Apsolutna vrijednost broja. Nenaučno objašnjenje zašto je to potrebno. Vannastavni čas - brojčani modul Definicija brojevnog modula njegova oznaka

Instrukcije

Ako je modul predstavljen kao kontinuirana funkcija, tada vrijednost njegovog argumenta može biti pozitivna ili negativna: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modul je nula, a modul bilo kojeg pozitivnog broja je . Ako je argument negativan, tada se nakon otvaranja zagrada njegov predznak mijenja iz minusa u plus. Na osnovu ovoga slijedi zaključak da su moduli suprotnosti jednaki: |-x| = |x| = x.

Modul kompleksnog broja se nalazi po formuli: |a| = √b ² + c², i |a + b| ≤ |a| + |b|. Ako argument sadrži pozitivan broj kao množitelj, onda se može izvući iz znaka zagrade, na primjer: |4*b| = 4*|b|.

Ako je argument predstavljen kao kompleksan broj, tada je zbog pogodnosti izračunavanja dozvoljen redosled članova izraza u pravougaonim zagradama: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 jer je (2-3) manje od nule.

Argument podignut na stepen je istovremeno pod znakom korena istog reda - rešava se pomoću: √a² = |a| = ±a.

Ako imate zadatak u kojem uvjet za proširenje zagrada modula nije naveden, onda ih se nema potrebe riješiti - to će biti krajnji rezultat. A ako ih trebate otvoriti, onda morate označiti znak ±. Na primjer, trebate pronaći vrijednost izraza √(2 * (4-b))². Njegovo rješenje izgleda ovako: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Pošto je znak izraza 4-b nepoznat, mora se ostaviti u zagradi. Ako dodate dodatni uvjet, na primjer, |4-b| >

Modul nule jednak je nuli, a modul bilo kojeg pozitivnog broja jednak je samom sebi. Ako je argument negativan, tada se nakon otvaranja zagrada njegov predznak mijenja iz minusa u plus. Na osnovu ovoga slijedi zaključak da su moduli suprotnih brojeva jednaki: |-x| = |x| = x.

Modul kompleksnog broja se nalazi po formuli: |a| = √b ² + c², i |a + b| ≤ |a| + |b|. Ako argument sadrži pozitivan cijeli broj kao faktor, onda se može izvući iz znaka zagrade, na primjer: |4*b| = 4*|b|.

Modul ne može biti negativan, tako da se svaki negativan broj pretvara u pozitivan: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2.5.

Ako je argument predstavljen u obliku kompleksnog broja, tada je zbog pogodnosti izračunavanja dozvoljeno promijeniti redosljed članova izraza zatvorenih u pravokutne zagrade: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 jer je (2-3) manje od nule.

Jednačine sa modulima, metode rješenja. Dio 1.

Prije nego što se upustimo u direktno proučavanje tehnika rješavanja ovakvih jednačina, važno je razumjeti suštinu modula i njegovo geometrijsko značenje. U razumijevanju definicije modula i njegovog geometrijskog značenja položene su glavne metode za rješavanje takvih jednačina. Takozvana metoda intervala pri otvaranju modularnih zagrada je toliko efikasna da je pomoću nje moguće riješiti apsolutno svaku jednačinu ili nejednakost s modulima. U ovom dijelu ćemo detaljno proučiti dvije standardne metode: intervalnu metodu i metodu zamjene populacije.

Međutim, kao što ćemo vidjeti, ove metode su uvijek efikasne, ali ne uvijek zgodne i mogu dovesti do dugih, pa čak i ne baš zgodnih proračuna, za koje je naravno potrebno više vremena za rješavanje. Stoga je važno poznavati one metode koje značajno pojednostavljuju rješavanje određenih struktura jednadžbi. Kvadriranje obje strane jednačine, metoda uvođenja nove varijable, grafička metoda, rješavanje jednačina koje sadrže modul pod predznakom modula. Ove metode ćemo pogledati u sljedećem dijelu.

Određivanje modula broja. Geometrijsko značenje modula.

Prije svega, hajde da se upoznamo sa geometrijskim značenjem modula:

Modul brojeva a (|a|) nazovite udaljenost na brojevnoj pravoj od početka (tačka 0) do tačke Aa).

Na osnovu ove definicije, pogledajmo neke primjere:

|7| - ovo je rastojanje od 0 do tačke 7, naravno da je jednako 7. → | 7 |=7

|-5|- ovo udaljenost od 0 do tačke -5 i jednako je: 5. → |-5| = 5

Svi razumijemo da udaljenost ne može biti negativna! Stoga |x| ≥ 0 uvijek!

