Geometrijsko značenje derivacije. Derivat funkcije. Značenje izvoda funkcije Kako pronaći najveću vrijednost izvoda u tački

Zadatak B9 daje graf funkcije ili derivacije iz kojeg trebate odrediti jednu od sljedećih veličina:

Vrijednost derivacije u nekoj tački x 0,
Maksimalne ili minimalne tačke (ekstremalne tačke),
Intervali rastućih i opadajućih funkcija (intervali monotonosti).

Funkcije i derivacije predstavljene u ovom problemu su uvijek kontinuirane, čineći rješenje mnogo lakšim. Uprkos činjenici da zadatak pripada sekciji matematička analiza, sasvim je u mogućnostima čak i najslabijih učenika, jer tu nije potrebno duboko teorijsko znanje.

Da biste pronašli vrijednost derivacije, ekstremnih tačaka i intervala monotonosti, postoje jednostavni i univerzalni algoritmi - svi će biti razmotreni u nastavku.

Pažljivo pročitajte uslove zadatka B9 da ne napravite glupe greške: ponekad naiđete na prilično dugačke tekstove, ali postoji nekoliko važnih uslova koji utiču na tok rešenja.

Proračun vrijednosti derivata. Metoda u dve tačke

Ako je problemu zadan graf funkcije f(x), tangentan na ovaj graf u nekoj tački x 0, i potrebno je pronaći vrijednost derivacije u ovoj tački, primjenjuje se sljedeći algoritam:

Pronađite dvije “adekvatne” tačke na tangentnom grafu: njihove koordinate moraju biti cijeli broj. Označimo ove tačke kao A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Ispravno zapišite koordinate - ovo je ključna točka u rješenju, a svaka greška ovdje će dovesti do pogrešnog odgovora.
Poznavajući koordinate, lako je izračunati prirast argumenta Δx = x 2 − x 1 i prirast funkcije Δy = y 2 − y 1 .
Konačno, nalazimo vrijednost izvoda D = Δy/Δx. Drugim riječima, trebate podijeliti prirast funkcije s prirastom argumenta - i to će biti odgovor.

Napomenimo još jednom: tačke A i B moraju se tražiti upravo na tangenti, a ne na grafu funkcije f(x), kao što se često dešava. Tangentna linija će nužno sadržavati najmanje dvije takve točke - inače problem neće biti ispravno formuliran.

Razmotrite tačke A (−3; 2) i B (−1; 6) i pronađite priraštaje:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Nađimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .

Razmotrite tačke A (0; 3) i B (3; 0), pronađite priraštaje:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Sada nalazimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .

Razmotrite tačke A (0; 2) i B (5; 2) i pronađite priraštaje:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Ostaje pronaći vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Iz posljednjeg primjera možemo formulirati pravilo: ako je tangenta paralelna s osom OX, derivacija funkcije u tački tangentnosti je nula. U ovom slučaju ne morate ništa da brojite - samo pogledajte grafikon.

Obračun maksimalnih i minimalnih bodova

Ponekad, umjesto grafa funkcije, zadatak B9 daje graf derivacije i zahtijeva pronalaženje maksimalne ili minimalne tačke funkcije. U ovoj situaciji metoda u dvije točke je beskorisna, ali postoji drugi, još jednostavniji algoritam. Prvo, hajde da definišemo terminologiju:

Tačka x 0 naziva se maksimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≥ f(x).
Tačka x 0 naziva se minimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≤ f(x).

Da biste pronašli maksimalnu i minimalnu točku iz grafa derivacije, samo slijedite ove korake:

Ponovo nacrtajte graf derivata, uklanjajući sve nepotrebne informacije. Kao što pokazuje praksa, nepotrebni podaci samo ometaju odluku. Stoga označavamo nule derivacije na koordinatnoj osi - i to je to.
Saznajte predznake izvoda na intervalima između nula. Ako je za neku tačku x 0 poznato da je f'(x 0) ≠ 0, tada su moguće samo dvije opcije: f'(x 0) ≥ 0 ili f'(x 0) ≤ 0. Predznak izvoda je lako odrediti iz originalnog crteža: ako graf derivacije leži iznad ose OX, tada je f'(x) ≥ 0. I obrnuto, ako graf derivacije leži ispod ose OX, tada je f'(x) ≤ 0.
Ponovo provjeravamo nule i predznake derivacije. Gdje se predznak mijenja iz minusa u plus je minimalna tačka. Suprotno tome, ako se predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, ovo je maksimalna tačka. Brojanje se uvijek vrši s lijeva na desno.

Ova šema radi samo za kontinuirane funkcije - nema drugih u zadatku B9.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−5; 5]. Pronađite minimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Oslobodimo se nepotrebnih informacija i ostavimo samo granice [−5; 5] i nule izvoda x = −3 i x = 2.5. Također primjećujemo znakove:

Očigledno, u tački x = −3 predznak izvoda se mijenja iz minusa u plus. Ovo je minimalna tačka.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7]. Pronađite maksimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Precrtajmo graf, ostavljajući samo granice [−3; 7] i nule izvoda x = −1,7 i x = 5. Zabilježimo predznake izvoda na rezultirajućem grafu. Imamo:

Očigledno, u tački x = 5 znak derivacije se mijenja sa plusa na minus - ovo je maksimalna tačka.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu [−6; 4]. Odrediti broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) koje pripadaju segmentu [−4; 3].

Iz uslova zadatka proizilazi da je dovoljno razmotriti samo dio grafa ograničen segmentom [−4; 3]. Stoga gradimo novi graf na kojem označavamo samo granice [−4; 3] i nule izvoda unutar njega. Naime, tačke x = −3,5 i x = 2. Dobijamo:

Na ovom grafu postoji samo jedna maksimalna tačka x = 2. U toj tački se predznak derivacije menja sa plus na minus.

Mala napomena o tačkama sa necelobrojnim koordinatama. Na primjer, u posljednjem zadatku razmatrana je tačka x = −3,5, ali sa istim uspjehom možemo uzeti x = −3,4. Ako je problem pravilno sastavljen, takve promjene ne bi trebale utjecati na odgovor, jer točke „bez određenog mjesta stanovanja“ ne učestvuju direktno u rješavanju problema. Naravno, ovaj trik neće raditi s cijelim točkama.

Pronalaženje intervala rastućih i opadajućih funkcija

U takvom problemu, kao što su tačke maksimuma i minimuma, predlaže se korištenje grafa derivacije za pronalaženje područja u kojima se sama funkcija povećava ili smanjuje. Prvo, hajde da definišemo šta je povećanje i smanjenje:

Kaže se da funkcija f(x) raste na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna sljedeća tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Drugim riječima, što je veća vrijednost argumenta, veća je vrijednost funkcije.
Kaže se da je funkcija f(x) opadajuća na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna sljedeća tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . One. Veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Hajde da formulišemo dovoljne uslove uzlazno i silazno:

Da bi kontinuirana funkcija f(x) porasla na segmentu, dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude pozitivan, tj. f’(x) ≥ 0.
Da bi se kontinuirana funkcija f(x) smanjila na segmentu , dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude negativan, tj. f’(x) ≤ 0.

Prihvatimo ove izjave bez dokaza. Tako dobijamo šemu za pronalaženje intervala rasta i opadanja, koja je u mnogome slična algoritmu za izračunavanje ekstremnih tačaka:

Uklonite sve nepotrebne informacije. U originalnom grafu derivacije nas prvenstveno zanimaju nule funkcije, pa ćemo ostaviti samo njih.
Označite predznake izvoda na razmacima između nula. Gdje je f’(x) ≥ 0, funkcija raste, a gdje je f’(x) ≤ 0, ona opada. Ako problem postavlja ograničenja na varijablu x, dodatno ih označavamo na novom grafu.
Sada kada znamo ponašanje funkcije i ograničenja, ostaje da izračunamo količinu potrebnu za zadatak.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7.5]. Naći intervale opadanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite zbir cijelih brojeva uključenih u ove intervale.

Kao i obično, hajde da ponovo nacrtamo graf i označimo granice [−3; 7.5], kao i nule izvoda x = −1.5 i x = 5.3. Zatim bilježimo znakove derivacije. Imamo:

Pošto je izvod negativan na intervalu (− 1,5), ovo je interval opadajuće funkcije. Ostaje da se zbroje svi cijeli brojevi koji se nalaze unutar ovog intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu [−10; 4]. Naći intervale povećanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

Oslobodimo se nepotrebnih informacija. Ostavimo samo granice [−10; 4] i nule izvoda kojih je ovoga puta bilo četiri: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Označimo predznake izvoda i dobijemo sljedeću sliku:

Zanimaju nas intervali rastuće funkcije, tj. gdje je f’(x) ≥ 0. Postoje dva takva intervala na grafu: (−8; −6) i (−3; 2). Izračunajmo njihove dužine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Pošto treba da nađemo dužinu najvećeg intervala, kao odgovor zapisujemo vrednost l 2 = 5.

