definicija: Neka u svakoj tački glatke krive L=AB u avionu Oxy data je kontinuirana funkcija dvije varijable f(x,y). Hajde da proizvoljno podijelimo krivu L on n dijelovi sa tačkama A = M 0, M 1, M 2, ... M n = B. Zatim na svakom od rezultirajućih dijelova \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) odabiremo bilo koju tačku \(\bar((M)_(i))\lijevo (\ bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\desno)\)i napravi zbir $$(S)_(n)=\sum_(i=1) ^(n )f\left(\bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\desno)\Delta (l)_(i)$$ gdje je \(\Delta (l) _(i)=(M)_(i-1)(M)_(i)\) - luk \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i ))\) . Primljeni iznos se poziva integralni zbir prve vrste za funkciju f(x,y) , dato na krivulji L.

Označimo sa d najveća dužina luka \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) (dakle d = \(max_(i)\Delta(l)_(i)\) )). Ako na d? 0 postoji granica integralnih suma S n (nezavisno od metode podjele krive L na dijelove i izbora tačaka \(\bar((M)_(i))\)), tada se ova granica naziva krivolinijski integral prvog reda od funkcije f(x,y) duž krive L i označeno je sa $$\int_(L)f(x,y)dl$$

Može se dokazati da ako je funkcija f(x,y) je kontinuiran, tada integral linije \(\int_(L)f(x,y)dl\) postoji.

Svojstva krivolinijskog integrala 1. vrste

Krivolinijski integral prve vrste ima svojstva slična odgovarajućim svojstvima određenog integrala:

• aditivnost,
• linearnost,
• ocjenjivanje modula,
• teorema srednje vrijednosti.

Međutim, postoji razlika: $$\int_(AB)f(x,y)dl=\int_(BA)f(x,y)dl$$, tj. linijski integral prve vrste ne zavisi od pravca integracije.

Proračun krivolinijskih integrala prve vrste

Proračun krivolinijskog integrala prve vrste svodi se na izračunavanje određenog integrala. naime:

1. Ako je kriva L data pomoću kontinuirano diferencibilne funkcije y=y(x), x \(\in \) , tada je $$(\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int \limits_a^b (f\left((x,y\left(x \right)) \desno)\sqrt (1 + ((\left((y"\left(x \right)) \ desno))^ 2)) dx) ;)$$ u ovom slučaju izraz \(dl=\sqrt((1 + ((\left((y"\left(x \right)) \right))^2 ))) dx \) se naziva diferencijal dužine luka.
2. Ako je kriva L specificirana parametarski, tj. u obliku x=x(t), y=y(t), gdje su x(t), y(t) kontinuirano diferencibilne funkcije na nekom intervalu \(\left [ \alpha ,\beta \right ]\), tada $$ (\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left ((x\left(t \right), y \left(t \right)) \right)\sqrt (((\left((x"\left(t \right)) \right))^2) + (\left((y"\left( t \desno)) \desno))^2)) dt)) $$ Ova jednakost se proširuje na slučaj prostorne krive L definirane parametarski: x=x(t), y=y(t), z=z( t), \(t\u \lijevo [ \alfa ,\beta \desno ]\). U ovom slučaju, ako je f(x,y,z) kontinuirana funkcija duž krive L, tada je $$ (\int\limits_L (f\left((x,y,z) \right)dl) ) = ( \int \limits_\alpha ^\beta (f\left [ (x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right)) \right ]\sqrt ((( \left ((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left) (( z"\levo(t \desno)) \desno))^2)) dt)) $$
3. Ako je ravna kriva L data polarnom jednadžbom r=r(\(\varphi \)), \(\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] \), tada je $$ (\int\ limits_L (f\ left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left((r\cos \varphi ,r\sin \varphi) \right)\ sqrt ((r ^2) + (((r)")^2)) d\varphi)) $$

Krivolinijski integrali 1. vrste - primjeri

Primjer 1

Izračunajte linijski integral prve vrste

$$ \int_(L)\frac(x)(y)dl $$ gdje je L luk parabole y 2 =2x, zatvoren između tačaka (2,2) i (8,4).

Rješenje: Pronađite diferencijal luka dl za krivu \(y=\sqrt(2x)\). Imamo:

\((y)"=\frac(1)(\sqrt(2x)) \) $$ dl=\sqrt(1+\left ((y)" \right)^(2)) dx= \sqrt( 1+\left (\frac(1)(\sqrt(2x)) \right)^(2)) dx = \sqrt(1+ \frac(1)(2x)) dx $$ Stoga je ovaj integral jednak : $ $\int_(L)\frac(x)(y)dl=\int_(2)^(8)\frac(x)(\sqrt(2x))\sqrt(1+\frac(1)( 2x) )dx= \int_(2)^(8)\frac(x\sqrt(1+2x))(2x)dx= $$ $$ \frac(1)(2)\int_(2)^( 8) \sqrt(1+2x)dx = \frac(1)(2).\frac(1)(3)\left (1+2x \right)^(\frac(3)(2))|_ (2 )^(8)= \frac(1)(6)(17\sqrt(17)-5\sqrt(5)) $$

Primjer 2

Izračunajte krivolinijski integral prve vrste \(\int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl \), gdje je L kružnica x 2 +y 2 =ax (a>0).

