Zamislite niz pozitivnih brojeva.
Ako postoji ograničenje, tada:
a) Kada se vesla divergira. Štaviše, rezultirajuća vrijednost može biti nula ili negativna
b) Kada se vesla konvergira. Konkretno, serija konvergira na .
c) Kada Raabeov znak ne daje odgovor.

Nacrtavamo granicu i pažljivo i pažljivo pojednostavljujemo razlomak:

Da, slika je najblaže rečeno neugodna, ali više se ne čudim. Takve granice se ruše uz pomoć L'Hopitalova pravila, a prva pomisao, kako se kasnije ispostavilo, pokazala se tačnom. Ali u početku sam proveo oko sat vremena uvijajući i okrećući granicu koristeći „uobičajene“ metode, ali neizvjesnost se nije htjela eliminirati. A hodanje u krug, kako iskustvo govori, tipičan je znak da je odabrano pogrešno rješenje.

Morao sam se obratiti ruskoj narodnoj mudrosti: „Ako ništa ne uspije, pročitajte upute.“ A kada sam otvorio 2. tom Fihtenholca, na svoju veliku radost otkrio sam studiju identične serije. A onda je rješenje slijedilo primjer:

Zbog numerički niz smatra se posebnim slučajem funkcije, tada ćemo u limitu izvršiti zamjenu: . Ako onda.

Kao rezultat:

Sada jesam granica funkcije i primjenjivo L'Hopitalovo pravilo. U procesu diferencijacije moraćemo da uzmemo derivat eksponencijalne funkcije stepena, koje je tehnički zgodno pronaći odvojeno od glavnog rješenja:

Budite strpljivi, jer ste se već popeli ovdje - upozorio je Barmaley na početku članka =) =)

Koristim L'Hopitalovo pravilo dva puta:

divergira.

Trebalo je dosta vremena, ali moja kapija je stajala!

Čisto radi zabave, izračunao sam 142 člana serije u Excelu (nisam imao dovoljno računarske snage za više) i čini se (ali ne i striktno teoretski zagarantovano!) da čak ni potreban test konvergencije nije ispunjen za ovu seriju. Možete vidjeti epski rezultat ovdje >>> Nakon ovakvih nezgoda nisam mogao odoljeti iskušenju da na isti amaterski način testiram limit.

Koristite ga za svoje zdravlje, rješenje je legalno!

A ovo je vaš slon:

Primjer 20

Istražite konvergenciju serije

Ako ste dobro inspirirani idejama ove lekcije, onda možete podnijeti ovaj primjer! Mnogo je jednostavniji od prethodnog ;-)

Naše putovanje je završilo u vedrom tonu i nadamo se da je svima ostalo nezaboravno iskustvo. Oni koji žele nastaviti banket mogu otići na stranicu Spremni zadaci u višoj matematici i preuzmite arhivu sa dodatnim zadacima na temu.

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: uporedi ovaj niz sa konvergentnim nizom. Za sve prirodne brojeve nejednakost je tačna, što znači da je za poređenje ispitivani niz konvergira zajedno sa pored .

Primjer 4: Rješenje: uporedi ovu seriju sa divergentnim harmonijskim nizom. Koristimo ograničavajući kriterijum poređenja:

(proizvod infinitezimalnog i ograničenog je beskonačno mali niz)
divergira zajedno sa harmonijskim nizom.

Primjer 5: Rješenje: uzmimo konstantni faktor opšteg člana izvan zbira; konvergencija ili divergencija niza ne zavisi od toga:

Uporedimo ovaj niz sa konvergentnom beskonačno opadajućom geometrijskom progresijom. Niz je ograničen: , dakle za sve prirodne brojeve nejednakost . I, prema tome, na osnovu poređenja, serija koja se proučava konvergira zajedno sa pored .

Primjer 8: Rješenje: uporedi ovaj niz sa divergentnim nizom (konstantni faktor zajedničkog pojma ne utiče na konvergenciju ili divergenciju niza). Koristimo ograničavajući kriterijum za poređenje i izuzetnu granicu:

Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da je serija koja se proučava divergira zajedno sa pored .

Primjer 13: Rješenje

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

Primjer 14: Rješenje: koristimo d'Alembertov znak:

Zamijenimo infinitezimale s ekvivalentnim: za .
Koristimo drugu divnu granicu: .

Dakle, serija koja se proučava divergira.
Pomnožite i podijelite konjugiranim izrazom:

Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da je serija koja se proučava divergira zajedno sa pored .

Primjer 20: Rješenje: Provjerimo neophodan uslov za konvergenciju reda. U toku proračuna, koristeći standardnu ​​tehniku, organizujemo drugu izuzetnu granicu:

Dakle, serija koja se proučava divergira.

Viša matematika za dopisne studente i više >>>

(Idi na glavnu stranicu)

6. Raabeov znak

Teorema 6. Ako postoji granica:

tada: 1) kada se niz (A) konvergira, 2) kada se niz divergira.

Dokaz. Dokazuje se pomoćna izjava:

Izjava 1. (12)

Dokaz. Razmotrite izraz:

Uzeli smo logaritme obe strane jednakosti:

Vraćeno do granice:

Iz jednakosti (11), na osnovu definicije granice numeričkog niza, slijedi da za bilo koji proizvoljno mali postoji takav da za nejednakost:

1) Neka onda. Označeno, dakle, počevši od broja, iz nejednakosti (13) slijedi da vrijedi sljedeća nejednakost:

uzmi bilo koji broj. Prema (12), za dovoljno velike bit će tačno sljedeće:

Odavde, prema (14), slijedi:

Desno je omjer dva uzastopna člana Dirichletovog reda na; nakon primjene teoreme 4, konvergencija reda (A) postaje očigledna.

2) Neka, dakle, slično tački (1), iz (13) slijedi sljedeća nejednakost:

Odavde smo odmah pronašli:

nakon primjene teoreme 4 na niz (A) i Dirichletov niz, postaje vidljiva divergencija niza (A).

Napomena 5. Raabeov test je mnogo jači od D'Alembertovog testa

Napomena 6. Raabeov test ne daje odgovor na postavljeno pitanje.

11) Istražite seriju koristeći D'Alembertove i Raabeove znakove:

D'Alembertov test ne daje odgovor na pitanje konvergencije datog niza. Serija se ispituje korištenjem Raabe testa:

Rezultat je bila nesigurnost tipa, pa smo primijenili 1. L'Hopital-Bernoullijevo pravilo:

Rad divergira na, konvergira na, ali Raabeov test ne daje odgovor na pitanje konvergencije.

12) Istražite seriju koristeći Raabeov test:

Rezultat je nesigurnost tipa, ali prije primjene 1. L'Hopital-Bernoullijevog pravila, pronalazi se derivacija izraza, za to se logaritmizira i traži se izvod logaritma:

Sada možete pronaći derivat izraza:

Povratak do granice. Primjenjuje se 1. L'Hopital-Bernoullijevo pravilo:

Izraz se razmatra. Nakon primjene 1. L'Hopital-Bernoullijevog pravila na njega:

Iz toga slijedi da:

Zamijenite ovu jednakost u izraz:

Odavde, prema Raabeovom kriteriju, slijedi da se ovaj niz divergira i konvergira u, ali Raabeov kriterij ne daje odgovor na pitanje konvergencije niza.

Dodatno razumijevanje svestranosti brojevnih serija

Uzmimo za Kummerov znak u prostoru različitih serija i harmonijskog niza (3.1). Ko je taj kome je žao? Otrimana znaka nemogućnosti može se formulisati na ovaj način. Teorema (Raabeov znak). Serija, pustite, ako nađete ovako nešto...

Naizmjenične serije

Teorema (Leibnizov test). Naizmjenični niz konvergira ako: Niz apsolutnih vrijednosti članova niza monotono opada, tj. ; Opšti član serije teži nuli:. U ovom slučaju, zbir S serije zadovoljava nejednakosti. Bilješke...

Teorema 1 (D'Alembertov test). Neka je zadan niz gdje je sve > 0. Ako postoji granica, onda na 0<1 ряд сходится, а при >Red 1 konvergira.

Naizmjenične i naizmjenične serije

Teorema 2 (Cauchyjev test). Neka je data serija, . (1) Ako postoji konačan limit, tada 1) red konvergira; 2) red se divergira.

Naizmjenične i naizmjenične serije

Teorema 3 (integralni test za konvergenciju). Neka je funkcija f(x) definirana, kontinuirana, pozitivna i ne rastuća na zraku. Tada: 1) niz brojeva konvergira...

Naizmjenične i naizmjenične serije

Definicija. Brojevni niz a1 - a2 + a3 - … + (- 1) n - 1an + …, gdje su svi brojevi an pozitivni, naziva se naizmjeničnim. Primjer. Serija se izmjenjuje, ali serija se ne izmjenjuje...

Integracija diferencijalne jednadžbe koristeći redove snage

U matematičkim aplikacijama, kao iu rješavanju nekih problema u ekonomiji, statistici i drugim oblastima, uzimaju se u obzir zbirovi sa beskonačnim brojem pojmova. Ovdje ćemo dati definiciju šta se podrazumijeva pod takvim iznosima...

1.D.P.: Proširimo AC na AM1=OC i BD na DN1=OB. 2. Prema Pitagorinoj teoremi u?M1ON1: M1N1=10. 3. Izvršimo M1KN1D. MK?AK=K. 4. ?BOC=?KAM1 (prema sljedećim kriterijima: BO=KM1, OC=AM1, po konstrukciji, BOC=KM1A=90, poprečno leži na BN1 KM1, M1C - sekanti) AK=BC. 5. M1KDN1 - paralelogram, DK=M1N1 =10; MN =DK/2= (AD+BC)/2=5...

Različite metode za rješavanje planimetrijskih zadataka

1.D.P.: Proširimo AC na AM1=OC i BD na DN=OB. 2. Razmotrimo?OMN, NOM=90°, zatim po Pitagorinoj teoremi u?MON MN=10. 3. Sačekajmo: AEMN, DFMN, OKBC. 4. ?AME = ?KOC i?DFN=?BOK (prema II kriterijumu) ME=KC, FN=BKMN=BC+AD=a+b=10MN=10/2=5. Odgovor: MN=5...

Rješivost jednog graničnog problema

Razmotrimo nelinearni granični problem: (1) (2) Postoji reprezentacija (3) Operator je linearno ograničen simetričan; ima spektar u intervalu; - je pozitivno, tj. za bilo koju nejednakost vrijedi...

Neka je zadan pozitivan niz: , gdje. (A) Teorema 5. Ako postoji granica: , (5) tada: 1) kada se red (A) konvergira, 2) kada se red divergira. Dokaz. Iz jednakosti (5) na osnovu definicije granice numeričkog niza slijedi...

Konvergencija pozitivnih serija

Teorema 6. Ako postoji granica: (18) onda: 1) kada se red (A) konvergira, 2) kada - divergira. Dokaz. Dokazano korištenjem Kummerove sheme. Neka bude. Razmatramo seriju. Uporedite je sa serijom koja se razilazi...

Stabilnost Ljapunova

Neka --- rešenje sistem jednačina definisanih na određenom intervalu, i --- rešenje istog sistema jednačina definisanih na određenom intervalu. Reći ćemo da je rješenje nastavak rješenja ako...

U Kummerovom testu, uzmimo harmonijski niz kao divergentni niz (12.1)

U ovom slučaju imamo

Rezultirajući test konvergencije može se formulirati na sljedeći način.

Teorema (Raabeov test konvergencije). Red

konvergira ako postoji takav da

Ova serija se razlikuje ako, počevši od nekih

Ograničavajući oblik Raabeovog testa je sljedeći:

tada red (12.9) konvergira, i ako

onda se razilazi.

Raabeov test konvergencije je znatno osjetljiviji od sličnog D'Alembertovog testa konvergencije. Zaista, gdje je d'Alembertov znak, uzet u njegovom krajnji oblik, uspostavlja konvergenciju reda (12.9):

tamo Raabe daje znak.

Slično, za niz čija je divergencija naznačena D’Alembertovim testom, prema Raabeovom testu bit će

1. Razmotrite seriju

Evo tako za svaki konkretan x

a primjena d'Alembertovog testa ovdje je neefikasna. Raabe daje znak

Iz ovoga je jasno da kada se razmatrani niz konvergira, a kada divergira. Napomenimo usput da kada se niz (12.10) pretvori u harmonijski, koji, kao što je poznato, divergira. Činjenica da Raabeov kriterijum u svom izvornom (neograničenom) obliku uspostavlja divergenciju harmonijskog niza ne može se smatrati nezavisnim rezultatom, jer je sama izjava koja čini Raabeovu karakteristiku upravo zasnovana na toj divergenciji.

Sastavimo omjer susjednih članova ove serije:

Proširit ćemo logaritme na desnoj strani i kvadratni korijeni prema Taylorovoj formuli snage. U ovom i sljedećim primjerima koristit ćemo ograničavajuće testove za konvergenciju. To znači da ćemo morati neograničeno povećavati vrijednosti varijable, pa će svaki sljedeći stepen biti, uz povećanje, infinitezimalni višeg reda u odnosu na prethodne. Odbacivanjem svih potencija, počevši od nekih, napravićemo grešku koja će biti mala ne samo apsolutno, već i u poređenju sa poslednjim zadržanim pojmom. Ova relativna greška će biti manja što je vrijednost veća i nestaje u granici s neograničenim povećanjem. U zavisnosti od zahtevane tačnosti zaključivanja, zadržaćemo jedan ili drugi broj pojmova u Taylorovim formulama za odgovarajuće funkcije. Dalje ćemo povezati znakovne izraze koji se međusobno razlikuju u količinama koje su male u odnosu na tačnost koju daju zadržani i napisani termini.

Prvo, ograničavamo se na pojmove logaritama i korijena koji sadrže potencije koje nisu veće od prvog. imaćemo

Prema tome, d’Alembertov test konvergencije nam ovdje ne može dati nikakav odgovor.

U slučajevima kada d'Alembertov i Cauchyjev test ne daju rezultate, ponekad znaci zasnovani na poređenju sa drugim nizovima koji konvergiraju ili divergiraju „sporije“ od niza geometrijske progresije mogu dati potvrdan odgovor.

Predstavljamo, bez dokaza, formulacije četiri glomaznija testa za konvergenciju redova. Dokazi ovih predznaka se takođe zasnivaju na teoremama poređenja 1–3 (Teoreme 2.2 i 2.3) proučavanog niza sa nekim serijama čija je konvergencija ili divergencija već utvrđena. Ovi se dokazi mogu naći, na primjer, u osnovnom udžbeniku G. M. Fikhtengoltsa (, tom 2).

Teorema 2.6. Raabeov znak. Ako je za članove pozitivnog niza brojeva, počevši od određenog broja M, nejednakost

(Rn £ 1), "n ³ M, (2.10)

tada red konvergira (divergira).

Raabeov znak u njegovom ekstremnom obliku. Ako članovi gornje serije zadovolje uslov

Napomena 6. Ako uporedimo znakove D'Alemberta i Raabea, možemo pokazati da je drugi mnogo jači od prvog.

Ako postoji ograničenje za seriju

tada Raabeov niz ima granicu

Dakle, ako d'Alembertov test daje odgovor na pitanje konvergencije ili divergencije niza, onda ga daje i Raabeov test, a ovi slučajevi su pokriveni samo dvije od mogućih vrijednosti R: +¥ i – ¥. Svi ostali slučajevi konačnog R ¹ 1, kada Raabeov test daje potvrdan odgovor na pitanje o konvergenciji ili divergenciji niza, odgovaraju slučaju D = 1, tj. slučaju kada D'Alembertov test ne daje potvrdan odgovor odgovor na pitanje o konvergenciji ili divergenciji niza.

Teorema 2.7. Kummerov znak. Neka je (sn) proizvoljan niz pozitivnih brojeva. Ako je za članove pozitivnog niza brojeva, počevši od određenog broja M, nejednakost

(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)

tada se niz konvergira .

Kummerov znak u njegovom ekstremnom obliku. Ako postoji ograničenje za gornju seriju

tada se niz konvergira .

Iz Kummerovog testa, kao posljedica toga, lako je dobiti dokaze o D'Alembertovim, Raabeovim i Bertrandovim testovima. Potonje se dobija ako za niz (sn)

sn=nln n, "n O N,

za koju je serija

divergira (divergencija ovog niza će biti prikazana u primjerima ovog odjeljka).

Teorema 2.8. Bertrandov test u njegovom ekstremnom obliku. Ako je za članove pozitivnog niza brojeva Bertrandov niz

(2.12)

(Rn je Raabeov niz) ima ograničenje

tada red konvergira (divergira).

U nastavku formuliramo Gaussov test - najmoćniji u nizu testova konvergencije niza raspoređenih uzlaznim redoslijedom primjenjivosti: D'Alembert, Raabe i Bertrand. Gaussov test generalizira punu snagu prethodnih znakova i omogućava vam proučavanje mnogo složenijih serija, ali, s druge strane, njegova primjena zahtijeva suptilnije studije kako bi se dobila asimptotska ekspanzija omjera susjednih članova serije do drugi red malenosti u odnosu na vrijednost .

Teorema 2.9. Gaussov test. Ako je za članove pozitivnog niza brojeva, počevši od određenog broja M, jednakost

, "n ³ M, (2.13)

gdje su l i p konstante, a tn je ograničena vrijednost.

a) za l > 1 ili l = 1 i p > 1, red konvergira;

b) na l< 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.

2.5. Integralni Cauchy-Maclaurin test,

“teleskopski” znak Cauchy i znak Ermakov

Znaci konvergencije prethodno razmatranih nizova zasnovani su na teoremama poređenja i dovoljni su, odnosno, ako su ispunjeni uslovi znaka za dati niz, mogu se dati određene izjave o njegovom ponašanju, ali ako su uslovi znaka za njega ispunjeni. nisu ispunjeni, onda se ništa ne može reći o konvergenciji niza, može se ili konvergirati ili divergirati.

Cauchy–Maclaurin integralni test razlikuje se od onih koji su prethodno proučavani po sadržaju, neophodnosti i dovoljnosti, kao i po formi, zasnovan na poređenju beskonačnog zbira (niza) sa beskonačnim (nepravilnim) integralom, i pokazuje prirodnu vezu između teorija serija i teorija integrala. Ovaj odnos se može lako pratiti i na primjeru uporednih testova, čiji analozi postoje za nepravilne integrale i njihove formulacije se skoro od riječi do riječi podudaraju sa formulacijama za serije. Potpuna analogija se uočava i u formulisanju dovoljnih testova za konvergenciju proizvoljnih brojevnih nizova, koji će biti proučavani u narednom odeljku, i testova za konvergenciju nepravilnih integrala – kao što su testovi za konvergenciju Abela i Dirihleta.

U nastavku ćemo takođe predstaviti “teleskopski” Cauchy test i originalni test za konvergenciju redova, koji je dobio ruski matematičar V.P. Ermakov; Ermakovljev test ima približno isti opseg primjene kao i Cauchy–Maclaurin integralni test, ali ne sadrži pojmove i koncepte integralnog računa u svojoj formulaciji.

Teorema 2.10. Cauchy-Maclaurin test. Neka članovi pozitivnog niza brojeva, počevši od nekog broja M, zadovolje jednakost

gdje je funkcija f(x) nenegativna i nerastuća na polupravoj (x ³ M). Brojevni niz konvergira ako i samo ako konvergira nepravilni integral

To jest, niz konvergira ako postoji granica

, (2.15)

a red divergira ako je granica I = +¥.

Dokaz. Na osnovu napomene 3 (videti § 1), očigledno je da bez gubitka opštosti možemo pretpostaviti da je M = 1, pošto odbacimo (M – 1) članove serije i izvršimo zamenu k = (n – M + 1 ), dolazimo do razmatranja serije , za koju

, ,

i, shodno tome, razmotriti integral.

Dalje, primjećujemo da nenegativna i nerastuća funkcija f(x) na polupravoj (x ³ 1) zadovoljava uvjete Riemannove integrabilnosti na bilo kojem konačnom intervalu, te stoga razmatranje odgovarajućeg nepravilnog integrala ima smisla.

Pređimo na dokaz. Na bilo kojem segmentu jedinične dužine m £ x £ m + 1, zbog činjenice da f(x) nije u porastu, nejednakost

Integracijom preko segmenta i korištenjem odgovarajućeg svojstva definitivni integral, dobijamo nejednakost

, . (2.16)

Sumirajući ove nejednakosti pojam po član od m = 1 do m = n, dobijamo

Pošto je f (x) nenegativna funkcija, onda je integral

je neopadajuća kontinuirana funkcija argumenta A. Tada

, .

Iz ovoga i nejednakosti (15) slijedi:

1) ako ja< +¥ (т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая последовательность частичных сумм je ograničen, tj. red konvergira;

2) ako je I = +¥ (tj. nepravilan integral divergira),

tada je neopadajući niz parcijalnih suma također neograničen, tj. red divergira.

S druge strane, označavajući , iz nejednakosti (16) dobivamo:

1) ako S< +¥ (т. е. ряд сходится), то для неубывающей kontinuirana funkcija I(A), "A ³ 1 postoji broj n takav da je n + 1 ³ A, i I(A) £ I(n + 1) £ Sn £ S, pa stoga , tj. integral konvergira;

2) ako je S = +¥ (tj. red divergira), tada za bilo koje dovoljno veliko A postoji n £ A tako da je I(A) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥ ), tj. integral divergira. Q.E.D.

Predstavljamo još dva zanimljiva znaka konvergencije bez dokaza.

Teorema 2.11. "Teleskopski" Cauchy znak. Niz pozitivnih brojeva čiji su članovi monotono opadajući konvergira ako i samo ako se niz konvergira.

Teorema 2.12. Ermakovljev znak. Neka su članovi pozitivnog niza brojeva takvi da su, počevši od nekog broja M0, zadovoljene jednakosti

an = ¦(n), "n ³ M0,

gdje je funkcija ¦(x) komadno kontinuirana, pozitivna i monotono opada kao x ³ M0.

Tada ako postoji broj M ³ M0 takav da je za sve x ³ M nejednakost

,

tada red konvergira (divergira).

2.6. Primjeri korištenja testova konvergencije

Koristeći teoremu 2, lako je ispitati konvergenciju sljedećih serija

(a > 0, b ³ 0; "a, b O R).

Ako je a £ 1, onda je nužni kriterijum za konvergenciju (osobina 2) prekršen (vidi § 1).

,

dakle, serija se razilazi.

Ako je a > 1, tada za cn postoji procjena, iz koje, zbog konvergencije niza geometrijske progresije, slijedi konvergencija niza koji se razmatra.

konvergira zbog testa poređenja 1 (teorema 2.2), pošto imamo nejednakost

,

a niz konvergira kao niz geometrijske progresije.

Pokažimo divergenciju nekoliko serija, što proizilazi iz kriterijuma poređenja 2 (korolar 1 teoreme 2.2). Red

divergira jer

.

divergira jer

.

divergira jer

.

(p>0)

divergira jer

.

konvergira prema d'Alembertovom kriteriju (teorema 2.4). Zaista

.

konvergira prema d'Alembertovom testu. Zaista

.

.

konvergira prema Cauchyjevom kriteriju (teorema 2.5). Zaista

.

Navedimo primjer primjene Raabeovog testa. Razmotrite seriju

,

gdje je oznaka (k)!! znači proizvod svih parnih (neparnih) brojeva od 2 do k (1 do k), ako je k paran (neparan). Koristeći d'Alembertov test, dobijamo

Dakle, D'Alembertov kriterijum nam ne dozvoljava da damo definitivnu izjavu o konvergenciji niza. Primijenimo Raabeov kriterij:

prema tome, niz konvergira.

Navedimo primjere primjene Cauchy-Maclaurinovog integralnog testa.

Generalizovani harmonijski niz

konvergira ili divergira istovremeno sa nepravilnim integralom

Očigledno je da ja< +¥ при p >1 (integral konvergira) i I = +¥ za p £ 1 (divergira). Dakle, originalni niz također konvergira za p > 1 i divergira za p £ 1.

divergira istovremeno sa nepravilnim integralom

dakle integral divergira.

§ 3. Serija naizmjeničnih brojeva

3.1. Apsolutna i uslovna konvergencija redova

U ovom dijelu ćemo proučavati svojstva nizova čiji su članovi realni brojevi sa proizvoljnim predznakom.

Definicija 1. Brojne serije

kaže se da je apsolutno konvergentan ako red konvergira

Definicija 2. Brojevni niz (3.1) naziva se uslovno konvergentan ili neapsolutno konvergentan ako red (3.1) konvergira, a red (3.2) divergira.

Teorema 3.1. Ako niz konvergira apsolutno, onda konvergira.

Dokaz. U skladu sa Cauchyjevim kriterijem (teorema 1.1), apsolutna konvergencija reda (3.1) je ekvivalentna ispunjenju relacija

" e > 0, $ M > 0 tako da je " n > M, " p ³ 1 Þ

(3.3)

Pošto je poznato da modul zbira više brojeva ne prelazi zbir njihovih modula („nejednakost trougla“), onda iz (3.3) slijedi nejednakost (vrijedi za iste brojeve kao u (3.3), e, M, n, p)

Ispunjenje posljednje nejednakosti znači ispunjenje uslova Cauchyjevog kriterija za red (3.1), dakle, ovaj niz konvergira.

Posledica 1. Neka nizovi (3.1) apsolutno konvergiraju. Od pozitivnih članova niza (3.1), numerirajući ih redom (kako se javljaju u procesu povećanja indeksa), sastavljamo niz pozitivnih brojeva

, (uk = ). (3.4)

Slično, od modula negativnih članova niza (3.1), numerirajući ih redom, sastavljamo sljedeći niz pozitivnih brojeva:

, (vm = ). (3.5)

Tada redovi (3.3) i (3.4) konvergiraju.

Ako zbrojeve nizova (3.1), (3.3), (3.4) označimo slovima A, U, V, respektivno, formula je važeća

A = U – V. (3.6)

Dokaz. Označimo zbir nizova (3.2) sa A*. Prema teoremi 2.1 imamo da su svi parcijalni zbrojevi niza (3.2) ograničeni brojem A*, a pošto se parcijalni zbrojevi nizova (3.4) i (3.5) dobijaju zbrajanjem nekih članova parcijalnih suma serije (3.2), očigledno je da su više ograničeni brojem A*. Zatim, uvodeći odgovarajuću notaciju, dobijamo nejednakosti

;

iz čega, na osnovu teoreme 2.1, slijedi konvergencija redova (3.4) i (3.5).

(3.7)

Pošto brojevi k i m zavise od n, očigledno je da za n ® ¥ i k ® ¥ i m ® ¥. Zatim, prelazeći u jednakosti (3.7) do granice (sve granice postoje na osnovu teoreme 3.1 i onoga što je gore dokazano), dobijamo

tj. jednakost (3.6) je dokazana.

Posledica 2. Neka nizovi (3.1) konvergiraju uslovno. Tada redovi (3.4) i (3.5) divergiraju i formula (3.6) za uslovno konvergentne redove nije tačna.

Dokaz. Ako uzmemo u obzir n-ti parcijalni zbir niza (3.1), onda se, kao u prethodnom dokazu, može napisati

(3.8)

S druge strane, za n-ti parcijalni zbir reda (3.2) može se napisati na sličan način kao

(3.9)

Pretpostavimo suprotno, tj. neka konvergira barem jedan od nizova (3.3) ili (3.4). Tada iz formule (3.8), s obzirom na konvergenciju nizova (3.1), slijedi da drugi niz (3.5) odnosno (3.4)) konvergira kao razlika dva konvergentna reda. A onda iz formule (3.9) proizlazi da red (3.2) konvergira, odnosno da niz (3.1) apsolutno konvergira, što je u suprotnosti sa uslovima teoreme o njegovoj uslovnoj konvergenciji.

Dakle, iz (3.8) i (3.9) slijedi da pošto

Q.E.D.

Napomena 1. Svojstvo kombinacije za serije. Zbir beskonačnog niza značajno se razlikuje od zbira konačnog broja elemenata po tome što uključuje prelazak do granice. Stoga se uobičajena svojstva konačnih suma često narušavaju za nizove, ili se čuvaju samo kada su ispunjeni određeni uvjeti.

Dakle, za konačne sume postoji kombinacijski (asocijativni) zakon, naime: zbir se ne mijenja ako su elementi sume grupirani bilo kojim redoslijedom

Razmotrimo proizvoljno grupisanje (bez preuređivanja) članova numeričkog niza (3.1). Označimo rastući niz brojeva

i uvesti notaciju

Tada se niz dobijen gornjom metodom može zapisati u obliku

Teorema u nastavku, bez dokaza, prikuplja nekoliko najvažnijih tvrdnji koje se odnose na kombinaciona svojstva redova.

Teorema 3.2.

1. Ako red (3.1) konvergira i ima zbir A (dovoljna je uslovna konvergencija), tada proizvoljni niz oblika (3.10) konvergira i ima isti zbir A. To jest, konvergentni niz ima svojstvo kombinacije.

2. Konvergencija bilo kojeg niza oblika (3.10) ne implicira konvergenciju niza (3.1).

3. Ako se red (3.10) dobije posebnim grupisanjem, tako da se unutar svake zagrade nalaze članovi samo jednog predznaka, onda konvergencija ovog niza (3.10) implicira konvergenciju reda (3.1).

4. Ako je niz (3.1) pozitivan i bilo koji niz oblika (3.10) konvergira za njega, tada niz (3.1) konvergira.

5. Ako je niz članova niza (3.1) beskonačno mali (tj. an) i broj članova u svakoj grupi - članu niza (3.10) - ograničen je na jednu konstantu M (tj. nk –nk–1 £ M, "k = 1, 2,...), onda iz konvergencije reda (3.10) slijedi konvergencija reda (3.1).

6. Ako red (3.1) konvergira uslovno, onda je bez preuređivanja uvijek moguće grupirati članove niza tako da rezultirajući niz (3.10) bude apsolutno konvergentan.

Napomena 2. Komutativno svojstvo za redove. Za konačne numeričke sume vrijedi komutativni zakon, naime: zbir se ne mijenja nikakvim preuređivanjem članova

gdje je (k1, k2, …, kn) proizvoljna permutacija iz skupa prirodnih brojeva (1, 2,…, n).

Ispostavilo se da slično svojstvo vrijedi za apsolutno konvergentne redove i ne vrijedi za uvjetno konvergentne nizove.

Neka postoji jedan-na-jedan preslikavanje skupa prirodnih brojeva na sebe: N ® N, tj. svaki prirodni broj k odgovara jedinstvenom prirodni broj pk, a skup reproducira cijeli prirodni niz brojeva bez praznina. Označimo niz dobijen iz serije (3.1) koristeći proizvoljnu permutaciju koja odgovara gore navedenom preslikavanju na sljedeći način:

Pravila za primjenu komutativnih svojstava redova se odražavaju u teoremama 3.3 i 3.4 datim u nastavku bez dokaza.

Teorema 3.3. Ako niz (3.1) apsolutno konvergira, tada niz (3.11), dobijen proizvoljnim preuređivanjem članova niza (3.1), također apsolutno konvergira i ima isti zbir kao originalni niz.

Teorema 3.4. Riemannova teorema. Ako niz (3.1) konvergira uslovno, onda se članovi ovog niza mogu preurediti tako da njegov zbir bude jednak bilo kom unapred određenom broju D (konačan ili beskonačan: ±¥) ili da bude nedefinisan.

Na osnovu teorema 3.3 i 3.4, lako je utvrditi da se uslovna konvergencija niza dobija kao rezultat međusobnog poništavanja n-ti rast parcijalni zbir za n ® ¥ dodavanjem pozitivnih ili negativnih članova zbroju, pa stoga uslovna konvergencija niza značajno zavisi od redosleda članova niza. Apsolutna konvergencija niza je rezultat brzog smanjenja apsolutnih vrijednosti članova niza

i ne zavisi od redosleda kojim se pojavljuju.

3.2. Naizmjenični red. Leibnizov test

Među naizmeničnim serijama izdvaja se važna posebna klasa serija - naizmenične serije.

Definicija 3. Neka je niz pozitivnih brojeva bp > 0, "n O N. Tada je niz oblika

naziva se naizmjenični niz. Za nizove oblika (3.12) vrijedi sljedeća tvrdnja.

Teorema 5. Leibnizov test. Ako se niz sastavljen od apsolutnih vrijednosti članova naizmjeničnog niza (3.8) monotono smanji na nulu

bn > bn+1, "n O N; (3.13)

onda se takav izmjenični niz (3.12) naziva Leibnizov red. Lajbnizova serija se uvek konvergira. Za ostatak serije Leibniz

postoji procjena

rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) "nON. (3.14)

Dokaz. Zapišimo proizvoljan parcijalni zbir niza (3.12) s parnim brojem članova u obliku

Prema uslovu (3.13), svaka od zagrada na desnoj strani ovog izraza je pozitivan broj, stoga, kako raste k, niz se monotono povećava. S druge strane, bilo koji član B2k niza može biti zapisan u obliku

B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,

a budući da pod uslovom (3.13) postoji pozitivan broj u svakoj od zagrada posljednje jednakosti, onda očito vrijedi nejednakost

B2k< b1, "k ³ 1.

Dakle, imamo niz koji je monotono rastući i omeđen odozgo, a takav niz, prema poznatoj teoremi iz teorije granica, ima konačnu granicu

B2k–1 = B2k + b2k,

i uzimajući u obzir da opšti član niza (prema uslovima teoreme) teži nuli kao n ® ¥, dobijamo

Dakle, dokazano je da red (3.12) pod uslovom (3.13) konvergira i da je njegov zbir jednak B.

Dokažimo procjenu (3.14). Gore je pokazano da parcijalni zbrojevi parnog reda B2k, monotono rastući, teže granici B - zbiru niza.

Razmotrimo parcijalne sume neparnog reda

B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).

Iz ovog izraza je očigledno (budući da je uslov (3.13) zadovoljen) da niz opada i da, prema onome što je gore dokazano, teži svojoj granici B odozgo. Time je nejednakost dokazana

0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)

Ako sada razmotrimo ostatak serije (3.12)

kao novi naizmjenični niz sa prvim članom bp+1, onda se za ovaj niz, na osnovu nejednakosti (3.15), može napisati za parne i neparne indekse, redom

r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0< r2k < b2k+1,

r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k< 0, | r2k–1 | < b2k.

Dakle, dokazano je da ostatak Leibnizovog niza uvijek ima predznak svog prvog člana i da je manji od njega po apsolutnoj vrijednosti, tj. za njega je zadovoljena procjena (3.14). Teorema je dokazana.

3.3. Znaci konvergencije proizvoljnih nizova brojeva

U ovom pododjeljku predstavljamo, bez dokaza, dovoljne testove konvergencije za nizove brojeva sa članovima koji su proizvoljni realni brojevi (bilo kojeg predznaka), štoviše, ovi testovi su pogodni i za nizove sa složenim članovima.

2) niz je niz koji konvergira ka nuli (bp ® 0 za n ® ¥) sa ograničenom promjenom.

Tada niz (3.16) konvergira.

Teorema 3.9. Dirichletov test. Neka članovi brojevnog niza (3.16) zadovolje uslove:

niz parcijalnih suma niza je ograničen (nejednakosti (3.17));

2) niz je monoton niz koji konvergira ka nuli (bp ® 0 kao n ®¥).

Tada niz (3.16) konvergira.

Teorema 3.10. Abelov drugi generalizirani znak. Neka članovi brojevnog niza (3.16) zadovolje uslove:

1) red konvergira;

2) niz je proizvoljan niz sa ograničenom promenom.

Tada niz (3.16) konvergira.

Teorema 3.11. Abelov znak. Neka članovi brojevnog niza (3.16) zadovolje uslove:

1) red konvergira;

2) niz je monotonski ograničen niz.

Tada niz (3.16) konvergira.

Teorema 3.12. Cauchyjev teorem. Ako se niz i apsolutno konvergiraju i njihovi sumi su jednaki A i B, redom, onda je niz sastavljen od svih proizvoda oblika aibj (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥) , numerisan bilo kojim redom , također apsolutno konvergira i njegov zbir je jednak AB.

3.4. Primjeri

Razmotrimo prvo nekoliko primjera apsolutne konvergencije redova. U nastavku pretpostavljamo da varijabla x može biti bilo koji realan broj.

2) divergira na |x| > e po istom D'Alembertovom kriteriju;

3) divergira na |x| = e po d’Alembertovom kriteriju u neograničenom obliku, budući da

zbog činjenice da eksponencijalni niz u nazivniku teži svojoj granici, monotono rastući,

(a ¹ 0 je realan broj)

1) konvergira apsolutno za |x/a|< 1, т. е. при |x| < |a|, так как в u ovom slučaju imamo niz sastavljen od članova opadajuće geometrijske progresije sa nazivnikom q = x/a, ili prema radikalnom Cauchy testu (teorema 2.5);

2) divergira na |x/a| ³ 1, tj. za |x| ³ |a|, pošto je u ovom slučaju prekršen neophodan kriterijum za konvergenciju (svojstvo 2 (vidi § 1))

Koristeći standardne metode, ali smo došli u slijepu ulicu s još jednim primjerom.

U čemu je poteškoća i gdje bi mogla biti prepreka? Ostavimo sapunasto uže po strani, mirno analizirajmo razloge i upoznajmo se s praktičnim rješenjima.

Prvo i najvažnije: u ogromnoj većini slučajeva, za proučavanje konvergencije niza, potrebno je koristiti neku poznatu metodu, ali opći pojam niza ispunjen je tako škakljivim punjenjem da uopće nije očito što s njim učiniti . I vrtite se u krug: prvi znak ne radi, drugi ne radi, treći, četvrti, peti metod ne radi, onda se promaji bacaju u stranu i sve počinje iznova. To je obično zbog nedostatka iskustva ili nedostataka u drugim odjeljcima matematička analiza. Posebno ako trči granice sekvence i površinski rastavljeno ograničenja funkcije, onda će biti teško.

Drugim riječima, osoba jednostavno ne vidi potrebnu metodu odlučivanja zbog nedostatka znanja ili iskustva.

Ponekad je kriva i "pomračenje", kada, na primjer, nije ispunjen nužni kriterij za konvergenciju niza, ali zbog neznanja, nepažnje ili nemara to ispadne iz vida. I ispada kao u onoj priči gdje je profesor matematike rješavao dječji problem koristeći divlje ponavljajuće nizove i nizove brojeva =)

U najboljoj tradiciji, odmah živi primjeri: redovi i njihovi rođaci - ne slažu se, jer je to u teoriji dokazano granice sekvence. Najvjerovatnije će ti u prvom semestru istresti dušu za dokaz od 1-2-3 stranice, ali sada je sasvim dovoljno da pokažeš neuspjeh neophodno stanje konvergenciju serije, pozivajući se na poznate činjenice. Poznati? Ako učenik ne zna da je n-ti korijen izuzetno moćna stvar, onda, recimo, serija staviće ga u ćorsokak. Iako je rješenje kao dvaput dva: , tj. iz očiglednih razloga, obje serije se razilaze. Za test je sasvim dovoljan skroman komentar „ove granice su dokazane u teoriji“ (ili čak i njihovo odsustvo), uostalom, proračuni su prilično teški i definitivno ne spadaju u dio brojevnih nizova.

A nakon proučavanja sljedećih primjera, samo ćete se iznenaditi kratkoćom i transparentnošću mnogih rješenja:

Primjer 1

Istražite konvergenciju serije

Rješenje: prije svega, provjeravamo izvršenje neophodan kriterijum za konvergenciju. Ovo nije formalnost, već odlična prilika da se pozabavimo primjerom s “malim krvoprolićem”.

„Pregled scene“ sugeriše divergentni niz (slučaj generalizovanog harmonijskog niza), ali se opet postavlja pitanje kako uzeti u obzir logaritam u brojiocu?

Približni primjeri zadataka na kraju lekcije.

Nije neuobičajeno kada morate provesti razmišljanje u dva (ili čak tri koraka):

Primjer 6

Istražite konvergenciju serije

Rješenje: Prvo, hajde da se pažljivo pozabavimo brbljanjem brojača. Redoslijed – ograničen: . onda:

Uporedimo našu seriju sa serijom. Zbog upravo dobijene dvostruke nejednakosti, za sve "en" vrijedi sljedeće:

Sada uporedite seriju sa divergentnim harmonijskim nizom.

Imenilac razlomka manje nazivnik razlomka, dakle sam razlomak – više razlomci (zapišite prvih nekoliko pojmova ako nije jasno). Dakle, za bilo koji "en":

To znači da je, na osnovu poređenja, serija divergira zajedno sa harmonijskim nizom.

Ako malo modificiramo imenilac: , tada će prvi dio obrazloženja biti sličan: . Ali da bismo dokazali divergenciju niza, možemo primijeniti samo ograničavajući test poređenja, budući da je nejednakost pogrešna.

Situacija sa konvergentnim redovima je „ogledala“, to jest, na primjer, za niz možete koristiti oba kriterija poređenja (nejednakost je tačna), ali za niz samo granični kriterij (nejednakost je netačna).

Nastavljamo sa safarijem divlje životinje, gdje se krdo gracioznih i bujnih antilopa naziralo na horizontu:

Primjer 7

Istražite konvergenciju serije

Rješenje: ispunjen je neophodan kriterijum za konvergenciju i ponovo se postavljamo klasično pitanje: šta da radimo? Pred nama je nešto što podsjeća na konvergentni niz, međutim, ovdje nema jasnog pravila - takve asocijacije su često varljive.

Često, ali ne ovaj put. Korišćenjem ograničavajući kriterijum za poređenje Uporedimo naš niz sa konvergentnim nizom. Prilikom izračunavanja limita koristimo se divna granica , gdje kao infinitezimal stoji:

konvergira zajedno sa pored .

Umjesto korištenja standardne umjetne tehnike množenja i dijeljenja sa „tri“, bilo je moguće u početku napraviti poređenje sa konvergentnim nizom.
Ali ovdje je preporučljivo napraviti rezervu da konstantni faktor općeg člana ne utječe na konvergenciju niza. I rješenje sljedećeg primjera dizajnirano je upravo u ovom stilu:

Primjer 8

Istražite konvergenciju serije

Uzorak na kraju lekcije.

Primjer 9

Istražite konvergenciju serije

Rješenje: u prethodnim primjerima koristili smo ograničenost sinusa, ali sada ovo svojstvo nije u igri. Imenilac većeg razlomka redosled rasta, nego brojnik, dakle, kada je argument sinusa i cijelog zajedničkog člana infinitezimal. Neophodni uslov za konvergenciju, kao što razumete, je ispunjen, što nam ne dozvoljava da zaobiđemo svoj rad.

Izvršimo izviđanje: u skladu sa izuzetna ekvivalentnost , mentalno odbacite sinus i dobijete seriju. Pa tako i tako...

Hajde da donesemo odluku:

Uporedimo seriju koja se proučava sa divergentnom serijom. Koristimo ograničavajući kriterijum poređenja:

Zamijenimo infinitezimal s ekvivalentnim: at .

Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da je serija koja se proučava divergira zajedno sa harmonijskim nizom.

Primjer 10

Istražite konvergenciju serije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Za planiranje daljnjih radnji u takvim primjerima, mentalno odbacivanje sinusa, arksinusa, tangenta i arktangensa puno pomaže. Ali zapamtite, ova prilika postoji samo ako infinitezimal argument, nedavno sam naišao na provokativnu seriju:

Primjer 11

Istražite konvergenciju serije
.

Rješenje: Ovdje nema svrhe koristiti ograničenje arktangensa, a ni ekvivalentnost ne radi. Rješenje je iznenađujuće jednostavno:


Serija se proučava divergira, budući da nije ispunjen neophodan kriterijum za konvergenciju niza.

Drugi razlog“Problem sa zadatkom” je što je obični član prilično sofisticiran, što uzrokuje poteškoće tehničke prirode. Grubo govoreći, ako gore navedene serije spadaju u kategoriju „ko zna“, onda ove spadaju u kategoriju „ko zna“. Zapravo, to se zove složenost u „uobičajenom“ smislu. Ne može svako ispravno riješiti nekoliko faktorijala, stupnjeva, korijena i drugih stanovnika savane. Najveći problemi su, naravno, faktorijali:

Primjer 12

Istražite konvergenciju serije

Kako podići faktorijel na stepen? Lako. Prema pravilu operacija sa potencijama, potrebno je svaki faktor proizvoda podići na stepen:

I, naravno, opet pažnja i pažnja; sam d'Alembertov znak radi tradicionalno:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

Podsjećam vas na racionalnu tehniku ​​za otklanjanje neizvjesnosti: kada je jasno redosled rasta brojilac i imenilac - nema potrebe patiti se i otvarati zagrade.

Primjer 13

Istražite konvergenciju serije

Zvijer je vrlo rijetka, ali se javlja i bilo bi nepravedno zanemariti je sa objektivom kamere.

Šta je faktorijel sa dvostrukim uskličnikom? Faktorijal "navija" proizvod pozitivnih parnih brojeva:

Slično, faktorijel "navija" proizvod pozitivnih neparnih brojeva:

Analizirajte u čemu je razlika od i

Primjer 14

Istražite konvergenciju serije

I u ovom zadatku pokušajte da se ne zbunite sa diplomama, izuzetne ekvivalencije I divne granice.

Primjeri rješenja i odgovora na kraju lekcije.

Ali učenika ne hrane samo tigrovi - lukavi leopardi također pronalaze svoj plijen:

Primjer 15

Istražite konvergenciju serije

Rješenje: neophodni kriterij za konvergenciju, granični kriterij i D’Alembert i Cauchy test nestaju gotovo trenutno. Ali najgore je to što je znak nejednakosti koji nam je više puta pomagao nemoćan. Zaista, poređenje sa divergentnim nizom je nemoguće, jer postoji nejednakost netačno - logaritamski množitelj samo povećava nazivnik, smanjujući sam razlomak u odnosu na razlomak. I još jedan globalno pitanje: zašto smo u početku sigurni da je naša serija mora nužno divergirati i mora se uporediti s nekim divergentnim nizovima? Šta ako se uopšte slaže?

Integralna karakteristika? Nepravilan integral izaziva tugaljivo raspoloženje. Sad kad bi se samo posvađali … onda da. Stani! Tako se rađaju ideje. Formuliramo rješenje u dva koraka:

1) Prvo ispitujemo konvergenciju niza . Koristimo integralna karakteristika:

Integrand kontinuirano on

Dakle, serija divergira zajedno sa odgovarajućim nepravilnim integralom.

2) Uporedimo naš niz sa divergentnim nizom . Koristimo ograničavajući kriterijum poređenja:

Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da je serija koja se proučava divergira zajedno sa brojem .

I u takvoj odluci nema ničeg neobičnog ili kreativnog - tako treba odlučiti!

Predlažem da sami sastavite sljedeću proceduru u dva koraka:

Primjer 16

Istražite konvergenciju serije

Student sa nekim iskustvom u većini slučajeva odmah vidi da li se niz konvergira ili razilazi, ali se dešava da se grabežljivac pametno kamuflira u grmlju:

Primjer 17

Istražite konvergenciju serije

Rješenje: na prvi pogled uopšte nije jasno kako se ova serija ponaša. A ako je pred nama magla, onda je logično početi s grubom provjerom potrebnog uvjeta za konvergenciju niza. Kako bismo eliminirali neizvjesnost, koristimo nepotopiv metoda množenja i dijeljenja svojim konjugiranim izrazom:

Neophodan znak konvergencije nije uspeo, ali je izveo našeg tambovskog druga na videlo. Kao rezultat izvršenih transformacija, dobijen je ekvivalentni niz , što zauzvrat jako liči na konvergentni niz.

Zapisujemo konačno rješenje:

Uporedimo ovaj niz sa konvergentnim nizom. Koristimo ograničavajući kriterijum poređenja:

Pomnožite i podijelite konjugiranim izrazom:

Dobija se konačan broj različit od nule, što znači da je serija koja se proučava konvergira zajedno sa pored .

Neki su se možda zapitali, odakle su vukovi došli na našem afričkom safariju? Ne znam. Verovatno su ga doneli. Sljedeći trofejni skin vam je potreban:

Primjer 18

Istražite konvergenciju serije

Primjer rješenja na kraju lekcije

I za kraj, još jedna misao koju mnogi studenti očajavaju: Zar ne bismo trebali koristiti rjeđi test za konvergenciju niza?? Raabeov test, Abelov test, Gaussov test, Dirichletov test i druge nepoznate životinje. Ideja funkcionira, ali se u stvarnim primjerima vrlo rijetko implementira. Lično sam u svim godinama prakse samo pribjegavao Raabeov znak, kada ništa iz standardnog arsenala nije pomoglo. U potpunosti ću reproducirati tok moje ekstremne potrage:

Primjer 19

Istražite konvergenciju serije

Rješenje: Bez ikakve sumnje znak d'Alamberta. Prilikom izračunavanja, aktivno koristim svojstva stupnjeva, kao i druga divna granica:

Toliko o tebi. D'Alembertov znak nije dao odgovor, iako ništa nije nagovještavalo takav ishod.

Nakon što sam preturao po referentnoj knjizi, pronašao sam malo poznatu granicu dokazanu u teoriji i primijenio jači radikalni Cauchyjev test:

Evo dva za tebe. I, što je najvažnije, potpuno je nejasno da li se serija konvergira ili razilazi (za mene izuzetno rijetka situacija). Neophodan znak poređenja? Bez puno nade - čak i ako nezamislivo odgonetnem redosled rasta brojioca i nazivnika, to još ne garantuje nagradu.

To je potpuni clan, ali najgore je sto treba rijesiti spor. Treba. Na kraju krajeva, ovo će biti prvi put da odustanem. A onda sam se sjetio da izgleda da ih ima još jaki znaci. Ispred mene više nije bio vuk, leopard ili tigar. Bio je to ogroman slon koji maše svojom velikom surlom. Morao sam uzeti bacač granata:

Raabeov znak

Zamislite niz pozitivnih brojeva.
Ako postoji granica , To:
a) Kada se vesla divergira. Štaviše, rezultirajuća vrijednost može biti nula ili negativna
b) Kada se vesla konvergira. Konkretno, serija konvergira na .
c) Kada Raabeov znak ne daje odgovor.

Nacrtavamo granicu i pažljivo i pažljivo pojednostavljujemo razlomak:


Da, slika je najblaže rečeno neugodna, ali više se ne čudim. Takve granice se ruše uz pomoć L'Hopitalova pravila, a prva pomisao, kako se kasnije ispostavilo, pokazala se tačnom. Ali u početku sam vrtio i okretao granicu oko sat vremena koristeći „uobičajene“ metode, ali neizvjesnost se nije htjela eliminirati. A hodanje u krug, kako iskustvo govori, tipičan je znak da je odabrano pogrešno rješenje.

Morao sam se obratiti ruskoj narodnoj mudrosti: „Ako ništa ne uspije, pročitajte upute.“ A kada sam otvorio 2. tom Fihtenholca, na svoju veliku radost otkrio sam studiju identične serije. I onda je rješenje slijedilo primjer.