Metode za dokazivanje identiteta. Identitet. Načini dokazivanja identiteta Razmotrimo nekoliko jednostavnih primjera

Tokom procesa učenja učenici treba da razviju vještine dokazivanja identiteta na sljedeće načine.

Ako trebate dokazati da je A=B, onda možete

1. dokazati da je A - B = O,

2. dokazati da je A/B = 1,

3. pretvoriti A u oblik B,

4. pretvoriti B u tip A,

5. pretvoriti A i B u jedan oblik C.

Svojstva aritmetičkih operacija koriste se kao podrška na kojoj se grade dokazi identiteta. Ponekad se u dokazu koriste geometrijski koncepti i metode. Geometrijski dokazi nisu samo poučni i vizuelni, već pomažu u jačanju interdisciplinarnih veza.

Dokazi o identitetu mogu se podijeliti u tri vrste ovisno o tome u kojoj mjeri zadovoljavaju zahtjeve strogosti:

a) Nije potpuno rigorozno rezonovanje, koje zahtijeva korištenje metode matematičke indukcije da bi mu se dala puna strogost. Ovi dokazi se koriste za izvođenje pravila za operacije s polinomima i svojstva potencija s prirodnim eksponentima. Na primjer,

a k a r = (a ········a) (a ·········a) = a ········a = a k+p

k puta p puta k+p puta

b) Potpuno rigorozno rezonovanje, zasnovano na osnovnim svojstvima aritmetičkih operacija i bez upotrebe drugih svojstava brojevnog sistema. Glavno područje primjene takvih dokaza su identiteti skraćenog množenja. Mnoge tvrdnje izražene skraćenim formulama za množenje omogućavaju vizuelnu geometrijsku ilustraciju.

Primjer Za identitet Nastavnik može predložiti sljedeću ilustraciju:

c) Potpuno rigorozno rezonovanje koristeći uslove za rješivost jednačina oblika Ψ(x) = a, gdje je Ψ elementarna funkcija koja se proučava. Takvi dokazi su tipični za izvođenje svojstava stepena s racionalnim eksponentom i logaritamskom funkcijom. Na primjer, prilikom dokazivanja svojstva aritmetičkog korijena

(1)

oslonićemo se na preformulaciju definicije aritmetike kvadratni korijen: za nenegativne brojeve x i y jednakosti y =
I

y 2 = x su ekvivalentni, stoga je (1) ekvivalentno (
) 2 = (
) 2 (2). Odakle slijedi, i u = (
) 2 (
) 2 = a c.

Metoda dokaza koja je ovdje korištena koristi se prilično rijetko, međutim, mora se naglasiti da je glavna ideja dokaza usporediti dvije operacije (ili funkcije) - direktnu i inverznu njoj, koje će se koristiti već u srednja škola.

Tehnološki lanac formiranja algoritama i tehnika

identitetske transformacije izraza u osnovnoj školi

Algoritam i metode proračuna

Cijeli izrazi

Vrste celobrojnih izraza (monom, polinom), njihov stepen, standardni oblik, posebni slučajevi, skraćene formule množenja. Akcije sa celobrojnim izrazima: faktorisanje polinoma; identificiranje savršenog kvadrata u trinomu.

1. Algoritmi za izvođenje osnovnih radnji sa cijelim izrazima.

2. Tehnike faktoringa polinoma.

3. Posebna tehnika za izolaciju potpunog kvadrata u trinomu.

4. Generalizirana tehnika za pojednostavljivanje cijelog izraza.

5. Tehnike dokazivanja identiteta.

Racionalni izrazi

Glavno svojstvo razlomka i njegove posljedice. Smanjenje frakcijskih izraza. Radnje sa racionalnim

izrazi.

6. Tehnike pisanja transformacija racionalnih izraza.

7. Tehnike korišćenja analogija sa akcijama na racionalni brojevi opštim i posebnim slučajevima.

8. Generalizacija tehnika 4 i 5.

Iracionalno

izrazi

Glavno svojstvo korijena, najjednostavnije transformacije korijena. Radnje s korijenima, podizanje izraza na stepen s razlomkom eksponenta.

9. Posebne tehnike za osnovne transformacije aritmetičkih korijena.

10.Tehnike pretvaranja izraza sa potencijama sa racionalnim eksponentom.

11. Dobijanje dokaza nejednakosti.

12. Generalizacija tehnika 2, 4, 5 i 11.

Zadatak za predavanje

Nakon analize školskih udžbenika, napravite tabelu identičnih jednakosti sa naznakom skupa na kojem je to tačno.

