Osnovna mehanika za lutke. Uvod. Kurs predavanja iz teorijske mehanike. Dinamika Popularne kratke napomene o teorijskoj mehanici

Pogledaj: ovaj članak je pročitan 32852 puta

Pdf Odaberite jezik... Ruski Ukrajinski Engleski

Kratka recenzija

Cijeli materijal se preuzima iznad, nakon odabira jezika

• Statika
  • Osnovni koncepti statike
  • Vrste sila
  • Aksiomi statike
  • Veze i njihove reakcije
  • Sistem konvergirajućih sila
    • Metode za određivanje rezultantnog sistema konvergentnih sila
    • Uslovi ravnoteže za sistem konvergentnih sila
  • Moment sile oko centra kao vektor
    • Algebarska vrijednost momenta sile
    • Svojstva momenta sile u odnosu na centar (tačku)
  • Teorija para sila
    • Sabiranje dvije paralelne sile usmjerene u istom smjeru
    • Sabiranje dvije paralelne sile usmjerene u različitim smjerovima
    • Parovi sila
    • Teoreme par sila
    • Uslovi ravnoteže za sistem parova sila
  • Ruka poluge
  • Proizvoljni ravni sistem sila
    • Slučajevi svođenja ravan sistema sila na jednostavniji oblik
    • Uslovi analitičke ravnoteže
  • Centar paralelnih sila. Centar gravitacije
    • Centar paralelnih snaga
    • Težište krutog tijela i njegove koordinate
    • Težište zapremine, ravni i prave
    • Metode za određivanje položaja težišta
• Osnove seta snage
  • Ciljevi i metode čvrstoće materijala
  • Klasifikacija opterećenja
  • Klasifikacija konstruktivnih elemenata
  • Deformacija štapa
  • Osnovne hipoteze i principi
  • Unutrašnje sile. Metoda preseka
  • Voltages
  • Napon i kompresija
  • Mehaničke karakteristike materijal
  • Dozvoljeni naponi
  • Tvrdoća materijala
  • Dijagrami uzdužnih sila i napona
  • Shift
  • Geometrijske karakteristike presjeka
  • Torzija
  • Bend
    • Diferencijalne zavisnosti tokom savijanja
    • Čvrstoća na savijanje
    • Normalni naponi. Proračun snage
    • Napon smicanja tokom savijanja
    • Flexural rigidity
  • Elementi opšta teorija stresno stanje
  • Teorije snage
  • Savijanje sa torzijom
• Kinematika
  • Kinematika tačke
    • Trajektorija kretanja tačke
    • Metode za određivanje kretanja tačke
    • Tačkasta brzina
    • Ubrzanje tačke
  • Kinematika krutog tijela
    • Translacijsko kretanje krutog tijela
    • Rotacijsko kretanje krutog tijela
    • Kinematika zupčastih mehanizama
    • Ravnoparalelno kretanje krutog tijela
  • Složeno kretanje tačke
• Dynamics
  • Osnovni zakoni dinamike
  • Dinamika tačke
    • Diferencijalne jednadžbe slobodne materijalne tačke
    • Dinamički problemi u dvije tačke
  • Dinamika krutog tijela
    • Klasifikacija sila koje djeluju na mehanički sistem
    • Diferencijalne jednačine kretanja mehaničkog sistema
  • Opće teoreme dinamike
    • Teorema o kretanju centra mase mehaničkog sistema
    • Teorema promjene momenta
    • Teorema o promjeni ugaonog momenta
    • Teorema o promjeni kinetičke energije
• Sile koje djeluju u mašinama
  • Sile u zahvatu cilindričnog zupčanika
  • Trenje u mehanizmima i mašinama
    • Trenje klizanja
    • Trenje kotrljanja
  • Efikasnost
• Mašinski dijelovi
  • Mehanički zupčanici
    • Vrste mehaničkih zupčanika
    • Osnovni i izvedeni parametri mehaničkih zupčanika
    • Gears
    • Zupčanici sa fleksibilnim karikama
  • Osovine
    • Svrha i klasifikacija
    • Proračun dizajna
    • Provjerite proračun osovina
  • Ležajevi
    • Klizni ležajevi
    • Kotrljajni ležajevi
  • Povezivanje dijelova mašine
    • Vrste rastavljivih i trajnih priključaka
    • Veze sa ključem
• Standardizacija normi, zamjenjivost
  • Tolerancije i slijetanja
  • jedan sistem tolerancije i slijetanja (ESDP)
  • Odstupanje oblika i lokacije

Format: pdf

Veličina: 4MB

ruski jezik

Primjer proračuna cilindričnog zupčanika
Primjer izračunavanja cilindričnog zupčanika. Izvršen je izbor materijala, proračun dopuštenih napona, proračun kontaktne i savijajuće čvrstoće.

Primjer rješavanja problema savijanja grede
U primjeru su konstruirani dijagrami poprečnih sila i momenata savijanja, pronađen je opasan presjek i odabran I-greda. U problemu je analizirana konstrukcija dijagrama korištenjem diferencijalnih ovisnosti komparativna analiza različiti poprečni presjeci grede.

Primjer rješavanja problema torzije osovine
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične osovine na datom promjeru, materijalu i dopuštenom naprezanju. U toku rješavanja konstruiraju se dijagrami momenta, posmičnih napona i uglova uvijanja. Vlastita težina osovine se ne uzima u obzir

Primjer rješavanja problema zatezanja-kompresije štapa
Zadatak je ispitati čvrstoću čelične šipke pri određenim dopuštenim naprezanjima. Prilikom rješavanja konstruiraju se dijagrami uzdužnih sila, normalnih napona i pomaka. Vlastita težina štapa se ne uzima u obzir

Primjena teoreme o održanju kinetičke energije
Primjer rješavanja problema pomoću teoreme o očuvanju kinetičke energije mehaničkog sistema

Određivanje brzine i ubrzanja tačke pomoću datih jednačina kretanja
Primjer rješavanja zadatka za određivanje brzine i ubrzanja tačke pomoću zadanih jednačina kretanja

Određivanje brzina i ubrzanja tačaka krutog tijela tokom ravnoparalelnog kretanja
Primjer rješavanja zadatka za određivanje brzina i ubrzanja tačaka krutog tijela tokom ravnoparalelnog kretanja

Određivanje sila u šipkama ravne rešetke
Primjer rješavanja problema određivanja sila u šipkama ravne rešetke Ritterovom metodom i metodom rezanja čvorova

1 slajd

Kurs predavanja o teorijske mehanike Dinamika (I dio) Bondarenko A.N. Moskva - 2007 Elektronika obuka napisano na osnovu predavanja koje je autor održao studentima koji studiraju na specijalnostima SZhD, PGS i SDM na NIIZhT i MIIT (1974-2006). Edukativni materijal odgovara kalendarskim planovima za tri semestra. Da biste u potpunosti implementirali efekte animacije tokom prezentacije, morate koristiti Power Point preglednik koji nije niži od onog ugrađenog u Microsoft Office operativnog sistema Windows XP Professional. Komentari i sugestije možete slati na e-mail: [email protected]. Moskva Državni univerzitetŽeljeznice (MIIT) Katedra za teorijsku mehaniku Naučno-tehnički centar za transportne tehnologije

2 slajd

Sadržaj Predavanje 1. Uvod u dinamiku. Zakoni i aksiomi dinamike materijalne tačke. Osnovna jednadžba dinamike. Diferencijalne i prirodne jednačine kretanja. Dva glavna problema dinamike. Primjeri rješavanja direktnog problema dinamike Predavanje 2. Rješenje inverznog problema dinamike. Opće upute za rješavanje inverznog problema dinamike. Primjeri rješavanja inverznog problema dinamike. Kretanje tijela bačenog pod uglom u odnosu na horizontalu, bez uzimanja u obzir otpora zraka. Predavanje 3. Pravolinijske oscilacije materijalne tačke. Uslov za nastanak oscilacija. Klasifikacija vibracija. Slobodne vibracije bez uzimanja u obzir sila otpora. Prigušene oscilacije. Smanjenje oscilacija. Predavanje 4. Prinudne oscilacije materijalne tačke. Rezonancija. Utjecaj otpora kretanju pri prisilnim vibracijama. Predavanje 5. Relativno kretanje materijalne tačke. Inercijske sile. Posebni slučajevi kretanja za različite vrste prijenosnih pokreta. Utjecaj Zemljine rotacije na ravnotežu i kretanje tijela. Predavanje 6. Dinamika mehaničkog sistema. Mehanički sistem. Spoljne i unutrašnje sile. Centar mase sistema. Teorema o kretanju centra masa. Zakoni o očuvanju. Primjer rješavanja problema pomoću teoreme o kretanju centra mase. Predavanje 7. Impuls sile. Količina pokreta. Teorema o promjeni impulsa. Zakoni o očuvanju. Ojlerova teorema. Primjer rješavanja problema korištenjem teoreme o promjeni impulsa. Momentum. Teorema o promjeni ugaonog momenta Predavanje 8. Zakoni održanja. Elementi teorije momenata inercije. Kinetički moment krutog tijela. Diferencijalna jednadžba rotacije krutog tijela. Primjer rješavanja problema pomoću teoreme o promjeni ugaonog momenta sistema. Osnovna teorija žiroskopa. Preporučena literatura 1. Yablonsky A.A. Kurs teorijske mehanike. Dio 2. M.: postdiplomske škole. 1977 368 str. 2. Meshchersky I.V. Zbirka zadataka iz teorijske mehanike. M.: Nauka. 1986 416 str. 3. Zbirka zadataka za rad na kursu/Ed. AA. Yablonsky. M.: Viša škola. 1985 366 str. 4. Bondarenko A.N. “Teorijska mehanika u primjerima i problemima. Dinamika” ( elektronski priručnik www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004.

