Derivat složenog korijena. Složeni derivati. Logaritamski izvod. Derivat eksponencijalne funkcije stepena. Složeniji primjeri

I teorema o derivaciji kompleksne funkcije, čija je formulacija sljedeća:

Neka 1) funkcija $u=\varphi (x)$ ima u nekom trenutku $x_0$ izvod $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkciju $y=f(u)$ imati u odgovarajućoj tački $u_0=\varphi (x_0)$ izvod $y_(u)"=f"(u)$. Onda složena funkcija$y=f\left(\varphi (x) \right)$ u spomenutoj tački će također imati izvod jednak proizvodu izvoda funkcija $f(u)$ i $\varphi (x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

ili, kraće rečeno: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

U primjerima u ovom dijelu, sve funkcije imaju oblik $y=f(x)$ (tj. razmatramo samo funkcije jedne varijable $x$). Shodno tome, u svim primjerima derivacija $y"$ se uzima u odnosu na varijablu $x$. Da bi se naglasilo da se izvod uzima u odnosu na varijablu $x$, često se umjesto $y piše $y"_x$ "$.

Prikaz primjera br. 1, br. 2 i br detaljan proces nalaženje izvoda složenih funkcija. Primjer br. 4 namijenjen je potpunijem razumijevanju tabele izvedenica i ima smisla upoznati se s njom.

Preporučljivo je, nakon proučavanja materijala u primjerima br. 1-3, prijeći na samostalno rješavanje primjera br. 5, br. 6 i br. Primjeri #5, #6 i #7 sadrže kratko rješenje tako da čitatelj može provjeriti ispravnost svog rezultata.

Primjer br. 1

Pronađite izvod funkcije $y=e^(\cos x)$.

Moramo pronaći izvod kompleksne funkcije $y"$. Pošto je $y=e^(\cos x)$, onda je $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. nađemo izvod $ \left(e^(\cos x)\right)"$ koristimo formulu br. 6 iz tabele izvoda. Da bismo koristili formulu br. 6, moramo uzeti u obzir da je u našem slučaju $u=\cos x$. Dalje rješenje se sastoji u jednostavnoj zamjeni izraza $\cos x$ umjesto $u$ u formulu br. 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Sada treba da nađemo vrednost izraza $(\cos x)"$. Ponovo se okrećemo tabeli derivacija, birajući iz nje formulu br. 10. Zamenivši $u=x$ u formulu br. 10, imamo : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Sada nastavimo jednakost (1.1), dopunivši je pronađenim rezultatom:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Pošto je $x"=1$, nastavljamo jednakost (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Dakle, iz jednakosti (1.3) imamo: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Naravno, objašnjenja i međujednakosti se obično preskaču, zapisujući nalaz izvoda u jednom redu, kao u jednakosti (1.3) Dakle, derivacija kompleksne funkcije je pronađena, preostaje samo da zapišemo odgovor.

Odgovori: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Primjer br. 2

Pronađite izvod funkcije $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Moramo izračunati izvod $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Za početak, napominjemo da se konstanta (tj. broj 9) može izvaditi iz predznaka derivacije:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \desno)" \tag (2.1) $$

Sada se okrenemo izrazu $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Da bismo lakše odabrali željenu formulu iz tabele izvoda, predstaviću izraz u pitanju u ovom obliku: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Sada je jasno da je potrebno koristiti formulu br. 2, tj. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Zamijenimo $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ i $\alpha=12$ u ovu formulu:

Dopunjujući jednakost (2.1) dobijenim rezultatom, imamo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

U ovoj situaciji često se pravi greška kada rešavač u prvom koraku odabere formulu $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ umesto formule $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Poenta je da derivat eksterne funkcije mora biti prvi. Da biste razumjeli koja će funkcija biti vanjska u odnosu na izraz $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, zamislite da izračunavate vrijednost izraza $\arctg^(12)(4\cdot 5^) x)$ po nekoj vrijednosti $x$. Prvo ćete izračunati vrijednost $5^x$, a zatim pomnožiti rezultat sa 4 i dobiti $4\cdot 5^x$. Sada uzimamo arktangens iz ovog rezultata, dobijajući $\arctg(4\cdot 5^x)$. Zatim podižemo rezultirajući broj na dvanaesti stepen, dobijajući $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Posljednja radnja, tj. povećanje na stepen 12 će biti eksterna funkcija. I upravo od toga moramo početi da tražimo derivaciju, što je učinjeno u jednakosti (2.2).