Rješenje: Hajde da uvedemo polarne koordinate: \(x = r\cos \varphi \), \(y=r\sin \varphi \). Tada pošto je x 2 +y 2 =r 2, jednadžba kružnice ima oblik: \(r^(2)=arcos\varphi \), odnosno \(r=acos\varphi \), a diferencijal luka $$ dl = \ sqrt(r^2+(2)"^2)d\varphi = $$ $$ =\sqrt(a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi )d \varphi=ad\varphi $$ .

U ovom slučaju, \(\varphi\in \left [- \frac(\pi )(2) ,\frac(\pi )(2) \right ] \). Prema tome, $$ \int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl=a\int_(-\frac(\pi )(2))^(\frac(\pi )(2))acos \varphi d\varphi =2a^2 $$

Svrha. Kalkulator na mreži je dizajniran da pronađe rad sile F kada se kreće duž luka prave L.

Krivolinijski i površinski integrali druge vrste

Razmotrimo raznolikost σ. Neka je τ(x,y,z) jedinični tangentni vektor na σ ako je σ kriva, i neka je n(x,y,z) jedinični vektor normale na σ ako je σ površina u R 3 . Uvedemo vektore dl = τ · dl i dS = n · dS, gdje su dl i dS dužina i površina odgovarajućeg dijela krive ili površine. Pretpostavićemo da je dσ =dl ako je σ kriva, a dσ =dS ako je σ površina. Nazovimo dσ orijentisanom mjerom odgovarajućeg dijela krive ili površine.

Definicija . Neka je dat orijentirani kontinuirani komadno glatki mnogostrukost σ i vektorska funkcija na σ F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)+R(x,y, z). Podijelimo mnogostrukost na dijelove sa mnogostrukostima niže dimenzije (kriva - sa tačkama, površina - sa krivuljama), unutar svake rezultirajuće elementarne mnogostrukosti biramo tačku M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), M 1 ( x 1 ,y 1 ,z 1) , ... ,M n (x n ,y n ,z n). Izbrojimo vrijednosti F(x i ,y i ,z i), i=1,2,...,n vektorske funkcije u ovim tačkama, skalarno pomnožimo ove vrijednosti orijentiranom mjerom dσ i datog elementarni razvodnik (orijentisana dužina ili površina odgovarajućeg preseka razvodnika) i da ga sumiramo. Granica rezultujućih suma, ako postoji, ne zavisi od metode dijeljenja mnogostrukosti na dijelove i izbora tačaka unutar svake elementarne mnogostrukosti, pod uslovom da prečnik elementarnog presjeka teži nuli, naziva se integralom preko mnogostrukost (krivolinijski integral ako je σ kriva i površinski integral ako je σ - površina) druge vrste, integral duž orijentisane mnogostrukosti, ili integral vektora F duž σ, i označava se u opštem slučaju, u slučajevima krivolinijskih i površinskih integrala respektivno.
Imajte na umu da ako je F(x,y,z) sila, onda je rad ove sile da pomjeri materijalnu tačku duž krive, ako je F(x,y,z) stacionarno (vremenski neovisno) polje brzine tečnosti koja teče, dakle - količina tekućine koja protiče kroz površinu S u jedinici vremena (vektorski protok kroz površinu).
Ako je kriva specificirana parametarski ili, što je isto, u vektorskom obliku,

To

a za krivolinijski integral druge vrste imamo

Kako su dS = n dS =(cosα, cosβ, cosγ), gdje su cosα, cosβ, cosγ kosinusi smjera jediničnog vektora normale n i cosαdS=dydz, cosβdS=dxdz, cosγdS=dxdy, onda za površinski integral od drugu vrstu dobijamo

Ako je površina specificirana parametarski ili, što je isto, u vektorskom obliku
r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k, (u,v)∈D
To

Gdje - Jakobijane (determinante Jacobijevih matrica, ili, što je isto, matrice derivacija) vektorskih funkcija respektivno.

Ako se površina S može istovremeno odrediti jednadžbama, tada se površinski integral druge vrste izračunava po formuli

gdje su D 1, D 2, D 3 projekcije površine S na koordinatne ravnine Y0Z, X0Z, X0Y, redom, a znak “+” se uzima ako je kut između vektora normale i ose duž koje je projektovan se izvodi je oštar, a znak “–” ako je ovaj ugao tup.

Svojstva krivolinijskih i površinskih integrala druge vrste

Napomenimo neka svojstva krivolinijskih i površinskih integrala druge vrste.
Teorema 1. Krivolinijski i površinski integrali 2. vrste zavise od orijentacije krivulje i površine, tačnije
.

Teorema 2. Neka je σ=σ 1 ∪σ 2 i dimenzija preseka dlim(σ 1 ∩σ 2)=n-1. Onda

Dokaz. Uključujući zajedničku granicu σ 1 sa σ 2 među particione mnogostruke u definiciji integrala nad mnogoznakom druge vrste, dobijamo traženi rezultat.

Primjer br. 1. Pronađite rad sile F pri kretanju duž luka prave L od tačke M 0 do tačke M 1.
F=x 2 yi+yj; , L: segment M 0 M 1
M 0 (-1;3), M 0 (0;1)
Rješenje.
Naći jednačinu prave duž odsječka M 0 M 1 .
ili y=-2x+1
dy=-2dx

Granice promjene x: [-1; 0]

Krivolinijski integral 2. vrste izračunava se na isti način kao krivolinijski integral 1. vrste redukcijom na definitivan. Da bi se to postiglo, sve varijable pod predznakom integrala se izražavaju kroz jednu varijablu, koristeći jednadžbu linije duž koje se vrši integracija.

a) Ako je linija AB je tada zadan sistemom jednačina

(10.3)

Za ravan slučaj, kada je kriva data jednadžbom krivolinijski integral se izračunava pomoću formule: . (10.4)

Ako je linija AB je tada dat parametarskim jednadžbama

(10.5)

Za ravno kućište, ako je linija AB dato parametarskim jednadžbama , krivolinijski integral se izračunava po formuli:

, (10.6)

gdje su vrijednosti parametara t, koji odgovaraju početnoj i krajnjoj tački puta integracije.

