Površina paralelograma. Kako pronaći površinu paralelograma? Površina paralelograma ako su poznate dvije stranice

Definicija paralelograma

Paralelogram je četverougao u kojem su suprotne strane jednake i paralelne.

Online kalkulator

Paralelogram ima neka korisna svojstva koja olakšavaju rješavanje problema koji uključuju ovu figuru. Na primjer, jedno od svojstava je da su suprotni uglovi paralelograma jednaki.

Razmotrimo nekoliko metoda i formula uz rješavanje jednostavnih primjera.

Formula za površinu paralelograma na osnovu njegove osnove i visine

Ova metoda pronalaženja površine je vjerojatno jedna od najosnovnijih i najjednostavnijih, jer je gotovo identična formuli za pronalaženje površine trokuta uz nekoliko izuzetaka. Prvo, pogledajmo generalizirani slučaj bez korištenja brojeva.

Neka je dat proizvoljan paralelogram sa bazom aa a, strana b b b i visina h h h, odnesen u našu bazu. Tada je formula za površinu ovog paralelograma:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

Aa a- baza;
h h h- visina.

Pogledajmo jedan lak problem za vježbanje rješavanja tipičnih problema.

Primjer

Nađite površinu paralelograma za koju je poznato da je osnova 10 (cm), a visina 5 (cm).

Rješenje

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Mi to zamjenjujemo u našu formulu. Dobijamo:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (vidi sq.)

Odgovor: 50 (vidi sq.)

Formula za površinu paralelograma zasnovana na dvije strane i kutu između njih

U ovom slučaju, tražena vrijednost se nalazi na sljedeći način:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=a ⋅b ⋅grijeh(α)

A, b a, b a, b- stranice paralelograma;
α\alpha α - ugao između stranica aa a I b b b.

Sada riješimo još jedan primjer i koristimo formulu opisanu gore.

Primjer

Nađite površinu paralelograma ako je poznata stranica aa a, koja je osnova i ima dužinu od 20 (cm) i perimetar p str str, brojčano jednak 100 (cm), ugao između susjednih stranica ( aa a I b b b) je jednako 30 stepeni.

Rješenje

A = 20 a=20 a =2 0
p = 100 p=100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Da bismo pronašli odgovor, znamo samo drugu stranu ovog četvorougla. Hajde da je nađemo. Opseg paralelograma je dat formulom:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =a +a +b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2b 60=2b 6 0 = 2 b
b = 30 b=30 b =3 0

Najteži dio je gotov, preostaje samo da naše vrijednosti zamijenimo stranice i ugao između njih:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ sin(3 0 ∘ ) = 3 0 0 (vidi sq.)

Odgovor: 300 (vidi sq.)

Formula za površinu paralelograma zasnovana na dijagonalama i kutu između njih

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ⋅ D⋅d⋅grijeh(α)

D D D- velika dijagonala;
d d d- mala dijagonala;
α\alpha α - oštar ugao između dijagonala.

Primjer

Date su dijagonale paralelograma jednake 10 (cm) i 5 (cm). Ugao između njih je 30 stepeni. Izračunajte njegovu površinu.

Rješenje

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d=5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ sin(3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (vidi sq.)

Prilikom rješavanja zadataka na ovu temu, osim osnovna svojstva paralelogram i odgovarajuće formule, možete zapamtiti i primijeniti sljedeće:

Simetrala unutrašnjeg ugla paralelograma odsiječe od njega jednakokraki trokut
Simetrale unutrašnjih uglova uz jednu od stranica paralelograma međusobno su okomite
Simetrale koje dolaze iz suprotnih unutrašnjih uglova paralelograma paralelne su jedna s drugom ili leže na istoj pravoj liniji
Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je zbroju kvadrata njegovih stranica
Površina paralelograma jednaka je polovini umnoška dijagonala i sinusa ugla između njih

Razmotrimo probleme u kojima se ova svojstva koriste.

Zadatak 1.

Simetrala ugla C paralelograma ABCD siječe stranicu AD u tački M i nastavak stranice AB iza tačke A u tački E. Nađi obim paralelograma ako je AE = 4, DM = 3.

Rješenje.

1. Trougao CMD je jednakokračan. (Svojstvo 1). Dakle, CD = MD = 3 cm.

2. Trougao EAM je jednakokračan.
Dakle, AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Perimetar ABCD = 20 cm.

Odgovori. 20 cm.

Zadatak 2.

Dijagonale su nacrtane u konveksnom četvorouglu ABCD. Poznato je da su površine trouglova ABD, ACD, BCD jednake. Dokazati da je ovaj četvorougao paralelogram.

Rješenje.

1. Neka je BE visina trougla ABD, CF visina trougla ACD. Kako su, prema uslovima zadatka, površine trouglova jednake i imaju zajedničku osnovu AD, onda su i visine ovih trouglova jednake. BE = CF.

2. BE, CF su okomite na AD. Tačke B i C nalaze se na istoj strani u odnosu na pravu liniju AD. BE = CF. Dakle, prava BC || A.D. (*)

3. Neka je AL visina trougla ACD, BK visina trougla BCD. Kako su, prema uslovima zadatka, površine trouglova jednake i imaju zajedničku osnovu CD, onda su i visine ovih trouglova jednake. AL = BK.

4. AL i BK su okomite na CD. Tačke B i A nalaze se na istoj strani u odnosu na pravu liniju CD. AL = BK. Dakle, prava AB || CD (**)

5. Iz uslova (*), (**) slijedi da je ABCD paralelogram.

Odgovori. Dokazan. ABCD je paralelogram.

Zadatak 3.