3 slajd

Predavanje 1 Dinamika je dio teorijske mehanike koji proučava mehaničko kretanje od samog zajednička tačka viziju. Kretanje se razmatra u vezi sa silama koje djeluju na predmet. Sekcija se sastoji od tri sekcije: Dinamika materijalne tačke Dinamika mehaničkog sistema Analitička mehanika ■ Dinamika tačke – proučava kretanje materijalne tačke, uzimajući u obzir sile koje izazivaju ovo kretanje. Glavni objekt je materijalna tačka - materijalno tijelo sa masom čije se dimenzije mogu zanemariti. Osnovne pretpostavke: – postoji apsolutni prostor (ima čisto geometrijska svojstva koja ne zavise od materije i njenog kretanja. – postoji apsolutno vrijeme (nezavisno od materije i njenog kretanja). Iz ovoga slijedi: – postoji apsolutno nepomičan okvir referenca. – vrijeme ne zavisi od kretanja referentnog okvira – mase pokretnih tačaka ne zavise od kretanja referentnog okvira. Ove pretpostavke se koriste u klasičnoj mehanici, koju su kreirali Galileo i Newton. Još uvijek ima prilično širok opseg primjene, budući da se oni razmatraju u primenjenih nauka Mehanički sistemi nemaju tako velike mase i brzine kretanja koje zahtevaju uzimanje u obzir njihovog uticaja na geometriju prostora, vremena i kretanja, kao što je to učinjeno u relativističkoj mehanici (teorija relativnosti). ■ Osnovni zakoni dinamike – koje je prvi otkrio Galileo i formulisao Njutn – čine osnovu svih metoda za opisivanje i analizu kretanja mehaničkih sistema i njihove dinamičke interakcije pod uticajem različitih sila. ■ Zakon inercije (Galileo-Newton zakon) – Izolovana materijalna tačka tijela održava stanje mirovanja ili uniforme pravolinijsko kretanje do tada je primijenjene sile neće prisiliti da promijeni ovo stanje. To implicira ekvivalenciju stanja mirovanja i kretanja po inerciji (Galileov zakon relativnosti). Referentni sistem u odnosu na koji važi zakon inercije naziva se inercijalni. Svojstvo materijalne tačke da teži održavanju konstantne brzine svog kretanja (njeno kinematičko stanje) naziva se inercija. ■ Zakon proporcionalnosti sile i ubrzanja (Osnovna jednadžba dinamike - Njutnov II zakon) – Ubrzanje koje sila daje materijalnoj tački je direktno proporcionalno sili i obrnuto proporcionalno masi ove tačke: ili Ovdje je m masa tačke (mera inercije), merena u kg, brojčano jednaka težina podeljena sa gravitacionim ubrzanjem: F – efektivna sila, merena u N (1 N daje ubrzanje od 1 m/s2 tački težine 1 kg, 1 N = 1/9,81 kg-s). ■ Dinamika mehaničkog sistema - proučava kretanje skupa materijalnih tačaka i čvrstih tela, ujedinjenih opštim zakonima interakcije, uzimajući u obzir sile koje izazivaju ovo kretanje. ■ Analitička mehanika – proučava kretanje ograničenih mehaničkih sistema koristeći opšte analitičke metode. 1

4 slajd

Predavanje 1 (nastavak – 1.2) Diferencijalne jednačine kretanja materijalne tačke: - diferencijalna jednačina kretanja tačke u vektorskom obliku. - diferencijalne jednadžbe kretanja tačke u koordinatnom obliku. Ovaj rezultat se može dobiti formalnom projekcijom vektorske diferencijalne jednadžbe (1). Nakon grupisanja, vektorski odnos se rastavlja na tri skalarne jednadžbe: U koordinatnom obliku: Koristimo vezu između vektora radijusa sa koordinatama i vektora sile sa projekcijama: ili: Zamijenjujemo ubrzanje točke vektorskim gibanjem navedenim u osnovna jednadžba dinamike: Prirodne jednadžbe kretanja materijalne tačke se dobijaju projektovanjem vektorske diferencijalne jednačine kretanja na prirodne (pokretne) koordinatne ose: ili: - prirodne jednačine kretanja tačke. ■ Osnovna jednačina dinamike: - odgovara vektorskoj metodi zadavanja kretanja tačke. ■ Zakon nezavisnosti dejstva sila - Ubrzanje materijalne tačke pod dejstvom više sila jednako je geometrijskom zbiru ubrzanja tačke od dejstva svake od sila posebno: ili Zakon važi za bilo koje kinematičko stanje tijela. Sile interakcije, koje se primjenjuju na različite tačke (tijela), nisu uravnotežene. ■ Zakon jednakosti akcije i reakcije (Newtonov III zakon) – Svakoj akciji odgovara jednaka po veličini i suprotno usmjerena reakcija: 2

5 slajd

Dva glavna problema dinamike: 1. Direktni problem: Zadato je kretanje (jednačine kretanja, putanja). Potrebno je odrediti sile pod čijim se djelovanjem odvija dato kretanje. 2. Inverzni zadatak: Date su sile pod čijim uticajem nastaje kretanje. Potrebno je pronaći parametre kretanja (jednačine kretanja, putanju kretanja). Oba problema se rješavaju korištenjem osnovne jednadžbe dinamike i njene projekcije na koordinatne ose. Ako se razmatra kretanje neslobodne tačke, tada se, kao i u statici, koristi princip oslobađanja od veza. Kao rezultat toga, reakcije veza su uključene u sile koje djeluju na materijalnu tačku. Rješenje prvog problema odnosi se na operacije diferencijacije. Rješavanje inverznog problema zahtijeva integraciju odgovarajućih diferencijalnih jednačina, a to je mnogo teže od diferencijacije. Inverzni problem je teži od direktnog. Pogledajmo rješenje direktnog problema dinamike na primjerima: Primjer 1. Kabina lifta težine G podiže se sajlom sa ubrzanjem a. Odredite napetost kabla. 1. Odaberite objekat (kabina lifta se kreće translatorno i može se smatrati materijalnom tačkom). 2. Odbacimo vezu (kabel) i zamenimo je reakcijom R. 3. Sastavimo osnovnu jednačinu dinamike: Odredimo reakciju kabla: Odredimo napetost sajle: Pri ravnomernom kretanju kabine, ay = 0 i napetost sajle je jednaka težini: T = G. Ako se sajla pokida, T = 0 i ubrzanje kabine je jednako ubrzanju gravitacije: ay = -g. 3 4. Projektiramo osnovnu jednačinu dinamike na y-osu: y Primjer 2. Tačka mase m kreće se duž horizontalne površine (Oxy ravan) prema jednadžbi: x = a coskt, y = b coskt. Odrediti silu koja djeluje na tačku. 1. Odaberite objekt (materijalnu tačku). 2. Odbacujemo vezu (ravan) i zamjenjujemo je reakcijom N. 3. Sistemu sila dodajemo nepoznatu silu F. 4. Sastavljamo osnovnu jednačinu dinamike: 5. Osnovnu jednačinu dinamike projektujemo na x,y ose: Određujemo projekcije sile: Modul sile: Kosinus smjera: Dakle, veličina sile je proporcionalna udaljenosti tačke do centra koordinata i usmjerena je prema centru duž prave koja povezuje tačku sa centrom . Putanja tačke je elipsa sa centrom u početku: O r Predavanje 1 (nastavak – 1.3)

6 slajd

Predavanje 1 (nastavak 1.4) Primer 3: Teret težine G je okačen na sajlu dužine l i kreće se duž kružne staze u horizontalnoj ravni određenom brzinom. Ugao odstupanja kabla od vertikale je jednak. Odredite napetost užeta i brzinu opterećenja. 1. Odaberite objekt (tovar). 2. Odbacujemo vezu (kabel) i zamjenjujemo je reakcijom R. 3. Sastavljamo osnovnu jednačinu dinamike: Iz treće jednačine određujemo reakciju kabla: Određujemo napetost kabla: Zamjenjujemo vrijednost reakcije sajle, normalno ubrzanje u drugoj jednačini i odrediti brzinu tereta: 4. Projektujemo dinamiku glavne jednačine na os,n,b: Primjer 4: Automobil težine G kreće se po konveksnoj most (radijus zakrivljenosti jednak R) brzinom V. Odrediti pritisak automobila na most. 1. Odaberite objekat (automobil, zanemarite dimenzije i posmatrajte ga kao tačku). 2. Odbacimo vezu (hrapava površina) i zamijenimo je reakcijom N i silom trenja Ftr. 3. Sastavljamo osnovnu jednačinu dinamike: 4. Osnovnu jednačinu dinamike projektujemo na n osu: Odavde određujemo normalnu reakciju: Određujemo pritisak automobila na most: Odavde možemo odrediti brzinu odgovara nultom pritisku na mostu (Q = 0): 4

7 slajd

Predavanje 2 Nakon zamjene pronađenih vrijednosti konstanti, dobijamo: Dakle, pod uticajem istog sistema sila, materijalna tačka može izvršiti čitavu klasu kretanja određenih početnim uslovima. Početne koordinate uzimaju u obzir početni položaj tačke. Početna brzina specificirana projekcijama uzima u obzir utjecaj sila koje djeluju na tačku prije nego što stignu u ovu dionicu na njeno kretanje duž razmatranog dijela putanje, tj. početno kinematičko stanje. Rješenje inverznog problema dinamike - U opštem slučaju kretanja tačke, sile koje djeluju na tačku su promjenljive u zavisnosti od vremena, koordinata i brzine. Kretanje tačke opisuje se sistemom od tri diferencijalne jednadžbe drugog reda: Nakon integracije svake od njih postojaće šest konstanti C1, C2,…., C6: Vrijednosti konstanti C1, C2,…. , C6 se nalaze iz šest početnih uslova pri t = 0: Primjer 1 rješenje inverznog problema: Slobodna materijalna tačka mase m kreće se pod djelovanjem sile F, konstantne po modulu i veličini. . U početnom trenutku, brzina tačke je bila v0 i poklapala se u pravcu sa silom. Odrediti jednačinu kretanja tačke. 1. Sastavljamo osnovnu jednadžbu dinamike: 3. Spuštamo red derivacije: 2. Biramo kartezijanski referentni okvir, usmjeravajući os x duž smjera sile i projektiramo osnovnu jednadžbu dinamike na ovu osu : ili x y z 4. Odvajamo varijable: 5. Izračunavamo integrale obje strane jednačine : 6. Zamislimo projekciju brzine kao derivaciju koordinate u odnosu na vrijeme: 8. Izračunavamo integrale obje strane strane jednadžbe: 7. Odvajamo varijable: 9. Za određivanje vrijednosti konstanti C1 i C2 koristimo početne uslove t = 0, vx = v0, x = x0: Kao rezultat, dobijamo jednadžba jednoliko naizmjeničnog kretanja (duž x ose): 5