Rešimo jednačinu: |x |=4

Ova jednačina se može čitati ovako: udaljenost od tačke 0 do tačke x je 4. Da, ispada da se od 0 možemo kretati i ulijevo i udesno, što znači da se krećemo ulijevo na udaljenosti jednakoj 4 završićemo u tački: -4, a pomeranjem udesno završićemo u tački: 4. Zaista, |-4 |=4 i |4 |=4.

Dakle, odgovor je x=±4.

Ako pažljivo proučite prethodnu jednačinu, primijetit ćete da: udaljenost desno duž brojevne prave od 0 do tačke jednaka je samoj tački, a udaljenost lijevo od 0 do broja jednaka je suprotnom broj! Razumijevajući da su brojevi desno od 0 pozitivni, a brojevi lijevo od 0 negativni, formuliramo definicija modula broja: modul (apsolutna vrijednost) broja X(|x|) je sam broj X, ako je x ≥0, a broj – X, ako je x<0.

Ovdje trebamo pronaći skup tačaka na brojevnoj pravoj, udaljenost od 0 do koje će biti manja od 3, zamislimo brojevnu pravu, tačku 0 na njoj, idemo lijevo i izbrojimo jedan (-1), dva (-2) i tri (-3), stani. Sljedeće će biti tačke koje leže dalje od 3 ili udaljenost do koje je od 0 veća od 3, sada idemo desno: jedan, dva, tri, stani ponovo. Sada biramo sve naše tačke i dobijamo interval x: (-3;3).

Važno je da ovo jasno vidite, ako još ne možete, nacrtajte na papir i gledajte da vam ova ilustracija bude potpuno jasna, ne budite lijeni i pokušajte u mislima vidjeti rješenja sljedećih zadataka :

|x |=11, x=? |x|=-5, x=?

|x |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, x-? |x|> -3, x-?

|π-3|=? |-x²-10|=?

|√5-2|=? |2h-h²-3|=?

|x²+2|=? |x²+4|=0

|x²+3x+4|=? |-x²+9| ≤0

Jeste li primijetili čudne zadatke u drugoj koloni? Zaista, udaljenost ne može biti negativna stoga: |x|=-5- nema rješenja, naravno ne može biti manja od 0, dakle: |x|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 su svi brojevi.

Nakon što naučite da brzo vidite slike s rješenjima, čitajte dalje.

U ovom članku ćemo detaljno analizirati apsolutnu vrijednost broja. Dat ćemo različite definicije modula broja, uvesti notaciju i dati grafičke ilustracije. U isto vrijeme, pogledajmo razne primjere pronalaženja modula broja po definiciji. Nakon toga ćemo navesti i obrazložiti glavna svojstva modula. Na kraju članka ćemo govoriti o tome kako se određuje i pronalazi modul kompleksnog broja.

Navigacija po stranici.

Modul brojeva - definicija, notacija i primjeri

Prvo se upoznajemo oznaka modula broja. Zapisaćemo modul broja a kao , odnosno lijevo i desno od broja stavićemo okomite crtice da formiramo znak modula. Navedimo par primjera. Na primjer, modul −7 se može napisati kao ; modul 4.125 je napisan kao , a modul ima zapis u obliku .

Sljedeća definicija modula odnosi se na , i stoga na , i na cijele brojeve, i na racionalne, i na iracionalne brojeve, kao sastavne dijelove skupa realnih brojeva. Govorit ćemo o modulu kompleksnog broja u.

Definicija.

Modul broja a– ovo je ili sam broj a, ako je a pozitivan broj, ili broj −a, suprotan broju a, ako je a negativan broj, ili 0, ako je a=0.

Zvučna definicija modula broja često se piše u sljedećem obliku , ovaj unos znači da ako je a>0, ako je a=0, i ako je a<0 .

Zapis se može predstaviti u kompaktnijoj formi . Ova notacija znači da ako (a je veće ili jednako 0), i ako je a<0 .

Tu je i ulaz . Ovdje treba posebno objasniti slučaj kada je a=0. U ovom slučaju imamo , ali −0=0, budući da se nula smatra brojem koji je suprotan samom sebi.