Ako je linija AB komadno glatko, onda bismo trebali koristiti svojstvo aditivnosti krivolinijskog integrala cijepanjem AB na glatkim lukovima.

Primjer 10.1 Izračunajmo krivolinijski integral duž konture koja se sastoji od dijela krive od tačke prije i lukovi elipse od tačke prije .

Budući da se kontura sastoji od dva dijela, koristimo svojstvo aditivnosti krivolinijskog integrala: . Svedujmo oba integrala na definitivne. Dio konture je dat jednadžbom u odnosu na varijablu . Koristimo formulu (10.4 ), u kojem mijenjamo uloge varijabli. One.

. Nakon obračuna dobijamo .

Za izračunavanje konturnog integrala Ned Pređimo na parametarski oblik pisanja jednadžbe elipse i koristimo formulu (10.6).

Obratite pažnju na granice integracije. Poenta odgovara vrijednosti i točki odgovara odgovor:
.

Primjer 10.2. Izračunajmo duž pravocrtnog segmenta AB, Gdje A(1,2,3), B(2,5,8).

Rješenje. Dat je krivolinijski integral 2. vrste. Da biste ga izračunali, morate ga pretvoriti u određeni. Sastavimo jednačine prave. Njegov vektor smjera ima koordinate .

Kanonske jednadžbe prave AB: .

Parametarske jednadžbe ove linije: ,

At
.

Koristimo formulu (10.5) :

Nakon izračunavanja integrala, dobijamo odgovor: .

5. Rad sile pri pomicanju materijalne tačke jedinične mase od tačke do tačke duž krive .

Neka u svakoj tački glatke krivulje dat je vektor koji ima kontinuirane koordinatne funkcije: . Razbijmo ovu krivu na male dijelove sa tačkama tako da na tačkama svakog dijela značenje funkcija
može se smatrati konstantnim, a sam dio može se zamijeniti za pravi segment (vidi sliku 10.1). Onda . Skalarni proizvod konstantne sile, čiju ulogu igra vektor , po pravolinijskom vektoru pomaka numerički je jednak radu sile pri pomicanju materijalne točke duž . Napravimo integralni zbir . U limitu, sa neograničenim povećanjem broja particija, dobijamo krivolinijski integral 2. vrste

. (10.7) Dakle, fizičko značenje krivolinijskog integrala 2. vrste - ovo je rad na silu prilikom pomeranja materijalne tačke iz A To IN duž konture L.

Primjer 10.3. Izračunajmo rad vektora kada pomičemo tačku duž dijela Vivijanijeve krive definirane kao sjecište hemisfere i cilindar , u smjeru suprotnom od kazaljke na satu kada se gleda s pozitivnog dijela ose OX.

Rješenje. Konstruirajmo datu krivu kao liniju presjeka dvije površine (vidi sliku 10.3).

.

Da bismo sveli integrand na jednu varijablu, prijeđimo na cilindrični koordinatni sistem: .

Jer tačka se kreće duž krive , tada je zgodno odabrati kao parametar varijablu koja se mijenja duž konture tako da . Tada dobijamo sledeće parametarske jednačine ove krive:

.Wherein
.

Zamijenimo rezultirajuće izraze u formulu za izračunavanje cirkulacije:

( - znak + označava da se tačka kreće duž konture suprotno od kazaljke na satu)

Izračunajmo integral i dobijemo odgovor: .

Lekcija 11.

Greenova formula za jednostavno povezan region. Nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije. Newton-Leibnizova formula. Pronalaženje funkcije iz njenog ukupnog diferencijala korištenjem krivolinijskog integrala (ravni i prostorni slučajevi).

OL-1 poglavlje 5, OL-2 poglavlje 3, OL-4 poglavlje 3 § 10, klauzula 10.3, 10.4.

Vježbajte : OL-6 br. 2318 (a, b, d), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327, 2329 ili OL-5 br. 10.79, 82, 133, 135, 139.

Izgradnja kuće za lekciju 11: OL-6 br. 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 ili OL-5 br. 10.80, 134, 136, 140

Greenova formula.

Pustite u avion zadana jednostavno povezana domena omeđena komadično glatkom zatvorenom konturom. (Oblast se naziva jednostavno povezanom ako se bilo koja zatvorena kontura u njoj može skupiti na tačku u ovoj regiji).

Teorema. Ako funkcije i njihove parcijalne derivate G, To

Slika 11.1

- Greenova formula . (11.1)

Označava pozitivan smjer premosnice (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu).

Primjer 11.1. Koristeći Greenovu formulu, izračunavamo integral duž konture koja se sastoji od segmenata O.A., O.B. i veći luk kružnice , spajanje tačaka A I B, Ako , , .

Rješenje. Napravimo konturu (vidi sliku 11.2). Izračunajmo potrebne derivate.