Sada treba da pronađemo $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Koristimo formulu br. 19 tabele derivata, zamenjujući u nju $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Hajde da malo pojednostavimo rezultirajući izraz, uzimajući u obzir $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Jednakost (2.2) će sada postati:

Ostaje da pronađemo $(4\cdot \ln x)"$. Uzmimo konstantu (tj. 4) iz predznaka derivacije: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. Za da bismo pronašli $(\ln x)"$ koristimo formulu br. 8, zamjenjujući $u=x$ u nju: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. Pošto je $x"=1$, onda je $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Zamjenom dobijenog rezultata u formulu (2.3) dobijamo:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Da vas podsjetim da se izvod kompleksne funkcije najčešće nalazi u jednom redu, kao što je napisano u posljednjoj jednakosti. Stoga, prilikom izrade standardnih proračuna odn testovi Uopće nije potrebno tako detaljno opisivati rješenje.

Odgovori: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Primjer br. 3

Pronađite $y"$ funkcije $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Prvo, hajde da malo transformišemo funkciju $y$, izražavajući radikal (koren) kao stepen: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \desno)^(\frac(3)(7))$. Sada krenimo sa pronalaženjem derivata. Pošto je $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, onda:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Upotrijebimo formulu br. 2 iz tabele derivata, zamjenjujući u nju $u=\sin(5\cdot 9^x)$ i $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\desno)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Nastavimo jednakost (3.1) koristeći dobijeni rezultat:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Sada moramo pronaći $(\sin(5\cdot 9^x))"$. Za ovo koristimo formulu br. 9 iz tabele derivata, zamjenjujući u nju $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Dopunivši jednakost (3.2) dobijenim rezultatom, imamo:

Ostaje da pronađemo $(5\cdot 9^x)"$. Prvo, uzmimo konstantu (broj $5$) izvan znaka derivacije, tj. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Da biste pronašli izvod $(9^x)"$, primijenite formulu br. 5 tabele derivata, zamjenjujući u nju $a=9$ i $u=x$: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Pošto je $x"=1$, onda je $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Sada možemo nastaviti jednakost (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\desno) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Možemo se ponovo vratiti sa stepena na radikale (tj. korijene), pišući $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ u obliku $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$. Tada će izvod biti napisan u ovom obliku:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Odgovori: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\) cdot 9^x)))$.

Primjer br. 4

Pokazati da su formule br. 3 i br. 4 tabele derivacija poseban slučaj formule br. 2 ove tabele.

Formula br. 2 tabele izvoda sadrži izvod funkcije $u^\alpha$. Zamjenom $\alpha=-1$ u formulu br. 2, dobijamo:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Pošto je $u^(-1)=\frac(1)(u)$ i $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, onda se jednakost (4.1) može prepisati na sljedeći način: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ovo je formula br. 3 tabele derivata.

Vratimo se ponovo formuli br. 2 tabele derivata. Zamijenimo $\alpha=\frac(1)(2)$ u to:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Pošto je $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ i $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, tada se jednakost (4.2) može prepisati na sljedeći način:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Rezultirajuća jednakost $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ je formula br. 4 tabele derivata. Kao što vidite, formule br. 3 i br. 4 tabele derivata se dobijaju iz formule br. 2 zamjenom odgovarajuće vrijednosti $\alpha$.

