Bootstrap, mali uzorci, primjena u analizi podataka. Statistika malog uzorka Metode odabira jedinica iz populacije
Prilikom kontrole kvaliteta robe u ekonomskim istraživanjima, eksperiment se može provesti na osnovu malog uzorka.
Ispod mali uzorak odnosi se na nekontinuirano statističko istraživanje u kojem se populacija uzorka formira od relativno malog broja jedinica u općoj populaciji. Volumen malog uzorka obično ne prelazi 30 jedinica i može doseći 4 - 5 jedinica.
Prosječna greška malog uzorka izračunava se pomoću formule:
,
Gdje 
- mala varijansa uzorka.
Prilikom određivanja varijanse 
broj stepeni slobode je n-1:
.
Granična mala greška uzorka 
određena formulom 
U ovom slučaju, vrijednost koeficijenta povjerenja t ovisi ne samo od date vjerovatnoće povjerenja, već i od broja jedinica uzorkovanja n. Za pojedinačne vrijednosti t i n, vjerovatnoća pouzdanosti malog uzorka se određuje pomoću posebnih Studentovih tabela (tabela 9.1.), koje daju distribuciju standardiziranih odstupanja:
.
Budući da se kod provođenja malog uzorka vrijednost od 0,59 ili 0,99 praktički prihvata kao pouzdana vjerovatnoća, onda za određivanje maksimalne greške malog uzorka 
Koriste se sljedeća očitanja učeničke raspodjele:
|
|
||
Načini generalizacije karakteristika uzorka na populaciju.
Metoda uzorkovanja se najčešće koristi za dobijanje karakteristika populacije prema odgovarajućim indikatorima uzorka. U zavisnosti od svrhe istraživanja, to se radi ili direktnim preračunavanjem indikatora uzorka za opštu populaciju, ili izračunavanjem faktora korekcije.
Metoda direktnog preračunavanja. Sastoji se u tome da uzorak udjela indikatora 
ili prosjek 
odnosi se na opću populaciju, uzimajući u obzir grešku uzorkovanja.
Tako se u trgovini utvrđuje broj nestandardnih proizvoda primljenih u pošiljci. Da bi se to postiglo (uzimajući u obzir prihvaćeni stepen vjerovatnoće), pokazatelji udjela nestandardnih proizvoda u uzorku se množe sa brojem proizvoda u cijeloj seriji robe.
Metoda korekcije faktora. Koristi se u slučajevima kada je svrha metode uzorkovanja da razjasni rezultate kontinuiranog računovodstva.
U statističkoj praksi ovaj metod se koristi za razjašnjavanje podataka iz godišnjih popisa stoke u vlasništvu stanovništva. Da bi se to postiglo, nakon uopštavanja podataka iz kompletnog popisa, koristi se anketa od 10% uzorka kako bi se odredio takozvani „procenat podbrojanosti“.
Metode odabira jedinica iz opće populacije.
U statistici se koriste različite metode formiranja populacija uzoraka, što je određeno ciljevima istraživanja i zavisi od specifičnosti predmeta proučavanja.
Osnovni uslov za sprovođenje uzorka je da se spreči pojava sistematskih grešaka koje proizilaze iz kršenja principa jednakih mogućnosti da svaka jedinica opšte populacije bude uključena u uzorak. Prevencija sistematskih grešaka postiže se korišćenjem naučno zasnovanih metoda za formiranje uzorka.
Postoje sljedeće metode za odabir jedinica iz populacije:
1) individualna selekcija - pojedinačne jedinice se biraju za uzorak;
2) grupni odabir - uzorak obuhvata kvalitativno homogene grupe ili serije jedinica koje se proučavaju;
3) kombinovana selekcija je kombinacija individualne i grupne selekcije.
Metode selekcije određene su pravilima za formiranje uzorka populacije.
Uzorak bi mogao biti:
Properly random;
Mechanical;
Tipično;
Serial;
Kombinovano.
Pravilno nasumično uzorkovanje sastoji se u tome da se uzorkovana populacija formira kao rezultat slučajnog (nenamjernog) odabira pojedinačnih jedinica iz opće populacije. U ovom slučaju, broj jedinica odabranih u populaciji uzorka obično se određuje na osnovu prihvaćenog udjela uzorka.