Zdravo! Udarimo na predstojeći Jedinstveni državni ispit kvalitetnom sistematskom pripremom i upornošću u brušenju granita nauke!!! INNa kraju posta je takmičarski zadatak, budi prvi! U jednom od članaka u ovoj sekciji, ti i ja, u kojem je dat graf funkcije i postavljena su razna pitanja u vezi s ekstremima, intervalima porasta (opadanja) i drugim.

U ovom članku ćemo razmotriti probleme uključene u Jedinstveni državni ispit iz matematike, u kojem je dat graf derivacije funkcije i postavljena sljedeća pitanja:

1. U kojoj tački datog segmenta funkcija poprima najveću (ili najmanju) vrijednost.
2. Pronađite broj maksimalnih (ili minimalnih) tačaka funkcije koje pripadaju datom segmentu.
3. Odrediti broj točaka ekstrema funkcije koje pripadaju datom segmentu.
4. Odrediti tačku ekstrema funkcije koja pripada datom segmentu.
5. Pronađite intervale rastuće (ili opadajuće) funkcije i u odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.
6. Pronađite intervale povećanja (ili smanjenja) funkcije. U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od ovih intervala.
7. Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna ili se poklapa s pravom oblika y = kx + b.
8. Naći apscisu tačke u kojoj je tangenta na graf funkcije paralelna sa osom apscise ili se poklapa s njom.

Mogu postojati i druga pitanja, ali vam neće stvarati poteškoće ako razumijete i (linkovi su dati do članaka koji pružaju informacije potrebne za rješenje, preporučujem da ih ponovite).

Osnovne informacije (ukratko):

1. Izvod u rastućim intervalima ima pozitivan predznak.

Ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima pozitivnu vrijednost, tada se graf funkcije na tom intervalu povećava.

2. U opadajućim intervalima, izvod ima negativan predznak.

Ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima negativnu vrijednost, tada se graf funkcije smanjuje na ovom intervalu.

3. Derivat u tački x jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u istoj tački.

4. U tačkama ekstrema (maksimum-minimum) funkcije derivacija je jednaka nuli. Tangenta na graf funkcije u ovoj tački je paralelna sa x osom.

Ovo se mora jasno shvatiti i zapamtiti!!!

Izvedeni graf "zbunjuje" mnoge ljude. Neki ljudi ga nehotice pomiješaju sa grafikom same funkcije. Stoga, u takvim zgradama, gdje vidite da je dat graf, odmah usmjerite pažnju u uvjetu na ono što je dato: graf funkcije ili graf derivacije funkcije?

Ako je to graf derivacije funkcije, onda ga tretirajte kao "odraz" same funkcije, što vam jednostavno daje informacije o toj funkciji.

Razmotrite zadatak:

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–2;21).

Odgovorićemo na sledeća pitanja:

1. U kojoj točki na segmentu je funkcija f(X) prihvata najveća vrijednost.

Na datom intervalu derivacija funkcije je negativna, što znači da funkcija na ovom intervalu opada (smanjuje se od lijeve granice intervala na desno). Tako se najveća vrijednost funkcije postiže na lijevoj ivici segmenta, odnosno u tački 7.

Odgovor: 7

2. U kojoj tački na segmentu je funkcija f(X)

Iz ovog izvedenog grafa možemo reći sljedeće. Na datom intervalu derivacija funkcije je pozitivna, što znači da se funkcija na tom intervalu povećava (rast od lijeve granice intervala prema desnoj). dakle, najmanju vrijednost funkcija se postiže na lijevoj granici segmenta, odnosno u tački x = 3.

Odgovor: 3

3. Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(X)

Maksimalne tačke odgovaraju tačkama gde se predznak derivacije menja iz pozitivnog u negativan. Razmotrimo gdje se znak mijenja na ovaj način.

Na segmentu (3;6) izvod je pozitivan, na segmentu (6;16) negativan.

Na segmentu (16;18) izvod je pozitivan, na segmentu (18;20) negativan.

Dakle, na datom segmentu funkcija ima dvije maksimalne tačke x = 6 i x = 18.

Odgovor: 2

4. Odrediti broj minimalnih tačaka funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Minimum bodova odgovara tačkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz negativnog u pozitivan. Naš izvod je negativan na intervalu (0;3), a pozitivan na intervalu (3;4).

Dakle, na segmentu funkcija ima samo jednu minimalnu tačku x = 3.

*Budite oprezni pri zapisivanju odgovora - upisuje se broj bodova, a ne x vrijednost; takva greška može nastati zbog nepažnje.

Odgovor: 1

5. Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Zabilježite šta trebate pronaći količina ekstremne tačke (ovo su i maksimalne i minimalne tačke).

Ekstremne tačke odgovaraju tačkama u kojima se menja predznak derivacije (iz pozitivnog u negativan ili obrnuto). U grafu datom u uslovu, to su nule funkcije. Izvod nestaje u tačkama 3, 6, 16, 18.

Dakle, funkcija ima 4 ekstremne tačke na segmentu.

Odgovor: 4

6. Naći intervale rastuće funkcije f(X)

Intervali povećanja ove funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je njegova derivacija pozitivna, odnosno intervalima (3;6) i (16;18). Imajte na umu da granice intervala nisu uključene u njega (okrugle zagrade - granice nisu uključene u interval, uglaste zagrade - uključene). Ovi intervali sadrže čitave tačke 4, 5, 17. Njihov zbir je: 4 + 5 + 17 = 26

Odgovor: 26

7. Naći intervale opadajuće funkcije f(X) on dati interval. U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Smanjenje intervala funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna. U ovom zadatku to su intervali (–2;3), (6;16), (18:21).

Ovi intervali sadrže sljedeće cjelobrojne tačke: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Njihov zbir je:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odgovor: 140

*Obratite pažnju na uslov: da li su granice uključene u interval ili ne. Ako su granice uključene, tada se u intervalima koji se razmatraju u procesu rješavanja ove granice također moraju uzeti u obzir.

8. Naći intervale rastuće funkcije f(X)

Intervali rastuće funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije pozitivna. Već smo ih naznačili: (3;6) i (16:18). Najveći od njih je interval (3;6), njegova dužina je 3.

Odgovor: 3

9. Naći intervale opadajuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

Smanjenje intervala funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna. Već smo ih naznačili; to su intervali (–2;3), (6;16), (18;21), njihove dužine su 5, 10, 3.

Dužina najvećeg je 10.

Odgovor: 10

10. Pronađite broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(X) paralelno ili poklapa se sa pravom linijom y = 2x + 3.

Vrijednost derivacije u tački tangente jednaka je nagibu tangente. Kako je tangenta paralelna pravoj liniji y = 2x + 3 ili se poklapa sa njom, njihovi ugaoni koeficijenti su jednaki 2. To znači da je potrebno pronaći broj tačaka u kojima je y′(x 0) = 2. Geometrijski, ovo odgovara broju tačaka preseka grafika derivacije sa pravom linijom y = 2. Na ovom intervalu postoje 4 takve tačke.

Odgovor: 4

11. Pronađite točku ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Ekstremna tačka funkcije je tačka u kojoj je njen izvod jednak nuli, a u blizini te tačke derivacija menja predznak (iz pozitivnog u negativan ili obrnuto). Na segmentu, grafik derivacije siječe x-osu, derivacija mijenja predznak iz negativnog u pozitivan. Prema tome, tačka x = 3 je tačka ekstrema.

Odgovor: 3

12. Naći apscisu tačaka u kojima su tangente na graf y = f (x) paralelne sa osom apscise ili se poklapaju s njom. U svom odgovoru navedite najveći od njih.

Tangenta na graf y = f (x) može biti paralelna sa apscisnom osi ili se poklapati s njom, samo u tačkama gde je derivacija jednaka nuli (to mogu biti tačke ekstrema ili stacionarne tačke u čijoj blizini se izvodi izvod ne mijenja svoj predznak). Ovaj grafikon pokazuje da je izvod nula u tačkama 3, 6, 16,18. Najveći je 18.

Svoje razmišljanje možete strukturirati na sljedeći način:

Vrijednost derivacije u tački tangente jednaka je nagibu tangente. Pošto je tangenta paralelna ili se poklapa sa x-osom, njen nagib je 0 (zaista, tangenta ugla od nula stepeni je nula). Stoga tražimo tačku u kojoj je nagib jednak nuli, pa je stoga i derivacija jednaka nuli. Izvod je jednak nuli u tački u kojoj njen graf seče x-osu, a to su tačke 3, 6, 16,18.

Odgovor: 18

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–8;4). U kojoj tački segmenta [–7;–3] je funkcija f(X) uzima najmanju vrijednost.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–7;14). Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(X), koji pripada segmentu [–6;9].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–18;6). Pronađite broj minimalnih tačaka funkcije f(X), koji pripada segmentu [–13;1].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–11; –11). Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu [–10; -10].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–7;4). Naći intervale rastuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–5;7). Naći intervale opadajuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–11;3). Naći intervale rastuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

F Slika prikazuje grafikon

Uslovi problema su isti (koje smo razmatrali). Pronađite zbir tri broja:

1. Zbir kvadrata ekstrema funkcije f (x).

2. Razlika između kvadrata zbira maksimalnih tačaka i zbira minimalnih tačaka funkcije f (x).

3. Broj tangenti na f (x) paralelnih pravoj liniji y = –3x + 5.

Onaj koji prvi da tačan odgovor će dobiti stimulativnu nagradu od 150 rubalja. Napišite svoje odgovore u komentarima. Ako je ovo vaš prvi komentar na blogu, neće se pojaviti odmah, već malo kasnije (ne brinite, bilježi se vrijeme kada je komentar napisan).

Sretno ti!

Srdačan pozdrav, Alexander Krutitsikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Pojavili su se novi zadaci. Pogledajmo njihovo rješenje.

Prototip zadatka B8 (br. 317543)

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) i označene su tačke -2, -1, 1, 2. U kojoj od ovih tačaka je vrijednost izvoda najveća? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.

Kao što znamo, zove se

granica omjera prirasta funkcije i priraštaja argumenta, kada inkrement argumenta teži nuli:

Izvod u tački pokazuje brzina promjene funkcije na ovom mjestu. Što se funkcija brže mijenja, odnosno što je veći prirast funkcije, veći je ugao nagiba tangente. Budući da je problem potrebno odrediti tačku u kojoj je vrijednost izvoda najveća, iz razmatranja izuzimamo tačke sa apscisama -1 i 1 - u tim tačkama funkcija opada, a izvod u njima je negativan.

Funkcija raste u tačkama -2 i 2. Međutim, ona raste u njima na različite načine - u tački -2 grafik funkcije raste strmiji nego u tački 2, a samim tim i prirast funkcije u ovoj tački, a samim tim i derivacija, veća je.

Odgovor: -2

I sličan zadatak:

Prototip zadatka B8 (br. 317544)

Na slici je prikazan grafik funkcije i označene su tačke -2, -1, 1, 4. U kojoj od ovih tačaka je izvod najmanji? Molimo navedite ovu tačku u svom odgovoru.

Rješenje ovog problema je slično rješenju prethodnog "potpuno suprotno"

Zanima nas u kojoj tački derivacija poprima najmanju vrijednost, odnosno tražimo tačku u kojoj funkcija najbrže opada - na grafu je to tačka u kojoj dolazi do najstrmijeg "spuštanja". Ovo je tačka apscise 4.

Derivat funkcije je jedna od teških tema školski program. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.

Ovaj članak na jednostavan i jasan način objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti u prezentaciji. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Izvod je stopa promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji od njih raste brže?

Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.

Evo još jednog primjera.

Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tokom godine:

Grafikon prikazuje sve odjednom, zar ne? Kostijin prihod se više nego udvostručio za šest mjeseci. I Grišin prihod se također povećao, ali samo malo. A Matveyev prihod pao je na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, njegov derivat prihoda je općenito negativan.

Intuitivno, lako procjenjujemo brzinu promjene funkcije. Ali kako da ovo uradimo?

Ono što zapravo gledamo je koliko strmo grafik funkcije ide nagore (ili naniže). Drugim riječima, koliko brzo se mijenja y kako se mijenja x? Očigledno, ista funkcija u različitim točkama može imati različite vrijednosti izvoda - to jest, može se mijenjati brže ili sporije.

Derivat funkcije je označen .

Pokazat ćemo vam kako ga pronaći pomoću grafikona.

Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmimo tačku sa apscisom na njoj. Nacrtajmo tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Pogodna vrijednost za ovo je tangenta tangentnog ugla.

Derivat funkcije u nekoj tački jednak je tangenti tangentnog ugla nacrtanog na graf funkcije u ovoj tački.

Imajte na umu da kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.

Ponekad učenici pitaju šta je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima samo jednu zajednička tačka sa grafikonom, i kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.

Hajde da ga nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravougaonog trougla jednak omjeru suprotne i susjedne strane. Iz trougla:

Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi problemi se često nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike pod brojem.

Postoji još jedan važan odnos. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom

Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.

Shvatili smo to

Prisjetimo se ove formule. Ona izražava geometrijsko značenje derivat.

Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangentu ugla tangente.

Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.

U jednom trenutku funkcija se povećava. Tangenta na graf nacrtan u tački se formira oštri ugao sa pozitivnim smjerom ose. To znači da je izvod u tački pozitivan.

U trenutku kada se naša funkcija smanjuje. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao s pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.

Evo šta se dešava:

Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.

Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.

Šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u tačkama (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Prema tome, tangenta tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.

Point - maksimalni poen. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa “plus” na “minus”.

U tački - minimalnoj tački - derivacija je također nula, ali se njen predznak mijenja sa "minus" na "plus".

Zaključak: pomoću izvoda možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.

Ako je izvod negativan, tada se funkcija smanjuje.

U tački maksimuma, izvod je nula i mijenja predznak iz “plus” u “minus”.

U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak iz “minus” u “plus”.

Zapišimo ove zaključke u obliku tabele:

	povećava	maksimalni poen	smanjuje se	minimalna tačka	povećava
+	0	-	0	+

Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati kada rješavate probleme USE. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.

Moguće je da je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ovo je tzv :

U tački, tangenta na graf je horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja - ostaje pozitivan kakav je bio.

Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.

Kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje

Pokazivanje veze između predznaka derivacije i prirode monotonosti funkcije.

Molimo vas da budete izuzetno oprezni u vezi sa sljedećim. Pogledajte, raspored ŠTA vam je dat! Funkcija ili njen derivat

Ako je dat graf derivacije, tada će nas zanimati samo predznaci funkcije i nule. Nas u principu ne zanimaju nikakva “brda” ili “duplje”!

Zadatak 1.

Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Odrediti broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije negativna.

Rješenje:

Na slici su područja opadajuće funkcije označena bojom:

Ove opadajuće regije funkcije sadrže 4 cjelobrojne vrijednosti.

Zadatak 2.

Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravom ili se poklapa s njom.

Rješenje:

Jednom kada je tangenta na graf funkcije paralelna (ili se poklapa) s pravom linijom (ili, što je ista stvar), ima nagib, jednako nuli, tada tangenta ima kutni koeficijent .

To zauzvrat znači da je tangenta paralelna s osi, budući da je nagib tangenta ugla nagiba tangente prema osi.

Dakle, nalazimo tačke ekstrema (maksimalne i minimalne tačke) na grafu - upravo u tim tačkama funkcije tangente na graf će biti paralelne sa osom.

Postoje 4 takve tačke.

Zadatak 3.

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna s pravom ili se poklapa s njom.

Rješenje:

Pošto je tangenta na graf funkcije paralelna (ili se poklapa) sa pravom koja ima nagib, onda i tangenta ima nagib.

To zauzvrat znači da na dodirnim tačkama.

Stoga, gledamo koliko točaka na grafu ima ordinatu jednaku .

Kao što vidite, postoje četiri takve tačke.

Zadatak 4.

Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Pronađite broj tačaka u kojima je derivacija funkcije 0.

Rješenje:

Izvod je jednak nuli u tačkama ekstrema. Imamo ih 4:

Zadatak 5.

Slika prikazuje grafik funkcije i jedanaest tačaka na x-osi:. U koliko od ovih tačaka je derivacija funkcije negativna?

Rješenje:

Na intervalima opadajuće funkcije njen izvod poprima negativne vrijednosti. I funkcija se smanjuje u tačkama. Postoje 4 takve tačke.

Zadatak 6.

Slika prikazuje graf funkcije definirane na intervalu. Naći zbir točaka ekstrema funkcije.

Rješenje:

Ekstremne tačke– ovo su maksimalni poeni (-3, -1, 1) i minimalni poeni (-2, 0, 3).

Zbir bodova ekstrema: -3-1+1-2+0+3=-2.

Zadatak 7.

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Naći intervale povećanja funkcije. U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Rješenje:

Na slici su istaknuti intervali u kojima je derivacija funkcije nenegativna.

Na malom rastućem intervalu nema cijelih točaka; na rastućem intervalu postoje četiri cjelobrojne vrijednosti: , , i .

Njihov zbir:

Zadatak 8.

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije definirane na intervalu. Naći intervale povećanja funkcije. U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.