Na stranicama BC i CD paralelograma ABCD označene su tačke M i H, tako da se segmenti BM i HD sijeku u tački O;<ВМD = 95 о,

Rješenje.

1. U trouglu DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. U pravokutnom trokutu DHC
(
Onda<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(Budući da je u pravokutnom trokutu krak koji leži nasuprot kuta od 30° jednak polovini hipotenuze).

Ali CD = AB. Tada je AB: HD = 2:1.

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
Odgovor: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

Zadatak 4.

Jedna od dijagonala paralelograma dužine 4√6 čini sa osnovom ugao od 60°, a druga dijagonala sa istom osnovom čini ugao od 45°. Pronađite drugu dijagonalu.

Rješenje.

1. AO = 2√6.

2. Teoremu sinusa primjenjujemo na trougao AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Odgovor: 12.

Zadatak 5.

Za paralelogram sa stranicama 5√2 i 7√2, manji ugao između dijagonala jednak je manjem uglu paralelograma. Nađite zbir dužina dijagonala.

Rješenje.

Neka su d 1, d 2 dijagonale paralelograma, a ugao između dijagonala i manjeg ugla paralelograma jednak je φ.

1. Izbrojimo dva različita
načine svoje područje.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Dobijamo jednakost 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ili

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Koristeći odnos između stranica i dijagonala paralelograma, zapisujemo jednakost

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Kreirajmo sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Pomnožimo drugu jednačinu sistema sa 2 i dodajmo je prvoj.

Dobijamo (d 1 + d 2) 2 = 576. Otuda je Id 1 + d 2 I = 24.

Pošto su d 1, d 2 dužine dijagonala paralelograma, onda je d 1 + d 2 = 24.

Odgovor: 24.

Zadatak 6.

Stranice paralelograma su 4 i 6. Oštar ugao između dijagonala je 45 stepeni. Pronađite površinu paralelograma.

Rješenje.

1. Iz trougla AOB, koristeći kosinus teoremu, zapisujemo odnos između stranice paralelograma i dijagonala.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Slično pišemo relaciju za trougao AOD.

Uzmimo to u obzir<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Dobijamo jednačinu d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Imamo sistem
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Oduzimanjem prve od druge jednačine, dobijamo 2d 1 · d 2 √2 = 80 ili

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC VD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Bilješka: U ovom i prethodnom zadatku nema potrebe rješavati sistem u potpunosti, s obzirom da nam je u ovom zadatku potreban proizvod dijagonala za izračunavanje površine.

Odgovor: 10.

Zadatak 7.

Površina paralelograma je 96, a njegove stranice su 8 i 15. Nađite kvadrat manje dijagonale.

Rješenje.

1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. Napravimo zamjenu u formuli.

Dobijamo 96 = 8 · 15 · sin VAD. Otuda je sin VAD = 4/5.

2. Nađimo cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Prema uslovima zadatka nalazimo dužinu manje dijagonale. Dijagonala VD će biti manja ako je ugao VAD oštar. Tada je cos VAD = 3 / 5.

3. Iz trougla ABD, koristeći kosinusnu teoremu, nalazimo kvadrat dijagonale BD.

VD 2 = AV 2 + AD 2 – 2 · AV · VD · cos VAD.

VD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Odgovor: 145.

Imate još pitanja? Ne znate kako riješiti problem geometrije?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Paralelogram je geometrijska figura koja se često nalazi u zadacima u kursu geometrije (planimetrija presjeka). Ključne karakteristike ovog četvorougla su jednakost suprotnih uglova i prisustvo dva para paralelnih suprotnih stranica. Posebni slučajevi paralelograma su romb, pravougaonik, kvadrat.

Izračunavanje površine ovog tipa poligona može se izvršiti na nekoliko načina. Pogledajmo svaki od njih.

Nađite površinu paralelograma ako su poznate stranica i visina

Da biste izračunali površinu paralelograma, možete koristiti vrijednosti njegove stranice, kao i dužinu visine spuštene na nju. U ovom slučaju će dobijeni podaci biti pouzdani i za slučaj poznate strane - osnove figure, i ako imate na raspolaganju bočnu stranu figure. U ovom slučaju, tražena vrijednost će se dobiti pomoću formule:

S = a * h (a) = b * h (b),

S je površina koju je trebalo odrediti,

a, b – poznata (ili izračunata) strana,

h je visina spuštena na njega.

Primjer: vrijednost osnove paralelograma je 7 cm, dužina okomice spuštene na njega iz suprotnog vrha je 3 cm.

Rješenje: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Nađite površinu paralelograma ako su poznate 2 stranice i ugao između njih

Razmotrimo slučaj kada znate veličine dviju strana figure, kao i mjeru stepena ugla koji formiraju između sebe. Dostavljeni podaci se također mogu koristiti za pronalaženje površine paralelograma. U ovom slučaju, izraz formule će izgledati ovako:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

sa strane,

c – poznata (ili izračunata) baza,

α, β – uglovi između stranica a i c.

Primjer: osnova paralelograma je 10 cm, njegova stranica je 4 cm manja. Tupi ugao figure je 135°.

Rješenje: odredi vrijednost druge strane: 10 – 4 = 6 cm.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Nađite površinu paralelograma ako su poznate dijagonale i ugao između njih

Prisutnost poznatih vrijednosti dijagonala datog poligona, kao i ugla koji oni formiraju kao rezultat njihovog presjeka, omogućava nam da odredimo površinu figure.

S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,

S je površina koju treba odrediti,
d1, d2 – poznate (ili proračunom izračunate) dijagonale,
γ, φ – uglovi između dijagonala d1 i d2.