Proporcija uzorka je omjer broja jedinica u populaciji uzorka n prema broju jedinica u općoj populaciji N, tj.
.
Dakle, sa 5% uzorka iz serije robe od 2.000 jedinica. veličina uzorka n je 100 jedinica. (5*2000:100), a sa uzorkom od 20% to će biti 400 jedinica. (20*2000:100) itd.
Mehaničko uzorkovanje sastoji se u tome da se izbor jedinica u populaciji uzorka vrši iz opće populacije, podijeljene u jednake intervale (grupe). U ovom slučaju, veličina intervala u populaciji jednaka je inverznoj proporciji uzorka.
Dakle, kod uzorka od 2% bira se svaka 50. jedinica (1:0.02), kod uzorka od 5% svaka 20. jedinica (1:0.05) itd.
Dakle, u skladu sa prihvaćenom proporcijom selekcije, opšta populacija je takoreći mehanički podeljena na grupe jednake veličine. Iz svake grupe se bira samo jedna jedinica za uzorak.
Važna karakteristika mehaničkog uzorkovanja je da se formiranje populacije uzorka može izvršiti bez pribjegavanja sastavljanju lista. U praksi se često koristi redoslijed kojim se jedinice populacije zapravo nalaze. Na primjer, redoslijed izlaska gotovih proizvoda sa transportera ili proizvodne linije, redoslijed postavljanja jedinica serije robe tokom skladištenja, transporta, prodaje itd.
Tipičan uzorak. U tipičnom uzorkovanju, populacija se prvo dijeli na homogene tipične grupe. Zatim, iz svake tipične grupe, čisto slučajni ili mehanički uzorak se koristi za individualni odabir jedinica u populaciji uzorka.
Uzorkovanje uzorka se obično koristi kada se proučavaju složene statističke populacije. Na primjer, u uzorku istraživanja produktivnosti rada trgovačkih radnika, koje se sastoji od odvojenih grupa po kvalifikacijama.
Važna karakteristika tipičnog uzorka je da daje preciznije rezultate u poređenju sa drugim metodama odabira jedinica u populaciji uzorka.
Za određivanje prosječne greške tipičnog uzorka koriste se sljedeće formule:
ponovna selekcija
,
ponovite odabir
,
Varijanca se određuje pomoću sljedećih formula:
,
At single stage U uzorku se svaka odabrana jedinica odmah proučava prema datoj karakteristici. Ovo je slučaj sa čisto slučajnim i serijskim uzorkovanjem.
At višestepeni U uzorku se pojedinačne grupe biraju iz opće populacije, a pojedinačne jedinice biraju iz grupa. Ovako se pravi tipičan uzorak mehaničkom metodom odabiranja jedinica u populaciju uzorka.
Kombinovano uzorkovanje može biti dvostepeno. U ovom slučaju, stanovništvo se prvo dijeli na grupe. Zatim se biraju grupe, au okviru ovih se biraju pojedinačne jedinice.
Proširenje karakteristika uzorka na opštu populaciju, zasnovano na zakonu velikih brojeva, zahteva dovoljno veliku veličinu uzorka. Međutim, u praksi statističkih istraživanja često se susreće s nemogućnošću, iz ovih ili onih razloga, povećanja broja jedinica uzorka koje su male veličine. Riječ je o proučavanju djelatnosti preduzeća, obrazovnih institucija, komercijalnih banaka itd., čiji je broj u regionima po pravilu neznatan, a ponekad iznosi samo 5-10 jedinica.
U slučaju kada se populacija uzorka sastoji od malog broja jedinica, manjeg od 30, uzorak se naziva mala U ovom slučaju, Ljapunovljev teorem se ne može koristiti za izračunavanje greške uzorkovanja, budući da je vrijednost uzorka značajno pod utjecajem vrijednosti svake od nasumično odabranih jedinica i njena distribucija se može značajno razlikovati od normalne.