Hajde da damo primjeri nalaženja modula broja koristeći navedenu definiciju. Na primjer, pronađimo module brojeva 15 i . Počnimo sa pronalaženjem. Pošto je broj 15 pozitivan, njegov je modul, po definiciji, jednak samom ovom broju, odnosno, . Koliki je modul broja? Pošto je negativan broj, njegov modul je jednak broju suprotnom broju, odnosno broju . Dakle, .

Da zaključimo ovo, donosimo jedan zaključak koji je vrlo pogodan za korištenje u praksi pri pronalaženju modula broja. Iz definicije modula broja proizilazi da modul broja jednak je broju ispod predznaka modula bez uzimanja u obzir njegovog predznaka, a iz gore navedenih primjera to je vrlo jasno vidljivo. Navedena izjava objašnjava zašto se naziva i modul broja apsolutnu vrijednost broja. Dakle, modul broja i apsolutna vrijednost broja su jedno te isto.

Modul broja kao udaljenost

Geometrijski, modul broja može se tumačiti kao razdaljina. Hajde da damo određivanje modula broja kroz udaljenost.

Definicija.

Modul broja a– ovo je rastojanje od početka na koordinatnoj liniji do tačke koja odgovara broju a.

Ova definicija je u skladu sa definicijom modula broja datom u prvom paragrafu. Hajde da razjasnimo ovu tačku. Udaljenost od početka do tačke koja odgovara pozitivnom broju jednaka je ovom broju. Nula odgovara ishodištu, stoga je udaljenost od ishodišta do tačke s koordinatom 0 jednaka nuli (ne morate izdvojiti jedan jedinični segment i niti jedan segment koji čini bilo koji dio jediničnog segmenta po redu doći od tačke O do tačke sa koordinatom 0). Udaljenost od ishodišta do tačke sa negativnom koordinatom jednaka je broju suprotnom od koordinata ove tačke, jer je jednaka udaljenosti od ishodišta do tačke čija je koordinata suprotan broj.

Na primjer, modul broja 9 je jednak 9, jer je udaljenost od početka do tačke sa koordinatom 9 jednaka devet. Dajemo još jedan primjer. Tačka sa koordinatom −3,25 nalazi se na udaljenosti 3,25 od tačke O, dakle .

Navedena definicija modula broja je poseban slučaj definicije modula razlike dva broja.

Definicija.

Modul razlike dva broja a i b je jednako rastojanju između tačaka koordinatne linije sa koordinatama a i b.

To jest, ako su date tačke na koordinatnoj liniji A(a) i B(b), tada je udaljenost od tačke A do tačke B jednaka modulu razlike između brojeva a i b. Ako uzmemo tačku O (početak) kao tačku B, onda ćemo dobiti definiciju modula broja datu na početku ovog pasusa.

Određivanje modula broja pomoću aritmetičkog kvadratnog korijena

Povremeno se javlja određivanje modula preko aritmetičkog kvadratnog korijena.

Na primjer, izračunajmo module brojeva −30 i na osnovu ove definicije. Imamo. Slično, izračunavamo modul od dvije trećine: .

Definicija modula broja kroz aritmetički kvadratni korijen je također u skladu sa definicijom datom u prvom stavu ovog člana. Hajde da to pokažemo. Neka je a pozitivan broj, i neka je −a negativan broj. Onda I , ako je a=0 , onda .

Svojstva modula

Modul ima niz karakterističnih rezultata - svojstva modula. Sada ćemo predstaviti glavne i najčešće korištene od njih. Kada opravdavamo ova svojstva, oslonićemo se na definiciju modula broja u smislu udaljenosti.

Počnimo s najočiglednijim svojstvom modula - Modul broja ne može biti negativan broj. U doslovnom obliku, ovo svojstvo ima oblik za bilo koji broj a. Ovo svojstvo je vrlo lako opravdati: modul broja je udaljenost, a udaljenost se ne može izraziti kao negativan broj.

Pređimo na sljedeće svojstvo modula. Modul broja je nula ako i samo ako je ovaj broj nula. Modul nule je nula po definiciji. Nula odgovara ishodištu; nijedna druga tačka na koordinatnoj liniji ne odgovara nuli, pošto je svaki realan broj povezan sa jednom tačkom na koordinatnoj liniji. Iz istog razloga, bilo koji broj osim nule odgovara tački različitoj od početka. A rastojanje od početka do bilo koje tačke osim tačke O nije nula, pošto je rastojanje između dve tačke nula ako i samo ako se ove tačke poklapaju. Gornje rezonovanje dokazuje da je samo modul nule jednak nuli.