Primjer
, M 1 – oni x za koje f(x) ima smisla.

PREDAVANJE br. 3 Dokaz identiteta

Svrha: 1. Ponoviti definicije identiteta i identično jednakih izraza.

2.Uvesti koncept identične transformacije izraza.

3. Množenje polinoma polinomom.

4. Faktorovanje polinoma metodom grupisanja.

Neka svaki dan i svaki sat

On će nam doneti nešto novo,

Neka nam umovi budu dobri,

I srce će biti pametno!

U matematici postoji mnogo koncepata. Jedan od njih je identitet.

Identitet je jednakost koja vrijedi za sve vrijednosti varijabli uključenih u njega. Već znamo neke identitete.

Na primjer, svi skraćene formule za množenje su identiteti.

Skraćene formule za množenje

1. (a ± b)2 = a 2 ± 2 ab + b 2,

2. (a ± b)3 = a 3 ± 3 a 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. a 2 - b 2 = (a - b)(a + b),

4. a 3 ± b 3 = (a ± b)(a 2 ab + b 2).

Dokazati identitet- to znači utvrđivanje da je za bilo koju valjanu vrijednost varijable njena lijeva strana jednaka desnoj strani.

U algebri postoji nekoliko različitih načina dokazivanja identiteta.

Metode za dokazivanje identiteta

lijevoj strani identiteta.

desnu stranu identiteta.

leva i desna strana identiteta.

Od desne strane identiteta oduzimamo lijevu stranu.

Desna strana se oduzima od lijeve strane identiteta.

Također treba imati na umu da identitet vrijedi samo za dozvoljene vrijednosti varijabli.

Kao što vidite, postoji dosta načina. Koju metodu odabrati u datom slučaju zavisi od identiteta koji treba da dokažete. Dok budete dokazivali različite identitete, steći ćete iskustvo u odabiru metode dokazivanja.

Identitet je jednadžba koja je identično zadovoljena, odnosno vrijedi za sve dozvoljene vrijednosti varijabli uključenih u njega. Dokazati identitet znači utvrditi da su za sve dozvoljene vrijednosti varijabli njegove lijeva i desna strana jednake.
Načini za dokazivanje identiteta:
1. Izvršite transformacije na lijevoj strani i na kraju dobijete desnu stranu.
2. Izvršite transformacije na desnoj strani i na kraju dobijete lijevu stranu.
3. Odvojeno transformisati desnu i lijevu stranu i dobiti isti izraz i u prvom i u drugom slučaju.
4. Sastavite razliku između lijeve i desne strane i, kao rezultat njenih transformacija, dobijete nulu.
Pogledajmo nekoliko jednostavni primjeri

Primjer 1. Dokaži identitet x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Rješenje.

Pošto desna strana ima mali izraz, pokušajmo transformirati lijevu stranu jednakosti.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Hajde da predstavimo slične pojmove i izvadimo zajednički faktor iz zagrade.

x a + x b + a b – a x = x b + a b = b (a + x).

Otkrili smo da je lijeva strana nakon transformacije postala ista kao desna. Dakle, ova jednakost je identitet.

Primjer 2. Dokažite identitet: a² + 7·a + 10 = (a+5)·(a+2).

Rješenje:

U ovom primjeru možete nastaviti na sljedeći način. Otvorimo zagrade na desnoj strani jednakosti.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

Vidimo da je nakon transformacije desna strana jednakosti postala ista kao i lijeva strana jednakosti. Dakle, ova jednakost je identitet.

“Zamjena jednog izraza drugim identično jednakim njemu naziva se identična transformacija izraza”

Saznajte koja je jednakost identitet:

1. - (a – c) = - a – c;

2. 2 · (x + 4) = 2x – 4;

3. (x – 5) · (-3) = - 3x + 15.

4. rhu (- r2 x2 y) = - r3 x3 y3.

“Da bi se dokazalo da je neka jednakost identitet, ili, kako se drugačije kaže, da bi se dokazao identitet, koriste se identične transformacije izraza”

Poziva se jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli identitet. Dokazati da je neka jednakost identitet, ili, kako se drugačije kaže, tako dokazati identitet, koristite identične transformacije izraza.
Dokažimo identitet:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3)(y - 5) + 1 Transformirajte lijevu stranu ove jednakosti:
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5(x -3) +1 = (y - 5)(x - 3) + 1 Kao rezultat transformacija identiteta s lijeve strane polinoma dobili smo njegovu desnu stranu i time dokazali da je ova jednakost identitet.
Za dokaze o identitetu transformirati njegovu lijevu stranu u desnu ili desnu stranu u lijevu, ili pokazati da su lijeva i desna strana izvorne jednakosti identično jednake istom izrazu.