Slika 11.2

, ; , . Funkcije i njihovi derivati ​​su kontinuirani u zatvorenom području ograničenom datom konturom. Prema Greenovoj formuli, ovaj integral je .

Nakon zamjene izračunatih derivata dobijamo

. Dvostruki integral izračunavamo prelaskom na polarne koordinate:
.

Provjerimo odgovor izračunavanjem integrala direktno duž konture kao krivolinijskog integrala 2. vrste.
.

Odgovori:
.

2. Nezavisnost krivolinijskog integrala od puta integracije.

Neka I - proizvoljne tačke jednostavno povezane regije pl. . Krivolinijski integrali izračunati iz različitih krivulja koje povezuju ove tačke uglavnom imaju različita značenja. Ali ako su ispunjeni određeni uvjeti, sve ove vrijednosti mogu se pokazati istim. Tada integral ne zavisi od oblika putanje, već zavisi samo od početne i krajnje tačke.

Važe sljedeće teoreme.

Teorema 1. Da bi integral
nije zavisio od oblika putanje koja povezuje tačke i , potrebno je i dovoljno da ovaj integral duž bilo koje zatvorene konture bude jednak nuli.

Teorema 2.. Da bi integral
duž bilo koje zatvorene konture jednaka je nuli, potrebno je i dovoljno da funkcija i njihove parcijalne derivate bili kontinuirani u zatvorenom prostoru G i tako da je uslov zadovoljen (11.2)

Dakle, ako su ispunjeni uslovi da integral bude nezavisan od oblika putanje (11.2) , tada je dovoljno navesti samo početnu i krajnju tačku: (11.3)

Teorema 3. Ako je uslov zadovoljen u jednostavno povezanoj regiji , onda postoji funkcija takav da . (11.4)

Ova formula se zove formula Newton–Leibniz za linijski integral.

Komentar. Podsjetimo da je jednakost je neophodan i dovoljan uslov da se izraz
.

Tada iz gornjih teorema slijedi da ako su funkcije i njihove parcijalne derivate kontinuirano u zatvorenom prostoru G, u kojem su dati bodovi I , And , To

a) postoji funkcija , takav da ,

ne zavisi od oblika staze, ,

c) formula vrijedi Newton–Leibniz .

Primjer 11.2. Uvjerimo se da je integral
ne zavisi od oblika putanje, i hajde da ga izračunamo.

Rješenje. .

Slika 11.3

Provjerimo da je uslov (11.2) zadovoljen.
. Kao što vidimo, uslov je ispunjen. Vrijednost integrala ne zavisi od puta integracije. Hajde da izaberemo put integracije. Većina

jednostavan način izračunavanja je izlomljena linija DIA, povezujući početnu i završnu tačku putanje. (Vidi sliku 11.3)

Onda .

3. Pronalaženje funkcije po njenom totalnom diferencijalu.

Koristeći krivolinijski integral, koji ne ovisi o obliku putanje, možemo pronaći funkciju , znajući njegov puni diferencijal. Ovaj problem se rješava na sljedeći način.

Ako funkcije i njihove parcijalne derivate kontinuirano u zatvorenom prostoru G I , tada je izraz totalni diferencijal neke funkcije . Osim toga, integral
, prvo, ne zavisi od oblika putanje i, drugo, može se izračunati pomoću Newton–Leibnizove formule.

Hajde da izračunamo
dva načina.

Slika 11.4

a) Odaberite tačku u regiji sa određenim koordinatama i tačkom sa proizvoljnim koordinatama. Izračunajmo krivolinijski integral duž izlomljene linije koja se sastoji od dva segmenta koji spajaju ove tačke, pri čemu je jedan od segmenata paralelan sa osi, a drugi sa osom. Onda . (Vidi sliku 11.4)

Jednačina .

Jednačina .

Dobijamo: Nakon izračunavanja oba integrala, dobijamo određenu funkciju u odgovoru .

b) Sada izračunavamo isti integral koristeći Newton–Leibniz formulu.

Sada uporedimo dva rezultata izračunavanja istog integrala. Funkcionalni dio odgovor u tački a) je željena funkcija , a numerički dio je njegova vrijednost u tački .

Primjer 11.3. Uvjerimo se da je izraz
je ukupni diferencijal neke funkcije i naći ćemo je. Provjerimo rezultate izračunavanja primjera 11.2 koristeći Newton-Leibniz formulu.

Rješenje. Uslov za postojanje funkcije (11.2) je provjereno u prethodnom primjeru. Nađimo ovu funkciju, za koju ćemo koristiti sliku 11.4, i uzeti za tačka . Sastavimo i izračunajmo integral duž izlomljene linije DIA, Gdje :

Kao što je gore spomenuto, funkcionalni dio rezultirajućeg izraza je željena funkcija
.

Provjerimo rezultat proračuna iz primjera 11.2 koristeći Newton–Leibniz formulu:

Rezultati su bili isti.

Komentar. Svi razmatrani iskazi su tačni i za prostorni slučaj, ali sa većim brojem uslova.

Neka glatka kriva pripada regiji u prostoru . Zatim, ako su funkcije i njihove parcijalne derivacije kontinuirane u zatvorenom području u kojem su date tačke I , And
(11.5 ), To

a) izraz je totalni diferencijal neke funkcije ,

b) krivolinijski integral ukupnog diferencijala neke funkcije ne zavisi od oblika staze i ,

c) formula vrijedi Newton–Leibniz .(11.6 )

Primjer 11.4. Uvjerimo se da je izraz potpuni diferencijal neke funkcije i naći ćemo je.

