Događaji i njihova klasifikacija teorija vjerovatnoće. Osnovni koncepti teorije vjerovatnoće. Slučajna varijabla i vjerovatnoća događaja

Klasifikacija događaja na moguće, vjerovatne i slučajne. Koncepti jednostavnih i složenih elementarnih događaja. Operacije na događajima. Klasična definicija vjerovatnoće slučajnog događaja i njegovih svojstava. Elementi kombinatorike u teoriji vjerovatnoće. Geometrijska vjerovatnoća. Aksiomi teorije vjerovatnoće.

Klasifikacija događaja

Jedan od osnovnih koncepata teorije vjerovatnoće je koncept događaja. Ispod događaj razumjeti svaku činjenicu koja se može pojaviti kao rezultat iskustva ili testa. Ispod iskustvo, ili test, odnosi se na implementaciju određenog skupa uslova.

Primjeri događaja:

Može se navesti bezbroj sličnih primjera. Događaji su određeni velikim slovima latinično pismo itd.

Razlikovati zajedničkih događaja I nekompatibilno. Događaji se nazivaju zajedničkim ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. U suprotnom, događaji se nazivaju nekompatibilnim. Na primjer, bacaju se dvije kockice. Događaj je gubitak tri boda na prvom kocku, događaj je gubitak tri boda na drugom kocku. i - zajednički događaji. Neka trgovina dobije seriju cipela istog stila i veličine, ali različitih boja. Događaj - nasumično uzeta kutija će sadržavati crne cipele, događaj - kutija će sadržavati smeđe cipele i - nekompatibilne događaje.

Događaj se zove pouzdan, ako je sigurno da će se dogoditi u uslovima datog eksperimenta.

Događaj se naziva nemogućim ako se ne može dogoditi u uslovima datog iskustva. Na primjer, slučaj da će standardni dio biti uzet iz serije standardnih dijelova je pouzdan, ali nestandardni dio je nemoguć.

Događaj se zove moguće, ili nasumično, ako se kao rezultat iskustva može pojaviti, ali se možda neće pojaviti. Primjer slučajnog događaja može biti identifikacija defekata proizvoda tokom pregleda serije gotovih proizvoda, nesklad između veličine obrađenog proizvoda i specificiranog ili kvar jedne od karika u automatiziranom sistemu upravljanja.

Događaji se zovu podjednako moguće, ako, prema uslovima testa, nijedan od ovih događaja nije objektivno mogući više od ostalih. Na primjer, neka prodavnica bude snabdjevena sijalicama (u jednakim količinama) od nekoliko proizvodnih pogona. Događaji koji uključuju kupovinu sijalice iz bilo koje od ovih fabrika podjednako su mogući.

Važan koncept je kompletna grupa događaja. Nekoliko događaja u datom eksperimentu čine kompletnu grupu ako se barem jedan od njih sigurno pojavljuje kao rezultat eksperimenta. Na primjer, urna sadrži deset kuglica, od kojih je šest crvenih, četiri bijele, a pet kuglica ima brojeve. - izgled crvene lopte tokom jednog izvlačenja, - izgled bijele lopte, - izgled lopte sa brojem. Događaji čine kompletnu grupu zajedničkih događaja.

Hajde da uvedemo pojam suprotnog ili dodatnog događaja. Ispod suprotno Događaj se podrazumijeva kao događaj koji se nužno mora dogoditi ako se neki događaj ne dogodi. Suprotni događaji su nespojivi i jedini mogući. Oni čine kompletnu grupu događaja. Na primjer, ako se serija proizvedenih proizvoda sastoji od dobrih i neispravnih proizvoda, onda kada se jedan proizvod ukloni, može se ispostaviti da je to dobar događaj ili neispravan događaj.

Operacije na događajima

Prilikom razvoja aparata i metodologije za proučavanje slučajnih događaja u teoriji vjerovatnoće, koncept zbira i proizvoda događaja je veoma važan.

Zbir, ili unija, nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od pojave barem jednog od ovih događaja.

Zbir događaja je prikazan na sljedeći način:

Na primjer, ako događaj pogađa metu prvim hicem, događaj - drugim, onda događaj pogađa metu općenito, nije bitno kojim udarcem - prvim, drugim ili oba.

Proizvod ili presek nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od zajedničke pojave svih ovih događaja.

Naznačena je produkcija događaja

Na primjer, ako je događaj da je meta pogođena prvim hicem, događaj je da je meta pogođena drugim hicem, onda je događaj da je meta pogođena sa oba hica.

Koncepti zbira i proizvoda događaja imaju jasnu geometrijsku interpretaciju. Neka se događaj sastoji od ulaska tačke u regiju , događaj se sastoji od ulaska u regiju , tada se događaj sastoji od ulaska tačke u regiju zasjenjenu na Sl. 1, a događaj je kada tačka udari u područje zasjenjeno na Sl. 2.

Klasična definicija vjerovatnoće slučajnog događaja

Za kvantitativno upoređivanje događaja prema stepenu mogućnosti njihovog nastanka uvodi se numerička mjera koja se naziva vjerovatnoća događaja.

Vjerovatnoća događaja je broj koji izražava mjeru objektivne mogućnosti nastanka događaja.

Vjerovatnoća događaja će biti označena simbolom.

Vjerovatnoća događaja jednaka je omjeru broja slučajeva koji su za njega povoljni, od ukupnog broja jedinstveno mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, prema broju tj.

Ovo je klasična definicija vjerovatnoće. Dakle, da bi se pronašla vjerovatnoća nekog događaja, potrebno je, uzimajući u obzir različite ishode testa, pronaći skup jedinstveno mogućih, jednako mogućih i nekompatibilnih slučajeva, izračunati njihov ukupan broj, broj slučajeva koji su povoljni za dati događaj, a zatim izvršite proračun koristeći formulu (1.1).

Iz formule (1.1) proizilazi da je vjerovatnoća događaja nenegativan broj i može varirati od nule do jedan u zavisnosti od proporcije povoljnog broja slučajeva od ukupnog broja slučajeva:

Svojstva vjerovatnoće

Nekretnina 1. Ako su svi slučajevi povoljni za određeni događaj, onda će se ovaj događaj sigurno dogoditi. Prema tome, predmetni događaj je pouzdan, a vjerovatnoća njegovog nastanka je , jer u ovom slučaju

Nekretnina 2. Ako ne postoji nijedan slučaj koji je povoljan za određeni događaj, onda se ovaj događaj ne može dogoditi kao rezultat iskustva. Prema tome, predmetni događaj je nemoguć, a vjerovatnoća njegovog nastanka je , jer u ovom slučaju:

Nekretnina 3. Vjerovatnoća nastanka događaja koji čine kompletnu grupu jednaka je jedan.

Nekretnina 4. Vjerovatnoća pojave suprotnog događaja određuje se na isti način kao i vjerovatnoća nastanka događaja:

gdje je broj slučajeva pogodnih za nastanak suprotnog događaja. Stoga je vjerovatnoća da se dogodi suprotan događaj jednaka razlici između jedinice i vjerovatnoće da će se događaj dogoditi:

Važna prednost klasične definicije vjerovatnoće događaja je da se uz njenu pomoć vjerovatnoća događaja može odrediti bez pribjegavanja iskustvu, već na osnovu logičkog zaključivanja.

Primer 1. Prilikom biranja telefonskog broja, pretplatnik je zaboravio jednu cifru i birao je nasumično. Pronađite vjerovatnoću da je pozvan tačan broj.

Rješenje. Označimo događaj da se bira traženi broj. Pretplatnik može birati bilo koju od 10 cifara, tako da je ukupan broj mogućih ishoda 10. Ovi ishodi su jedini mogući (jedna od cifara se mora birati) i podjednako mogući (cifra se bira nasumično). Samo jedan ishod favorizuje događaj (postoji samo jedan potreban broj). Tražena vjerovatnoća jednaka je omjeru broja ishoda povoljnih za događaj i broja svih ishoda:

Elementi kombinatorike

U teoriji vjerovatnoće često se koriste položaji, permutacije i kombinacije. Ako je skup dat, onda plasman (kombinacija) elemenata by je bilo koji uređeni (neuređeni) podskup elemenata skupa. Kada je postavljen je pozvan preuređenje od elemenata.

Neka, na primjer, bude dat skup. Položaji tri elementa ovog skupa od dva su , , , , , ; kombinacije - , , .

Dvije kombinacije se razlikuju u najmanje jednom elementu, a položaji se razlikuju ili po samim elementima ili po redoslijedu u kojem se pojavljuju. Broj kombinacija elemenata po izračunava se po formuli

je broj smještaja elemenata po ; - broj permutacija elemenata.

Primjer 2. U seriji od 10 dijelova nalazi se 7 standardnih. Nađite vjerovatnoću da među 6 nasumično uzetih dijelova ima tačno 4 standardna.

Rješenje. Ukupan broj mogućih ishoda testa jednak je broju načina na koje se 6 dijelova može izdvojiti iz 10, tj. jednak je broju kombinacija od 10 elemenata od 6. Broj ishoda povoljnih za događaj (među 6 uzetih dijelova ima tačno 4 standardna) određuje se na sljedeći način: 4 standardna dijela mogu se uzeti od 7 standardnih dijelova na različite načine; u ovom slučaju, preostali dijelovi moraju biti nestandardni; Postoje načini da se od nestandardnih dijelova uzmu 2 nestandardna dijela. Dakle, broj povoljnih ishoda je jednak . Početna vjerovatnoća jednaka je omjeru broja ishoda povoljnih za događaj i broja svih ishoda:

Statistička definicija vjerovatnoće

Formula (1.1) se koristi za direktno izračunavanje vjerovatnoća događaja samo kada se iskustvo svede na obrazac slučajeva. U praksi, klasična definicija vjerovatnoće često nije primjenjiva iz dva razloga: prvo, klasična definicija vjerovatnoće pretpostavlja da ukupan broj slučajeva mora biti konačan. Zapravo, često nije ograničeno. Drugo, često je nemoguće rezultate eksperimenta prikazati u obliku jednako mogućih i nekompatibilnih događaja.

Učestalost pojavljivanja događaja tokom ponovljenih eksperimenata ima tendenciju da se stabilizuje oko neke konstantne vrednosti. Dakle, određena konstantna vrijednost može biti povezana sa događajem koji se razmatra, oko koje se grupišu frekvencije i koja je karakteristika objektivne veze između skupa uslova pod kojima se eksperimenti izvode i događaja.

Vjerovatnoća slučajnog događaja je broj oko kojeg se grupišu učestalosti ovog događaja kako se broj pokušaja povećava.

Ova definicija vjerovatnoće se zove statistički.

Prednost statistička metoda Definicija vjerovatnoće je da se zasniva na stvarnom eksperimentu. Međutim, njegov značajan nedostatak je to što je za određivanje vjerovatnoće potrebno izvršiti veliki broj eksperimente koji su vrlo često povezani s materijalnim troškovima. Statistička definicija vjerovatnoće događaja, iako sasvim u potpunosti otkriva sadržaj ovog koncepta, ne omogućava stvarno izračunavanje vjerovatnoće.

Klasična definicija vjerovatnoće razmatra kompletnu grupu konačnog broja jednako mogućih događaja. U praksi je vrlo često broj mogućih ishoda testa beskonačan. U takvim slučajevima, klasična definicija vjerovatnoće nije primjenjiva. Međutim, ponekad u takvim slučajevima možete koristiti drugu metodu izračunavanja vjerovatnoće. Radi određenosti, ograničavamo se na dvodimenzionalni slučaj.

Neka je na ravni dato određeno područje površine , koje sadrži drugu oblast površine (slika 3). Tačka se nasumično baca u područje. Kolika je vjerovatnoća da će tačka pasti u regiju? Pretpostavlja se da nasumično bačena tačka može pogoditi bilo koju tačku u regionu, a verovatnoća da će pogoditi bilo koji deo regiona je proporcionalna površini dela i ne zavisi od njegove lokacije i oblika. U ovom slučaju, vjerovatnoća da ćete pogoditi područje pri nasumičnom bacanju tačke u to područje je

Dakle, u opštem slučaju, ako mogućnost nasumične pojave tačke unutar određenog područja na pravoj, ravni ili u prostoru nije određena položajem ove oblasti i njenim granicama, već samo njenom veličinom, tj. , površina ili volumen, zatim vjerovatnoća da slučajna tačka padne unutar određenog područja definira se kao omjer veličine ovog područja i veličine cijelog područja u kojem se može pojaviti dati poen. Tamo je geometrijska definicija vjerovatnoće.

Primjer 3. Okrugla meta rotira s konstantom ugaona brzina. Jedna petina mete je obojena zelenom bojom, a ostatak je bijeli (slika 4). U metu se ispaljuje hitac na način da je pogodak pouzdan događaj. Morate odrediti vjerovatnoću da pogodite ciljni sektor obojen zelenom bojom.

Rješenje. Označimo "udarac je pogodio sektor obojen zelenom bojom". Onda . Vjerojatnost se dobiva kao omjer površine dijela mete obojenog zelenom prema cijeloj površini mete, jer su pogoci na bilo koji dio mete jednako mogući.

Aksiomi teorije vjerovatnoće

Iz statističke definicije vjerovatnoće slučajnog događaja slijedi da je vjerovatnoća događaja broj oko kojeg se grupišu frekvencije ovog događaja posmatranog eksperimentalno. Stoga se uvode aksiomi teorije vjerovatnoće tako da vjerovatnoća događaja ima osnovna svojstva frekvencije.

Aksiom 1. Svaki događaj odgovara određenom broju koji zadovoljava uvjet i naziva se njegova vjerovatnoća.

Jedan od osnovnih koncepata teorije vjerovatnoće je koncept događaja.

Događaj odnosi se na bilo koju činjenicu koja se može ili ne mora pojaviti kao rezultat testa.

Ispod test (iskustvo, eksperiment) u ovoj definiciji podrazumijeva se ispunjenje određenog skupa uslova u kojima se posmatra ova ili ona pojava i bilježi ovaj ili onaj rezultat.