Godine 1908. V.S. Gosset je dokazao da procjena neslaganja između srednje vrijednosti uzorka malog uzorka i opšte srednje vrijednosti ima poseban zakon raspodjele (vidi Poglavlje 4). Baveći se problemom probabilističke procjene srednje vrijednosti uzorka uz mali broj opservacija, on je pokazao da je u ovom slučaju potrebno uzeti u obzir distribuciju ne samih srednjih vrijednosti uzorka, već veličine njihovih odstupanja od srednje vrijednosti uzorka. izvorno stanovništvo. U ovom slučaju, zaključci mogu biti prilično pouzdani.
Studentovo otkriće se zove teorija malog uzorka.
Prilikom procjene rezultata malog uzorka, vrijednost opšte varijanse se ne koristi u proračunima. U malim uzorcima, "ispravljena" varijansa uzorka se koristi za izračunavanje prosječne greške uzorkovanja:
one. za razliku od velikih uzoraka u nazivniku n troškovi (i - 1). Proračun prosječne greške uzorkovanja za mali uzorak dat je u tabeli. 5.7.
Tabela 5.7
Proračun prosječne greške malog uzorka
Marginalna greška malog uzorka je: gdje t- faktor povjerenja.
Magnituda t se drugačije odnosi na vjerovatnu procjenu nego kod velikog uzorka. U skladu sa Studentovom raspodelom, verovatna procena zavisi od obe vrednosti t, i na veličini uzorka I u slučaju da marginalna greška ne prelazi r-struku prosječnu grešku u malim uzorcima. Međutim, to uvelike ovisi o broju odabranih jedinica.
V.S. Gosset je sastavio tabelu distribucije vjerovatnoće u malim uzorcima koji odgovaraju datim vrijednostima koeficijenta pouzdanosti t i različite zapremine malog uzorka i, izvod iz njega dat je u tabeli. 5.8.
Tabela 5.8
Fragment Studentove tabele verovatnoća (verovatnoće pomnožene sa 1000)
Tablični podaci 5.8 pokazuju da sa neograničenim povećanjem veličine uzorka (i = °°), Studentova raspodjela teži normalnom zakonu raspodjele, a pri i = 20 se malo razlikuje od njega.
Studentova tabela raspodele se često daje u drugačijem obliku, pogodnijem za praktičnu upotrebu (Tabela 5.9).
Tabela 5.9
Neke vrijednosti (Studentove t-distribucije
|
Broj stepeni slobode | ||||
|
za jednosmjerni interval |
za dvosmjerni razmak |
|||
|
P= 0,99 |
||||
Pogledajmo kako se koristi tabela distribucije. Svaka fiksna vrijednost n izračunati broj stepeni slobode k, Gdje k = n - 1. Za svaku vrijednost stepena slobode naznačena je granična vrijednost t p (t 095 ili t 0 99), što sa zadatom verovatnoćom R neće biti prekoračen zbog slučajnih fluktuacija u rezultatima uzorkovanja. Na osnovu magnitude tp utvrđuju se granice povjerenja
interval
Po pravilu se koristi nivo pouzdanosti za dvostrano testiranje P = 0,95 ili P = 0,99, što ne isključuje izbor drugih vrijednosti vjerovatnoće. Vrijednost vjerovatnoće se bira na osnovu specifičnih zahtjeva zadataka za koje se koristi mali uzorak.
Vjerovatnoća da vrijednosti opšteg prosjeka izađu izvan intervala povjerenja jednaka je q, Gdje q = 1 - r. Ova vrijednost je vrlo mala. Shodno tome, za razmatrane vjerovatnoće r iznosi 0,05 i 0,01.
Mali uzorci su rasprostranjeni u tehničkim naukama i biologiji, ali se u statističkim istraživanjima moraju koristiti s velikim oprezom, samo uz odgovarajuće teorijsko i praktično ispitivanje. Mali uzorak se može koristiti samo ako je distribucija karakteristike u populaciji normalna ili bliska njoj, a prosječna vrijednost se izračunava iz podataka uzorka dobivenih kao rezultat neovisnih opservacija. Osim toga, imajte na umu da je tačnost rezultata iz male veličine uzorka niža nego iz velike veličine uzorka.
Uzorkovanje – grupa objekata ograničenog broja (u psihologiji - subjekti, ispitanici) posebno odabranih iz opće populacije za proučavanje njegovih svojstava.