Nakon preliminarne artiljerijske pripreme, primjeri sa 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje zastrašujući. Sljedeća dva primjera mogu nekome izgledati komplikovana, ali ako ih shvatite (neko će patiti), onda će gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu izgledati kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već napomenuto, pri pronalaženju derivacije kompleksne funkcije, prije svega, to je neophodno U redu RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost “x”, na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti ovu vrijednost u “strašan izraz”.

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbir najdublje ugrađivanje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema unutrašnjoj. Odlučujemo:

Čini se bez grešaka:

1) Uzmi izvod od kvadratni korijen.

2) Uzmite derivaciju razlike koristeći pravilo

3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

4) Uzmimo derivaciju kosinusa.

6) I konačno, uzimamo derivat najdubljeg ugrađivanja.

Možda izgleda preteško, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analiziranog derivata. Primijetio sam da vole da daju sličnu stvar na ispitu kako bi provjerili da li student razumije kako pronaći izvod kompleksne funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer je za nezavisna odluka.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju proizvoda tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo pogledamo, da li je moguće pretvoriti proizvod tri funkcije u proizvod dvije funkcije? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, onda bismo mogli otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra, sve funkcije su različite: stepen, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno sekvencijalno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što sa “y” označavamo proizvod dvije funkcije: , a sa “ve” označavamo logaritam: . Zašto se to može uraditi? Da li je zaista - ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Još uvijek možete biti izopačeni i izvaditi nešto iz zagrada, ali unutra u ovom slučaju Bolje je ostaviti odgovor u ovom obliku - bit će lakše provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje; u uzorku se rješava prvom metodom.

Pogledajmo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje će biti napisano kompaktnije ako prvo upotrijebimo pravilo diferencijacije količnika , uzimajući za cijeli brojnik:

Smanjimo izraz brojila na zajednički nazivnik i riješimo se trokatne strukture razlomka:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od greške ne pri pronalaženju derivacije, već prilikom banalnih školskih transformacija. S druge strane, nastavnici često odbacuju zadatak i traže da se „spomene” izvedenica.

Jednostavniji primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se "strašni" logaritam predlaže za diferencijaciju

Funkcije složenog tipa ne odgovaraju uvijek definiciji složene funkcije. Ako postoji funkcija oblika y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, onda se ona ne može smatrati složenom, za razliku od y = sin 2 x.

Ovaj članak će pokazati koncept kompleksne funkcije i njenu identifikaciju. Poradimo s formulama za pronalaženje izvoda s primjerima rješenja u zaključku. Upotreba tablice izvoda i pravila diferencijacije značajno skraćuje vrijeme za pronalaženje izvoda.

Osnovne definicije

Definicija 1

Kompleksna funkcija je ona čiji je argument također funkcija.

Označava se ovako: f (g (x)). Imamo da se funkcija g (x) smatra argumentom f (g (x)).

Definicija 2

Ako postoji funkcija f i ona je kotangensna funkcija, onda je g(x) = ln x funkcija prirodnog logaritma. Nalazimo da će kompleksna funkcija f (g (x)) biti zapisana kao arctg(lnx). Ili funkciju f, koja je funkcija podignuta na 4. stepen, gdje se g (x) = x 2 + 2 x - 3 smatra cijelom racionalnom funkcijom, dobijamo da je f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Očigledno je da g(x) može biti kompleksan. Iz primjera y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 jasno je da vrijednost g ima kubni korijen razlomka. Ovaj izraz dozvoljeno da se označi kao y = f (f 1 (f 2 (x))) . Odakle imamo da je f sinusna funkcija, a f 1 je funkcija koja se nalazi ispod kvadratnog korijena, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 je frakciona racionalna funkcija.

Definicija 3

Stepen gniježđenja određuje bilo koji prirodni broj i zapisuje se kao y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x)))))) .

Definicija 4

Koncept kompozicije funkcije odnosi se na broj ugniježđenih funkcija prema uvjetima problema. Za rješavanje koristite formulu za pronalaženje izvoda složene funkcije oblika

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Primjeri

Primjer 1

Naći izvod kompleksne funkcije oblika y = (2 x + 1) 2.