Rješenje. Odgovoriti na pitanje da li je dati izraz potpuni diferencijal neke funkcije , izračunajmo parcijalne izvode funkcija, ,
. (Cm. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Ove funkcije su kontinuirane zajedno sa svojim parcijalnim derivatima u bilo kojoj tački prostora .

Vidimo da su neophodni i dovoljni uslovi za postojanje zadovoljeni : , , , itd.

Za izračunavanje funkcije Iskoristimo činjenicu da linearni integral ne ovisi o putu integracije i da se može izračunati korištenjem Newton-Leibnizove formule. Pusti poentu - početak puta, i neka tačka - kraj puta . Izračunajmo integral

duž konture koja se sastoji od ravnih segmenata paralelnih sa koordinatnim osa. (vidi sliku 11.5).

.

Slika 11.5

Jednačine konturnih dijelova: , ,
.

Onda

, x popravljeno ovde, dakle ,

, snimljeno ovdje y, Zbog toga .

Kao rezultat dobijamo: .

Sada izračunajmo isti integral koristeći Newton-Leibniz formulu.

Uporedimo rezultate: .

Iz rezultirajuće jednakosti slijedi da , i

Lekcija 12.

Površinski integral prve vrste: definicija, osnovna svojstva. Pravila za izračunavanje površinskog integrala prve vrste pomoću dvostrukog integrala. Primene površinskog integrala prve vrste: površina, masa materijalne površine, statički momenti oko koordinatnih ravni, momenti inercije i koordinate centra gravitacije. OL-1 pog.6, OL 2 pogl.3, OL-4§ 11.

Vježbajte: OL-6 br. 2347, 2352, 2353 ili OL-5 br. 10.62, 65, 67.

Domaći zadatak za lekciju 12:

OL-6 br. 2348, 2354 ili OL-5 br. 10.63, 64, 68.

Pogodnije je izračunati volumen u cilindričnim koordinatama. Jednadžba kružnice koja graniči područje D, konus i paraboloid

odnosno imaju oblik ρ = 2, z = ρ, z = 6 − ρ 2. Uzimajući u obzir činjenicu da je ovo tijelo simetrično u odnosu na ravni xOz i yOz. imamo

	6− ρ 2
V = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz = 4 ∫ 2 dϕ ∫ ρ z				6 ρ − ρ 2 d ρ =

4 ∫ d ϕ∫ (6 ρ − ρ3 − ρ2 ) d ρ =

2 d ϕ =

4 ∫ 2 (3 ρ 2 −

∫ 2 d ϕ =

32π

Ako se simetrija ne uzme u obzir, onda

6− ρ 2

32π

V = ∫

dϕ ∫ ρ dρ ∫ dz =

3. KRIVILINIJSKI INTEGRALI

Hajde da generalizujemo koncept određenog integrala na slučaj kada je domen integracije određena kriva. Integrali ove vrste nazivaju se krivolinijski. Postoje dvije vrste krivolinijskih integrala: krivolinijski integrali duž dužine luka i krivolinijski integrali nad koordinatama.

3.1. Definicija krivolinijskog integrala prvog tipa (po dužini luka). Neka funkcija f(x,y) definiran duž ravni u komadima

glatka1 kriva L, čiji će krajevi biti tačke A i B. Podijelimo krivu L proizvoljno na n dijelova sa tačkama M 0 = A, M 1,... M n = B. On

Za svaki od parcijalnih lukova M i M i + 1 biramo proizvoljnu tačku (x i, y i) i izračunavamo vrijednosti funkcije f (x, y) u svakoj od ovih tačaka. Suma

1 Kriva se naziva glatkom ako u svakoj tački postoji tangenta koja se kontinuirano mijenja duž krive. Komadično glatka kriva je kriva koja se sastoji od konačnog broja glatkih dijelova.

n− 1
σ n = ∑ f (x i , y i ) ∆ l i ,

i = 0

gdje je ∆ l i dužina parcijalnog luka M i M i + 1, tzv integralni zbir

za funkciju f(x, y) duž krive L. Označimo najveću od dužina
parcijalni lukovi M i M i + 1 , i =
	0 ,n − 1 do λ , odnosno λ = max ∆ l i .
		0 ≤i ≤n −1
Ako postoji konačna granica I integralne sume (3.1)
teži nuli najveće dužine parcijalnih lukova M i M i + 1,
ne zavisi ni od metode dijeljenja krive L na parcijalne lukove, niti od

izbor tačaka (x i, y i), tada se ova granica naziva krivolinijski integral prvog tipa (krivolinijski integral po dužini luka) od funkcije f (x, y) duž krive L i označava se simbolom ∫ f (x, y) dl.

Dakle, po definiciji
n− 1
I = lim ∑ f (xi , yi ) ∆ li = ∫ f (x, y) dl.
λ → 0 i = 0

U ovom slučaju se poziva funkcija f(x, y). integrabilna duž krive L,

kriva L = AB je kontura integracije, A je početna tačka, a B je konačna tačka integracije, dl je element dužine luka.

Napomena 3.1. Ako u (3.2) stavimo f (x, y) ≡ 1 za (x, y) L, tada

dobijamo izraz za dužinu luka L u obliku krivolinijskog integrala prvog tipa

l = ∫ dl.