8 slajd

Opće upute za rješavanje direktnih i inverznih zadataka. Postupak rješavanja: 1. Sastavljanje diferencijalne jednadžbe kretanja: 1.1. Odaberite koordinatni sistem - pravougaoni (fiksni) za nepoznatu putanju, prirodni (pokretni) za poznatu putanju, na primjer, krug ili prava linija. U potonjem slučaju možete koristiti jednu pravocrtnu koordinatu. Referentna tačka treba da bude poravnata sa početnim položajem tačke (na t = 0) ili sa ravnotežnim položajem tačke, ako postoji, na primer, kada tačka osciluje. 6 1.2. Nacrtajte tačku na poziciji koja odgovara proizvoljnom trenutku u vremenu (u t > 0) tako da koordinate budu pozitivne (s > 0, x > 0). Istovremeno, vjerujemo i da je projekcija brzine u ovoj poziciji također pozitivna. U slučaju oscilacija, projekcija brzine mijenja predznak, na primjer, kada se vraća u ravnotežni položaj. Ovdje treba pretpostaviti da se u posmatranom trenutku tačka udaljava od ravnotežnog položaja. Poštivanje ove preporuke važno je u budućnosti pri radu sa silama otpora koje zavise od brzine. 1.3. Oslobodite materijalnu tačku od veza, zamenite njihova dejstva reakcijama, dodajte aktivne sile. 1.4. Zapišite osnovni zakon dinamike u vektorskom obliku, projektirajte ga na odabrane ose, izrazite navedene ili reaktivne sile kroz varijable vrijeme, koordinate ili brzine, ako zavise od njih. 2. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi: 2.1. Smanjite derivaciju ako se jednadžba ne svodi na kanonski (standardni) oblik. na primjer: ili 2.2. Odvojene varijable, na primjer: ili 2.4. Ne računaj određeni integrali na lijevoj i desnoj strani jednačine, na primjer: 2.3. Ako postoje tri varijable u jednadžbi, onda napravite promjenu varijabli, na primjer: i zatim podijelite varijable. Komentar. Umjesto kalkulacije neodređeni integrali moguće je procijeniti određene integrale s promjenjivom gornjom granicom. Donje granice predstavljaju početne vrijednosti varijabli (početne uslove). Tada nema potrebe da se posebno pronalazi konstanta, koja se automatski uključuje u rješenje, na primjer: Koristeći početne uslove, na primjer, t = 0 , vx = vx0, odrediti integracijsku konstantu: 2.5. Izrazite brzinu kroz derivaciju koordinate u odnosu na vrijeme, na primjer, i ponovite paragrafe 2.2 -2.4 Napomena. Ako se jednadžba svede na kanonski oblik sa standardnim rješenjem, onda ovo gotovo rešenje i koristi se. Konstante integracije i dalje se nalaze iz početnih uslova. Vidi, na primjer, oscilacije (predavanje 4, str. 8). Predavanje 2 (nastavak 2.2)

Slajd 9

Predavanje 2 (nastavak 2.3) Primjer 2 rješavanja inverznog problema: Sila zavisi od vremena. Teret težine P počinje da se kreće duž glatke horizontalne površine pod uticajem sile F, čija je veličina proporcionalna vremenu (F = kt). Odrediti put koji je prešao teret u vremenu t. 3. Sastavljamo osnovnu jednačinu dinamike: 5. Spuštamo red derivacije: 4. Osnovnu jednačinu dinamike projektujemo na x-osu: ili 7 6. Odvajamo varijable: 7. Računamo integrale obje strane jednačine: 9. Zamišljamo projekciju brzine kao derivaciju koordinate u odnosu na vrijeme: 10. Računamo integrale s obje strane jednačine: 9. Odvajamo varijable: 8. Određujemo vrijednost konstante C1 iz početnog uslova t = 0, vx = v0=0: Kao rezultat dobijamo jednačinu kretanja (duž x osi), koja daje vrijednost pređenog puta za vrijeme t: 1 Odabiremo referentni sistem (Kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Predmet kretanja uzimamo kao materijalnu tačku (tijelo se kreće translacijsko), oslobađamo ga od veze (referentna ravan) i zamjenjujemo to sa reakcijom (normalna reakcija glatke površine) : 11. Odrediti vrijednost konstante C2 iz početnog uslova t = 0, x = x0=0: Primjer 3 rješavanja inverznog problema: Sila zavisi od koordinata. Materijalna tačka mase m izbačena je naviše sa površine Zemlje brzinom v0. Sila gravitacije Zemlje obrnuto je proporcionalna kvadratu udaljenosti od tačke do centra gravitacije (centra Zemlje). Odrediti zavisnost brzine od udaljenosti y do centra Zemlje. 1. Biramo referentni sistem (Kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Sastavljamo osnovnu jednačinu dinamike: 3. Projektiramo osnovnu jednačinu dinamike na y-osu: ili Koeficijent proporcionalnosti može se naći pomoću težine tačke na Zemljinoj površini: R Otuda diferencijal jednačina ima oblik: ili 4. Smanjujemo red derivacije: 5. Izvodimo promjenu varijable: 6. Odvajamo varijable : 7. Izračunavamo integrale obje strane jednačine: 8. Zamjenjujemo granice: Kao rezultat, dobijamo izraz za brzinu kao funkciju y koordinate: Maksimalna visina leta se može naći izjednačavanjem brzine na nulu: Maksimalna visina leta kada imenilac ide na nulu: Odavde, pri postavljanju radijusa Zemlje i ubrzanja gravitacije, dobija se brzina bijega II:

10 slajd

Predavanje 2 (nastavak 2.4) Primjer 2 rješavanja inverznog problema: Sila ovisi o brzini. Posuda mase m imala je brzinu v0. Otpor vode kretanju plovila proporcionalan je brzini. Odrediti vrijeme za koje će se brzina broda prepoloviti nakon gašenja motora, kao i udaljenost koju je brod prešao do potpunog zaustavljanja. 8 1. Biramo referentni sistem (Kartezijanske koordinate) tako da tijelo ima pozitivnu koordinatu: 2. Predmet kretanja uzimamo kao materijalnu tačku (brod se kreće translacijsko), oslobađamo ga od veza (vode) i zamjenjujemo sa reakcijom (sila uzgona - Arhimedova sila), kao i sila otpora kretanju. 3. Dodajte aktivnu silu (gravitaciju). 4. Sastavljamo osnovnu jednačinu dinamike: 5. Projektiramo osnovnu jednačinu dinamike na x-osu: ili 6. Spuštamo red derivacije: 7. Odvajamo varijable: 8. Računamo integrale od obje strane jednadžbe: 9. Zamjenjujemo granice: Dobija se izraz koji povezuje brzinu i vrijeme t, iz kojeg možete odrediti vrijeme kretanja: Vrijeme kretanja tokom kojeg će brzina pasti za polovicu: Zanimljivo je imajte na umu da kako se brzina približava nuli, vrijeme kretanja teži beskonačnosti, tj. konačna brzina ne može biti nula. Zašto ne "perpetual motion"? Međutim, pređena udaljenost do stajališta je konačna vrijednost. Da bismo odredili pređeni put, okrećemo se izrazu dobijenom nakon snižavanja reda derivacije i vršimo promjenu varijable: Nakon integracije i zamjene granica, dobijamo: Prijeđenu udaljenost do zaustavljanja: ■ Kretanje tačke bačene na ugao prema horizontu u jednoličnom polju gravitacije bez uzimanja u obzir otpora zraka Eliminirajući vrijeme iz jednačina kretanja, dobijamo jednačinu putanje: Vrijeme leta se određuje izjednačavanjem y koordinate sa nulom: Domet leta se određuje zamjenom vrijeme leta:

11 slajd

Predavanje 3 Pravolinijske oscilacije materijalne tačke - Oscilatorno kretanje materijalne tačke nastaje pod uslovom: postoji sila vraćanja koja teži da vrati tačku u ravnotežni položaj za svako odstupanje od ovog položaja. 9 Postoji sila koja vraća, ravnotežni položaj je stabilan Nema sile vraćanja, ravnotežni položaj je nestabilan Nema sile vraćanja, položaj ravnoteže je indiferentan Postoji sila vraćanja, položaj ravnoteže je stabilan Analiza je neophodna. sila opruge je primjer linearne sile vraćanja. Uvijek usmjerena ka ravnotežnom položaju, vrijednost je direktno proporcionalna linearnom izduženju (skraćenju) opruge, jednaka odstupanju tijela od ravnotežnog položaja: c je koeficijent krutosti opruge, numerički jednak sili pod utjecajem od kojih opruga mijenja svoju dužinu za jedan, mjereno u N/m u sistemu SI. x y O Vrste vibracija materijalne tačke: 1. Slobodne vibracije (bez uzimanja u obzir otpora medija). 2. Slobodne oscilacije uzimajući u obzir otpor sredine (prigušene oscilacije). 3. Prisilne vibracije. 4. Prisilne vibracije uzimajući u obzir otpor medija. ■ Slobodne vibracije – nastaju samo pod uticajem povratne sile. Zapišimo osnovni zakon dinamike: Odaberemo koordinatni sistem sa centrom u ravnotežnom položaju (tačka O) i projiciramo jednačinu na x-osu: Dovedemo rezultirajuću jednačinu u standardni (kanonski) oblik: Ova jednačina je homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda, čiji je tip rješenja određen korijenima karakteristične jednadžbe, dobivene univerzalnom zamjenom: Korijeni karakteristične jednadžbe su imaginarni i jednaki su: Zajednička odluka Diferencijalna jednačina ima oblik: Brzina tačke: Početni uslovi: Definišite konstante: Dakle, jednačina slobodnih oscilacija ima oblik: Jednačina se može predstaviti jednočlanim izrazom: gde je a amplituda, početna faza. Nove konstante a i - su povezane sa konstantnim odnosima C1 i C2: Definirajmo a i: Uzrok slobodnih oscilacija je početni pomak x0 i/ili startna brzina v0.