Množenje polinoma polinomom

Pomnožimo polinom a+b na polinom c + d. Sastavimo proizvod ovih polinoma:
(a+b)(c+d).
Označimo binom a+b pismo x i transformirajte rezultirajući proizvod prema pravilu množenja monoma polinomom:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
U izrazu xc + xd. hajde da zamenimo x polinom a+b i opet upotrijebimo pravilo za množenje monoma polinomom:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
dakle: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.
Proizvod polinoma a+b I c + d predstavili smo ga kao polinom ac + bc + ad + bd. Ovaj polinom je zbir svih monoma dobijenih množenjem svakog člana polinoma a+b za svaki član polinoma c + d.
Zaključak: proizvod bilo koja dva polinoma može se predstaviti kao polinom.
Pravilo: Da pomnožite polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i dodati rezultirajuće proizvode.
Imajte na umu da prilikom množenja polinoma koji sadrži m pojmove na polinom koji sadrži n pojmova u proizvodu, prije nego što se dovedu slični uvjeti, rezultat bi trebao biti mnčlanovi. Ovo se može koristiti za kontrolu.

Faktoriranje polinoma pomoću metode grupisanja:

Ranije smo se upoznali sa faktoringom polinoma tako što smo zajednički faktor izvadili iz zagrada. Ponekad je moguće faktorizovati polinom koristeći drugu metodu - grupisanje svojih članova.
Razložimo polinom na faktor
ab - 2b + 3a - 6 Grupirajmo ga tako da članovi svake grupe imaju zajednički faktor i izvadimo ovaj faktor iz zagrada:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Svaki član rezultirajućeg izraza ima zajednički faktor (a - 2). Izvadimo ovaj zajednički faktor iz zagrada:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b +3)(a - 2) Kao rezultat toga, faktorirali smo originalni polinom:
ab - 2b + 3a - 6 = (b +3)(a - 2) Metoda koju smo koristili za faktorisanje polinoma naziva se metod grupisanja.
Polinomska ekspanzija ab - 2b + 3a - 6 faktorizacija se može uraditi tako što se njeni pojmovi grupišu drugačije:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a(b + 3) -2(b + 3) = (a - 2)(b + 3)

ponoviti:

1. Metode dokazivanja identiteta.

2. Ono što se zove transformacija identiteta izraza.

3. Množenje polinoma polinomom.

4. Faktorovanje polinoma metodom grupisanja

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

Pregledajte definicije identiteta i identično jednakih izraza.
Uvesti koncept identitetske transformacije izraza.
Razvijati sposobnosti učenika u dokazivanju identiteta metodom identične transformacije izraza.
Spomenuti komunikativna kultura studenti.

Tokom nastave

Prije početka nastave učenici u odjeljenju se dijele u šest mješovitih studijskih grupa.

I

Učitelju: Zdravo, momci, predlažem da učionicu pretvorimo u privremenu istraživačka laboratorija, i ti i ja unutra Magistri matematičkih nauka.

Ali svaki naučnik koji poštuje sebe stalno odlučuje o nekima važan problem, pa, prije svega, moramo saznati: na kom problemu ćemo danas raditi?

Da bismo to učinili, moramo riješiti dva problema: (Slajd 1)

Faktor izraza 4x – 8xy.(Nakon završenog zadatka, na slajdu se pojavljuje riječ “Dokaz”)
Zamislite izraz -5u(u – 2) u obliku polinoma. (Nakon dovršetka zadatka, na slajdu se pojavljuje riječ “Identiteti”)

Učitelju: Danas ćemo raditi na “Dokazu identiteta”, a ja predlažem da ove divne riječi uzmemo za moto našeg rada: (Slajd 2)

Neka svaki dan i svaki sat
On će nam doneti nešto novo,
Neka nam umovi budu dobri,
I srce će biti pametno!

II

Učitelju: Gospodo naučnici, prije rješavanja problema moramo ojačati našu teorijsku bazu, jer vam je pojam identiteta već poznat. I stoga u odjeljku (Slajd 3) "Ponavljanje je majka učenja" Predlažem da uradite sledeće:

U svakoj naučnoj grupi postoje formulacije tri koncepta na kartici 1, među njima morate pronaći dvije definicije: 1) Definicija identiteta, 2) Definicija identično jednakih izraza.