Rješenje

Uslov pokazuje da je f funkcija kvadriranja, a g(x) = 2 x + 1 se smatra linearnom funkcijom.

Primijenimo formulu derivacije za složenu funkciju i napišimo:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Potrebno je pronaći izvod sa pojednostavljenim izvornim oblikom funkcije. Dobijamo:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Odavde imamo to

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultati su bili isti.

Prilikom rješavanja problema ovog tipa važno je razumjeti gdje će se nalaziti funkcija oblika f i g (x).

Primjer 2

Trebali biste pronaći izvode kompleksnih funkcija oblika y = sin 2 x i y = sin x 2.

Rješenje

Prva notacija funkcije kaže da je f funkcija kvadriranja, a g(x) sinusna funkcija. Onda to shvatamo

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Drugi unos pokazuje da je f sinusna funkcija, a g(x) = x 2 označava funkciju stepena. Iz toga slijedi da proizvod kompleksne funkcije pišemo kao

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula za izvod y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . (f n (x))))) biće napisana kao y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Primjer 3

Naći derivaciju funkcije y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Rješenje

Ovaj primjer pokazuje poteškoću pisanja i određivanja lokacije funkcija. Tada y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) označava gdje je f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinusna funkcija, funkcija podizanja do 3 stepena, funkcija sa logaritmom i bazom e, arktangens i linearna funkcija.

Iz formule za definiranje kompleksne funkcije imamo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dobijamo ono što treba da nađemo

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kao derivacija sinusa prema tabeli derivacija, onda f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) kao izvod funkcije stepena, onda f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) kao logaritamski izvod, onda f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) kao izvod arktangensa, tada je f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Kada nađete izvod f 4 (x) = 2 x, uklonite 2 iz predznaka derivacije koristeći formulu za izvod funkcije stepena s eksponentom jednakim 1, tada je f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kombinujemo srednje rezultate i dobijamo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takvih funkcija podsjeća na lutke gnjezdarice. Pravila diferencijacije se ne mogu uvijek eksplicitno primijeniti korištenjem derivacijske tablice. Često morate koristiti formulu za pronalaženje derivata složenih funkcija.

Postoje neke razlike između složenog izgleda i složenih funkcija. Uz jasnu sposobnost razlikovanja, pronalaženje derivata će biti posebno lako.

Primjer 4

Potrebno je razmotriti davanje takvog primjera. Ako postoji funkcija oblika y = t g 2 x + 3 t g x + 1, onda se može smatrati kompleksnom funkcijom oblika g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Očigledno, potrebno je koristiti formulu za složeni derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcija oblika y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ne smatra se složenom, jer ima zbir t g x 2, 3 t g x i 1. Međutim, t g x 2 se smatra kompleksnom funkcijom, tada dobijamo funkciju stepena oblika g (x) = x 2 i f, koja je tangentna funkcija. Da biste to učinili, diferencirajte po količini. Shvatili smo to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Idemo dalje na pronalaženje izvoda kompleksne funkcije (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Dobijamo da je y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funkcije složenog tipa mogu biti uključene u složene funkcije, a same složene funkcije mogu biti komponente funkcija složenog tipa.

Primjer 5

Na primjer, razmotrite kompleksnu funkciju oblika y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Ova funkcija se može predstaviti kao y = f (g (x)), gdje je vrijednost f funkcija logaritma baze 3, a g (x) se smatra zbirom dvije funkcije oblika h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 i k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Očigledno, y = f (h (x) + k (x)).

Razmotrimo funkciju h(x). Ovo je omjer l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 prema m (x) = e x 2 + 3 3

Imamo da je l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) zbir dviju funkcija n (x) = x 2 + 7 i p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , gdje je p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je kompleksna funkcija s numeričkim koeficijentom 3, a p 1 je funkcija kocke, p 2 kosinusnom funkcijom, p 3 (x) = 2 x + 1 linearnom funkcijom.

