Rotacija tijela oko fiksne ose. Rotacijsko kretanje krutog tijela Rotacijsko kretanje tijela

Rotacijski nazivaju takvo kretanje u kojem dvije tačke povezane s tijelom, dakle, prava linija koja prolazi kroz ove tačke, ostaju nepomične tokom kretanja (slika 2.16). Fiksna ravna linija A B pozvao osa rotacije.

Rice. 2.1V. Ka definiciji rotacionog kretanja tijela

Položaj tijela pri rotacionom kretanju određuje ugao rotacije φ, rad (vidi sliku 2.16). Prilikom kretanja, ugao rotacije se mijenja tokom vremena, tj. zakon rotacionog kretanja tijela definiran je kao zakon promjene u vremenu vrijednosti diedarskog ugla F = F(/) između fiksne poluravni TO () , prolazeći kroz os rotacije i pokretni n 1 poluravninu spojenu na tijelo i koja također prolazi kroz os rotacije.

Putanja svih tačaka tela tokom rotacionog kretanja su koncentrične kružnice koje se nalaze u paralelnim ravnima sa centrima na osi rotacije.

Kinematske karakteristike rotacionog kretanja tijela. Na isti način na koji su uvedene kinematičke karakteristike za tačku, uvodi se kinematička koncepcija koja karakteriše brzinu promjene funkcije φ(c), koja određuje položaj tijela pri rotacionom kretanju, tj. ugaona brzina co = f = s/f/s//, dimenzija ugaone brzine [co] = rad /Sa.

U tehničkim proračunima često se koristi izraz ugaone brzine sa različitim dimenzijama - u smislu broja obrtaja u minuti: [i] = rpm, i odnosa između P i co se može predstaviti kao: co = 27w/60 = 7w/30.

Općenito, ugaona brzina varira s vremenom. Mjera brzine promjene ugaone brzine je ugaono ubrzanje e = c/co/c//= co = f, dimenzija ugaonog ubrzanja [e] = rad/s 2 .

Uvedene ugaone kinematičke karakteristike u potpunosti su određene specificiranjem jedne funkcije - ugla rotacije u odnosu na vrijeme.

Kinematske karakteristike tačaka tela tokom rotacionog kretanja. Razmotrite poentu M tijelo koje se nalazi na udaljenosti p od ose rotacije. Ova tačka se kreće duž kružnice poluprečnika p (slika 2.17).


Rice. 2.17.

tačke tela tokom njegove rotacije

Dužina luka M Q M krug poluprečnika p je definisan kao s= ptp, gdje je f ugao rotacije, rad. Ako je zakon gibanja tijela dat kao φ = φ(g), onda je zakon gibanja tačke M duž putanje je određena formulom S= rf(7).

Koristeći izraze kinematičkih karakteristika sa prirodnom metodom zadavanja kretanja tačke, dobijamo kinematičke karakteristike za tačke rotirajućeg tela: brzina prema formuli (2.6)

V= 5 = rf = rso; (2.22)

tangencijalno ubrzanje prema izrazu (2.12)

i t = K = sor = er; (2.23)

normalno ubrzanje prema formuli (2.13)

a„ = I 2 /r = s 2 r 2 /r = ogr; (2.24)

ukupno ubrzanje pomoću izraza (2.15)

A = -]A + a] = px/e 2 + co 4. (2.25)

Za karakteristiku smjera ukupnog ubrzanja uzima se p - ugao odstupanja vektora ukupnog ubrzanja od polumjera kružnice opisane tačkom (slika 2.18).

Od sl. 2.18 dobijamo

tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)

Rice. 2.18.

Imajte na umu da su sve kinematičke karakteristike tačaka rotirajućeg tijela proporcionalne udaljenostima do ose rotacije. ve-

Njihovi identiteti određuju se kroz derivacije iste funkcije - ugla rotacije.

Vektorski izrazi za ugaone i linearne kinematičke karakteristike. Za analitički opis ugaonih kinematičkih karakteristika rotirajućeg tela, zajedno sa osom rotacije, koncept vektor ugla rotacije(Sl. 2.19): φ = φ(/)A:, gdje To- jedi

vektor osi rotacije

1; To=sop51 .