Zaista, iz definicije krivolinijskog integrala slijedi da
	dl = lim n − 1
		∆l	Lim l = l .
	λ → 0 ∑		λ→ 0
	i = 0
3.2. Osnovna svojstva prvog tipa krivolinijskog integrala
slični su svojstvima određenog integrala:
1 o. ∫ [ f1 (x, y) ± f2 (x, y) ] dl = ∫ f1 (x, y) dl ± ∫ f2 (x, y) dl.
2 o. ∫ cf (x, y) dl = c ∫ f (x, y) dl, gdje je c konstanta.
				i L, ne
3 o. Ako se integracijska petlja L podijeli na dva dijela L

imaju zajedničke unutrašnje tačke

∫ f (x, y)dl = ∫ f (x, y)dl + ∫ f (x, y)dl.

4 o. Posebno napominjemo da vrijednost krivolinijskog integrala prvog tipa ne ovisi o smjeru integracije, budući da su vrijednosti funkcije f (x, y) u

proizvoljne tačke i dužine parcijalnih lukova ∆ l i , koji su pozitivni,

bez obzira koja tačka krive AB se smatra početnom, a koja konačnom, tj

	f (x, y) dl = ∫ f (x, y) dl .
3.3. Proračun integrala krivulje prvog tipa
svodi na izračunavanje određenih integrala.
	x= x(t)
Neka je kriva L dato parametarskim jednadžbama		y=y(t)

Neka su α i β vrijednosti parametra t koji odgovara početku (tačka A) i

kraj (tačka B)

[α , β ]

x(t), y(t) i

derivati

x (t), y (t)

Kontinuirano

f(x, y) -

kontinuirano je duž krive L. Iz kursa diferencijalnog računa

funkcije jedne varijable poznato je da

dl = (x(t))

+ (y(t))

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(t), y(t))

(x(t)

+ (y(t))

∫ x2 dl,

Primjer 3.1.

Izračunati

krug

x= a cos t

0 ≤ t ≤

y= sin t

Rješenje. Pošto je x (t) = − a sin t, y (t) = a cos t, onda

dl =

(− a sin t) 2 + (a cos t) 2 dt = a2 sin 2 t + cos 2 tdt = adt

a iz formule (3.4) dobijamo

Cos 2t )dt =

sin 2t

∫ x2 dl = ∫ a2 cos 2 t adt = a

3 ∫

πa 3

sinπ

L je dato

jednačina

y = y(x) ,

a ≤ x ≤ b

y(x)

je kontinuiran zajedno sa svojim izvodom y

(x) za a ≤ x ≤ b, onda

dl =

1+(y(x))

i formula (3.4) poprima oblik

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x, y(x))

(y(x))

L je dato

x = x(y), c ≤ y ≤ d

x(y)

jednačina

je kontinuiran zajedno sa svojim izvodom x (y) za c ≤ y ≤ d, onda

dl =

1+(x(y))

i formula (3.4) poprima oblik

∫ f (x, y) dl = ∫ f (x(y), y)

1 + (x(y))

Primjer 3.2. Izračunajte ∫ ydl, gdje je L luk parabole

2 x od

tačke A (0,0) do tačke B (2,2).

Rješenje . Izračunajmo integral na dva načina, koristeći

formule (3.5) i (3.6)

1) Koristimo formulu (3.5). Jer

2x (y ≥ 0), y ′

2 x =

2 x

dl =

1+ 2 x dx,

3 / 2 2

1 (5

3 2 − 1) .

∫ ydl = ∫

2 x + 1 dx = ∫ (2 x + 1) 1/ 2 dx =

1 (2x + 1)

2) Koristimo formulu (3.6). Jer

x = 2 , x

Y, dl

1 + y

		y 1 + y 2 dy =		(1 + g				/ 2 2
∫ ydl = ∫
				3 / 2

1 3 (5 5 − 1).

Napomena 3.2. Slično onome što je razmatrano, možemo uvesti koncept krivolinijskog integrala prvog tipa funkcije f (x, y, z) nad

prostorna glatka kriva L:

Ako je kriva L data parametarskim jednadžbama

α ≤ t ≤ β, onda

dl =

(x(t))

(y(t))

(z(t))

∫ f (x, y, z) dl =

= ∫

dt.

f (x (t), y (t), z (t)) (x (t))

(y(t))

(z(t))

x= x(t) , y= y(t)

z= z(t)

Primjer 3.3. Izračunajte∫ (2 z − x 2 + y 2 ) dl , gdje je L luk krive

x= t cos t	0 ≤ t ≤ 2 π.
y = t sin t
z = t
	x′ = trošak − t sint, y′ = sint + t trošak, z′ = 1 ,
	dl =	(cos t − t sin t)2 + (sin t + t cos t)2 + 1 dt =

Cos2 t − 2 t sin t cos t + t2 sin2 t + sin2 t + 2 t sin t cos t + t2 cos2 t + 1 dt =

2 + t2 dt .

Sada, prema formuli (3.7), imamo

∫ (2z −

x2 + y2 ) dl = ∫ (2 t −

t 2 cos 2 t + t 2 sin 2 t )

2 + t 2 dt =

T2)

= ∫

t2+t

dt =

4π

− 2 2

cilindrični

površine,

koju čine okomite na

xOy avion,

restauriran na tačkama

(x, y)

L=AB

i imati

predstavlja masu krive L koja ima promjenjivu linearnu gustoću ρ(x, y)

čija linearna gustina varira prema zakonu ρ (x, y) = 2 y.