12 slajd

10 Predavanje 3 (nastavak 3.2) Prigušene oscilacije materijalne tačke – Oscilatorno kretanje materijalne tačke nastaje u prisustvu povratne sile i sile otpora kretanju. Ovisnost sile otpora kretanju o pomaku ili brzini određena je fizičkom prirodom medija ili veze koja ometa kretanje. Najjednostavnija ovisnost je linearna ovisnost o brzini (viskozni otpor): - koeficijent viskoznosti x y O Osnovna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na osu: Dovedemo jednačinu u standardni oblik: gdje Karakteristična jednačina ima korijen : Opće rješenje ove diferencijalne jednadžbe ima drugačiji oblik ovisno o vrijednostima korijena: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота prigušene oscilacije: Period: T* Dekrement oscilacije: ai ai+1 Logaritamski dekrement oscilacije: Prigušenje oscilacija se dešava vrlo brzo. Glavni efekat sile viskoznog otpora je smanjenje amplitude oscilacija tokom vremena. 2. n > k – slučaj velikog viskoznog otpora: - korijeni su pravi, različiti. ili - ove funkcije su aperiodične: 3. n = k: - korijeni su realni, višestruki. ove funkcije su također aperiodične:

Slajd 13

Predavanje 3 (nastavak 3.3) Klasifikacija rješenja slobodnih vibracija. Metode spajanja opruga. Ekvivalentna tvrdoća. y y 11 Dif. Jednačina karaktera. jednadžba Korijeni karaktera. jednadžbe Rješenje diferencijalne jednadžbe Grafikon nk n=k

Slajd 14

Predavanje 4 Prinudne oscilacije materijalne tačke - Uz povratnu silu djeluje i sila koja se periodično mijenja, koja se naziva sila uznemiravanja. Snaga ometanja može biti različite prirode. Na primjer, u konkretnom slučaju, inercijalno djelovanje neuravnotežene mase m1 rotacionog rotora uzrokuje harmonično promjenjive projekcije sile: Osnovna jednadžba dinamike: Projekcija jednadžbe dinamike na osu: Svedujmo jednačinu na standardni oblik : 12 Rješenje ove nehomogene diferencijalne jednadžbe sastoji se od dva dijela x = x1 + x2: x1 je opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, a x2 je posebno rješenje nehomogene jednadžbe: Odabiremo određeno rješenje u obliku desna strana: Rezultirajuća jednakost mora biti zadovoljena za bilo koji t. Tada: ili Tako, uz istovremeno djelovanje obnavljajućih i remetilačkih sila, materijalna tačka vrši složeno oscilatorno kretanje, koje je rezultat sabiranja (superpozicije) slobodnih (x1) i prisilnih (x2) oscilacija. Ako je str< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (prisilne oscilacije visoke frekvencije), tada je faza oscilacija suprotna fazi ometajuće sile:

15 slajd

Predavanje 4 (nastavak 4.2) 13 Dinamički koeficijent - odnos amplitude prisilnih oscilacija i statičkog otklona tačke pod uticajem konstantne sile H = const: Amplituda prinudnih oscilacija: Statičko odstupanje se može naći iz jednačine ravnoteže : Ovdje: Odavde: Dakle, na str< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (visoka frekvencija prinudnih oscilacija) dinamički koeficijent: Rezonancija - nastaje kada se frekvencija prinudnih oscilacija poklapa sa frekvencijom sopstvenih oscilacija (p = k). To se najčešće događa prilikom pokretanja i zaustavljanja rotacije loše izbalansiranih rotora postavljenih na elastične ovjese. Diferencijalna jednadžba oscilacija jednakih frekvencija: Ne može se uzeti određeno rješenje u obliku desne strane, jer dobijate linearno zavisno rešenje (pogledajte opšte rešenje). Opšte rješenje: Zamjena u diferencijalnu jednačinu: Uzmite određeno rješenje u obliku i izračunajte izvode: Tako se dobija rješenje: ili Prisilne oscilacije tokom rezonancije imaju amplitudu koja se neograničeno povećava proporcionalno vremenu. Utjecaj otpora kretanju pri prisilnim vibracijama. Diferencijalna jednačina u prisustvu viskoznog otpora ima oblik: Opće rješenje se bira iz tabele (predavanje 3, strana 11) u zavisnosti od odnosa n i k (vidi). Uzmimo parcijalno rješenje u obliku i izračunajmo izvode: Zamjena u diferencijalnu jednačinu: Izjednačavanje koeficijenata za isti trigonometrijske funkcije dobijamo sistem jednadžbi: Podizanjem obe jednadžbe na stepen i njihovim sabiranjem dobijamo amplitudu prinudnih oscilacija: Deljenjem druge jednačine sa prvom dobijamo fazni pomak prinudnih oscilacija: Dakle, jednačina kretanja za prinudne oscilacije oscilacije uzimajući u obzir otpor kretanju, na primjer na n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 slajd

Predavanje 5 Relativno kretanje materijalne tačke – Pretpostavimo da se pokretni (neinercijalni) koordinatni sistem Oxyz kreće po određenom zakonu u odnosu na fiksni (inercijalni) koordinatni sistem O1x1y1z1. Kretanje materijalne tačke M (x, y, z) u odnosu na pokretni sistem Oxyz je relativno, u odnosu na fiksni sistem O1x1y1z1 je apsolutno. Kretanje mobilnog sistema Oxyz u odnosu na fiksni sistem O1x1y1z1 je prijenosno kretanje. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Osnovna jednadžba dinamike: Apsolutno ubrzanje tačke: Zamjena apsolutno ubrzanje tačke u osnovnu jednadžbu dinamike: Prenesimo članove sa prijenosom i Coriolisovim ubrzanjem na desnu stranu: Preneseni članovi imaju dimenziju sila i smatraju se odgovarajućim inercijskim silama, jednakim: Tada je relativno kretanje tačka se može smatrati apsolutnom, ako se delujućim silama dodaju sile prenosa i Coriolisove inercije : U projekcijama na ose pokretnog koordinatnog sistema imamo: Posebni slučajevi relativnog kretanja tačke za različite vrste prenosivog kretanja: 1 Rotacija oko fiksne ose: Ako je rotacija ravnomerna, onda je εe = 0: 2. Translacioni krivolinijsko kretanje: Ako je kretanje pravolinijsko, onda = : Ako je kretanje pravolinijsko i ravnomjerno, tada je pokretni sistem inercijalan i relativno kretanje se može smatrati apsolutnim: Nijedna mehanička pojava ne može otkriti pravolinijsko ravnomerno kretanje(princip relativnosti klasična mehanika). Uticaj Zemljine rotacije na ravnotežu tijela - Pretpostavimo da je tijelo u ravnoteži na površini Zemlje na proizvoljnoj geografskoj širini φ (paralelno). Zemlja rotira oko svoje ose od zapada ka istoku ugaonom brzinom: poluprečnik Zemlje je oko 6370 km. S R – puna reakcija neglatka površina. G je sila privlačenja Zemlje prema centru. F – centrifugalna sila inercije. Uslov relativne ravnoteže: Rezultanta sila privlačenja i inercije je sila gravitacije (težina): Veličina sile gravitacije (težine) na površini Zemlje je P = mg. Centrifugalna sila inercije je mali delić sile gravitacije: Odstupanje sile gravitacije od pravca sile privlačenja je takođe malo: Dakle, uticaj rotacije Zemlje na ravnotežu tela je izuzetno mali i ne uzima se u obzir u praktičnim proračunima. Maksimalna vrijednost sile inercije (pri φ = 0 - na ekvatoru) je samo 0,00343 sile gravitacije

Slajd 17

Predavanje 5 (nastavak 5.2) 15 Utjecaj Zemljine rotacije na kretanje tijela u Zemljinom gravitacijskom polju – Pretpostavimo da tijelo pada na Zemlju sa određene visine H iznad Zemljine površine na geografskoj širini φ. Odaberimo pokretni referentni sistem koji je kruto povezan sa Zemljom, usmjeravajući ose x, y tangencijalno na paralelu i na meridijan: Jednačina relativnog kretanja: Uzima se u obzir malenost centrifugalne sile inercije u odnosu na silu gravitacije račun ovdje. Dakle, sila gravitacije se poistovjećuje sa silom gravitacije. Osim toga, vjerujemo da je sila gravitacije usmjerena okomito na površinu Zemlje zbog male devijacije, kao što je gore razmotreno. Coriolisovo ubrzanje je jednako i usmjereno je paralelno s y-osi na zapadu. Coriolisova inercijska sila je usmjerena u suprotnom smjeru. Projicirajmo jednačinu relativnog kretanja na osu: Rešenje prve jednačine daje: Početni uslovi: Rešenje treće jednačine daje: Početni uslovi: Treća jednačina ima oblik: Početni uslovi: Njeno rešenje daje: Rezultirajuće rešenje pokazuje da tijelo pri padu skreće na istok. Izračunajmo veličinu ovog odstupanja, na primjer, pri padu sa visine od 100 m. Vrijeme pada naći ćemo iz rješenja druge jednačine: Dakle, uticaj Zemljine rotacije na kretanje tijela je izuzetno mali za praktične visine i brzine i ne uzima se u obzir u tehničkim proračunima. Iz rješenja druge jednadžbe također slijedi postojanje brzine duž y ose, koja bi također trebala uzrokovati i uzrokuje odgovarajuće ubrzanje i Coriolisovu inercijsku silu. Utjecaj ove brzine i inercijalne sile povezane s njom na promjenu kretanja bit će čak i manji od razmatrane Coriolisove inercijalne sile povezane s vertikalnom brzinom.

18 slajd

Predavanje 6 Dinamika mehaničkog sistema. Sistem materijalnih tačaka ili mehanički sistem - Skup materijalnih ili materijalnih tačaka, ujedinjenih opštim zakonima interakcije (položaj ili kretanje svake tačke ili tela zavisi od položaja i kretanja svih ostalih) Sistem slobodnog tačke - čije kretanje nije ograničeno nikakvim vezama (na primjer, planetarni sistem, u kojem se planete smatraju materijalnim tačkama). Sistem neslobodnih tačaka ili neslobodni mehanički sistem - kretanje materijalnih tačaka ili tela ograničeno je vezama nametnutim sistemu (na primer, mehanizam, mašina, itd.). 16 Sile koje djeluju na sistem. Pored ranije postojeće klasifikacije sila (aktivne i reaktivne sile), uvodi se i nova klasifikacija sila: 1. Vanjske sile (e) - djeluju na tačke i tijela sistema iz tačaka ili tijela koja nisu dio ovog sistem. 2. Unutrašnje sile (i) – sile interakcije između materijalnih tačaka ili tela uključenih u dati sistem. Ista sila može biti i vanjska i unutrašnja sila. Sve zavisi od toga kakav je mehanički sistem u pitanju. Na primjer: U sistemu Sunca, Zemlje i Mjeseca, sve gravitacijske sile između njih su unutrašnje. Kada se razmatra sistem Zemlje i Mjeseca, gravitacijske sile koje se primjenjuju sa Sunca su vanjske: C Z L Na osnovu zakona djelovanja i reakcije, svakoj unutrašnjoj sili Fk odgovara druga unutrašnja sila Fk’, jednaka po veličini i suprotnog smjera. Iz ovoga proizilaze dva izuzetna svojstva unutrašnjih sila: Glavni vektor svih unutrašnjih sila sistema jednak je nuli: Glavni moment svih unutrašnjih sila sistema u odnosu na bilo koji centar jednak je nuli: Ili u projekcijama na koordinatu osi: Napomena. Iako su ove jednačine slične jednadžbama ravnoteže, one nisu jednačine ravnoteže, budući da se unutrašnje sile primjenjuju na različite tačke ili tijela sistema i mogu uzrokovati da se ove tačke (tijela) pomjeraju jedna u odnosu na drugu. Iz ovih jednačina proizilazi da unutrašnje sile ne utiču na kretanje sistema posmatranog kao celine. Centar mase sistema materijalnih tačaka. Da bi se opisali kretanje sistema kao celine, uvodi se geometrijska tačka, nazvana centar mase, čiji je vektor radijusa određen izrazom, gde je M masa čitavog sistema: Ili u projekcijama na koordinatu ose: Formule za centar mase su slične formulama za centar gravitacije. Međutim, koncept centra mase je opštiji jer nije povezan sa gravitacionim silama ili gravitacionim silama.