Vektor f je usmjeren duž ove ose tako da se može vidjeti sa “kraja”

rotacija koja se odvija suprotno od kazaljke na satu.

Rice. 2.19.

karakteristike u vektorskom obliku

Ako je vektor φ(/) poznat, onda se sve ostale ugaone karakteristike rotacionog kretanja mogu predstaviti u vektorskom obliku:

  • vektor ugaone brzine co = f = f To. Smjer vektora ugaone brzine određuje predznak derivacije ugla rotacije;
  • vektor ugaonog ubrzanja ê = so = f To. Smjer ovog vektora određuje predznak derivacije ugaone brzine.

Uvedeni vektori s i ê nam omogućavaju da dobijemo vektorske izraze za kinematičke karakteristike tačaka (vidi sliku 2.19).

Imajte na umu da se modul vektora brzine tačke poklapa sa modulom vektorskog proizvoda vektora ugaone brzine i vektora radijusa: |cox G= sogvípa = smeće. Uzimajući u obzir smjerove vektora s i r i pravilo za smjer vektorskog proizvoda, možemo napisati izraz za vektor brzine:

V= co xg.

Slično, to je lako pokazati

  • ? X
  • - egBípa= ê = a t I

Sosor = co p = i.

(Pored toga, vektori ovih kinematičkih karakteristika poklapaju se u smjeru s odgovarajućim vektorskim produktima.

Stoga se tangencijalni i normalni vektori ubrzanja mogu predstaviti kao vektorski produkti:

  • (2.28)
  • (2.29)

a x = g X G

A= co x V.

Rotacija krutog tijela oko fiksne ose je takvo kretanje u kojem dvije tačke tijela ostaju nepomične za cijelo vrijeme kretanja. U tom slučaju, sve tačke tijela koje se nalaze na pravoj liniji koja prolazi kroz njegove fiksne tačke također ostaju nepomične. Ova linija se zove osa rotacije tela .

Neka su tačke A i B stacionarne. Usmjerimo os duž ose rotacije. Kroz os rotacije povlačimo stacionarnu i pokretnu ravan pričvršćenu za rotirajuće tijelo (na ).

Položaj ravni i samog tijela određen je diedralnim uglom između ravnina i. Označimo ga. Ugao se zove ugao rotacije tela .

Položaj tijela u odnosu na odabrani referentni sistem je jednoznačno određen u svakom trenutku ako je data jednačina, gdje je bilo koja dvostruko diferencibilna funkcija vremena. Ova jednačina se zove jednadžba rotacije krutog tijela oko fiksne ose .

Tijelo koje rotira oko fiksne ose ima jedan stupanj slobode, jer se njegov položaj određuje specificiranjem samo jednog parametra - kuta.

Ugao se smatra pozitivnim ako je položen u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnim u suprotnom smjeru. Putanja tačaka tijela za vrijeme njegove rotacije oko fiksne ose su kružnice koje se nalaze u ravninama okomitim na os rotacije.

Da bismo okarakterizirali rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose, uvodimo koncepte ugaone brzine i ugaonog ubrzanja.

Algebarska ugaona brzina tijela u bilo kojem trenutku naziva se prvim izvodom u odnosu na vrijeme ugla rotacije u ovom trenutku, tj.

Ugaona brzina je pozitivna kada se tijelo rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, jer se ugao rotacije povećava s vremenom, a negativna kada tijelo rotira u smjeru kazaljke na satu, jer se kut rotacije smanjuje.

Dimenzija ugaone brzine po definiciji:

U tehnici, kutna brzina je brzina rotacije izražena u okretajima u minuti. Za jednu minutu tijelo će se rotirati za ugao , gdje je n broj okretaja u minuti. Podijelimo ovaj ugao sa brojem sekundi u minuti, dobivamo

Algebarsko ugaono ubrzanje tijela naziva se prvi izvod u odnosu na vrijeme ugaone brzine, odnosno drugi izvod ugla rotacije, tj.

Dimenzija ugaonog ubrzanja po definiciji:

Hajde da uvedemo pojmove vektora ugaone brzine i ugaonog ubrzanja tela.

I , gdje je jedinični vektor osi rotacije. Vektori i mogu se prikazati u bilo kojoj tački na osi rotacije; oni su klizni vektori.

