FO=DF=FC, i OE=AE=EB odmah upada u oči.

Kao dio prototipova, postoje i vrste zadataka sa trapezom. Izgrađen je na listu u ćeliji i potrebno je pronaći srednju liniju, strana ćelije je obično jednaka 1, ali može postojati i druga vrijednost.

27848. Pronađite srednju liniju trapeza A B C D ako su stranice kvadratnih ćelija 1.

Jednostavno je, izračunavamo baze po ćelijama i koristimo formulu: (2 + 4) / 2 = 3

Ako su baze izgrađene pod uglom u odnosu na ćelijsku mrežu, postoje dva načina. Na primjer!

Srednja linija trapeza, a posebno njegova svojstva, vrlo se često koriste u geometriji za rješavanje zadataka i dokazivanje određenih teorema.

je četverougao sa samo 2 stranice paralelne jedna s drugom. Paralelne stranice se nazivaju baze (na slici 1 - AD I BC), druga dva su bočna (na slici AB I CD).

Srednja linija trapeza- ovo je segment koji povezuje sredine njegovih bočnih strana (na slici 1 - KL).

Svojstva srednje linije trapeza

Dokaz teoreme srednje linije trapeza

Dokazati da je srednja linija trapeza jednaka polovini zbira njegovih osnova i paralelna sa ovim osnovama.

Dana trapez A B C D sa srednjom linijom KL. Da bi se dokazala svojstva koja se razmatraju, potrebno je povući pravu liniju kroz tačke B I L. Na slici 2, ovo je prava linija BQ. I također nastaviti bazu AD do raskrsnice sa linijom BQ.

Razmotrite rezultirajuće trouglove LBC I LQD:

Po definiciji srednje linije KL dot L je sredina segmenta CD. Iz ovoga slijedi da su segmenti CL I LD su jednaki.
∠BLC = ∠QLD jer su ovi uglovi vertikalni.
∠BCL = ∠LDQ, jer ovi uglovi poprečno leže na paralelnim linijama AD I BC i secant CD.

Iz ove 3 jednakosti slijedi da su trouglovi razmatrani ranije LBC I LQD jednake su na jednoj strani i dva ugla koja su susedna s njom (vidi sliku 3). shodno tome, ∠ LBC = ∠LQD, BC=DQ i najvažnija stvar - BL=LQ => KL, što je srednja linija trapeza A B C D, je također srednja linija trougla ABQ. Prema svojstvu srednje linije trougla ABQ dobijamo.