Nastavi. Suprotni brojevi imaju jednake module, odnosno za bilo koji broj a. Zaista, dvije tačke na koordinatnoj liniji, čije su koordinate suprotni brojevi, nalaze se na istoj udaljenosti od početka, što znači da su moduli suprotnih brojeva jednaki.

Sljedeće svojstvo modula je: Modul proizvoda dva broja jednak je proizvodu modula ovih brojeva, to je, . Po definiciji, modul proizvoda brojeva a i b jednak je ili a·b ako je , ili −(a·b) ako je . Iz pravila množenja realnih brojeva slijedi da je proizvod modula brojeva a i b jednak ili a·b, , ili −(a·b) ako je , što dokazuje dotično svojstvo.

Modul količnika a podijeljenog sa b jednak je količniku modula broja podijeljenog modulom od b, to je, . Hajde da opravdamo ovo svojstvo modula. Pošto je količnik jednak proizvodu, onda. Na osnovu prethodnog svojstva imamo . Ostaje samo koristiti jednakost , koja vrijedi na osnovu definicije modula broja.

Sljedeće svojstvo modula zapisuje se kao nejednakost: , a , b i c su proizvoljni realni brojevi. Napisana nejednakost nije ništa drugo do nejednakost trougla. Da ovo bude jasno, uzmimo tačke A(a), B(b), C(c) na koordinatnoj pravoj i razmotrimo degenerisani trougao ABC, čiji vrhovi leže na istoj pravoj. Po definiciji, modul razlike jednak je dužini odsječka AB, - dužini odsječka AC, i - dužini odsječka CB. Kako dužina bilo koje stranice trokuta ne prelazi zbir dužina druge dvije stranice, tada je tačna nejednakost , dakle, tačna je i nejednakost.

Upravo dokazana nejednakost je mnogo češća u obliku . Napisana nejednakost se obično posmatra kao zasebno svojstvo modula sa formulacijom: “ Modul zbira dva broja ne prelazi zbir modula ovih brojeva" Ali nejednakost proizlazi direktno iz nejednakosti ako stavimo −b umjesto b i uzmemo c=0.

Modul kompleksnog broja

Hajde da damo definicija modula kompleksnog broja. Neka nam se da kompleksni broj, napisan u algebarskom obliku, gdje su x i y neki realni brojevi, koji predstavljaju realni i imaginarni dio datog kompleksnog broja z, i predstavlja imaginarnu jedinicu.

Slično, razlika z 1 - z 2 kompleksnih brojeva z 1 i z 2 odgovara razlici vektora koji odgovaraju brojevima z 1 i z 2. Modul dva kompleksna broja z 1 i z 2, prema definiciji modula , je dužina vektora z 1 - z 2. Konstruirajmo vektor , kao zbir dva vektora z 2 i (- z 1). Dobijamo vektor jednak vektoru, dakle postoji dužina vektora, odnosno modul razlike dva kompleksna broja je rastojanje između tačaka kompleksne ravni koje odgovaraju ovim brojevima.

6. Argumenti kompleksnog broja. Argument kompleksnog broja z= a + ib je veličina ugla između pozitivnog smjera realne ose i vektora z; kut se smatra pozitivnim ako se broji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnim ako se broji u smjeru kazaljke na satu.

Da biste naznačili činjenicu da je broj j argument broja z= a+ ib, napišite j=argz ili j=arg (a+ib).

Za broj z=0 argument nije definiran. Stoga ćemo u svim narednim argumentima vezanim za koncept argumenta pretpostaviti da se specificiranjem modula i argumenta kompleksni broj određuje jedinstveno; broj z=0 je jedini broj koji se određuje specificiranjem samo njegovog modula.

S druge strane, ako je zadan kompleksan broj, onda je, očito, modul ovog broja uvijek jednoznačno definiran, za razliku od argumenta koji je uvijek određen dvosmisleno: ako je j neki argument broja z, tada je uglovi j + 2pk su također argumenti broja z.

Iz definicije trigonometrijskih funkcija slijedi da ako je j=arg (a+ib), onda vrijedi sljedeći sistem

Primjer 4. Koliko rješenja ima sistem jednačina?

a) Predstavimo u jednoj kompleksnoj ravni brojeve čiji su moduli jednaki 3 i 1

pronađi modul 1- i: .

Imajte na umu da nema tačke na većem krugu

je blizu manjeg na udaljenosti jednakoj ,

iz čega sledi da sistem nema korene.