Algebarska ugaona brzina je projekcija vektora ugaone brzine na os rotacije. Algebarsko ugaono ubrzanje je projekcija vektora ugaonog ubrzanja brzine na os rotacije.


Ako je na , tada se algebarska kutna brzina povećava s vremenom i, prema tome, tijelo se u ovom trenutku ubrzano okreće u pozitivnom smjeru. Smjerovi vektora i se poklapaju, oba su usmjerena u pozitivnom smjeru osi rotacije.

Kada i tijelo se brzo rotira u negativnom smjeru. Smjerovi vektora i se poklapaju, oba su usmjerena u negativnom smjeru osi rotacije.

DEFINICIJA: Rotacijsko kretanje krutog tijela takvo kretanje u kojem se sve tačke tijela kreću po kružnicama, čiji centri leže na istoj pravoj liniji, nazvaćemo osom rotacije.

Da bismo proučavali dinamiku rotacionog, dodajemo poznate kinematičke veličine dve količine: momenta moći(M) i moment inercije(J).

1. Iz iskustva je poznato: ubrzanje rotacionog kretanja ne zavisi samo od veličine sile koja deluje na telo, već i od udaljenosti od ose rotacije do linije duž koje sila deluje. Za karakterizaciju ove okolnosti, fizička veličina tzv moment sile.

Razmotrimo najjednostavniji slučaj.

DEFINICIJA: Moment sile oko određene tačke „O” je vektorska veličina definisana izrazom , gde je vektor radijusa povučen od tačke „O” do tačke primene sile.

Iz definicije slijedi da je aksijalni vektor. Njegov smjer je odabran tako da rotacija vektora oko tačke “O” u smjeru sile i vektora formiraju desnoruki sistem. Modul momenta sile je jednak , gdje je a ugao između smjerova vektora i , i l= r grijeh a je dužina okomice spuštene iz tačke "O" na pravu liniju duž koje deluje sila (tzv. rame snage u odnosu na tačku “O”) (slika 4.2).

2. Eksperimentalni podaci pokazuju da na veličinu ugaonog ubrzanja ne utiče samo masa rotirajućeg tela, već i raspodela mase u odnosu na osu rotacije. Količina koja uzima u obzir ovu okolnost naziva se moment inercije u odnosu na os rotacije.

DEFINICIJA: Strogo govoreći, moment inercije tijela u odnosu na određenu os rotacije naziva se vrijednost J, jednaka zbroju proizvoda elementarnih masa kvadratima njihovih udaljenosti od date ose.

Zbrajanje se vrši po svim elementarnim masama na koje je tijelo podijeljeno. Treba imati na umu da ova veličina (J) postoji bez obzira na rotaciju (iako je koncept momenta inercije uveden kada se razmatra rotacija krutog tijela).

Svako tijelo, bez obzira da li miruje ili rotira, ima određeni moment inercije u odnosu na bilo koju osu, kao što tijelo ima masu bez obzira da li se kreće ili miruje.

S obzirom na to , moment inercije se može predstaviti kao: . Ovaj odnos je približan i što su manji elementarni volumeni i odgovarajući elementi mase, to će biti precizniji. Prema tome, zadatak pronalaženja momenata inercije svodi se na integraciju: . Ovdje se integracija vrši preko cijelog volumena tijela.

Zapišimo momente inercije nekih tijela pravilnog geometrijskog oblika.



1. Ujednačena dugačka šipka.
Rice. 4.3 Moment inercije oko ose koja je okomita na štap i prolazi kroz njegovu sredinu jednak je
2. Čvrsti cilindar ili disk.
Rice. 4.4 Moment inercije oko ose koja se poklapa sa geometrijskom osom jednak je .
3. Tankozidni cilindar poluprečnika R.
Rice. 4.5
4. Moment inercije lopte poluprečnika R u odnosu na osu koja prolazi kroz njen centar
Rice. 4.6
5. Moment inercije tankog diska (debljine b<
Rice. 4.7
6. Moment inercije bloka
Rice. 4.8
7. Moment inercije prstena
Rice. 4.9

Izračunavanje momenta inercije ovdje je prilično jednostavno, jer Pretpostavlja se da je tijelo homogeno i simetrično, a moment inercije je određen u odnosu na os simetrije.