Rješenje. Za izračunavanje mase luka AB koristimo formulu (3.8). Luk AB je zadan parametarski, pa za izračunavanje integrala (3.8) koristimo formulu (3.4). Jer

1+t

dt,

x (t) = 1, y (t) = t, dl =

3/ 2 1

1 (1+ t

m = ∫ 2 ydl = ∫

1 2 + t2 dt = ∫ t 1 + t2 dt =

(2 3 / 2 −

1) =

2 2 − 1.

3.4. Definicija krivolinijskog integrala drugog tipa (po

koordinate). Neka funkcija

f(x, y) je definisan duž ravni

komadno glatka kriva L, čiji će krajevi biti tačke A i B. Opet

proizvoljno

hajde da ga razbijemo

kriva L

M 0 = A , M 1 ,... M n = B Takođe biramo unutar

svaki parcijalni

lukovi M i M i + 1

proizvoljna tačka

(xi, yi)

i izračunaj

Kriva AB definisana parametarskim jednadžbama naziva se glatkom ako funkcije i imaju neprekidne izvode na segmentu, a ako u konačnom broju tačaka na segmentu ovi derivati ​​ne postoje ili istovremeno nestaju, tada se kriva naziva komadično glatkom. Neka je AB ravna kriva, glatka ili glatka po komadima. Neka je f(M) funkcija definirana na krivulji AB ili u nekoj domeni D koja sadrži ovu krivu. Razmotrimo podjelu krive A B na dijelove po tačkama (slika 1). Odaberimo proizvoljnu tačku Mk na svakom od lukova A^At+i i sastavimo zbir gdje je Alt dužina luka i nazovimo ga integralnim zbirom za funkciju f(M) preko dužine luka krivulja. Neka je D / najveća dužina parcijalnih lukova, tj. Osobine krivolinijskih integrala 1. vrste za prostorne krive Krivolinijski integrali 2. vrste Izračunavanje krivolinijskog integrala Odnos svojstava između definicija. Ako integralni zbroj (I) ima konačnu granicu koja ne ovisi ni o načinu podjele krivulje AB na dijelove niti o izboru tačaka na svakom od lukova particije, tada se ova granica naziva krivolinijskim integralom \-te vrste funkcije f(M) nad krivom AB (integral po dužini luka krive) i označena je simbolom. U ovom slučaju, funkcija /(M) se naziva integrabilnom duž kriva ABU, kriva A B se naziva kontura integracije, A je početna tačka, B je krajnja tačka integracije. Dakle, po definiciji, Primjer 1. Neka je masa promjenjive linearne gustine J(M) raspoređena duž neke glatke krive L. Nađite masu m krive L. (2) Podijelimo krivulju L na n proizvoljnih dijelova) i izračunajmo približno masu svakog dijela, uz pretpostavku da je na svakom dijelu gustina konstantna i jednaka gustoći u bilo kojoj njenoj tački , na primjer, u krajnjoj lijevoj tački /(Af*). Tada će zbir ksh, gdje je D/d dužina D-tog dijela, biti približna vrijednost mase m. Jasno je da što je manja podjela krive L, to je manja greška. Dobijamo tačnu vrijednost masa cijele krive L, tj. Ali granica na desnoj strani je krivolinijski integral 1. vrste. Dakle, 1.1. Postojanje krivolinijskog integrala 1. vrste Uzmimo kao parametar na krivoj AB dužinu luka I, mjereno od početne tačke A (slika 2). Tada se AB kriva može opisati jednačinama (3) gdje je L dužina AB krive. Jednačine (3) se nazivaju prirodnim jednadžbama AB krive. Prilikom prijelaza na prirodne jednačine, funkcija f(x) y), definirana na krivulji AB, bit će svedena na funkciju varijable I: / (x(1)) y(1)). Nakon što smo označili sa vrijednošću parametra I koji odgovara tački Mky, prepisujemo integralni zbir (I) u obliku Ovo je integralni zbir koji odgovara određenom integralu. Pošto su integralni zbroji (1) i (4) jednaki jedni prema drugima, tada su im odgovarajući integrali jednaki. Dakle, (5) Teorema 1. Ako je funkcija /(M) kontinuirana duž glatke krive AB, onda postoji krivolinijski integral (pošto pod ovim uslovima postoji definitivni integral desno u jednakosti (5). 1.2. Svojstva krivolinijskih integrala 1. vrste 1. Iz oblika integralnog zbira (1) proizilazi da je tj. vrijednost krivolinijskog integrala 1. vrste ne zavisi od smjera integracije. 2. Linearnost. Ako za svaku od funkcija /() postoji krivolinijski integral duž krive ABt, tada za funkciju a/, gdje su a i /3 bilo koje konstante, postoji i krivolinijski integral duž krive AB> i 3. Aditivnost . Ako se kriva AB sastoji od dva dijela i za funkciju /(M) postoji krivolinijski integral nad ABU, tada postoje integrali sa 4. Ako je 0 na krivulji AB, onda je 5. Ako je funkcija integrabilna na krivulji AB , zatim funkcija || je također integrabilna na A B, au isto vrijeme b. Prosječna formula. Ako je funkcija / kontinuirana duž krive AB, tada na ovoj krivoj postoji tačka Mc takva da je L dužina krive AB. 1.3. Izračunavanje krivolinijskog integrala 1. vrste Neka je kriva AB data parametarskim jednačinama, pri čemu tačka A odgovara vrijednosti t = to, a tačka B vrijednosti. Pretpostavićemo da su funkcije) kontinuirane na zajedno sa svojim derivacijama i nejednakost je zadovoljena. Tada se