Slajd 19

Predavanje 6 (nastavak 6.2) 17 Teorema o kretanju centra mase sistema – Razmotrimo sistem od n materijalnih tačaka. Sile primijenjene na svaku tačku dijelimo na vanjske i unutrašnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo osnovnu jednačinu dinamike za svaku tačku: ili Zbrojimo ove jednačine po svim tačkama: Na lijevoj strani jednačine unesite mase pod znakom derivacije i zamijenite zbir izvoda derivacijom zbir: Iz definicije centra mase: Zamijenite u rezultirajuću jednačinu: Nakon što masu sistema izvadite iz predznaka derivacije dobijamo ili: Proizvod mase sistema i ubrzanja njegove središnje mase jednak je glavnom vektoru vanjskih sila. U projekcijama na koordinatne ose: Centar mase sistema se kreće kao materijalna tačka sa masom jednakom masi celog sistema, na koju se primenjuju sve spoljne sile koje deluju na sistem. Posljedice iz teoreme o kretanju centra mase sistema (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sistema nula, Re = 0, tada je brzina centra mase je konstantna, vC = const (centar mase se kreće ravnomjerno pravolinijski - zakon održanja centra mase kretanja). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sistema na osu x nula, Rxe = 0, tada je brzina centra mase duž x ose konstantna, vCx = const ( centar mase se kreće jednoliko duž ose). Slične tvrdnje su istinite za y i z ose. Primjer: Dvije osobe mase m1 i m2 nalaze se u čamcu mase m3. U početnom trenutku čamac sa ljudima mirovao je. Odredite pomak čamca ako se osoba mase m2 pomakne do pramca čamca na udaljenosti a. 3. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor spoljnih sila sistema nula, Re = 0, a u početnom trenutku brzina centra mase je nula, vC = 0, tada je vektor radijusa centra mase ostaje konstantna, rC = const (centar mase miruje – zakon održanja položaja centra mase). 4. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora spoljnih sila sistema na osu x nula, Rxe = 0, a u početnom trenutku brzina centra mase duž ove ose je nula, vCx = 0, tada koordinata centra mase duž x ose ostaje konstantna, xC = const (centar mase se ne kreće duž ove ose). Slične tvrdnje su istinite za y i z ose. 1. Predmet gibanja (čamac s ljudima): 2. Odbacite veze (voda): 3. Zamijenite vezu reakcijom: 4. Dodajte aktivne sile: 5. Napišite teoremu o centru mase: Projektujte na x-osu: O Odredite koliko daleko se trebate pomaknuti do osobe mase m1, tako da čamac ostane na mjestu: Čamac će se pomaknuti za udaljenost l u suprotnom smjeru.

20 slajd

Predavanje 7 Impuls sile je mjera mehaničke interakcije koja karakterizira prijenos mehaničkog kretanja od sila koje djeluju na tačku u datom vremenskom periodu: 18 U projekcijama na koordinatne ose: U slučaju konstantne sile: U projekcijama na koordinatne ose: Rezultantni impuls je jednak geometrijskom zbroju primenjenih impulsa na tačku sila u istom vremenskom periodu: Pomnožite sa dt: Integrišite u datom vremenskom periodu: Moment tačke je mera mehaničko kretanje, određeno vektorom jednakim proizvodu mase tačke i vektora njene brzine: Teorema o promjeni količine gibanja sistema - Razmotrimo sistem n materijalnih tačaka. Sile primijenjene na svaku tačku dijelimo na vanjske i unutrašnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo za svaku tačku osnovnu jednačinu dinamike: ili Zamah sistema materijalnih tačaka je geometrijski zbir količina kretanja materijalnih tačaka: Po definiciji centra mase: Vektor zamaha sistema je jednak proizvodu mase čitavog sistema vektorom brzine centra mase sistema. Zatim: U projekcijama na koordinatne ose: Vremenski izvod vektora zamaha sistema jednak je glavnom vektoru spoljašnjih sila sistema. Sumirajmo ove jednačine na svim tačkama: Na lijevoj strani jednačine unesite mase pod znakom izvoda i zamijenite zbir izvoda derivatom zbira: Iz definicije impulsa sistema: U projekcijama na koordinatne ose:

21 slajd

Ojlerova teorema - Primjena teoreme o promjeni impulsa sistema na kretanje kontinuiranog medija (vode). 1. Za objekt kretanja biramo zapreminu vode koja se nalazi u krivolinijskom kanalu turbine: 2. Odbacujemo veze i njihovo djelovanje zamjenjujemo reakcijama (Rsur je rezultanta površinskih sila) 3. Dodajemo aktivne sile ( Rob je rezultanta volumetrijskih sila): 4. Pišemo teoremu o promjeni količine gibanja sistema: Zamah vode u vremenima t0 i t1 predstavljamo kao zbir: Promjena količine gibanja vode u vremenskom intervalu: Promjena u impulsu vode u beskonačno malom vremenskom intervalu dt: , gdje je F1 F2 Uzimajući proizvod gustine, površine poprečnog presjeka i brzine za drugu masu dobijamo: Zamjenom diferencijala impulsa sistema u teoremu promjene, dobijamo: Posljedice iz teoreme o promjeni impulsa sistema (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu glavni vektor vanjskih sila sistema nula, Re = 0, tada je vektorsko kretanje vektora veličine konstantno, Q = const – zakon održanja impulsa sistema). 2. Ako je u vremenskom intervalu projekcija glavnog vektora vanjskih sila sistema na x-osu nula, Rxe = 0, tada je projekcija impulsa sistema na x-osu konstantna, Qx = const . Slične tvrdnje su istinite za y i z ose. Predavanje 7 (nastavak od 7.2) Primjer: Granata mase M, koja je letjela brzinom v, eksplodirala je na dva dijela. Brzina jednog od fragmenata mase m1 porasla je u smjeru kretanja na vrijednost v1. Odredite brzinu drugog fragmenta. 1. Predmet kretanja (granata): 2. Predmet je slobodan sistem, nema veza i njihovih reakcija. 3. Dodajte aktivne sile: 4. Napišite teoremu o promjeni impulsa: Projektujte na osu: β Odvojite varijable i integrirajte: Desni integral je praktično jednak nuli, jer vrijeme eksplozije t

22 slajd

Predavanje 7 (nastavak 7.3) 20 Ugaoni moment tačke ili ugaoni moment tačke u odnosu na neki centar je mera mehaničkog kretanja određena vektorom jednakim vektorskom proizvodu radijus vektora materijalne tačke i vektora njegovog momenta: Ugaoni moment sistema materijalnih tačaka u odnosu na neki centar je geometrijski zbir ugaonog momenta svih materijalnih tačaka u odnosu na isti centar: U projekcijama na osu: U projekcijama na osu: Teorema o promeni ugaoni moment sistema – Razmotrimo sistem od n materijalnih tačaka. Sile primijenjene na svaku tačku dijelimo na vanjske i unutrašnje i zamjenjujemo ih odgovarajućim rezultantama Fke i Fki. Zapišimo osnovnu jednačinu dinamike za svaku tačku: ili Zbrojimo ove jednačine po svim tačkama: Zamenimo zbir izvoda derivatom zbira: Izraz u zagradi je ugaoni moment sistema. Dakle: Pomnožimo vektorski svaku od jednakosti sa radijus vektorom na lijevoj strani: Da vidimo da li je moguće pomjeriti znak derivacije izvan vektorskog proizvoda: Tako dobijamo: Derivat vektora ugaonog momenta sistema u odnosu na neki centar vremenski je jednak glavnom momentu vanjskih sila sistema u odnosu na isti centar. U projekcijama na koordinatne ose: Derivat momenta količine kretanja sistema u odnosu na određenu osu u vremenu jednak je glavnom momentu spoljnih sila sistema u odnosu na istu osu.

Slajd 23

Predavanje 8 21 ■ Posljedice iz teoreme o promjeni ugaonog momenta sistema (zakoni održanja): 1. Ako je u vremenskom intervalu vektor glavnog momenta vanjskih sila sistema u odnosu na neki centar jednak nuli, MOe = 0, zatim vektor ugaonog momenta sistema u odnosu na istu centralnu konstantu, KO = const – zakon održanja ugaonog momenta sistema). 2. Ako je u vremenskom intervalu glavni moment spoljnih sila sistema u odnosu na x osu jednak nuli, Mxe = 0, tada je ugaoni moment sistema u odnosu na x osu konstantan, Kx = const. Slične tvrdnje su istinite za y i z ose. 2. Moment inercije krutog tijela u odnosu na osu: Moment inercije materijalne tačke u odnosu na osu jednak je proizvodu mase tačke na kvadrat udaljenosti tačke do ose. Moment inercije krutog tijela u odnosu na osu jednak je zbroju proizvoda mase svake tačke i kvadrata udaljenosti ove tačke do ose. ■ Elementi teorije momenata inercije – U rotacionom kretanju krutog tijela, mjera inercije (otpor promjene kretanja) je moment inercije u odnosu na osu rotacije. Razmotrimo osnovne koncepte definicije i metode izračunavanja momenata inercije. 1. Moment inercije materijalne tačke u odnosu na osu: Prilikom prelaska sa diskretne male mase na beskonačno malu masu tačke, granica takve sume je određena integralom: aksijalni moment inercije krutog tela. Osim aksijalnog momenta inercije čvrstog tijela, postoje i druge vrste momenata inercije: centrifugalni moment inercije čvrstog tijela. polarni moment inercije krutog tijela. 3. Teorema o momentima inercije krutog tijela u odnosu na paralelne ose - formula za prelazak na paralelne ose: Moment inercije u odnosu na referentnu osu Statički momenti inercije u odnosu na referentne ose Masa tela Udaljenost između osa z1 i z2 Dakle: Ako osa z1 prolazi kroz centar mase, tada su statički momenti nula:

24 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.2) 22 Moment inercije homogenog štapa konstantnog poprečnog presjeka u odnosu na osu: x z L Odabrati elementarnu zapreminu dV = Adx na udaljenosti x: x dx Elementarna masa: Izračunati relativni moment inercije do centralne ose (koja prolazi kroz centar gravitacije), dovoljno je promeniti lokaciju ose i postaviti granice integracije (-L/2, L/2). Ovdje demonstriramo formulu za prelazak na paralelne ose: zC 5. Moment inercije homogenog čvrstog cilindra u odnosu na osu simetrije: H dr r Odaberimo elementarnu zapreminu dV = 2πrdrH (tanki cilindar poluprečnika r) : Elementarna masa: Ovdje se koristi formula za zapreminu cilindra V = πR2H. Za izračunavanje momenta inercije šupljeg (debelog) cilindra dovoljno je postaviti granice integracije od R1 do R2 (R2> R1): 6. Moment inercije tankog cilindra u odnosu na osu simetrije (t

25 slajd

Predavanje 8 (nastavak 8.3) 23 ■ Diferencijalna jednadžba za rotaciju krutog tijela oko ose: Napišimo teoremu o promjeni kinetičkog momenta krutog tijela koje rotira oko fiksne ose: kinetički moment rotirajućeg krutog tijela tijelo je jednako: Moment vanjskih sila u odnosu na os rotacije jednak je momentu (reakcija i sila gravitacijski momenti ne stvaraju): Zamjenjujemo kinetički moment i moment u teoremu Primjer: Dvije osobe iste težine G1 = G2 vise na užetu bačenom preko čvrstog bloka težine G3 = G1/4. U nekom trenutku, jedan od njih je počeo da se penje po užetu relativnom brzinom u. Odredite stopu rasta svake osobe. 1. Odaberite objekt kretanja (blok sa ljudima): 2. Odbacite veze (noseći uređaj bloka): 3. Zamijenite vezu reakcijama (ležište): 4. Dodajte aktivne sile (gravitacijske sile): 5. Napišite teorema o promjeni kinetičkog momenta sistema u odnosu na os rotacije bloka: R Kako je moment vanjskih sila jednak nuli, kinetički moment mora ostati konstantan: U početnom trenutku vremena t = 0 postojala je ravnoteža i Kz0 = 0. Nakon što je počelo kretanje jedne osobe u odnosu na uže, cijeli sistem se počeo kretati, ali sistem kinetičkih momenata mora ostati jednak nuli: Kz = 0. Kinetički moment sistema sastoji se od kinetičkih momenata ljudi i bloka: Ovdje je v2 brzina druge osobe, jednaka brzini sajle Primjer: Odrediti period malih slobodnih oscilacija homogenog štapa mase M i dužine l, obješenog jednim krajem do fiksna os rotacije. Ili: U slučaju malih oscilacija sinφ φ: Period oscilovanja: Moment inercije štapa:

26 slajd

Predavanje 8 (nastavak od 8.4 – dodatni materijal) 24 ■ Elementarna teorija žiroskopa: Žiroskop je kruto tijelo koje rotira oko ose materijalne simetrije, čija je jedna od tačaka nepomična. Slobodni žiroskop - fiksiran tako da mu centar mase ostaje nepomičan, a osa rotacije prolazi kroz centar mase i može zauzeti bilo koji položaj u prostoru, tj. osa rotacije menja svoj položaj kao i osa sopstvene rotacije tela tokom sfernog kretanja. Glavna pretpostavka aproksimativne (elementarne) teorije žiroskopa je da se vektor ugaonog momenta (kinetički moment) rotora smatra usmjerenim duž vlastite ose rotacije. Dakle, uprkos činjenici da u opštem slučaju rotor učestvuje samo u tri rotacije ugaona brzina vlastita rotacija ω = dφ/dt. Razlog tome je što se u savremenoj tehnologiji rotor žiroskopa rotira ugaonom brzinom reda 5000-8000 rad/s (oko 50000-80000 o/min), dok su druge dvije ugaone brzine povezane s vlastitom precesijom i nutacijom. osa rotacije desetine hiljada puta manja od ove brzine. Glavno svojstvo slobodnog žiroskopa je da os rotora održava konstantan smjer u prostoru u odnosu na inercijski (zvjezdani) referentni okvir (demonstrirano Fukoovim klatnom, koje održava ravninu ljuljanja nepromijenjenom u odnosu na zvijezde, 1852.) . Ovo proizilazi iz zakona održanja kinetičkog momenta u odnosu na centar mase rotora, pod uslovom da se zanemari trenje u ležajevima osi ovjesa rotora, vanjskih i unutrašnjih okvira: Djelovanje sile na osu slobodnog žiroskopa . U slučaju sile primijenjene na osu rotora, moment vanjskih sila u odnosu na centar mase nije jednak nuli: ω ω C Izvod kinetičkog momenta u odnosu na vrijeme jednak je brzini kraja ovog vektora (Resalov teorem): To znači da će osa rotora odstupiti u smjeru različitom od sile djelovanja, a prema vektoru momenta ove sile, tj. neće se rotirati oko x ose (unutrašnja suspenzija), već oko y ose (spoljna suspenzija). Kada sila prestane, os rotora će ostati u nepromijenjenom položaju koji odgovara posljednjem momentu sile, jer od ovog trenutka u vremenu moment vanjskih sila ponovo postaje jednak nuli. U slučaju kratkotrajne sile (udara), os žiroskopa praktički ne mijenja svoj položaj. Dakle, brza rotacija rotora daje žiroskopu mogućnost da se suprotstavi nasumičnim utjecajima koji teže promjeni položaja ose rotacije rotora, te uz konstantnu silu održava položaj ravnine okomite na djelotvornu silu u kojoj je rotor osovina leži. Ova svojstva se koriste u radu inercijski sistemi navigacija.

Teorijska mehanika je dio mehanike koji postavlja osnovne zakone mehaničkog kretanja i mehaničke interakcije materijalnih tijela.

Teorijska mehanika je nauka koja proučava kretanje tela tokom vremena (mehanička kretanja). Služi kao osnova za druge grane mehanike (teorija elastičnosti, čvrstoće materijala, teorija plastičnosti, teorija mehanizama i mašina, hidroaerodinamika) i mnoge tehničke discipline.

Mehanički pokret- ovo je promena tokom vremena u relativnom položaju materijalnih tela u prostoru.

Mehanička interakcija- ovo je interakcija uslijed koje se mijenja mehaničko kretanje ili se mijenja relativni položaj dijelova tijela.

Statika krutog tijela

Statika je dio teorijske mehanike koji se bavi problemima ravnoteže čvrstih tijela i transformacije jednog sistema sila u drugi, njemu ekvivalentan.

Osnovni pojmovi i zakoni statike
• Apsolutno kruto tijelo(čvrsto tijelo, tijelo) je materijalno tijelo, rastojanje između bilo koje tačke u kojem se ne mijenja.
• Materijalna tačka je tijelo čije se dimenzije, prema uslovima problema, mogu zanemariti.
• Slobodno tijelo- ovo je tijelo na čije kretanje nisu nametnuta ograničenja.
• Neslobodno (vezano) tijelo je tijelo čije je kretanje podložno ograničenjima.
• Veze– to su tijela koja sprečavaju kretanje predmetnog objekta (tijela ili sistema tijela).
• Komunikacijska reakcija je sila koja karakterizira djelovanje veze na čvrsto tijelo. Ako silu kojom čvrsto tijelo djeluje na vezu smatramo djelovanjem, onda je reakcija veze reakcija. U ovom slučaju, sila - djelovanje se primjenjuje na vezu, a reakcija veze primjenjuje se na čvrsto tijelo.
• Mehanički sistem je skup međusobno povezanih tijela ili materijalnih tačaka.
• Solid se može posmatrati kao mehanički sistem čiji se položaji i rastojanja između tačaka ne menjaju.
• Force je vektorska veličina koja karakterizira mehaničko djelovanje jednog materijalnog tijela na drugo.
  Silu kao vektor karakterizira tačka primjene, smjer djelovanja i apsolutna vrijednost. Jedinica modula sile je Njutn.
• Linija djelovanja sile je prava linija duž koje je usmjeren vektor sile.
• Fokusirana snaga– sila primijenjena u jednoj tački.
• Raspodijeljene sile (distribuirano opterećenje)- to su sile koje djeluju na sve tačke volumena, površine ili dužine tijela.
  Distribuirano opterećenje je određeno silom koja djeluje po jedinici volumena (površine, dužine).
  Dimenzija raspoređenog opterećenja je N/m 3 (N/m 2, N/m).
• Spoljna sila je sila koja djeluje iz tijela koje ne pripada mehaničkom sistemu koji se razmatra.
• Unutrašnja snaga je sila koja djeluje na materijalnu tačku mehaničkog sistema iz druge materijalne tačke koja pripada sistemu koji se razmatra.
• Sistem sile je skup sila koje djeluju na mehanički sistem.
• Ravni sistem sile je sistem sila čije linije djelovanja leže u istoj ravni.
• Prostorni sistem snaga je sistem sila čije linije djelovanja ne leže u istoj ravni.
• Sistem konvergirajućih sila je sistem sila čije se linije djelovanja seku u jednoj tački.
• Proizvoljni sistem sila je sistem sila čije se linije djelovanja ne seku u jednoj tački.
• Sistemi ekvivalentnih sila- to su sistemi sila čija zamjena jedne drugima ne mijenja mehaničko stanje tijela.
  Prihvaćena oznaka: .
• Equilibrium- ovo je stanje u kojem tijelo pod djelovanjem sila ostaje nepomično ili se kreće ravnomjerno pravolinijski.
• Uravnotežen sistem snaga- ovo je sistem sila koji, kada se primijeni na slobodno čvrsto tijelo, ne mijenja njegovo mehaničko stanje (ne izbacuje ga iz ravnoteže).
  .
• Rezultirajuća sila je sila čije je djelovanje na tijelo ekvivalentno djelovanju sistema sila.
  .
• Trenutak snage je veličina koja karakteriše rotirajuću sposobnost sile.
• Par sila je sistem dvije paralelne sile jednake veličine i suprotno usmjerene.
  Prihvaćena oznaka: .
  Pod uticajem para sila, telo će izvršiti rotacioni pokret.
• Projekcija sile na osu- ovo je segment zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu os.
  Projekcija je pozitivna ako se smjer segmenta poklapa s pozitivnim smjerom ose.
• Projekcija sile na ravan je vektor na ravni, zatvoren između okomica povučenih od početka i kraja vektora sile na ovu ravan.
• Zakon 1 (zakon inercije). Izolovana materijalna tačka miruje ili se kreće jednoliko i pravolinijski.
  Ujednačeno i pravolinijsko kretanje materijalne tačke je kretanje po inerciji. Stanje ravnoteže materijalne tačke i krutog tela ne shvata se samo kao stanje mirovanja, već i kao kretanje po inerciji. Za kruto tijelo postoje različite vrste kretanja po inerciji, na primjer, ravnomjerna rotacija krutog tijela oko fiksne ose.
• Zakon 2. Kruto tijelo je u ravnoteži pod djelovanjem dvije sile samo ako su te sile jednake po veličini i usmjerene u istom smjeru. suprotne strane By zajednička linija akcije.
  Ove dvije sile se nazivaju balansiranjem.
  Općenito, sile se nazivaju uravnoteženim ako čvrsto tijelo na koje se te sile primjenjuju miruje.
• Zakon 3. Bez narušavanja stanja (reč „stanje“ ovde označava stanje kretanja ili mirovanja) krutog tela, može se dodati i odbaciti balansne sile.
  Posljedica. Bez narušavanja stanja čvrstog tijela, sila se može prenijeti duž njegove linije djelovanja na bilo koju tačku tijela.
  Dva sistema sila nazivaju se ekvivalentnima ako se jedan od njih može zamijeniti drugim bez narušavanja stanja čvrstog tijela.
• Zakon 4. Rezultanta dvije sile primijenjene u jednoj tački, primijenjene u istoj tački, jednaka je po veličini dijagonali paralelograma konstruiranog na tim silama i usmjerena je duž ove
  dijagonale.
  Apsolutna vrijednost rezultante je:
  