Da bi se odredio moment inercije tijela u odnosu na bilo koju osu, potrebno je koristiti Steinerov teorem.

DEFINICIJA: Moment inercije J oko proizvoljne ose jednak je zbiru momenta inercije J c u odnosu na osu paralelnu datoj i koja prolazi kroz centar inercije tijela, i umnožak mase tijela na kvadrat udaljenosti između osa (sl. 4.10).

Rotacija krutog tijela oko fiksne ose (os rotacije) Naziva se takvo kretanje u kojem tačke tijela koje leže na osi rotacije ostaju nepomične za cijelo vrijeme kretanja.

Neka je osa rotacije os koja može imati bilo koji smjer u prostoru. Jedan smjer ose uzima se kao pozitivan (slika 28).

Kroz os rotacije povlačimo nepokretnu i pokretnu ravan povezane sa rotirajućim tijelom. Neka se u početnom trenutku obe ravni poklapaju. Tada se u trenutku vremena položaj ravnine koja se kreće i samog rotirajućeg tijela može odrediti diedralnim kutom između ravnina i odgovarajućim linearnim kutom između pravih linija koje se nalaze u tim ravninama i okomito na os rotacije. Ugao se zove ugao rotacije tela.

Položaj tijela u odnosu na odabrani referentni sistem u potpunosti je određen u bilo kojem trenutku ako je data jednačina

gdje je bilo koja dvostruko diferencibilna funkcija vremena. Ova jednačina se zove jednadžba rotacije krutog tijela oko fiksne ose.

Tijelo koje rotira oko fiksne ose ima jedan stupanj slobode, jer se njegov položaj određuje specificiranjem samo jednog parametra - kuta.

Ugao se smatra pozitivnim ako je nacrtan u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnim u suprotnom smjeru kada se gleda iz pozitivnog smjera ose. Putanja tačaka tijela za vrijeme njegove rotacije oko fiksne ose su kružnice koje se nalaze u ravninama okomitim na os rotacije.

Da bismo okarakterizirali rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose, uvodimo koncepte ugaone brzine i ugaonog ubrzanja. Algebarska ugaona brzina tijela u bilo kom trenutku naziva se prvim izvodom u odnosu na vrijeme ugla rotacije u ovom trenutku, tj. . Pozitivna je veličina kada se tijelo rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, jer se ugao rotacije povećava s vremenom, a negativan kada se tijelo rotira u smjeru kazaljke na satu, jer se ugao rotacije smanjuje.

Modul ugaone brzine je označen sa . Onda

Algebarsko ugaono ubrzanje tijela naziva se prvim izvodom u odnosu na vrijeme algebarske brzine, tj. drugi izvod ugla rotacije. Modul ugaonog ubrzanja označavamo sa , Tada

Ako je na , tada se algebarska kutna brzina povećava s vremenom i, stoga, tijelo se brzo rotira u ovom trenutku u pozitivnom smjeru (u suprotnom smjeru kazaljke na satu). Na i , tijelo se brzo rotira u negativnom smjeru. Ako je na , tada imamo sporu rotaciju u pozitivnom smjeru. Kada i spora rotacija se javlja u negativnom smjeru.

Rotacijsko kretanje krutog tijela oko fiksne ose je takvo kretanje u kojem bilo koje dvije točke koje pripadaju tijelu (ili su mu uvijek povezane) ostaju nepomične tijekom cijelog kretanja(Sl. 2.2) .

Slika 2.2

Prolazak kroz fiksne tačke A I IN prava linija se zove osa rotacije. Budući da rastojanje između tačaka krutog tijela mora ostati nepromijenjeno, očito je da će prilikom rotacionog kretanja sve tačke koje pripadaju osi biti nepomične, a sve ostale će opisivati ​​kružnice čije su ravni okomite na os rotacije, a centri leže na ovoj osi. Da bismo odredili položaj rotirajućeg tijela, povlačimo kroz os rotacije duž koje je os usmjerena Az, poluravan І – fiksne i poluravne ІІ ugrađen u samo tijelo i rotirajući s njim. Tada je položaj tijela u bilo kojem trenutku jedinstveno određen uglom uzetim s odgovarajućim predznakom φ između ovih ravni, koje mi zovemo ugao rotacije tela. Razmotrićemo ugao φ pozitivan ako kasni iz fiksne ravnine u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (za posmatrača koji gleda s pozitivnog kraja ose Az), a negativan ako je u smjeru kazaljke na satu. Izmjerite ugao φ Bićemo u radijanima. Da biste znali položaj tijela u bilo kojem trenutku, morate znati ovisnost ugla φ od vremena t, tj.