Populacija – to je čitav skup objekata u odnosu na koje se formuliše istraživačka hipoteza.
Proučavanje svojstava populacije pomoću uzorka naziva se uzorak studije. Gotovo sve psihološke studije su selektivne, a njihovi zaključci se protežu na opću populaciju.
Glavni zahtjev za uzorak ispitanika je njegova reprezentativnost - reprezentativnost, indikativnost, usklađenost karakteristika dobivenih kao rezultat djelomičnog (uzorka) ispitivanja bilo koje grupe sa karakteristikama ove grupe u cjelini. . Istraživač mora biti svjestan generalizacije nalaza određenog istraživanja na cjelokupnu populaciju čiji je dio studijska grupa.
Mora se posvetiti velika pažnja odabiru subjekata u empirijskoj studiji. Važno je uzeti u obzir pol, godine, društveni status, stepen obrazovanja, zdravstveno stanje, individualne psihološke karakteristike ispitanika i druge parametre koji mogu uticati na rezultate.
Postoje dvije glavne vrste uzorkovanja: vjerovatnoća(izgrađen na matematičkim i statističkim proračunima) i cilj(dato svrhom studije i određeno dostupnošću, tipičnošću i ravnomjernom zastupljenošću subjekata).
U strogom smislu, samo uzorak vjerovatnoće može biti reprezentativan, jer odgovara principu randomizacije: jednako jednaka vjerovatnoća da će svaki član populacije biti uključen u populaciju uzorka. Postoje sljedeće vrste vjerovatnoće uzorkovanja: jednostavno, nasumično, sistematsko, stratificirano, klastersko, višestepeno.
Najčešće se u psihološkim istraživanjima koristi namjerna selekcija, korištenjem namjernog uzorkovanja. Kriterijumi za konstruisanje ciljnog uzorka su: pristupačnost, tipičnost, jednaka zastupljenost. U tom smislu, prema principu ciljane selekcije mogu se razlikovati sljedeće vrste uzorkovanja: uzorkovanje po principu dostupnih slučajeva; izbor kritičnih ili tipičnih slučajeva; uzorkovanje zasnovano na metodi “snježne grudve”; kvotno uzorkovanje.
Uzorkovanje po principu dostupnih slučajeva– najčešća opcija za uzorkovanje subjekata. Koristi se kada se proučavaju velike grupe subjekata koji nemaju jedinstvene, specifične parametre.
Uzorkovanje se zasniva na principu odabira kritičnih ili tipičnih slučajeva, izgrađen na osnovu teorijskih koncepata ili prethodnog empirijskog iskustva istraživača. Iz cjelokupne populacije ispitanika koji se ispituju biraju se oni koji imaju potrebne specifične karakteristike.
primjer: Uzorak istraživanja čine roditelji koji situaciju ulaska djeteta u školu procjenjuju kao stresnu.
Uzorkovanje konstruirano metodom “snježne grudve” ili metodom “rijetke” populacije. U početku se intervjuira jedna ili više osoba iz populacije uzorka od interesa za istraživača, koji kasnije služe kao izvor informacija o drugim članovima ove populacije. Uzorak se eksponencijalno širi, poput "snježne grude". Ova metoda se koristi kada subjekti iz različitih razloga ne oglašavaju svoje članstvo u određenoj grupi ljudi.
primjer: Uzorak čine naučnici čija se istraživanja bave uskim naučnim problemom.
Uzorkovanje kvota povezana je sa podjelom populacije u studiji na podgrupe na osnovu socio-demografskih ili drugih karakteristika koje su važne za studiju. Na osnovu poznatih proporcija određenih grupa u opštoj populaciji, istraživač dodjeljuje „kvotu“ za svaku podgrupu koja se ispituje. (Socio-demografski podaci mogu se naći u statističkim zbirkama koje godišnje objavljuju regionalni odjeli za statistiku).
primjer: Uzorak istraživanja obuhvata muškarce i žene predpenzionog uzrasta – 50-60 godina. Prema statistikama, muškarci ovog uzrasta čine 46%, a žene – 54% opšte populacije. Stoga, uz ukupnu veličinu uzorka od 100 ljudi, potrebno je ispitati najmanje 46 muškaraca i 54 žene.