Otkrili smo da je m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) zbir dvije funkcije q (x) = e x 2 i r (x) = 3 3, gdje je q (x) = q 1 (q 2 (x)) - kompleksna funkcija, q 1 - funkcija sa eksponentom, q 2 (x) = x 2 - funkcija snage.

Ovo pokazuje da je h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Kada se pređe na izraz oblika k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), jasno je da je funkcija predstavljena u obliku kompleksa s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) sa racionalnim cijelim brojem t (x) = x 2 + 1, gdje je s 1 funkcija kvadriranja, a s 2 (x) = ln x je logaritamska sa baza e.

Iz toga slijedi da će izraz dobiti oblik k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Onda to shvatamo

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na osnovu strukture funkcije postalo je jasno kako i koje formule treba koristiti za pojednostavljenje izraza prilikom njegovog razlikovanja. Da bismo se upoznali sa ovakvim problemima i za koncept njihovog rješavanja, potrebno je prijeći na točku diferenciranja funkcije, odnosno pronalaženja njene derivacije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Nije sasvim ispravno funkcije složenog tipa nazvati terminom "složena funkcija". Na primjer, izgleda vrlo impresivno, ali ova funkcija nije komplicirana, za razliku od.

U ovom članku ćemo razumjeti koncept složene funkcije, naučiti kako je identificirati kao dio elementarne funkcije, dat ćemo formulu za pronalaženje njenog izvoda i detaljno razmotriti rješenje tipičnih primjera.

Prilikom rješavanja primjera stalno ćemo koristiti tablicu derivacija i pravila diferencijacije, pa ih držite pred očima.

Kompleksna funkcija je funkcija čiji je argument također funkcija.

Sa naše tačke gledišta, ova definicija je najrazumljivija. Konvencionalno, može se označiti kao f(g(x)) . To jest, g(x) je kao argument funkcije f(g(x)) .

Na primjer, neka je f funkcija arktangenta i g(x) = lnx funkcija prirodnog logaritma, tada je kompleksna funkcija f(g(x)) arctan(lnx) . Drugi primjer: f je funkcija podizanja na četvrti stepen, i je cijela racionalna funkcija (vidi ), onda .

Zauzvrat, g(x) također može biti složena funkcija. Na primjer, . Uobičajeno, takav izraz se može označiti kao . Ovdje je f funkcija sinusa, funkcija kvadratnog korijena, - frakciona racionalna funkcija. Logično je pretpostaviti da stepen ugniježđenja funkcija može biti bilo koji konačan prirodan broj.

Često možete čuti složenu funkciju koja se zove sastav funkcija.

Formula za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije.

Primjer.

Pronađite izvod kompleksne funkcije.

Rješenje.

U ovom primjeru, f je funkcija kvadriranja, a g(x) = 2x+1 – linearna funkcija.

Evo detaljnog rješenja koristeći formulu derivacije kompleksne funkcije:

Nađimo ovu derivaciju tako što ćemo prvo pojednostaviti oblik originalne funkcije.

dakle,

Kao što vidite, rezultati su isti.

Pokušajte da ne pobrkate koja je funkcija f i koja je g(x).

Ilustrirajmo ovo primjerom da pokažemo vašu pažnju.

Primjer.

Pronađite derivate kompleksnih funkcija i .

Rješenje.

U prvom slučaju, f je funkcija kvadriranja, a g(x) je sinusna funkcija, dakle
.

U drugom slučaju, f je sinusna funkcija i funkcija stepena. Dakle, po formuli za proizvod kompleksne funkcije imamo

Formula derivacije za funkciju ima oblik

Primjer.

Funkcija diferencijacije .

Rješenje.

U ovom primjeru, složena funkcija se može konvencionalno napisati kao , gdje je funkcija sinusa, funkcija trećeg stepena, funkcija logaritma baze e, funkcija arktangenta i linearna funkcija.

Prema formuli za izvod kompleksne funkcije

Sada pronalazimo

Složimo dobijene međurezultate:

Nema ništa strašno, analizirajte složene funkcije kao što su lutke za gniježđenje.