.

Ova jednačina izražava zakon rotacionog kretanja krutog tijela oko fiksne ose.

Glavne kinematičke karakteristike rotacionog kretanja krutog tijela su njegova ugaona brzina ω i ugaono ubrzanje ε.

9.2.1. Ugaona brzina i ugaono ubrzanje tijela

Količina koja karakterizira brzinu promjene ugla rotacije φ tokom vremena naziva se ugaona brzina.

Ako tokom određenog vremenskog perioda
telo rotira pod uglom
, tada će numerički prosječna ugaona brzina tijela tokom ovog vremenskog perioda biti
. U limitu na
dobijamo

dakle, brojčana vrijednost ugaone brzine tijela u datom trenutku jednaka je prvom izvodu ugla rotacije u odnosu na vrijeme.

Pravilo znaka: Kada se rotacija dogodi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ω> 0, a kada je u smjeru kazaljke na satu, tada ω< 0.

ili, pošto je radijan bezdimenzionalna veličina,
.

U teorijskim proračunima pogodnije je koristiti vektor ugaone brzine , čiji je modul jednak a koji je usmjeren duž ose rotacije tijela u smjeru iz kojeg je vidljiva rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Ovaj vektor odmah određuje veličinu kutne brzine, os rotacije i smjer rotacije oko ove ose.

Količina koja karakterizira brzinu promjene ugaone brzine tokom vremena naziva se ugaono ubrzanje tijela.

Ako tokom određenog vremenskog perioda
prirast ugaone brzine je jednak
, zatim odnos
, tj. određuje vrijednost prosječnog ubrzanja rotirajućeg tijela tokom vremena
.

Kada težite
dobijamo veličinu ugaonog ubrzanja u ovom trenutku t:

dakle, brojčana vrijednost ugaonog ubrzanja tijela u datom trenutku jednaka je prvom izvodu ugaone brzine ili drugom izvodu ugla rotacije tijela u vremenu.

Obično se koristi jedinica mjere ili, što je takođe,
.

Ako se modul ugaone brzine povećava s vremenom, naziva se rotacija tijela ubrzano, a ako se smanji, - sporo Kada vrijednosti ω I ε imaju iste predznake, tada će se rotacija ubrzati, kada su različiti, usporit će se. Po analogiji s ugaonom brzinom, kutno ubrzanje se također može predstaviti kao vektor , usmjerena duž ose rotacije. Gde

.

Ako se tijelo okreće u ubrzanom smjeru poklapa se sa , i suprotno sa sporom rotacijom.

Ako ugaona brzina tijela ostane konstantna tokom kretanja ( ω= konst), tada se naziva rotacija tijela uniforma.

Od
imamo
. Dakle, s obzirom na to u početnom trenutku vremena
ugao
, i uzimajući integrale lijevo od prije , a desno od 0 do t, konačno ćemo dobiti

.

Sa ravnomjernom rotacijom, kada =0,
I
.

Brzina ujednačene rotacije često je određena brojem okretaja u minuti, označavajući ovu vrijednost sa n rpm Hajde da pronađemo odnos između n rpm i ω 1/s. Sa jednim obrtajem telo će se rotirati za 2π, i sa n o/min na 2π n; ovo okretanje se radi za 1 minut, tj. t= 1min=60s. Iz toga slijedi

.

Ako ugaona akceleracija tijela ostaje konstantna tijekom njegovog kretanja (ε = konst), tada se zove rotacija podjednako varijabilna.

U početnom trenutku vremena t=0 ugao
, i ugaona brzina
(- početna ugaona brzina).
;
=ε
. Integracija lijeve strane prije , a desna od 0 do t, naći ćemo

Ugaona brzina ω ove rotacije
. Ako ω i ε imaju iste predznake, rotacija će biti jednoliko ubrzano, a ako je drugačije - podjednako sporo.

mob_info