Jedno od važnih pitanja psihološkog istraživanja je pitanje veličine uzorka , koji treba da pruži dokaze o zaključcima naučnog istraživanja. Na osnovu metoda matematičke obrade, na veličinu uzorka postavljaju se sljedeći zahtjevi:
Za razvoj dijagnostičke tehnike potrebna je najveća veličina uzorka - od 200 do 1000-2500 ljudi.
Kada se porede dva uzorka, njihov ukupan broj treba da bude najmanje 50 osoba. U ovom slučaju, broj upoređenih uzoraka trebao bi biti približno isti.
Prilikom proučavanja odnosa između svojstava, osobina itd. Veličina uzorka treba da bude najmanje 30-35 ljudi.
Ako se faktorska analiza koristi za obradu podataka, važno je zapamtiti da se pouzdana faktorska rješenja mogu dobiti samo ako broj ispitanika tri ili više puta premašuje broj zabilježenih varijabli.
Što je veća varijabilnost svojstva koje se proučava, to je veća veličina uzorka.
Preporučljivo je povećati broj ispitanika za 5-10% u odnosu na planirani, jer će neki od primljenih formulara biti odbijeni tokom studija (nisu razumjeli upute, nisu prihvatili zadatak, dali su odstupajuće rezultate, itd.).
Zavisni i nezavisni uzorci
Često je studija strukturirana na takav način da se osobina od interesa za istraživača proučava korištenjem dva ili više uzoraka u svrhu daljeg poređenja. Ovi uzorci mogu biti u različitim omjerima, ovisno o svrsi i ciljevima studije.
Nezavisni uzorci a karakterizira ih činjenica da vjerovatnoća odabira bilo kojeg subjekta iz jednog uzorka ne ovisi o odabiru bilo kojeg subjekta iz drugog uzorka.
Zavisni uzorci odlikuju se činjenicom da se svaki ispitanik iz jednog uzorka po određenom kriteriju podudara sa subjektom iz drugog uzorka.
Primjer 1: Zavisni uzorci su dvije serije vrijednosti koje se dobiju ispitivanjem iste grupe ispitanika: stanje nekog svojstva mjeri se “prije” i “poslije” eksperimentalnog utjecaja.
U ovom slučaju, uzorci (jedan „prije”, drugi „nakon” udara) su u najvećoj mogućoj mjeri zavisni, jer uključuju iste subjekte.
Primjer 2: Zavisni uzorci: muževi – 1. uzorak, žene – 2. uzorak.
Primjer 3: Zavisni uzorci: djeca 5-7 godina - 1 uzorak, njihova braća i sestre - 2 uzorka.
Primjeri 2 i 3 predstavljaju opcije za manje zavisne uzorke.
Općenito, zavisni uzorci uključuju parni odabir subjekata u upoređene uzorke, a nezavisni uzorci podrazumijevaju nezavisnu selekciju ispitanika.
18. Teorija malog uzorka.
Uz veliki broj jedinica u populaciji uzorka (n>100), raspodjela slučajnih grešaka srednje vrijednosti uzorka u skladu s teoremom A.M. Lyapunova je normalna ili se približava normalnoj kako se broj opažanja povećava.
Međutim, u praksi statističkih istraživanja u tržišnoj privredi sve se više mora baviti malim uzorcima.
Mali uzorak je posmatranje uzorka čiji broj jedinica ne prelazi 30.
Prilikom procjene rezultata malog uzorka, veličina populacije se ne koristi. Za određivanje mogućih granica greške koristi se Studentov test.
Vrijednost σ se izračunava na osnovu podataka posmatranja uzorka.
Ova vrijednost se koristi samo za populaciju koja se proučava, a ne kao približna procjena σ u populaciji.
Procjena vjerovatnoće rezultata malog uzorka razlikuje se od procjene u velikom uzorku po tome što kod malog broja opservacija distribucija vjerovatnoće za prosjek zavisi od broja odabranih jedinica.
Međutim, za mali uzorak, vrijednost koeficijenta pouzdanosti t je povezana s procjenom vjerovatnoće drugačije nego za veliki uzorak (pošto se zakon raspodjele razlikuje od normalnog).