Ovo bi mogao biti kraj članka, ako ne zbog jedne stvari...

Preporučljivo je jasno razumjeti kada primijeniti pravila diferencijacije i tablicu derivacija, a kada primijeniti formulu za izvod složene funkcije.

BUDITE SADA IZUZETNO PAŽLJIVI. Govorit ćemo o razlici između složenih funkcija i složenih funkcija. Vaš uspjeh u pronalaženju derivata ovisit će o tome koliko vidite ovu razliku.

Počnimo sa jednostavni primjeri. Funkcija može se smatrati kompleksnim: g(x) = tanx , . Stoga možete odmah primijeniti formulu za izvod kompleksne funkcije

A evo i funkcije To se više ne može nazvati složenim.

Ova funkcija je zbir tri funkcije, 3tgx i 1. Iako je - kompleksna funkcija: - funkcija stepena (kvadratna parabola), a f je tangentna funkcija. Stoga prvo primjenjujemo formulu diferencijacije sume:

Ostaje pronaći izvod kompleksne funkcije:

Zbog toga .

Nadamo se da ste shvatili suštinu.

Ako pogledamo šire, može se tvrditi da funkcije složenog tipa mogu biti dio složenih funkcija, a složene funkcije mogu biti komponente funkcija složenog tipa.

Kao primjer, analizirajmo funkciju na njene sastavne dijelove .

Prvo, ovo je složena funkcija koja se može predstaviti kao , gdje je f logaritamska funkcija baze 3, a g(x) je zbir dvije funkcije I . To je, .

Drugo, pozabavimo se funkcijom h(x) . Predstavlja odnos prema .

Ovo je zbir dvije funkcije i , Gdje - složena funkcija sa numeričkim koeficijentom 3. - funkcija kocke, - kosinusna funkcija, - linearna funkcija.

Ovo je zbroj dvije funkcije i , gdje - kompleksna funkcija, - eksponencijalna funkcija, - funkcija snage.

Dakle, .

Treće, idite na , što je proizvod složene funkcije i cijela racionalna funkcija

Funkcija kvadriranja je funkcija logaritma prema bazi e.

Dakle, .

Hajde da rezimiramo:

Sada je struktura funkcije jasna i postalo je jasno koje formule i kojim redoslijedom primijeniti pri njenom razlikovanju.

U odjeljku o diferenciranju funkcije (pronalaženju derivacije) možete se upoznati s rješenjem sličnih problema.

Složeni derivati. Logaritamski izvod.
Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Nastavljamo da poboljšavamo našu tehniku diferencijacije. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati materijal koji smo obradili, pogledati složenije derivacije, a također ćemo se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebno s logaritamskim izvodom.

Oni čitaoci koji imaju nizak nivo pripreme trebali bi pogledati članak Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivat kompleksne funkcije, razumjeti i riješiti Sve primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća po redu, a nakon što je savladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzimati stav „Gdje drugdje? Dosta je!”, jer su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnih testova i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivat kompleksne funkcije Pogledali smo niz primjera s detaljnim komentarima. Tokom proučavanja diferencijalnog računa i drugih sekcija matematička analiza– morat ćete vrlo često razlikovati, a nije uvijek zgodno (i nije uvijek neophodno) detaljno opisati primjere. Stoga ćemo vježbati pronalaženje izvedenica usmeno. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferencijacije složenih funkcija :

Prilikom izučavanja drugih matan tema u budućnosti, ovako detaljan zapis najčešće nije potreban, pretpostavlja se da student zna pronaći takve derivate na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutru zazvonio telefon i prijatan glas upitao: "Koja je derivacija tangenta dva X-a?" Ovo bi trebalo da bude praćeno skoro trenutnim i ljubaznim odgovorom: .

Prvi primjer će odmah biti namijenjen za samostalno rješenje.

Primjer 1

Pronađi sljedeće izvedenice usmeno, u jednoj radnji, na primjer: . Za završetak zadatka potrebno je samo koristiti tablica izvoda elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem da ponovo pročitate lekciju Derivat kompleksne funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složeni derivati

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbir najdublje ugrađivanje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema unutrašnjoj. Odlučujemo:

Izgleda da nema grešaka...