diferencijal luka krive izračunava po formuli. Konkretno, ako je kriva AB data eksplicitnom jednačinom je kontinuirano diferencibilan na [a, b] i tačka A odgovara vrijednosti x = a, a tačka B - vrijednost x = 6, onda, uzimajući x kao parametar, dobijamo 1.4. Krivolinijski integrali 1. vrste za prostorne krive Definicija krivolinijskog integrala 1. vrste, formulisana gore za ravnu krivu, doslovno se prenosi na slučaj kada je funkcija f(M) data duž neke prostorne krive AB. Neka je kriva AB data parametarskim jednadžbama Svojstva krivolinijskih integrala 1. vrste za prostorne krive Krivolinijski integrali 2. vrste Proračun krivolinijskog integrala Svojstva Odnos između Tada se krivolinijski integral uzet duž ove krive može svesti na definitivan integral koristeći sljedeću formulu: Primjer 2. Izračunajte krivolinijski integral gdje je L kontura trougla sa vrhovima u tački* (slika 3). Po svojstvu aditivnosti imamo Izračunajmo svaki od integrala posebno. Pošto na segmentu OA imamo: , onda na segmentu AN imamo, gde i onda Fig. Konačno, stoga, Napomena. Prilikom izračunavanja integrala koristili smo svojstvo 1 prema kojem. Krivolinijski integrali 2. vrste Neka je A B glatka ili komadno glatka orijentirana kriva na xOy ravni i neka je vektorska funkcija definirana u nekom domenu D koja sadrži krivu AB. Podijelimo krivu AB na dijelove sa tačkama čije koordinate označavamo respektivno (slika 4). Na svakom elementarnom luku AkAk+\ uzimamo proizvoljnu tačku i pravimo zbir. Neka je D/ dužina najvećeg od lukova. Definicija. Ako zbir (1) ima konačnu granicu koja ne ovisi ni o metodi podjele krive AB niti o izboru tačaka rjk) na elementarne lukove, tada se ova granica naziva krivolinijskim integralom 2-grada vektora funkcija duž krive AB i označena je simbolom Dakle po definiciji Teorema 2. Ako su u nekom domenu D koje sadrži krivu AB funkcije kontinuirane, tada postoji krivolinijski integral 2-grada. Neka je radijus vektor tačke M(x, y). Tada se integrand u formuli (2) može predstaviti kao skalarni proizvod vektora F(M) i dr. Dakle, integral 2. vrste vektorske funkcije duž krive AB može se ukratko zapisati na sljedeći način: 2.1. Izračunavanje krivolinijskog integrala 2. vrste Neka je kriva AB definirana parametarskim jednadžbama, gdje su funkcije kontinuirane zajedno sa derivacijama na segmentu, a promjena parametra t od t0 do t\ odgovara kretanju a tačka duž krive AB tačke A do tačke B. Ako su u nekom području D, koje sadrži krivu AB, funkcije neprekidne, tada se krivolinijski integral 2. vrste svodi na sljedeći definitivni integral: Dakle, izračunavanje krivolinijski integral 2. vrste se takođe može svesti na izračunavanje određenog integrala. O) Primjer 1. Izračunati integral duž pravog segmenta koji povezuje tačke 2) duž parabole koja povezuje iste tačke) Jednačina parametra prave, odakle je Dakle 2) Jednačina prave AB: Dakle, razmatrani primjer označava da vrijednost zakrivljenog integrala 2. vrste, uopšteno govoreći, zavisi od oblika puta integracije. 2.2. Svojstva krivolinijskog integrala 2. vrste 1. Linearnost. Ako postoje Svojstva krivolinijskih integrala 1. vrste za prostorne krive Krivolinijski integrali 2. vrste Izračunavanje krivolinijskog integrala Osobine Veza između tada za bilo koje realno a i /5 postoji integral gdje je 2. Additenost. Ako je kriva AB podijeljena na dijelove AC i SB i postoji krivolinijski integral, postoje i integrali.Posljednje svojstvo fizičke interpretacije krivolinijskog integrala 2. vrste je rad polja sila F duž određene putanje: kada se promijeni smjer deshkeniya duž krive, rad polja sila duž ove krive mijenja predznak u suprotan. 2.3. Odnos krivolinijskih integrala 1. i 2. vrste Razmotrimo krivolinijski integral 2. vrste gdje je orijentirana kriva AB (A je početna tačka, B je krajnja tačka) data vektorskom jednadžbom (ovdje je I dužina krivulja, mjerena u smjeru u kojem je kriva AB orijentirana) (slika 6). Tada je dr ili gdje je r = m(1) jedinični vektor tangente na krivu AB u tački M(1). Zatim imajte na umu da je posljednji integral u ovoj formuli krivolinijski integral 1. vrste. Kada se promijeni orijentacija krive AB, jedinični vektor tangente r zamjenjuje se suprotnim vektorom (-r), što povlači za sobom promjenu predznaka njenog integrala, a samim tim i predznaka samog integrala. Navigacija po sajtu Zdravlje Psihologija Veza Posao Zabava Najnoviji članci Prikaz toplotnih pojava Ideje starih ljudi o svemiru Ko je Claude Shannon i zašto je poznat? Pristupanje Darija Kodomana Kratak opis komandanta Darija 3 Razlika između hidrogenske bombe i atomske bombe: lista razlika, istorija stvaranja