• Zakon 5 (zakon jednakosti akcije i reakcije). Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su po veličini i usmjerene u suprotnim smjerovima duž iste prave linije.
  Treba to imati na umu akcija- sila primijenjena na tijelo B, And opozicija- sila primijenjena na tijelo A, nisu izbalansirani, jer se primjenjuju na različita tijela.
• Zakon 6 (zakon očvršćavanja). Ravnoteža nečvrstog tijela se ne narušava kada se očvrsne.
  Ne treba zaboraviti da su uslovi ravnoteže, koji su neophodni i dovoljni za čvrsto telo, neophodni, ali nedovoljni za odgovarajuće nečvrsto telo.
• Zakon 7 (zakon emancipacije od veza). Neslobodno čvrsto tijelo može se smatrati slobodnim ako je mentalno oslobođeno veza, zamjenjujući djelovanje veza odgovarajućim reakcijama veza.

Veze i njihove reakcije
• Glatka površina ograničava kretanje normalno na površinu potpore. Reakcija je usmjerena okomito na površinu.
• Zglobni pokretni oslonac ograničava kretanje tijela normalno na referentnu ravan. Reakcija je usmjerena normalno na površinu potpore.
• Zglobni fiksni oslonac suprotstavlja se svakom kretanju u ravni okomitoj na os rotacije.
• Zglobni bestežinski štap sprečava kretanje tijela duž linije štapa. Reakcija će biti usmjerena duž linije štapa.
• Slijepi pečat sprečava svako kretanje i rotaciju u ravnini. Njegovo djelovanje može se zamijeniti silom predstavljenom u obliku dvije komponente i parom sila s momentom.

Kinematika

Kinematika- dio teorijske mehanike koji se bavi općim geometrijska svojstva mehaničko kretanje kao proces koji se odvija u prostoru i vremenu. Pokretni objekti se smatraju geometrijskim tačkama ili geometrijskim tijelima.

Osnovni pojmovi kinematike
• Zakon o kretanju tačke (tela)– ovo je zavisnost položaja tačke (tijela) u prostoru od vremena.
• Putanja tačke– ovo je geometrijski položaj tačke u prostoru tokom njenog kretanja.
• Brzina tačke (tijela)– ovo je karakteristika promjene u vremenu položaja tačke (tijela) u prostoru.
• Ubrzanje tačke (tijela)– ovo je karakteristika promjene u vremenu brzine tačke (tijela).

Određivanje kinematičkih karakteristika tačke
• Putanja tačke
  U vektorskom referentnom sistemu, putanja se opisuje izrazom: .
  U koordinatnom referentnom sistemu, putanja je određena zakonom kretanja tačke i opisana je izrazima z = f(x,y)- u svemiru, ili y = f(x)- u avionu.
  U prirodnom referentnom sistemu, putanja je unaprijed specificirana.
• Određivanje brzine tačke u vektorskom koordinatnom sistemu
  Kada se specificira kretanje tačke u vektorskom koordinatnom sistemu, omjer kretanja i vremenskog intervala naziva se prosječna vrijednost brzine u ovom vremenskom intervalu: .
  Uzimajući da je vremenski interval beskonačno mali, dobijamo vrijednost brzine u ovog trenutka vrijeme (trenutna vrijednost brzine): .
  Vektor prosječne brzine usmjeren je duž vektora u smjeru kretanja tačke, vektor trenutnu brzinu usmjerena tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke.
  zaključak: brzina tačke je vektorska veličina jednaka vremenskom izvodu zakona kretanja.
  Svojstvo derivata: derivacija bilo koje veličine u odnosu na vrijeme određuje brzinu promjene ove veličine.
• Određivanje brzine tačke u koordinatnom referentnom sistemu
  Brzina promjene koordinata tačke:
  .
  Modul ukupne brzine tačke sa pravougaonim koordinatnim sistemom biće jednak:
  .
  Smjer vektora brzine određen je kosinusima uglova smjera:
  ,
  gdje su uglovi između vektora brzine i koordinatnih osa.
• Određivanje brzine tačke u prirodnom referentnom sistemu
  Brzina tačke u prirodnom referentnom sistemu definisana je kao derivacija zakona kretanja tačke: .
  Prema prethodnim zaključcima, vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja točke i u osi je određen samo jednom projekcijom.

Kinematika krutog tijela
• U kinematici krutih tijela rješavaju se dva glavna problema:
  1) postavljanje kretanja i određivanje kinematičkih karakteristika tela u celini;
  2) određivanje kinematičkih karakteristika tačaka tela.
• Translacijsko kretanje krutog tijela
  Translacijsko kretanje je kretanje u kojem prava linija povučena kroz dvije točke tijela ostaje paralelna svom prvobitnom položaju.
  Teorema: za vrijeme translacijskog kretanja, sve točke tijela kreću se po identičnim putanjama i u svakom trenutku imaju istu veličinu i smjer brzine i ubrzanja.
  zaključak: translacijsko gibanje krutog tijela određeno je kretanjem bilo koje njegove tačke, pa se stoga zadatak i proučavanje njegovog kretanja svodi na kinematiku tačke.
• Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose
  Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose je kretanje krutog tijela u kojem dvije tačke koje pripadaju tijelu ostaju nepomične za cijelo vrijeme kretanja.
  Položaj tijela je određen uglom rotacije. Mjerna jedinica za ugao je radijan. (Radijan je središnji ugao kruga čija je dužina luka jednaka poluprečniku; ukupni ugao kružnice sadrži 2π radijan.)
  Zakon rotaciono kretanje tijela oko fiksne ose.
  Ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje tijela određujemo metodom diferencijacije:
  — ugaona brzina, rad/s;
  — ugaono ubrzanje, rad/s².
  Ako secirate tijelo ravninom okomitom na os, odaberite tačku na osi rotacije WITH i proizvoljna tačka M, zatim pokažite Mće opisati oko tačke WITH radijus kruga R. Tokom dt postoji elementarna rotacija kroz ugao , i tačka M kretat će se duž putanje na udaljenosti .
  Modul linearne brzine:
  .
  Ubrzanje tačke M sa poznatom putanjom, određen je njegovim komponentama:
  ,
  Gdje .
  Kao rezultat, dobijamo formule
  tangencijalno ubrzanje: ;
  normalno ubrzanje: .

Dynamics

Dynamics je dio teorijske mehanike u kojem se proučavaju mehanička kretanja materijalnih tijela ovisno o uzrocima koji ih uzrokuju.

Osnovni pojmovi dinamike
• Inercija- ovo je svojstvo materijalnih tijela da održavaju stanje mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja sve dok vanjske sile ne promijene ovo stanje.
• Težina je kvantitativna mjera inercije tijela. Jedinica mase je kilogram (kg).
• Materijalna tačka- ovo je tijelo sa masom, čije se dimenzije zanemaruju pri rješavanju ovog problema.
• Centar mase mehaničkog sistema- geometrijska tačka čije su koordinate određene formulama:
  
  Gdje m k , x k , y k , z k— masa i koordinate k- ta tačka mehaničkog sistema, m— masa sistema.
  U jednoličnom polju gravitacije, položaj centra mase se poklapa sa položajem težišta.
• Moment inercije materijalnog tijela u odnosu na osu je kvantitativna mjera inercije tokom rotacionog kretanja.
  Moment inercije materijalne tačke u odnosu na osu jednak je umnošku mase tačke na kvadrat udaljenosti tačke od ose:
  .
  Moment inercije sistema (tijela) u odnosu na osu jednak je aritmetičkom zbiru momenata inercije svih tačaka:
  
• Sila inercije materijalne tačke je vektorska veličina jednaka po modulu proizvodu mase tačke i modula ubrzanja i usmjerena suprotno od vektora ubrzanja:
• Sila inercije materijalnog tijela je vektorska veličina jednaka po modulu proizvodu mase tijela i modula ubrzanja centra mase tijela i usmjerena suprotno vektoru ubrzanja centra mase: ,
  gdje je ubrzanje centra mase tijela.
• Elementarni impuls sile je vektorska veličina jednaka proizvodu vektora sile i beskonačno malog vremenskog perioda dt:
  .
  Ukupni impuls sile za Δt jednak je integralu elementarnih impulsa:
  .
• Elementarni rad sile je skalarna veličina dA, jednako skalarnom proi

Predavanja iz teorijske mehanike

Dinamika tačke

Predavanje 1

Osnovni pojmovi dinamike

U poglavlju Dynamics proučava se kretanje tela pod uticajem sila koje se na njih primenjuju. Stoga, pored onih koncepata koji su uvedeni u odjeljku kinematika, ovdje je potrebno koristiti nove koncepte koji odražavaju specifičnosti utjecaja sila na različita tijela i reakcije tijela na te utjecaje. Razmotrimo glavne od ovih koncepata.

a) snaga

Sila je kvantitativni rezultat uticaja drugih tela na dato telo. Sila je vektorska veličina (slika 1).

Tačka A početka vektora sile F pozvao tačka primene sile. Prava linija MN na kojoj se nalazi vektor sile naziva se linija dejstva sile. Dužina vektora sile, mjerena na određenoj skali, naziva se numerička vrijednost ili veličina vektora sile. Modul sile se označava kao ili. Djelovanje sile na tijelo očituje se ili u njegovoj deformaciji, ako je tijelo nepomično, ili u davanju ubrzanja kada se tijelo kreće. Dizajn različitih uređaja (merača sile ili dinamometara) za merenje sila zasniva se na ovim manifestacijama sile.

b) sistem snaga

Razmatrani skup sila se formira sistem snaga. Svaki sistem koji se sastoji od n sila može se napisati u sljedećem obliku:

c) slobodno tijelo

Tijelo koje se može kretati u prostoru u bilo kojem smjeru, a da ne doživi direktnu (mehaničku) interakciju s drugim tijelima naziva se besplatno ili izolovan. Utjecaj određenog sistema sila na tijelo može se razjasniti samo ako je ovo tijelo slobodno.

d) rezultantna sila

Ako bilo koja sila ima isti učinak na slobodno tijelo kao neki sistem sila, onda se ta sila naziva rezultanta datog sistema sila. Ovo je napisano na sljedeći način:

,

šta to znači ekvivalencija uticaj na isto slobodno telo rezultanta i neki sistem od n sila.

Hajdemo sada da razmotrimo složenije koncepte koji se odnose na kvantitativno određivanje rotacionih efekata sila.

e) moment sile u odnosu na tačku (centar)

Ako tijelo pod utjecajem sile može rotirati oko neke fiksne tačke O (slika 2), tada se za kvantificiranje ovog rotacijskog efekta uvodi fizička veličina koja se naziva moment sile u odnosu na tačku (centar).

Zove se ravan koja prolazi kroz datu fiksnu tačku i liniju djelovanja sile ravan dejstva sile. Na slici 2 ovo je ravan OAB.

Moment sile u odnosu na tačku (centar) je vektorska veličina jednaka vektorskom proizvodu radijus vektora tačke primjene sile vektorom sile:

( 1)

Prema pravilu vektorskog množenja dva vektora, njihov vektorski proizvod je vektor okomit na ravan lokacije faktora vektora (u ovom slučaju na ravan trokuta OAB), usmjeren u smjeru iz kojeg je najkraća rotacija prvi faktor vektor u drugi faktor vektor vidljivo suprotno od kazaljke na satu (slika 2). Ovim redosledom vektora faktora vektorskog proizvoda (1) rotacija tela pod dejstvom sile biće vidljiva u smeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 2.) Pošto je vektor okomit na ravan delovanja sile, njen položaj u prostoru određuje položaj ravni djelovanja sile.Numerička vrijednost vektora momenta sile u odnosu na centar jednaka je dvostrukoj površini OAB i može se odrediti formulom:

, (2)

Gdje magnitudeh, jednako najkraćoj udaljenosti od date tačke O do linije djelovanja sile, naziva se krak sile.

Ako položaj ravnine djelovanja sile u prostoru nije bitan za karakterizaciju rotacijskog djelovanja sile, tada se u ovom slučaju za karakterizaciju rotacijskog djelovanja sile umjesto vektora momenta sile koristi algebarski moment sile:

(3)

Algebarski moment sile u odnosu na dati centar jednak je umnošku modula sile i njenog ramena uzetih sa predznakom plus ili minus. U ovom slučaju, pozitivni moment odgovara rotaciji tijela pod djelovanjem date sile u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativni moment odgovara rotaciji tijela u smjeru kazaljke na satu. Iz formula (1), (2) i (3) slijedi da moment sile u odnosu na tačku je nula samo ako je krak ove silehjednaka nuli. Takva sila ne može rotirati tijelo oko određene tačke.

e) Moment sile oko ose

Ako se tijelo, pod utjecajem sile, može rotirati oko neke fiksne ose (na primjer, rotacija okvira vrata ili prozora u šarkama pri otvaranju ili zatvaranju), tada je za kvantifikaciju ovog rotacijskog efekta fizička veličina uveden, koji se zove moment sile oko date ose.

z

 b Fxy

Na slici 3 prikazan je dijagram u skladu s kojim se određuje moment sile u odnosu na os z:

Ugao  čine dva okomita pravca z i na ravni trokuta O ab i OAV, respektivno. Od  O ab je projekcija OAB na ravan xy, onda prema teoremi stereometrije o projekciji ravne figure na datu ravan imamo:

gdje znak plus odgovara pozitivnoj vrijednosti cos, tj. oštri uglovi, a znak minus odgovara negativnoj vrijednosti cos, tj. tupim uglovima , što je posljedica smjera vektora. Zauzvrat, SO ab=1/2abh, Gdje h  ab . Veličina segmenta ab jednaka je projekciji sile na ravan xy, tj. . ab = F xy .

Na osnovu navedenog, kao i jednakosti (4) i (5), određujemo moment sile u odnosu na osu z na sljedeći način:

Jednakost (6) nam omogućava da formuliramo sljedeću definiciju momenta sile u odnosu na bilo koju osu: Moment sile u odnosu na datu os jednak je projekciji na ovu os vektora momenta ove sile u odnosu na bilo koju osu. tačka ove ose i definisana je kao proizvod projekcije sile uzete sa predznakom plus ili minus na ravan okomitu na datu os na ramenu ove projekcije u odnosu na tačku preseka ose sa ravninom projekcije . U ovom slučaju, predznak momenta se smatra pozitivnim ako je, gledajući iz pozitivnog smjera ose, vidljiva rotacija tijela oko ove ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Inače, moment sile u odnosu na osu uzima se negativnim. Budući da je ovu definiciju momenta sile oko ose prilično teško zapamtiti, preporučuje se zapamtiti formulu (6) i sl. 3, koja objašnjava ovu formulu.

Iz formule (6) slijedi da moment sile oko ose je nula ako paralelna je s osi (u ovom slučaju njena projekcija na ravan okomitu na osu je nula), ili linija djelovanja sile siječe os (tada krak projekcije h=0). Ovo u potpunosti odgovara fizičkom značenju momenta sile oko ose kao kvantitativne karakteristike rotacionog dejstva sile na telo koje ima os rotacije.

g) tjelesnu težinu

Odavno je uočeno da pod utjecajem sile tijelo postepeno povećava brzinu i nastavlja se kretati ako se sila ukloni. Ovo svojstvo tijela da se odupiru promjenama u svom kretanju nazvano je inercija ili inercija tela. Kvantitativna mjera inercije tijela je njegova masa. osim toga, masa tijela je kvantitativna mjera djelovanja gravitacijskih sila na dato tijelo Što je veća masa tijela, to je veća sila gravitacije koja djeluje na tijelo. Kao što će biti prikazano u nastavku, uh Ove dvije definicije tjelesne težine su povezane.

Preostali koncepti i definicije dinamike bit će razmotreni kasnije u odjeljcima gdje se prvi put pojavljuju.

2. Veze i reakcije veza

Prethodno je u odjeljku 1, stav (c) dat koncept slobodnog tijela, kao tijela koje se može kretati u prostoru u bilo kojem smjeru, a da nije u direktnom kontaktu sa drugim tijelima. Većina stvarnih tijela oko nas je u direktnom kontaktu s drugim tijelima i ne mogu se kretati u jednom ili drugom smjeru. Tako, na primjer, tijela koja se nalaze na površini stola mogu se kretati u bilo kojem smjeru, osim u smjeru okomitom na površinu stola prema dolje. Vrata pričvršćena na šarke mogu vršiti rotacijsko kretanje, ali se ne mogu kretati translacijsko, itd. Tijela koja se ne mogu kretati u prostoru u jednom ili drugom smjeru nazivaju se nije besplatno.

Sve što ograničava kretanje datog tijela u prostoru naziva se ograničenjima. To mogu biti neka druga tijela koja sprječavaju kretanje ovog tijela u nekim smjerovima ( fizičke veze); u širem smislu, mogu biti neki uslovi nametnuti kretanju tela koji ograničavaju to kretanje. Tako se može postaviti uslov da se kretanje materijalne tačke dešava duž date krive. U ovom slučaju, veza je određena matematički u obliku jednačine ( jednačina veze). Pitanje tipova veza će biti detaljnije razmotreno u nastavku.

Većina veza nametnutih tijelima su praktično fizičke veze. Stoga se postavlja pitanje interakcije datog tijela i povezanosti nametnute tom tijelu. Na ovo pitanje odgovara aksiom o interakciji tijela: Dva tijela djeluju jedno na drugo silama jednakim po veličini, suprotnog smjera i smještene na istoj pravoj liniji. Ove sile se nazivaju sile interakcije. Sile interakcije se primjenjuju na različita tijela koja djeluju. Tako, na primjer, prilikom interakcije datog tijela i veze, jedna od sila interakcije se primjenjuje sa strane tijela na vezu, a druga sila interakcije se primjenjuje sa strane veze na ovo tijelo. Ova posljednja sila se zove sila reakcije veze ili jednostavno, komunikacijska reakcija.

Prilikom rješavanja praktičnih zadataka dinamike potrebno je znati pronaći smjer reakcija razne vrste veze. Opće pravilo za određivanje smjera reakcije veze ponekad može pomoći u tome: Reakcija veze je uvijek usmjerena suprotno od smjera u kojem ta veza sprječava kretanje datog tijela. Ako se ovaj smjer može definisati, tada će reakcija veze biti određena smjerom. Inače, smjer reakcije spajanja je neizvjestan i može se naći samo iz odgovarajućih jednačina kretanja ili ravnoteže tijela. Pitanje vrsta veza i smjera njihovih reakcija trebalo bi detaljnije proučiti koristeći udžbenik: S.M. Targ Kratki kurs iz teorijske mehanike "Viša škola", M., 1986. Poglavlje 1, §3.

U odeljku 1, stav (c), rečeno je da se uticaj bilo kog sistema sila može u potpunosti utvrditi samo ako se ovaj sistem sila primeni na slobodno telo. Pošto većina tijela, u stvarnosti, nije slobodna, onda se, da bi se proučavalo kretanje ovih tijela, postavlja pitanje kako ta tijela učiniti slobodnima. Na ovo pitanje je odgovoreno aksiom veza predavanja By filozofija kod kuće. Predavanja bili... socijalna psihologija i etnopsihologije. 3. Teorijski rezultati U socijaldarvinizmu je bilo...

Teorijski Mehanika

Vodič za učenje >> Fizika

Abstract predavanja By predmet TEORIJSKI MEHANIKA Za studente specijalnosti: 260501,65 ... - redovne napomene predavanja sastavljeno na osnovu: Butorin L.V., Busygina E.B. Teorijski Mehanika. Edukativni i praktični priručnik...