Na primjer, strijelac puca u metu. IN u ovom slučaju udarac je test, pogodak ili promašaj je događaj. Drugi primjer: iz urne koja sadrži kuglice različitih boja izvlači se jedna kugla. U ovom slučaju, vađenje lopte iz urne je test. Pojava lopte određene boje je događaj.

Događaji se obično označavaju velikim slovima latinice: A, B, C itd.

Događaj se zove pouzdan , ako se kao rezultat testa to nužno mora dogoditi. Događaj se zove nasumično , ako se kao rezultat testa može dogoditi ili ne mora. Događaj se zove nemoguće , ako se kao rezultat testa uopće ne može dogoditi.

Na primjer, baca se kocka. U ovom slučaju, pojava cijelog broja je pouzdan događaj, pojava broja 2 je slučajni događaj, a pojava broja 8 je nemoguć događaj.

Događaji se zovu nekompatibilno , ako pojava jednog od njih isključuje pojavu bilo kojeg drugog. Inače se događaji pozivaju joint .

Na primjer, student koji dobije ocjenu „odličan“, „dobar“ i „zadovoljavajući“ na ispitu iz jedne discipline su nekompatibilni događaji, ali dobijanje istih ocjena u tri različite discipline su zajednički događaji.

Događaji se zovu jedino moguće , ako je pojava jednog i samo jednog od njih kao rezultat testa pouzdan događaj.

Na primjer, dva učenika su došla na test. Jedan od sljedećih događaja će se definitivno dogoditi: oba učenika će proći test (događaj A), samo jedan učenik će položiti test (događaj IN), niko od učenika neće položiti test (događaj WITH). Događaji A, IN, WITH su jedine moguće.

Događaji se zovu podjednako moguće , ako, prema uvjetima simetrije, postoji razlog vjerovati da nijedan od ovih događaja nije objektivno mogući više od ostalih.

Na primjer, pojava grba ili glava prilikom bacanja novčića podjednako su mogući događaji. Zaista, pretpostavlja se da je novčić napravljen od homogenog materijala, pravilnog cilindričnog oblika, a prisustvo kovanja ne utiče na gubitak jedne ili druge strane novčića.

Formira se nekoliko događaja puna grupa , ako su to jedini mogući i nespojivi ishodi suđenja. To znači da se jedan i samo jedan od ovih događaja mora dogoditi kao rezultat testa.

Na primjer, učenik odgovara na pitanja ispitna kartica. Karta sadrži dva pitanja. Mogući su sljedeći ishodi testa: učenik će odgovoriti na oba pitanja (događaj A 1), odgovoriće na jedno pitanje (događaj A 2), neće odgovoriti ni na jedno pitanje (događaj A 3). Događaji A 1 , A 2 i A 3 čine kompletnu grupu.

Nasuprot navedite dva jedinstveno moguća događaja koji čine kompletnu grupu.

Na primjer, događaj na kojem je student ovog trenutka biti u publici i događaj biti izvan publike su suprotnosti.

Ako je jedan od dva suprotna događaja označen sa A, tada se nešto drugo obično označava kao .

Mnogi se, kada se suoče sa konceptom „teorije verovatnoće“, uplaše, misleći da je to nešto ogromno, veoma složeno. Ali sve zapravo nije tako tragično. Danas ćemo pogledati osnovni koncept teorije vjerovatnoće i naučiti kako riješiti probleme koristeći konkretne primjere.

Nauka

Šta proučava takva grana matematike kao što je „teorija verovatnoće“? Ona bilježi obrasce i količine. Naučnici su se prvi put zainteresovali za ovo pitanje još u osamnaestom veku, kada su proučavali kockanje. Osnovni koncept teorije vjerovatnoće je događaj. To je svaka činjenica koja je utvrđena iskustvom ili posmatranjem. Ali šta je iskustvo? Još jedan osnovni koncept teorije vjerovatnoće. To znači da je ovaj splet okolnosti stvoren ne slučajno, već sa određenom svrhom. Što se tiče posmatranja, ovdje sam istraživač ne učestvuje u eksperimentu, već je jednostavno svjedok tih događaja, on ni na koji način ne utiče na to što se dešava.

Događaji

Naučili smo da je osnovni koncept teorije vjerovatnoće događaj, ali nismo razmatrali klasifikaciju. Svi su podijeljeni u sljedeće kategorije:

Pouzdan.
Nemoguće.
Slučajno.

Bez obzira na to kakvi su događaji, posmatrani ili stvoreni tokom iskustva, svi oni podležu ovoj klasifikaciji. Pozivamo vas da se upoznate sa svakom vrstom posebno.

Pouzdan događaj

Ovo je okolnost za koju je preduzet potreban set mjera. Da bismo bolje razumjeli suštinu, bolje je navesti nekoliko primjera. Fizika, hemija, ekonomija i višu matematiku. Teorija vjerovatnoće uključuje tako važan koncept kao što je pouzdan događaj. Evo nekoliko primjera:

Radimo i primamo nadoknadu u vidu plata.
Dobro smo položili ispite, prošli konkurs, za to dobijamo nagradu u vidu prijema na obrazovne ustanove.
Uložili smo novac u banku, a ako treba, vratićemo ga.

Takvi događaji su pouzdani. Ako smo sve završili neophodne uslove, onda ćemo sigurno dobiti očekivani rezultat.

Nemogući događaji

Sada razmatramo elemente teorije vjerovatnoće. Predlažemo da pređemo na objašnjenje sledećeg tipa događaja, odnosno nemogućeg. Za početak, odredimo najviše važno pravilo- vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula.

Od ove formulacije se ne može odstupiti prilikom rješavanja problema. Radi pojašnjenja, evo primjera takvih događaja:

Voda se smrzla na temperaturi od plus deset (ovo je nemoguće).
Nedostatak električne energije ni na koji način ne utiče na proizvodnju (isto nemoguće kao u prethodnom primjeru).

Nije vrijedno davati više primjera, jer oni koji su gore opisani vrlo jasno odražavaju suštinu ove kategorije. Nemogući događaj se nikada neće dogoditi tokom eksperimenta ni pod kojim okolnostima.

Slučajni događaji

Prilikom proučavanja elemenata posebnu pažnju treba obratiti na ovu vrstu događaja. To je ono što nauka proučava. Kao rezultat iskustva, nešto se može, ali i ne mora dogoditi. Osim toga, test se može provesti neograničen broj puta. Živopisni primjeri može poslužiti:

Bacanje novčića je iskustvo ili test, sletanje glava je događaj.
Izvlačenje lopte iz vreće na slepo je test, dobijanje crvene lopte je događaj, itd.

Takvih primjera može biti neograničen broj, ali, općenito, suština bi trebala biti jasna. Za sumiranje i sistematizaciju stečenog znanja o događajima data je tabela. Teorija vjerovatnoće proučava samo posljednju vrstu od svih predstavljenih.

Ime	definicija
Pouzdan	Događaji koji se dešavaju sa 100% garancijom ako su ispunjeni određeni uslovi.	Prijem u obrazovnu ustanovu nakon dobrog položenog prijemnog ispita.
Nemoguće	Događaji koji se nikada neće dogoditi ni pod kojim okolnostima.	Pada snijeg na temperaturi vazduha od plus trideset stepeni Celzijusa.
Slučajno	Događaj koji se može ili ne mora dogoditi tokom eksperimenta/testiranja.	Pogodak ili promašaj prilikom bacanja košarkaške lopte u obruč.

Zakoni

Teorija vjerovatnoće je nauka koja proučava mogućnost da se neki događaj dogodi. Kao i ostali, ima neka pravila. Postoje sljedeći zakoni teorije vjerovatnoće:

Konvergencija nizova slučajnih varijabli.
Zakon velikih brojeva.

Prilikom izračunavanja mogućnosti nečeg složenog, možete koristiti skup jednostavnih događaja kako biste postigli rezultat na lakši i brži način. Imajte na umu da se zakoni teorije vjerovatnoće lako dokazuju korištenjem određenih teorema. Predlažemo da se prvo upoznate sa prvim zakonom.

Konvergencija nizova slučajnih varijabli

Imajte na umu da postoji nekoliko vrsta konvergencije:

Niz slučajnih varijabli konvergira u vjerovatnoći.
Gotovo nemoguće.
Srednja kvadratna konvergencija.
Konvergencija distribucije.

Dakle, odmah je veoma teško shvatiti suštinu. Evo definicija koje će vam pomoći da shvatite ovu temu. Počnimo s prvim pogledom. Slijed se zove konvergentna po verovatnoći, ako je ispunjen sljedeći uvjet: n teži beskonačnosti, broj kojem niz teži je veći od nule i blizu jedan.

Pređimo na sljedeći pogled, gotovo sigurno. Za niz se kaže da konvergira gotovo sigurno na slučajnu varijablu pri čemu n teži beskonačnosti i P teži vrijednosti blizu jedinice.

Sledeći tip je srednja kvadratna konvergencija. Kada se koristi SC konvergencija, proučavanje vektorskih slučajnih procesa se svodi na proučavanje njihovih koordinatnih slučajnih procesa.

Ostaje posljednja vrsta, pogledajmo je ukratko kako bismo prešli direktno na rješavanje problema. Konvergencija u distribuciji ima još jedno ime - "slaba", a kasnije ćemo objasniti zašto. Slaba konvergencija je konvergencija funkcija distribucije u svim tačkama kontinuiteta granične funkcije distribucije.

Definitivno ćemo održati obećanje: slaba konvergencija se po tome razlikuje od svega navedenog slučajna vrijednost nije definisan na prostoru verovatnoće. To je moguće jer se uvjet formira isključivo korištenjem funkcija distribucije.

Zakon velikih brojeva

Teoreme teorije vjerovatnoće, kao što su:

Čebiševljeva nejednakost.
Čebiševljeva teorema.
Generalizovana Čebiševljeva teorema.
Markova teorema.

Ako uzmemo u obzir sve ove teoreme, onda se ovo pitanje može povući na nekoliko desetina listova. Naš glavni zadatak je primijeniti teoriju vjerovatnoće u praksi. Predlažemo da to uradite odmah. Ali prije toga, pogledajmo aksiome teorije vjerojatnosti; oni će biti glavni pomoćnici u rješavanju problema.

Aksiomi

Prvu smo već upoznali kada smo pričali o nemogućem događaju. Podsjetimo: vjerovatnoća nemogućeg događaja je nula. Naveli smo vrlo živopisan i nezaboravan primjer: snijeg je pao na temperaturi zraka od trideset stepeni Celzijusa.

Drugi je sljedeći: pouzdan događaj se javlja s vjerovatnoćom jednakom jedan. Sada ćemo pokazati kako to napisati koristeći matematički jezik: P(B)=1.

Treće: Slučajni događaj se može dogoditi ili ne mora, ali mogućnost se uvijek kreće od nule do jedan. Što je vrijednost bliža jedinici, veće su šanse; ako se vrijednost približi nuli, vjerovatnoća je vrlo mala. Zapišimo ovo matematičkim jezikom: 0<Р(С)<1.

Razmotrimo posljednji, četvrti aksiom, koji zvuči ovako: vjerovatnoća zbira dva događaja jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća. Zapisujemo ga matematičkim jezikom: P(A+B)=P(A)+P(B).

Aksiomi teorije vjerovatnoće su najjednostavnija pravila koja nije teško zapamtiti. Pokušajmo riješiti neke probleme na osnovu znanja koje smo već stekli.

Lutrijska karta

Prvo, pogledajmo najjednostavniji primjer - lutriju. Zamislite da ste kupili jednu lutriju za sreću. Kolika je vjerovatnoća da ćete osvojiti najmanje dvadeset rubalja? Ukupno u opticaju učestvuje hiljadu ulaznica, od kojih jedna ima nagradu od pet stotina rubalja, deset ima po sto rubalja, pedeset ima nagradu od dvadeset rubalja, a sto ima nagradu od pet. Problemi vjerovatnoće se zasnivaju na pronalaženju mogućnosti sreće. Sada ćemo zajedno analizirati rješenje gornjeg zadatka.

Ako koristimo slovo A da označimo dobitak od pet stotina rubalja, tada će vjerovatnoća da dobijemo A biti jednaka 0,001. Kako smo dobili ovo? Potrebno je samo podijeliti broj “sretnih” tiketa sa njihovim ukupnim brojem (u ovom slučaju: 1/1000).

B je dobitak od sto rubalja, vjerovatnoća će biti 0,01. Sada smo postupili po istom principu kao u prethodnoj akciji (10/1000)

C - dobitak je dvadeset rubalja. Pronalazimo vjerovatnoću, jednaka je 0,05.

Preostale karte nas ne zanimaju, jer je njihov nagradni fond manji od navedenog u uslovu. Primijenimo četvrti aksiom: Vjerovatnoća osvajanja najmanje dvadeset rubalja je P(A)+P(B)+P(C). Slovo P označava vjerovatnoću nastanka datog događaja, već smo ih našli u prethodnim radnjama. Ostaje samo da saberemo potrebne podatke i dobijemo odgovor 0,061. Ovaj broj će biti odgovor na pitanje zadatka.

Špil karata

Problemi u teoriji vjerojatnosti mogu biti složeniji; na primjer, uzmimo sljedeći zadatak. Pred vama je špil od trideset šest karata. Vaš zadatak je da izvučete dvije karte zaredom bez miješanja hrpe, prva i druga karta moraju biti asovi, boja nije bitna.

Prvo, hajde da pronađemo verovatnoću da će prva karta biti as, za ovo delimo četiri sa trideset šest. Ostavili su to po strani. Izvadimo drugu kartu, to će biti as sa vjerovatnoćom od tri trideset petine. Verovatnoća drugog događaja zavisi od toga koju kartu smo prvu izvukli, pitamo se da li je to bio kec ili ne. Iz ovoga slijedi da događaj B zavisi od događaja A.

Sljedeći korak je pronalaženje vjerovatnoće istovremene pojave, odnosno množimo A i B. Njihov proizvod se nalazi na sljedeći način: pomnožimo vjerovatnoću jednog događaja sa uslovnom vjerovatnoćom drugog, koju izračunamo, uz pretpostavku da je prvi dogodio se događaj, odnosno izvukli smo asa prvom kartom.

Da bi sve bilo jasno, dajmo oznaku takvom elementu kao što su događaji. Izračunava se pod pretpostavkom da se dogodio događaj A. Izračunava se na sljedeći način: P(B/A).

Nastavimo rješavati naš problem: P(A * B) = P(A) * P(B/A) ili P(A * B) = P(B) * P(A/B). Vjerovatnoća je jednaka (4/36) * ((3/35)/(4/36). Računamo zaokruživanjem na najbližu stotu. Imamo: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0.09 Vjerovatnoća da ćemo izvući dva asa zaredom je devet stotinki.Vrijednost je vrlo mala, iz toga slijedi da je vjerovatnoća da će se događaj desiti izuzetno mala.

Zaboravljen broj

Predlažemo da analiziramo još nekoliko varijanti zadataka koje proučava teorija vjerovatnoće. Primjere rješavanja nekih od njih već ste vidjeli u ovom članku. Pokušajmo riješiti sljedeći problem: dječak je zaboravio zadnju cifru telefonskog broja svog prijatelja, ali pošto je poziv bio veoma važan, počeo je birati sve redom . Moramo izračunati vjerovatnoću da će nazvati najviše tri puta. Rješenje problema je najjednostavnije ako su poznata pravila, zakoni i aksiomi teorije vjerovatnoće.

Prije nego što pogledate rješenje, pokušajte ga sami riješiti. Znamo da posljednja znamenka može biti od nula do devet, odnosno ukupno deset vrijednosti. Verovatnoća da dobijete pravi je 1/10.

Dalje, moramo razmotriti opcije za porijeklo događaja, pretpostavimo da je dječak pogodio ispravno i odmah otkucao pravu, vjerovatnoća takvog događaja je 1/10. Druga opcija: prvi poziv promaši, a drugi je na meti. Izračunajmo vjerovatnoću takvog događaja: pomnožimo 9/10 sa 1/9, a kao rezultat dobijamo i 1/10. Treća opcija: ispostavilo se da su prvi i drugi poziv bili na pogrešnoj adresi, tek trećim je dječak stigao gdje je htio. Izračunavamo vjerovatnoću takvog događaja: 9/10 pomnoženo sa 8/9 i 1/8, što rezultira 1/10. Druge opcije prema uslovima zadatka nas ne zanimaju, tako da moramo samo da saberemo dobijene rezultate, na kraju imamo 3/10. Odgovor: vjerovatnoća da će dječak nazvati najviše tri puta je 0,3.

Kartice sa brojevima

Pred vama je devet kartica na kojima je napisan broj od jedan do devet, brojevi se ne ponavljaju. Stavljeni su u kutiju i dobro promešani. Morate izračunati vjerovatnoću da

pojavit će se paran broj;
dvocifren.

Prije nego što pređemo na rješenje, odredimo da je m broj uspješnih slučajeva, a n ukupan broj opcija. Nađimo vjerovatnoću da će broj biti paran. Neće biti teško izračunati da postoje četiri parna broja, ovo će biti naše m, ukupno je devet mogućih opcija, odnosno m=9. Tada je vjerovatnoća 0,44 ili 4/9.

Razmotrimo drugi slučaj: broj opcija je devet, a uspješnih ishoda uopće ne može biti, odnosno m je nula. Verovatnoća da će izvučena karta sadržati dvocifreni broj je takođe nula.

Predmet teorije vjerovatnoće. Slučajni događaji i njihova klasifikacija. Klasična definicija vjerovatnoće. Opšti principi kombinatorike.

Vjerovatnoća je jedan od onih pojmova koje rado koristimo u svakodnevnom životu, a da o tome uopće ne razmišljamo. Na primjer, čak i naš govor nosi otisak spontano-vjerovatnog pristupa stvarnosti oko nas. Često koristimo riječi " vjerovatno", "malo vjerovatno", "nevjerovatno". Već u ovim riječima pokušava se procijeniti mogućnost nastanka ovog ili onog događaja, tj. pokušaj kvantifikacije ove mogućnosti. Ideja o izražavanju brojkama stepena mogućnosti nastanka određenih događaja nastala je nakon što su ljudi pokušali generalizirati dovoljno veliki broj zapažanja pojava u kojima se manifestira svojstvo stabilnosti, tj. sposobnost prilično čestog ponavljanja.

Na primjer, ishod jednog bacanja novčića ne može se unaprijed odrediti. Ali ako bacite novčić dovoljno veliki broj puta, gotovo sigurno možete reći da će otprilike polovina puta pasti na glavu, a pola na rep. Broj sličnih primjera u kojima se može dati intuitivna ideja o brojčanoj vrijednosti vjerovatnoće određenog događaja je vrlo velik. Međutim, svi takvi primjeri su popraćeni nejasnim konceptima kao što su "pošteno" bacanje, "pravi" novčić itd. Teorija verovatnoće je postala nauka tek kada su identifikovani osnovni koncepti teorije verovatnoće, jasno formulisan pojam same verovatnoće i izgrađen probabilistički aksiomatski model.

Svaka nauka koja razvija opštu teoriju bilo kojeg niza fenomena sadrži niz osnovnih koncepata na kojima se zasniva. Takvi su, na primjer, u geometriji pojmovi tačke, prave linije, ravni, linije, površine; u matematičkoj analizi - funkcije, granice, diferencijali, integrali; u mehanici - sile, masa, brzina, ubrzanje. Naravno, takvi koncepti postoje iu teoriji vjerovatnoće. Jedan od ovih osnovnih koncepata je koncept slučajni događaj.

SLUČAJNI DOGAĐAJI I NJIHOVE VJEROJATNOSTI

Slučajni događaji i njihova klasifikacija

Ispod događaj shvatićemo svaku pojavu koja se javlja kao rezultat implementacije određenog skupa uslova. Implementacija ovog skupa uslova se zove eksperiment (iskustvo, suđenje). Imajte na umu da sam istraživač ne mora nužno sudjelovati u eksperimentu. Iskustvo se može mentalno inscenirati ili se može odvijati nezavisno od njega; u potonjem slučaju, istraživač djeluje kao posmatrač.

Događaj se zove pouzdan, ako se to nužno mora dogoditi kada su ispunjeni određeni uslovi. Dakle, pouzdano je dobiti ne više od šest poena kada se bacaju obične kocke; izjava da je voda u tečnom stanju na +20 0 C u normalnim uslovima itd. Događaj se zove nemoguće, ako se očigledno ne dešava kada su ispunjeni određeni uslovi. Dakle, nemoguće je reći da je moguće izvući više od četiri asa iz običnog špila karata; ili Minhauzenova tvrdnja da se mogao podići za kosu, itd. Događaj se naziva slučajnim ako se može dogoditi ili ne dogoditi ako su ispunjeni određeni uvjeti. Na primjer, dobijanje glave prilikom bacanja novčića; pogađanje mete jednim udarcem u metu itd.

U teoriji vjerovatnoće, svaki događaj se smatra rezultatom nekog eksperimenta. Stoga se događaji često nazivaju ishodi. U ovom slučaju, ishod ovog ili onog eksperimenta treba da zavisi od niza slučajnih faktora, tj. svaki ishod mora biti slučajan događaj; inače, druge nauke moraju da se bave takvim događajima. Posebno treba napomenuti da se u teoriji vjerovatnoće smatraju samo takvi eksperimenti koji se mogu ponoviti (reproducirati) pod konstantnim skupom uslova proizvoljan broj puta (barem teoretski). Odnosno, teorija vjerovatnoće proučava samo one događaje u odnosu na koje ima smisla ne samo izjava o njihovoj slučajnosti, već je moguća i objektivna procjena udjela slučajeva njihovog nastanka. S tim u vezi, naglašavamo da teorija vjerovatnoće ne proučava jedinstvene događaje, ma koliko oni sami po sebi bili zanimljivi. Na primjer, izjava da će se zemljotres dogoditi na određenom mjestu u dato vrijeme se klasifikuje kao slučajni događaj. Međutim, takvi događaji su jedinstveni jer se ne mogu reproducirati.

Drugi primjer, događaj da će dati mehanizam raditi duže od godinu dana je slučajan, ali jedinstven. Naravno, svaki mehanizam je individualan po svojim kvalitetima, ali dosta ovih mehanizama se može proizvesti i proizvesti pod istim uslovima. Testiranje mnogih sličnih objekata pruža informacije koje nam omogućavaju da procijenimo proporciju pojavljivanja slučajnog događaja u pitanju. dakle, u teoriji vjerovatnoće bave se ponavljanjem testova dva tipa: 1) ponavljanje testova za isti objekat; 2) testiranje mnogih sličnih objekata.

U nastavku ćemo, radi sažetosti, izostaviti riječ „slučajno“. Događaje ćemo označavati velikim slovima latinice: A, B, C itd.

Događaji A i B se nazivaju nekompatibilno, ako pojava jednog od njih isključuje mogućnost nastanka drugog. Na primjer, prilikom bacanja novčića mogu se dogoditi dvije stvari: glava ili rep. Međutim, ovi događaji se ne mogu pojaviti istovremeno sa jednim bacanjem. Ako je, kao rezultat testa, moguća istovremena pojava događaja A i B, tada se takvi događaji nazivaju joint. Na primjer, dobivanje paran broj bodova prilikom bacanja kocke (događaj A) i broj bodova koji je višestruki od tri (događaj B) će se kombinirati, jer dobivanje šest bodova znači pojavu i događaja A i događaja B .