(Učenici proučavaju ove definicije 2-3 minute, pitaju se predstavnici onih grupa koje su najbrže završile zadatak, ostali učesnici ostalih grupa pokazuju slaganje ili neslaganje koristeći zelene i crvene signalne kartice)

Kartica 1

Kada učenici daju tačnu definiciju, ona se prikazuje na ekranu.

Učitelju: Dobro, hajde da se testiramo. Jednakosti će se pojaviti na ekranu, ako je ova jednakost identitet, onda predlažem da ustanete, ali ako ne, onda nastavite sjediti: (Slajd 4)

- (a – b) = - a + b
a (b + c) = ab - ac
a – (b + c) = a – b + c
(a + b) – c = a – c + b
- (a + b) = - b - a

III

Učitelju: Dobro, sada je vrijeme da se od teoretičara pretvorimo u praktične naučnike, ali za to moramo saznati šta trebamo koristiti kako bismo dokazati identitet, a ovdje ne možemo bez naučna literatura, odgovor na ovo pitanje naći ćemo na stranici ... vašeg udžbenika. Učenici pronalaze odgovor u udžbeniku: „Da bi dokazali da je neka jednakost identitet, ili, kako se drugačije kaže, da bi dokazali identitet, koriste identične transformacije izraza.“ Učesnici u drugim grupama ukazuju na slaganje ili neslaganje sa specijalnim signalima o kojima smo gore govorili. (Slajd 5)

Učitelju: Bravo, ali sad ispada sljedeće pitanje, i šta je transformacija identiteta izraza? Odgovor možete pronaći na kartica 1, ovo je preostala treća definicija.

“Zamjena jednog izraza drugim, identično jednakim njemu, naziva se identična transformacija izraza” (nastavnik poziva jednog od učesnika bilo koje grupe da odgovori na ovo pitanje) (Slajd 6)

Sada smo već "zreli" za praktičan rad, i zamolio bih vas da skrenete pažnju kartica 2. Zadatak: „Dokaži identitet“, svaka grupa naučnika dobila je primjer koji mora samostalno riješiti; ako se pojave poteškoće, u pomoć će priskočiti kartice konsultanta.

Kartica 2

Sada moramo zaštititi naš rad. (Prezentacija obavljenog rada na odboru, govore voljni članovi grupe)

Učitelju: Odlično, a sada, drage kolege, vrijeme je da sumiramo, šta treba da uradimo da bismo dokazali da je jednakost identitet? Očekivani odgovori učenika: (Slajd 7)

Napišite lijevu stranu jednakosti, transformirajte je i uvjerite se da je jednaka desnoj.
ili
Zapišite desnu stranu jednakosti, transformirajte je i uvjerite se da je jednaka lijevoj.
ili
Transformirajte i lijevu i desnu stranu jednakosti i uvjerite se da su jednake istom izrazu.

Učitelju: Kakav zaključak se može izvući u slučaju da sve što smo rekli neće biti ispunjeno? Predloženi odgovor učenika: Jednakost neće biti identitet.

IV

Učitelju: Kako bismo osigurali da stečeno znanje trajno, nastavićemo ovaj posao kod kuće:

Zadaća: str 30, 773, * Napravite jednakost koja će biti identitet.

V

Učitelju: A sada je došao čas kreativnosti: U pjesmu koju vidite unesite riječi koje nedostaju: (Slajdovi 8-9)

Ima svakakve jednakosti, braćo,
I svi, naravno, znaju za ovo.
Postoje - sa varijablama, postoje - (numerički),
Vrlo, vrlo složeno (jednostavno)
Ali među jednakostima postoji posebna klasa,
Sada ćemo ispričati našu priču o njemu.
To se zove (identitetska) jednakost.
Ali to još moramo dokazati.
Da bismo to uradili samo treba da uzmemo
I jednakost je (pretvori)
Naravno, to nam neće biti teško da saznamo
Koji dio ćemo morati promijeniti?
Ili ćemo možda morati da promenimo oboje,
Po jednakosti uma nije teško (razumjeti)
Ura! Uspjeli smo primijeniti svoje znanje
Konverzija jednakosti je završena.
A mi hrabro kažemo odgovor:
Dakle (identitet) je li, ili nije!

Dokaz identiteta. U matematici postoji mnogo koncepata. Jedan od njih je identitet.

Identitet je jednakost koja vrijedi za sve vrijednosti varijabli uključenih u njega.

Već znamo neke identitete. Na primjer, sve formule za skraćeno množenje su identiteti.

Dokazati identitet- to znači utvrđivanje da je za bilo koju valjanu vrijednost varijable njena lijeva strana jednaka desnoj strani.

U algebri postoji nekoliko različitih načina dokazivanja identiteta.

Metode za dokazivanje identiteta

lijevoj strani identiteta. Ako završimo sa desnom stranom, onda se identitet smatra dokazanim.
Izvršite ekvivalentne konverzije desnu stranu identiteta. Ako konačno dobijemo lijevu stranu, onda se identitet smatra dokazanim.
Izvršite ekvivalentne konverzije leva i desna strana identiteta. Ako dobijemo isti rezultat, onda se identitet smatra dokazanim.
Od desne strane identiteta oduzimamo lijevu stranu.
Desna strana se oduzima od lijeve strane identiteta. Izvodimo ekvivalentne transformacije na razlici. A ako na kraju dobijemo nulu, onda se identitet smatra dokazanim.

Također treba imati na umu da identitet vrijedi samo za dozvoljene vrijednosti varijabli.

Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera

Primjer 1.

Dokazati identitet x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Rješenje.

Pošto desna strana ima mali izraz, pokušajmo transformirati lijevu stranu jednakosti.

x*(a+b) + a*(b-x) = x*a+x*b+a*b – a*x.

Hajde da predstavimo slične pojmove i izvadimo zajednički faktor iz zagrade.

x*a+x*b+a*b – a*x = x*b+a*b = b*(a+x).

Otkrili smo da je lijeva strana nakon transformacije postala ista kao desna. Dakle, ova jednakost je identitet.

Primjer 2.

Dokazati identitet a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Rješenje.

U ovom primjeru možete nastaviti na sljedeći način. Otvorimo zagrade na desnoj strani jednakosti.

(a+5)*(a+2) = (a^2) +5*a +2*a +10= a^2+7*a+10.

Vidimo da je nakon transformacije desna strana jednakosti postala ista kao i lijeva strana jednakosti. Dakle, ova jednakost je identitet.

Primjer 2. Dokazati identitet

Ovaj identitet ćemo dokazati transformacijom izraza na desnoj strani.

Metoda 1.

Zbog toga

Metoda 2.

Prije svega, imajte na umu da ctg α =/= 0; inače izraz tg ne bi imao smisla α = 1/ctg α . Ali ako ctg α =/= 0, tada se brojnik i nazivnik radikalnog izraza mogu pomnožiti sa ctg α , bez promjene vrijednosti razlomka. dakle,

Korištenje tg identiteta α ctg α = 1 i 1+ ctg 2 α = kosec 2 α , dobijamo

Zbog toga Q.E.D.

Komentar. Treba napomenuti da je lijeva strana dokazanog identiteta (grijeh α ) je definiran za sve vrijednosti α , a desna - samo kada α =/= π / 2 n.

Dakle, samo kada sve validno vrijednosti α Generalno, ovi izrazi nisu ekvivalentni jedan drugom.

Primjer 3. Dokazati identitet

grijeh (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = cos (2 π + α ) - 3sin ( π / 2 - α )

Transformirajmo lijevu i desnu stranu ovog identiteta koristeći formule redukcije:

grijeh (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = -cos α -cos α = - 2cos α ;

cos(2 π + α ) - 3sin ( π / 2 - α ) =cos α - 3cos α = - 2cos α .

Dakle, izrazi koji se pojavljuju u oba dijela ovog identiteta su svedeni na isti oblik. Ovo dokazuje identitet.

Primjer 4. Dokazati identitet

grijeh 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 sin 2 α cos 2 α .

Pokažimo da je razlika između lijeve i desne strane. ovog identiteta jednaka je nuli.

(grijeh 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 grijeh 2 α cos 2 α ) = (grijeh 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) - 1 =

= (grijeh 2 α + cos 2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Ovo dokazuje identitet.

Primjer 5. Dokazati identitet

Ovaj identitet se može smatrati proporcijom. Ali da bi se dokazala valjanost proporcije a / b = c / d, dovoljno je pokazati da je proizvod njenih ekstremnih članova ad jednak proizvodu njegovih prosječnih članova bc. Ovo je ono što ćemo raditi u u ovom slučaju. Pokažimo da (1 - sin α ) (1+ sin α ) = cos α cos α .

Zaista, (1 - sin α ) (1 + sin α ) = 1 -sin 2 α = cos 2 α .