(1) Uzmite izvod kvadratnog korijena.

(2) Izvod razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

(4) Uzmimo derivaciju kosinusa.

(5) Uzmimo izvod logaritma.

(6) I konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg ugrađivanja.

Sljedeći primjer možete sami riješiti.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju proizvoda tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

U takvim slučajevima je neophodno sekvencijalno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što sa “y” označavamo proizvod dvije funkcije: , a sa “ve” označavamo logaritam: . Zašto se to može uraditi? Da li je zaista – ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Možete se i uvrnuti i staviti nešto izvan zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor upravo u ovom obliku - lakše će se provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje; u uzorku se rješava prvom metodom.

Pogledajmo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje će biti napisano kompaktnije ako prvo upotrijebimo pravilo diferencijacije količnika , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi kako jeste, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli da li se odgovor može pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i oslobodimo se trospratne frakcije:

Jednostavniji primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se "strašni" logaritam predlaže za diferencijaciju

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah uranja u malodušnost - morate uzeti neugodan derivat iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zbog toga prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, prvo se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule direktno tamo. Ako nemate svesku, kopirajte je na komad papira, jer će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek je preporučljivo da ga „razbijete“.

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori nalaze se na kraju lekcije.

Logaritamski izvod

Ako je derivat logaritama tako slatka muzika, onda se postavlja pitanje: da li je u nekim slučajevima moguće organizovati logaritam veštački? Može! Čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. sta da radim? Možete uzastopno primijeniti pravilo diferencijacije količnika, a zatim pravilo diferencijacije proizvoda. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete ogroman trospratni dio, s kojim uopće ne želite da se bavite.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamski izvod. Logaritmi se mogu umjetno organizirati tako što će se "okačiti" na obje strane:

Bilješka : jer funkcija može uzeti negativne vrijednosti, tada, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni dizajn je također prihvatljiv, gdje se po defaultu uzima u obzir kompleks značenja. Ali ako je u potpunosti strogo, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu.

Sada morate što je više moguće „dezintegrirati“ logaritam desne strane (formule pred vašim očima?). Opisaću ovaj proces veoma detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod udarom:

Izvedba desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste moći samopouzdano upravljati njime.

Šta je sa lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: “Zašto, ima li jedno slovo “Y” ispod logaritma?”

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - JE SAMA FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivat funkcije specificirane implicitno). Dakle, logaritam je eksterna funkcija, a "y" je interna funkcija. I koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao magijom, imamo izvedenicu. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada da se prisjetimo o kakvoj smo "igračkoj" funkciji govorili tokom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Uzorak dizajna primjera ovog tipa nalazi se na kraju lekcije.

Koristeći logaritamsku derivaciju bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su tamo funkcije jednostavnije i, možda, upotreba logaritamskog izvoda nije baš opravdana.

Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stepen i baza zavise od "x". Klasičan primjer koji će vam biti dat u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:

Kako pronaći izvod eksponencijalne funkcije stepena?

Neophodno je koristiti tehniku o kojoj smo upravo govorili - logaritamski izvod. Objesite logaritme na obje strane:

Po pravilu, na desnoj strani stepen se vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo proizvod dvije funkcije, koje će se razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo derivaciju; da bismo to učinili, stavljamo oba dijela ispod poteza:

Dalje radnje su jednostavne:

konačno:

Ako bilo koja konverzija nije sasvim jasna, pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

U praktičnim zadacima, stepen eksponencijalna funkcija će uvijek biti složenija od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamski izvod.

Na desnoj strani imamo konstantu i proizvod dva faktora – “x” i “logaritam logaritma x” (drugi logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Prilikom diferenciranja, kao što se sjećamo, bolje je odmah pomaknuti konstantu iz predznaka derivacije kako ne bi smetala; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :