Dokažite test simetrale. Elementi trougla. Simetrala. Glavno svojstvo simetrale ugla

U ovoj lekciji ćemo detaljno razmotriti svojstva tačaka koje leže na simetrali ugla i tačaka koje leže na simetrali okomitoj na segment.

Tema: Krug

Lekcija: Svojstva simetrale ugla i okomite simetrale segmenta

Razmotrimo svojstva tačke koja leži na simetrali ugla (vidi sliku 1).

Rice. 1

Zadan je ugao, njegova simetrala je AL, tačka M leži na simetrali.

Teorema:

Ako tačka M leži na simetrali ugla, onda je jednako udaljena od strana ugla, odnosno udaljenosti od tačke M do AC i do BC stranica ugla su jednake.

dokaz:

Razmotrimo trouglove i . Ovo su pravougli trouglovi i jednaki su jer... imaju zajedničku hipotenuzu AM, a uglovi su jednaki, jer je AL simetrala ugla. Dakle, pravokutni trouglovi su jednaki po hipotenuzi i oštrom kutu, iz toga slijedi da je , što je trebalo dokazati. Dakle, tačka na simetrali ugla jednako je udaljena od stranica tog ugla.

Obrnuta teorema je tačna.

Ako je tačka jednako udaljena od stranica nerazvijenog ugla, onda leži na njegovoj simetrali.

Rice. 2

Dat je nerazvijeni ugao, tačka M, tako da je rastojanje od nje do strana ugla ista (vidi sliku 2).

Dokažite da tačka M leži na simetrali ugla.

dokaz:

Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice. Iz tačke M povučemo okomite MK na stranu AB i MR na stranu AC.

Razmotrimo trouglove i . Ovo su pravougli trouglovi i jednaki su jer... imaju zajedničku hipotenuzu AM, kraci MK i MR su jednaki po uslovu. Dakle, pravokutni trouglovi su jednaki po hipotenuzi i kraku. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost odgovarajućih elemenata; suprotne jednake stranice leže jednakih uglova, Dakle, Dakle, tačka M leži na simetrali datog ugla.

Direktno i obrnuto od teoreme mogu se kombinovati.

Teorema

Simetrala nerazvijenog ugla je lokus tačaka jednako udaljenih od stranica datog ugla.

Teorema

Simetrale AA 1, BB 1, SS 1 trougla seku se u jednoj tački O (vidi sliku 3).

Rice. 3

dokaz:

Razmotrimo prvo dvije simetrale BB 1 i CC 1. Seku se, tačka preseka O postoji. Da bismo to dokazali, pretpostavimo suprotno - čak i ako se ove simetrale ne sijeku, u tom slučaju su paralelne. Tada je prava BC sekansa, a zbir uglova , ovo je u suprotnosti sa činjenicom da je u cijelom trokutu zbir uglova .

Dakle, tačka O preseka dve simetrale postoji. Razmotrimo njegova svojstva:

Tačka O leži na simetrali ugla, što znači da je jednako udaljena od njegovih stranica BA i BC. Ako je OK okomito na BC, OL je okomito na BA, tada su dužine ovih okomica jednake - . Također, tačka O leži na simetrali ugla i jednako je udaljena od njegovih stranica CB i CA, okomice OM i OK su jednake.

Dobili smo sljedeće jednakosti:

, odnosno sve tri okomice ispuštene iz tačke O na stranice trougla su jedna drugoj.

Zanima nas jednakost okomica OL i OM. Ova jednakost kaže da je tačka O jednako udaljena od stranica ugla, pa slijedi da leži na njegovoj simetrali AA 1.

Tako smo dokazali da se sve tri simetrale trougla sijeku u jednoj tački.

Hajdemo dalje da razmotrimo segment, njegovu simetralu okomice i svojstva tačke koja leži na simetrali okomite.

Dat je segment AB, p je simetrala okomice. To znači da prava p prolazi sredinom segmenta AB i okomita je na nju.

Teorema

Rice. 4

Bilo koja tačka koja leži na okomitoj simetrali jednako je udaljena od krajeva segmenta (vidi sliku 4).

Dokaži to

dokaz:

Razmotrimo trouglove i . Oni su pravougaoni i jednaki, jer. imaju zajedničku stranu OM, a stranice AO i OB su jednake po uslovu, tako da imamo dvije pravougaonog trougla, jednak na dvije noge. Iz toga slijedi da su i hipotenuze trouglova jednake, odnosno ono što je trebalo dokazati.

Imajte na umu da je segment AB zajednička tetiva za mnoge krugove.

Na primjer, prvi krug sa centrom u tački M i poluprečnikom MA i MB; drugi krug sa centrom u tački N, poluprečnika NA i NB.

Tako smo dokazali da ako tačka leži na okomitoj simetrali segmenta, ona je jednako udaljena od krajeva segmenta (vidi sliku 5).

Rice. 5

Obrnuta teorema je tačna.

Teorema

Ako je određena tačka M jednako udaljena od krajeva segmenta, tada leži na okomitoj simetrali na ovaj segment.

Dat je segment AB, na njega okomita simetrala p, tačka M jednako udaljena od krajeva segmenta (vidi sliku 6).

Dokažite da tačka M leži na okomitoj simetrali segmenta.

Rice. 6

dokaz:

Zamislite trougao. Jednakokraka je, prema uslovu. Razmotrimo medijanu trougla: tačka O je sredina baze AB, OM je medijana. Prema imovini jednakokraki trougao, medijan povučen do njegove baze je i visina i simetrala. Iz toga sledi da . Ali prava p je također okomita na AB. Znamo da je u tački O moguće povući jednu okomitu na segment AB, što znači da se prave OM i p poklapaju, iz toga slijedi da tačka M pripada pravoj p, što smo i trebali dokazati.

Direktne i suprotne teoreme mogu se generalizirati.

Teorema

Okomita simetrala segmenta je mjesto tačaka jednako udaljenih od njegovih krajeva.

Trokut se, kao što znate, sastoji od tri segmenta, što znači da se u njemu mogu nacrtati tri okomite simetrale. Ispostavilo se da se oni ukrštaju u jednoj tački.

Okomite simetrale trougla seku se u jednoj tački.

Dat je trougao. Okomite na njegove stranice: P 1 na stranu BC, P 2 na stranu AC, P 3 na stranu AB (vidi sliku 7).

Dokazati da se okomite P 1, P 2 i P 3 sijeku u tački O.

Znate li koja je sredina segmenta? Naravno da hoces. Šta je sa centrom kruga? Isto.

Koja je sredina ugla?

Možete reći da se to ne dešava. Ali zašto se segment može podijeliti na pola, a ugao ne može? Sasvim je moguće - samo ne tačka, ali…. linija.

Sjećate li se šale: simetrala je štakor koji trči oko uglova i dijeli ugao na pola. Dakle, prava definicija simetrale je vrlo slična ovoj šali:

Simetrala trougla- ovo je simetrala ugla trougla koji povezuje vrh ovog ugla sa tačkom na suprotnoj strani.

Nekada su drevni astronomi i matematičari otkrili mnoga zanimljiva svojstva simetrale. Ovo znanje je uveliko pojednostavilo živote ljudi.

Prvo saznanje koje će pomoći u tome je...

Usput, sjećate li se svih ovih pojmova? Sjećate li se po čemu se razlikuju jedni od drugih? Ne? Nije strašno. Hajde da to sada shvatimo.

Osnova jednakokračnog trougla- ovo je strana koja nije jednaka nijednoj drugoj. Pogledajte sliku, šta mislite koja je to strana? Tako je - ovo je strana.
Medijan je linija povučena iz vrha trougla i koja dijeli suprotnoj strani(ovo opet) na pola. Zapazite da ne kažemo, "Medijin jednakokračnog trougla." Da li znaš zašto? Zato što medijana povučena iz vrha trougla prepolovi suprotnu stranu u BILO KOM trouglu.
Visina je linija povučena od vrha i okomita na bazu. Primetili ste? Opet govorimo o bilo kojem trouglu, a ne samo o jednakokrakom. Visina u BILO KOM trouglu je uvek okomita na osnovu.

Pa, jeste li shvatili? Skoro.

Da biste još bolje razumjeli i zauvijek zapamtili šta su simetrala, medijana i visina, oni su vam potrebni uporedite jedno sa drugim i razumjeti u čemu su slični i po čemu se razlikuju jedni od drugih.

Istovremeno, radi boljeg pamćenja, bolje je sve opisati „ljudskim jezikom“.

Tada ćete lako operisati jezikom matematike, ali u početku ne razumete ovaj jezik i morate sve da razumete na svom jeziku.

Dakle, kako su oni slični?

Simetrala, medijan i visina - svi oni "izađu" iz vrha trokuta i naslanjaju se na suprotnu stranu i "rade nešto" ili sa uglom iz kojeg izlaze, ili sa suprotnom stranom.

Mislim da je jednostavno, zar ne?

Po čemu se razlikuju?

Simetrala dijeli ugao iz kojeg izlazi na pola.
Medijan dijeli suprotnu stranu na pola.
Visina je uvijek okomita na suprotnu stranu.

To je to. Lako je razumeti. A kad jednom shvatite, možete se sjetiti.

Sada sledeće pitanje.

Zašto je, u slučaju jednakokračnog trougla, simetrala i medijana i visina?

Možete jednostavno pogledati sliku i uvjeriti se da se medijana dijeli na dva apsolutno jednaka trokuta.

To je sve! Ali matematičari ne vole da vjeruju svojim očima. Moraju sve da dokažu.

Strašna riječ?

Ništa slično - jednostavno je! Pogledajte: oba imaju jednake strane i, generalno, imaju zajedničku stranu i. (- simetrala!) I tako ispada da dva trougla imaju dva jednake strane i ugao između njih.

Prisjećamo se prvog znaka jednakosti trokuta (ako se ne sjećate, pogledajte u temi) i zaključujemo da je, dakle, = i.

Ovo je već dobro - znači da je ispalo kao medijana.

Ali šta je to?

Pogledajmo sliku - . I dobili smo ga. I tako! Konačno, ura! I.

Da li vam je ovaj dokaz bio malo težak? Pogledajte sliku - dva identična trougla govore sama za sebe.

U svakom slučaju, zapamtite čvrsto:

Sada je teže: brojaćemo ugao između simetrala u bilo kojem trokutu! Ne boj se, nije tako zeznuto. Pogledaj sliku:

Hajde da prebrojimo. Da li se sećate toga? zbir uglova trougla je?

Hajde da primenimo ovu neverovatnu činjenicu.

S jedne strane, od:

To je.

Sada pogledajmo:

Ali simetrale, simetrale!

Prisjetimo se:

Sada kroz pisma

Zar nije iznenađujuće?

Ispostavilo se da ugao između simetrala dva ugla zavisi samo od trećeg ugla!

Pa, pogledali smo dvije simetrale. Šta ako ih ima tri??!! Hoće li se svi ukrštati u jednom trenutku?

Ili će biti ovako?

Kako misliš? Tako su matematičari mislili i mislili i dokazali:

Zar to nije sjajno?

Želite li znati zašto se to događa?

Pređite na sljedeći nivo - spremni ste za osvajanje novih visina znanja o simetrali!

BISEKTOR. PROSJEČAN NIVO

Sjećate li se šta je simetrala?

Simetrala je prava koja prepolovi ugao.

Jeste li naišli na simetralu u problemu? Pokušajte primijeniti jedno (ili ponekad nekoliko) od sljedećih nevjerovatnih svojstava.

1. Simetrala u jednakokračnom trokutu.

Zar se ne plašite reči "teorema"? Ako se plašite, onda je uzalud. Matematičari su navikli da teoremom nazivaju bilo koju tvrdnju koja se na neki način može izvesti iz drugih, jednostavnijih iskaza.

Dakle, pažnja, teorema!

Hajde da dokažemo ova teorema, to jest, hajde da shvatimo zašto se to dešava? Pogledajte jednakokrake.

Pogledajmo ih pažljivo. A onda ćemo to vidjeti

- general.

A to znači (brzo zapamtite prvi znak jednakosti trouglova!) da.

Pa šta? Želiš li to reći? A činjenica je da još nismo pogledali treće strane i preostale uglove ovih trouglova.

Sad da vidimo. Jednom, onda apsolutno, pa čak i dodatno, .

Tako se ispostavilo

podijelio stranu na pola, odnosno ispostavilo se da je medijana
, što znači da su oboje slični (pogledajte ponovo sliku).

Tako je ispalo da je simetrala i visina!

Ura! Dokazali smo teoremu. Ali pogodite šta, to nije sve. Takođe vjerni obrnuta teorema:

Dokaz? Jeste li zaista zainteresirani? Pročitajte sljedeći nivo teorije!

A ako niste zainteresovani, onda zapamti čvrsto:

Zašto ovo čvrsto zapamtiti? Kako ovo može pomoći? Ali zamislite da imate zadatak:

Dato: .

Pronađite: .

Odmah shvatite, simetrala i, eto, podijelila je stranu na pola! (prema uslovu…). Ako se čvrsto sećate da se ovo dešava samo u jednakokračnom trouglu, onda izvodite zaključak, što znači, pišete odgovor: . Odlično, zar ne? Naravno, neće svi zadaci biti tako laki, ali znanje će svakako pomoći!

A sada sljedeća nekretnina. Spreman?

2. Simetrala ugla je mjesto tačaka jednako udaljenih od stranica ugla.

Uplašena? Zaista nije velika stvar. Lijeni matematičari su sakrili četiri u dva reda. Dakle, šta to znači, „Simetrala - lokus tačaka"? To znači da se izvršavaju odmah dvaizjave:

Ako tačka leži na simetrali, tada su udaljenosti od nje do strana ugla jednake.
Ako su u nekom trenutku udaljenosti do strana ugla jednake, onda je ova tačka Neophodno leži na simetrali.

Vidite li razliku između izjava 1 i 2? Ako ne baš dobro, onda se sjetite Šeširdžija iz “Alise u zemlji čuda”: “Pa šta ćete drugo reći, kao da su “vidim šta jedem” i “jedem ono što vidim” ista stvar!”

Dakle, moramo dokazati izjave 1 i 2, a zatim izjavu: “simetrala je mjesto tačaka jednako udaljenih od stranica ugla” će biti dokazano!

Zašto je 1 tačno?

Uzmimo bilo koju tačku na simetrali i nazovimo je .

Spustimo okomite iz ove tačke na stranice ugla.

A sada...spremite se da zapamtite znakove jednakosti pravokutnih trouglova! Ako ste ih zaboravili, pogledajte dio.

Dakle... dva pravougla trougla: i. Oni imaju:

Opšta hipotenuza.
(jer je simetrala!)

To znači - uglom i hipotenuzom. Dakle, odgovarajući kraci ovih trouglova su jednaki! To je.

Dokazali smo da je tačka podjednako (ili podjednako) udaljena od strana ugla. Tačka 1 je obrađena. Pređimo sada na tačku 2.

Zašto je 2 tačno?

I spojimo tačke i.

To znači da leži na simetrali!

To je sve!

Kako se sve ovo može primijeniti pri rješavanju problema? Na primjer, u problemima se često nalazi sljedeća fraza: “Krug dodiruje stranice ugla...”. Pa, moraš nešto naći.

Onda to brzo shvatite

I možete koristiti jednakost.

3. Tri simetrale u trouglu seku se u jednoj tački

Iz svojstva simetrale da bude lokus tačaka jednako udaljenih od stranica ugla, slijedi sljedeća izjava:

Kako tačno izlazi? Ali pogledajte: dvije simetrale će se sigurno sjeći, zar ne?

A treća simetrala bi mogla ići ovako:

Ali u stvarnosti je sve mnogo bolje!

Pogledajmo presek dve simetrale. Nazovimo to.

Šta smo koristili ovdje oba puta? Da stav 1, naravno! Ako tačka leži na simetrali, onda je jednako udaljena od stranica ugla.

I tako se dogodilo.

Ali pažljivo pogledajte ove dvije jednakosti! Uostalom, iz njih slijedi da i, prema tome, .

A sada će to ući u igru tačka 2: ako su udaljenosti do strana ugla jednake, tada tačka leži na simetrali...koji ugao? Pogledajte ponovo sliku:

i su udaljenosti do strana ugla, i jednake su, što znači da tačka leži na simetrali ugla. Treća simetrala je prošla kroz istu tačku! Sve tri simetrale se sijeku u jednoj tački! I kao dodatni poklon -

Radii upisano krugovima.

(Da biste bili sigurni, pogledajte drugu temu).

Pa, sada nikada nećete zaboraviti:

Tačka presjeka simetrala trougla je središte kružnice upisane u nju.

Pređimo na sljedeće svojstvo... Vau, simetrala ima mnogo svojstava, zar ne? I ovo je sjajno, jer što je više svojstava, to je više alata za rješavanje problema simetrale.

4. Simetrala i paralelizam, simetrale susednih uglova

Činjenica da simetrala dijeli kut na pola u nekim slučajevima dovodi do potpuno neočekivanih rezultata. Na primjer,

Slučaj 1

Odlično, zar ne? Hajde da shvatimo zašto je to tako.

S jedne strane crtamo simetralu!

Ali, s druge strane, postoje uglovi koji leže poprečno (zapamtite temu).

A sada se ispostavilo da; izbaci sredinu: ! - jednakokraki!

Slučaj 2

Zamislite trokut (ili pogledajte sliku)

Nastavimo stranu iza tačke. Sada imamo dva ugla:

- unutrašnji ugao
- spoljni ugao je napolju, zar ne?

Dakle, i sada je neko htio nacrtati ne jednu, već dvije simetrale odjednom: i za i za. Šta će se desiti?

Hoće li uspjeti? pravougaona!

Iznenađujuće, to je upravo slučaj.

Hajde da to shvatimo.

Šta mislite koliki je iznos?

Naravno, - na kraju krajeva, svi zajedno čine takav ugao da se ispostavi da je prava linija.

Sada zapamtite da su i simetrale i vidite da unutar ugla postoji tačno pola iz zbira sva četiri ugla: i - - to jest, tačno. Možete to napisati i kao jednačinu:

Dakle, neverovatno ali istinito:

Ugao između simetrala unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla trougla je jednak.

Slučaj 3

Vidite li da je ovdje sve isto kao i za unutrašnje i vanjske uglove?

Ili hajde da ponovo razmislimo zašto se to dešava?

Opet, što se tiče susednih uglova,

(kao što odgovara paralelnim bazama).

I opet se pomire tačno pola od sume

zaključak: Ako problem sadrži simetrale susjedni uglovima ili simetralama relevantan uglovi paralelograma ili trapeza, onda u ovom zadatku svakako radi se o pravougaonom trokutu, ili možda čak o celom pravougaoniku.

5. Simetrala i suprotna strana

Ispada da simetrala ugla trokuta deli suprotnu stranu ne samo na neki način, već na poseban i vrlo zanimljiv način:

To je:

Neverovatna činjenica, zar ne?

Sada ćemo dokazati ovu činjenicu, ali pripremite se: biće malo teže nego prije.

Opet - izlaz u "prostor" - dodatna formacija!

Idemo pravo.

Za što? Sad ćemo vidjeti.

Nastavimo simetralu dok se ne siječe s pravom.

Je li ovo poznata slika? Da, da, da, potpuno isto kao u tački 4, slučaj 1 - ispada da (- simetrala)

Leži popreko

Dakle, i to.

Pogledajmo sada trouglove i.

Šta možete reći o njima?

Oni su slični. Pa, da, njihovi uglovi su jednaki vertikalnim. Dakle, u dva ugla.

Sada imamo pravo da pišemo odnose relevantnih strana.

A sada ukratko:

Oh! Podseća me na nešto, zar ne? Zar to nije ono što smo hteli da dokažemo? Da, da, upravo to!

Vidite kako se „šetnja u svemir“ pokazala sjajnom – izgradnja dodatne prave linije – bez toga se ništa ne bi dogodilo! I tako, mi smo to dokazali

Sada ga možete bezbedno koristiti! Pogledajmo još jedno svojstvo simetrala uglova trougla - ne brinite, sada je najteže završeno - biće lakše.

Shvatili smo to

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspešan polaganje Jedinstvenog državnog ispita, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i pristup za sve zadatke i svakoga skriveni tekstovi mogu se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

U ovoj lekciji ćemo se prisjetiti pojma simetrale ugla, formulisati i dokazati direktne i inverzne teoreme o svojstvima simetrale ugla i generalizovati ih. Riješimo zadatak u kojem, osim činjenica o simetrali, primjenjujemo i druge geometrijske činjenice.

Tema: Krug

Lekcija: Svojstva simetrale ugla. Zadaci

Trougao je centralna figura svake geometrije, a u šali se kaže da je neiscrpan, poput atoma. Njegova svojstva su brojna, zanimljiva, zabavna. Pogledajmo neke od ovih nekretnina.

Bilo koji trougao je, prije svega, tri ugla i tri segmenta (vidi sliku 1).

Rice. 1

Posmatrajmo ugao sa vrhom A i stranicama B i C - uglom.

U bilo kojem kutu, uključujući ugao trokuta, možete nacrtati simetralu - to jest, pravu liniju koja dijeli kut na pola (vidi sliku 2).

Rice. 2

Razmotrimo svojstva tačke koja leži na simetrali ugla (vidi sliku 3).

Razmotrimo tačku M koja leži na simetrali ugla.

Podsjetimo da je udaljenost od tačke do prave dužina okomice povučene iz ove tačke na pravu.

Rice. 3

Očigledno, ako uzmemo tačku koja ne leži na simetrali, tada će udaljenosti od ove točke do stranica kuta biti različite. Udaljenost od tačke M do strana ugla je ista.

Teorema

Svaka tačka simetrale nerazvijenog ugla jednako je udaljena od stranica ugla, odnosno udaljenosti od tačke M do AC i do BC stranica ugla su jednake.

Zadan je ugao, njegova simetrala je AL, tačka M leži na simetrali (vidi sliku 4).

Dokaži to.

Rice. 4

dokaz:

Razmotrimo trouglove i . To su pravokutni trouglovi, i jednaki su, jer imaju zajedničku hipotenuzu AM, a uglovi su jednaki, jer je AL simetrala ugla. Dakle, pravokutni trouglovi su jednaki po hipotenuzi i oštrom kutu, iz toga slijedi da je , što je trebalo dokazati. Dakle, tačka na simetrali ugla jednako je udaljena od stranica tog ugla.

Obrnuta teorema je tačna.

Teorema

Ako je tačka jednako udaljena od stranica nerazvijenog ugla, onda leži na njegovoj simetrali.

Dat je nerazvijeni ugao, tačka M, tako da je rastojanje od nje do strana ugla ista.

Dokažite da tačka M leži na simetrali ugla (vidi sliku 5).

Rice. 5

dokaz:

Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice. Iz tačke M povučemo okomite MK na stranu AB i MR na stranu AC.

Razmotrimo trouglove i . Ovo su pravokutni trouglovi, i jednaki su, jer imaju zajedničku hipotenuzu AM, katete MK i MR su jednake po uslovu. Dakle, pravokutni trouglovi su jednaki po hipotenuzi i kraku. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost odgovarajućih elemenata; jednaki uglovi leže nasuprot jednakih stranica, dakle, Dakle, tačka M leži na simetrali datog ugla.

Ponekad se direktna i obrnuta teorema kombiniraju na sljedeći način:

Teorema

Tačka je jednako udaljena od stranica ugla ako i samo ako leži na simetrali ovog ugla.

Jednaka udaljenost simetralnih tačaka od strana ugla se široko koristi u raznim problemima.

Problem br. 674 iz Atanasyanovog udžbenika, geometrija, 7-9 razred:

Iz tačke M simetrale nerazvijenog ugla povučene su okomite MA i MB na stranice ovog ugla (vidi sliku 6). Dokaži to.

Dato je: ugao, simetrala OM, okomite MA i MB na stranice ugla.

Rice. 6

dokazati da:

dokaz:

Prema direktnoj teoremi, tačka M je jednako udaljena od stranica ugla, jer po uslovu leži na njegovoj simetrali. .

Razmotrimo pravokutne trouglove i (vidi sliku 7). Imaju zajedničku hipotenuzu OM, kraci MA i MB su jednaki, kao što smo ranije dokazali. Dakle, dva pravougaona

Rice. 7

trokuti su jednaki po kraku i hipotenuzi. Iz jednakosti trokuta proizlazi jednakost njihovih odgovarajućih elemenata, otuda i jednakost uglova i jednakost ostalih nogu.

Iz jednakosti kateta OA i OB slijedi da je trokut jednakokraki, a AB njegova baza. Prava OM je simetrala trougla. Prema svojstvu jednakokrakog trougla, ova simetrala je i visina, što znači da se prave OM i AB seku pod pravim uglom, što je i trebalo dokazati.

Dakle, ispitali smo direktne i konverzne teoreme o svojstvu točke koja leži na simetrali ugla, generalizirali ih i riješili problem koristeći različite geometrijske činjenice, uključujući i ovu teoremu.

Bibliografija

Aleksandrov A.D. i dr. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2006.
Butuzov V.F., Kadomcev S.B., Prasolov V.V. Geometrija, 8. razred. - M.: Obrazovanje, 2011.
Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrija, 8. razred. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

Bymath.net().
Oldskola1.narod.ru ().

Zadaća

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. i dr. Geometrija, 7-9, br. 676-678, čl. 180.

Simetrala trougla – segment simetrale ugla trougla, zatvoren između vrha trougla i stranice suprotne njemu.

Svojstva simetrale

1. Simetrala trougla deli ugao na pola.

2. Simetrala kuta trokuta dijeli suprotnu stranu u omjeru jednakom omjeru dvije susjedne stranice ()

3. Simetrale ugla trougla jednako su udaljene od stranica tog ugla.

4. Simetrale unutrašnjih uglova trougla sijeku se u jednoj tački - središtu kružnice upisane u ovaj trokut.

Neke formule se odnose na simetralu trokuta

(dokaz formule – )
, Gdje
- dužina simetrale povučene u stranu,
- stranice trokuta nasuprot vrhovima, respektivno,
- dužine odsječaka na koje simetrala dijeli stranicu,

Pozivam vas da gledate video tutorial, što pokazuje primjenu svih navedenih svojstava simetrale.

Zadaci obrađeni u videu:
1. U trouglu ABC sa stranicama AB = 2 cm, BC = 3 cm, AC = 3 cm, nacrtana je simetrala VM. Odrediti dužine segmenata AM i MC
2. Simetrala unutrašnjeg ugla u vrhu A i simetrala spoljašnjeg ugla u vrhu C trougao ABC seku u tački M. Pronađite ugao BMC ako je ugao B 40 stepeni, ugao C 80 stepeni
3. Pronađite polumjer kružnice upisane u trokut, uzimajući u obzir stranice kvadratnih ćelija jednake 1

Možda će vas zanimati i kratak video vodič u kojem se primjenjuje jedno od svojstava simetrale

Danas će biti vrlo laka lekcija. Razmotrit ćemo samo jedan objekt - simetralu ugla - i dokazati njegovo najvažnije svojstvo, koje će nam biti od velike koristi u budućnosti.

Samo se nemojte opuštati: ponekad studenti koji žele dobiti visok rezultat na istom OGE ili Jedinstvenom državnom ispitu, u prvoj lekciji ne mogu ni precizno formulisati definiciju simetrale.

I umjesto da radimo zaista zanimljive zadatke, gubimo vrijeme na tako jednostavne stvari. Pa čitajte, gledajte i usvojite. :)

Za početak, malo čudno pitanje: šta je ugao? Tako je: ugao su jednostavno dvije zrake koje izlaze iz iste tačke. Na primjer:

Primjeri uglova: oštar, tup i pravi

Kao što vidite sa slike, uglovi mogu biti oštri, tupi, ravni - to sada nije bitno. Često se, radi praktičnosti, na svakom zraku označi dodatna tačka i kažu da je ispred nas ugao $AOB$ (zapisan kao $\ugao AOB$).

Čini se da Kapetan Očevidnost nagovještava da je pored zraka $OA$ i $OB$ uvijek moguće izvući gomilu više zraka iz tačke $O$. Ali među njima će biti jedan poseban - on se zove simetrala.

Definicija. Simetrala ugla je zraka koja izlazi iz vrha tog ugla i prepolovi ugao.

Za gornje uglove, simetrale će izgledati ovako:

Primjeri simetrala za oštre, tupe i prave uglove

Budući da u stvarnim crtežima nije uvijek očigledno da određeni zrak (u našem slučaju to je zraka $OM$) dijeli originalni ugao na dva jednaka, u geometriji je uobičajeno da se jednaki uglovi označavaju istim brojem lukova ( na našem crtežu ovo je 1 luk za oštar ugao, dva za tupi, tri za ravan).

U redu, riješili smo definiciju. Sada morate razumjeti koja svojstva ima simetrala.

Glavno svojstvo simetrale ugla

U stvari, simetrala ima mnogo svojstava. I svakako ćemo ih pogledati u sljedećoj lekciji. Ali postoji jedan trik koji morate odmah shvatiti:

Teorema. Simetrala ugla je lokus tačaka jednako udaljenih od stranica datog ugla.

Prevedeno s matematičkog na ruski, to znači dvije činjenice odjednom:

Svaka tačka koja leži na simetrali određenog ugla nalazi se na istoj udaljenosti od stranica ovog ugla.
I obrnuto: ako tačka leži na istoj udaljenosti od strana datog ugla, onda je zagarantovano da leži na simetrali ovog ugla.

Prije nego što dokažemo ove tvrdnje, razjasnimo jednu tačku: kako se, zapravo, zove udaljenost od tačke do stranice ugla? Ovdje će nam pomoći staro dobro određivanje udaljenosti od tačke do prave:

Definicija. Udaljenost od tačke do prave je dužina okomice povučene iz date tačke na ovu pravu.

Na primjer, razmotrite pravu $l$ i tačku $A$ koja ne leži na ovoj pravoj. Nacrtajmo okomicu na $AH$, gdje je $H\in l$. Tada će dužina ove okomice biti udaljenost od tačke $A$ do prave $l$.

Grafički prikaz udaljenosti od tačke do prave

Budući da su ugao jednostavno dvije zrake, a svaki zrak je komad prave linije, lako je odrediti udaljenost od tačke do strana ugla. Ovo su samo dvije okomice:

Odredite udaljenost od tačke do stranica ugla

To je sve! Sada znamo šta je rastojanje, a šta simetrala. Dakle, možemo dokazati glavno svojstvo.

Kao što smo obećali, dokaz ćemo podijeliti na dva dijela:

1. Udaljenosti od tačke na simetrali do stranica ugla su iste

Razmotrimo proizvoljan ugao sa vrhom $O$ i simetralom $OM$:

Dokažimo da je upravo ova tačka $M$ na istoj udaljenosti od stranica ugla.

Dokaz. Nacrtajmo okomite iz tačke $M$ na stranice ugla. Nazovimo ih $M((H)_(1))$ i $M((H)_(2))$:
Nacrtajte okomite na stranice ugla
Dobili smo dva pravokutna trougla: $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$. Imaju zajedničku hipotenuzu $OM$ i jednake uglove:

$\ugao MO((H)_(1))=\ugao MO((H)_(2))$ po uslovu (pošto je $OM$ simetrala);

$\ugao M((H)_(1))O=\ugao M((H)_(2))O=90()^\circ $ po konstrukciji;

$\ugao OM((H)_(1))=\ugao OM((H)_(2))=90()^\circ -\ugao MO((H)_(1))$, pošto suma oštri uglovi pravouglog trougla je uvek 90 stepeni.

Shodno tome, trokuti su jednaki po strani i dva susedna ugla (vidi znake jednakosti trouglova). Stoga, posebno, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, tj. udaljenosti od tačke $O$ do strana ugla su zaista jednake. Q.E.D. :)

2. Ako su udaljenosti jednake, tada tačka leži na simetrali

Sada je situacija obrnuta. Neka je zadan ugao $O$ i tačka $M$ jednako udaljena od stranica ovog ugla:

Dokažimo da je zraka $OM$ simetrala, tj. $\ugao MO((H)_(1))=\ugao MO((H)_(2))$.

Dokaz. Prvo, nacrtajmo ovaj zrak $OM$, inače neće biti ništa za dokazivati:
Provedena $OM$ zraka unutar ugla
Opet dobijamo dva pravokutna trougla: $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$. Očigledno su jednaki jer:

Hipotenuza $OM$ - generalno;

Kraci $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ po uslovu (na kraju krajeva, tačka $M$ je jednako udaljena od strana ugla);

Preostale noge su također jednake, jer po Pitagorinoj teoremi $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Dakle, trokuti $\vartriangle OM((H)_(1))$ i $\vartriangle OM((H)_(2))$ na tri strane. Konkretno, njihovi uglovi su jednaki: $\ugao MO((H)_(1))=\ugao MO((H)_(2))$. A to samo znači da je $OM$ simetrala.

Da zaključimo dokaz, rezultirajuće jednake uglove označavamo crvenim lukovima:
Simetrala dijeli ugao $\ugao ((H)_(1))O((H)_(2))$ na dva jednaka

Kao što vidite, ništa komplikovano. Dokazali smo da je simetrala ugla geometrija tačaka jednako udaljenih stranicama ovog ugla. :)

Sada kada smo se manje-više odlučili za terminologiju, vrijeme je da pređemo na sljedeći nivo. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati složenija svojstva simetrale i naučiti kako ih primijeniti za rješavanje stvarnih problema.