Kada se pomakne za 3 i dobijemo samo jednu tačku na manjem krugu na koju ova tačka pada

drugi krug.

Ova tačka će biti rješenje sistema.

c) Predstavimo u jednoj kompleksnoj ravni brojeve čiji su moduli jednaki 1.

Imajte na umu da kada pomerimo samo dve tačke za jednu ulevo, završićemo na istom krugu, što znači da će ova dva broja biti rešenja sistema.

7.Algebarski i trigonometrijski oblici kompleksnih brojeva. Pisanje kompleksnog broja z u obliku a +ib se zove algebarski oblik kompleksni broj.

Razmotrimo druge oblike pisanja kompleksnih brojeva. Neka je r modul, a j bilo koji od argumenata kompleksnog broja z= a+ ib, to jest, r = ,j=arg (a+ib). Tada iz formule (5) slijedi da, i, prema tome,

Pisanje kompleksnog broja u obliku naziva se ee trigonometrijski oblik.

Da bi se sa algebarskog oblika kompleksnog broja a+ib prešlo na trigonometrijski, dovoljno je pronaći njegov modul i jedan od argumenata.

Primjer 5. Koji skup tačaka kompleksne ravni je dat uslovom

a) Moramo konstruisati tačke koje se pomeraju nadole za i a desno za 1 bi se naučilo da bude jednako udaljeno od početka, odakle

da bismo konstruisali skup tačaka koje zadovoljavaju ovaj uslov, moramo:

1) konstruisati skup tačaka jednako udaljenih od početka koordinata za 2

2) pomerite ga za 1 ulevo i na i gore

b) Moramo konstruisati tačke koje bi se nalazile bliže tački - i nego da 2i, Ove tačke su prikazane na slici.

c) Ova jednačina je ekvivalentna jednačini

To jest, ovi brojevi će biti uklonjeni na udaljenosti

1 desno. U ovom slučaju, ako je ispunjen drugi uslov, dobiće se ugao prikazan na slici.

Odnosno, to će biti tačke udaljene od početka koordinata ne više od 1 i istovremeno isključujući broj 0. Uzimajući u obzir drugi i treći uslov, dobijamo:

f) Da bi se konstruisale tačke koje zadovoljavaju prvi uslov, potrebno je pomeriti uklonjene tačke za rastojanje od 1,

1 desno. Štaviše, uzimajući u obzir druge uslove, dobijamo

potreban skup tačaka.

Primjer 6. Da li su sljedeći izrazi u trigonometrijskom obliku?

Trigonometrijski oblik pisanja broja bit će samo izraz a), jer samo on zadovoljava definiciju trigonometrijskog oblika pisanja broja (a za sve trigonometrijske funkcije uglovi moraju biti jednaki, a i ako izračunate vrijednost izraza , onda mora biti jednako).

8. Množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku. Neka

dakle, modul i proizvod dva kompleksna broja jednak je proizvodu modula faktora, a zbir argumenata faktora je argument proizvoda.

Neka onda

dakle, Modul količnika dva kompleksna broja jednak je količniku modula deljenice i djelitelja, a razlika između argumenata dividende i djelitelja je argument kvocijenta.

9. Eksponencijacija i ekstrakcija korijena. Formula (6) za proizvod dva kompleksna broja može se generalizirati na slučaj faktora. Koristeći metodu matematičke indukcije, nije teško pokazati da ako su argumenti brojeva, respektivno, onda

Odavde, kao poseban slučaj, dobijamo formulu koja daje pravilo za podizanje kompleksnog broja na pozitivan celobrojni stepen:

dakle, Kada se kompleksni broj podigne na stepen sa prirodnim eksponentom, njegov modul se podiže na stepen sa istim eksponentom, a argument se množi sa eksponentom.

Formula (8) se zove Moivreova formula.

Broj se naziva korijenom stepena broja w(označeno ako

Ako w=0, zatim za bilo koji n jednadžba ima jedno i samo jedno rješenje z= 0.

Hajde sada da zamislimo z I w u trigonometrijskom obliku:

Tada će jednačina poprimiti oblik

Dva kompleksna broja su jednaka ako i samo ako su njihovi moduli jednaki, a argumenti se razlikuju za višekratnik od 2 str. dakle,

Dakle, sva rješenja jednadžbe su data formulom

U stvari, davanje broja k u formuli (9) cjelobrojne vrijednosti različite od 0, 1, …, ( n-1), ne dobijamo druge kompleksne brojeve.

Formula (9) se zove Moivreova druga formula.

Dakle, ako , onda postoji točno n korijeni stepena n od broja w: svi su sadržani u formuli (9).

Konkretno, ako je =2, onda jednačina ima dva korijena:

to jest, ovi korijeni su simetrični u odnosu na porijeklo.

Također iz formule (9) nije teško dobiti da ako su tačke koje predstavljaju sve korijene jednadžbe vrhovi tačne n- trougao upisan u krug sa središtem at z=0 i poluprečnik .

Iz navedenog proizilazi da simbol nema jasno značenje. Stoga, kada ga koristite, trebate jasno razumjeti šta to znači. Na primjer, kada koristite notaciju, treba paziti da bude jasno da li to znači par kompleksnih brojeva i I -i, ili jedan, i, ako jedan, koji.

Primjer 7. Napiši u trigonometrijskom obliku:

b) Otkad, dakle, odakle.

Od , pa gdje

c) Otkad, dakle, odakle.

10. Kvadratne jednadžbe. O kvadratnim jednadžbama se raspravljalo na školskom kursu algebre.

sa realnim kvotama a, b, c. Tamo je pokazano da ako je diskriminanta jednadžbe (10) nenegativna, tada su rješenja takve jednadžbe data formulom

Ako je , rečeno je da jednačina nema rješenja.

Da bismo izveli formulu (11), koristili smo tehniku izolacije kvadrata trinoma, a zatim dekomponovanje lijeve strane na linearne faktore:

odakle dolazi formula (11). Očigledno, svi ovi proračuni ostaju važeći u slučaju kada a, b, c su kompleksni brojevi, a korijeni jednadžbe se nalaze u skupu kompleksnih brojeva.

Dakle, u skupu kompleksnih brojeva, jednačina

uvek rešiv. Ako jednačina ima jedan korijen;, jednačina ima dva korijena. U svim slučajevima, formula vrijedi za korijene kvadratne jednadžbe

gde se podrazumevaju sva značenja korena.

Primjer 8. Riješite jednačinu

a) Ova jednačina je kvadratna.

i zbog toga x I y zadovoljiti sistem

i x I y

primeti, to x

kada dobijemo:

Rešimo jednačinu (*): x 4 +15x 2 -16 =0 – kvadratna jednačina u odnosu na x 2, odakle

Vratimo se sistemu:

b) Ova jednačina je kvadratna.

Koristeći formulu za korijene kvadratne jednadžbe, imamo:

Da bismo odredili sve vrijednosti, postavljamo

i zbog toga x I y zadovoljiti sistem

i x I y realni brojevi. Rešimo sistem:

primeti, to x=0 nije rješenje za sistem.

kada dobijemo:

Rešimo jednačinu (*): x 4 -16x 2 -225=0 – kvadratna jednačina u odnosu na x 2, odakle

Vratimo se sistemu:

Primjer 9. Riješite jednačinu

a) Neka , tada jednačina poprima oblik:

Odakle, koristeći teoremu inverznu Vietinoj teoremi, dobijamo

vraćajući se u z, dobijamo

1) . Primetite, to. Koristeći Moivreovu drugu formulu, dobijamo:

dakle,

2) . Primetite, to. Koristeći Moivreovu drugu formulu, dobijamo:

dakle,

b) Hajde da transformišemo jednačinu:

Primetite, to. Koristeći Moivreovu drugu formulu, dobijamo:

Primjer 10. Riješite jednačinu:

Rešimo jednačinu kao kvadratnu u odnosu na z 2: D=

Neka z=a+ib, tada , i jednadžba ima oblik

Neka, dakle, odakle

Neka , Onda, što znači da smo dobili, a onda smo dobili da

a je sam broj. Broj u modulu:

|a| = a

Modul kompleksnog broja.

Pretpostavimo da postoji kompleksni broj, koji je napisan u algebarskom obliku z=x+i·y, Gdje x I y- realni brojevi, koji predstavljaju realne i imaginarne dijelove kompleksnog broja z, a je imaginarna jedinica.

Modul kompleksnog broja z=x+i·y je aritmetički kvadratni korijen zbira kvadrata realnog i imaginarnog dijela kompleksnog broja.

Modul kompleksnog broja z označava se na sljedeći način, što znači da se definicija modula kompleksnog broja može napisati na sljedeći način: .

Svojstva modula kompleksnih brojeva.

Domen definicije: cijela kompleksna ravan.
Raspon vrijednosti: }