Prema zakonu raspodjele koji je ustanovio Student, vjerovatna greška distribucije ovisi kako od vrijednosti koeficijenta povjerenja t tako i od veličine uzorka B.
Prosječna greška malog uzorka izračunava se pomoću formule:
gdje je mala varijansa uzorka.
U MV, koeficijent n/(n-1) se mora uzeti u obzir i mora se prilagoditi. Prilikom određivanja disperzije S2, broj stupnjeva slobode je jednak:
.
Granična greška malog uzorka određena je formulom
U ovom slučaju, vrijednost koeficijenta povjerenja t ovisi ne samo od date vjerovatnoće povjerenja, već i od broja jedinica uzorkovanja n. Za pojedinačne vrijednosti t i n, vjerovatnoća pouzdanosti malog uzorka se određuje pomoću posebnih Studentovih tabela, koje daju distribuciju standardiziranih odstupanja:
Vjerovatnosna procjena rezultata MV razlikuje se od procjene u BB po tome što uz mali broj opservacija, distribucija vjerovatnoće za prosjek ovisi o broju odabranih jedinica
19. Metode odabira jedinica u populaciji uzorka.
1. Populacija uzorka mora biti dovoljno velika.
2. Struktura populacije uzorka treba najbolje odražavati strukturu opšte populacije
3. Metoda odabira mora biti slučajna
U zavisnosti od toga da li odabrane jedinice učestvuju u uzorku, pravi se razlika između metoda koje se ne ponavljaju i koje se ponavljaju.
Neponovljiva selekcija je selekcija u kojoj se jedinica uključena u uzorak ne vraća u populaciju iz koje se vrši dalja selekcija.
Izračun prosječne greške slučajnog uzorka koji se ne ponavlja:
Izračun maksimalne greške slučajnog uzorka koji se ne ponavlja:
Prilikom ponovljenog odabira, jedinica uključena u uzorak, nakon evidentiranja uočenih karakteristika, vraća se u prvobitnu (generalnu) populaciju radi učešća u daljem postupku selekcije.
Prosječna greška ponovljenog jednostavnog slučajnog uzorkovanja izračunava se na sljedeći način:
Izračun maksimalne greške ponovljenog slučajnog uzorkovanja:
Tip formiranja populacije uzorka dijeli se na individualnu, grupnu i kombinovanu.
Metoda selekcije - utvrđuje specifičan mehanizam za odabir jedinica iz opšte populacije i deli se na: zapravo - slučajan; mehanički; tipično; serijski; kombinovano.
Zapravo – nasumično najčešći metod odabira u slučajnom uzorku, naziva se i metodom lutrije, u kojoj se za svaku jedinicu statističke populacije priprema listić sa serijskim brojem. Zatim se nasumično bira potreban broj jedinica statističke populacije. Pod ovim uslovima, svaki od njih ima istu verovatnoću da bude uključen u uzorak.
Mehaničko uzorkovanje. Koristi se u slučajevima kada je opća populacija na neki način uređena, odnosno postoji određeni redoslijed u rasporedu jedinica.
Da bi se odredila prosječna greška mehaničkog uzorkovanja, koristi se formula za prosječnu grešku u stvarnom slučajnom uzorkovanju koji se ne ponavlja.
Tipičan izbor. Koristi se kada se sve jedinice u općoj populaciji mogu podijeliti u nekoliko tipičnih grupa. Tipična selekcija uključuje odabir jedinica iz svake grupe na čisto slučajan ili mehanički način.
Za tipičan uzorak, standardna greška zavisi od tačnosti grupnih srednjih vrednosti. Dakle, u formuli za maksimalnu grešku tipičnog uzorka uzima se u obzir prosjek grupnih varijansi, tj.
Izbor serije. Koristi se u slučajevima kada su jedinice stanovništva kombinovane u male grupe ili serije. Suština serijskog uzorkovanja leži u stvarnom slučajnom ili mehaničkom odabiru serija, u okviru kojeg se vrši kontinuirano ispitivanje jedinica.
Kod serijskog uzorkovanja, veličina greške uzorkovanja ne zavisi od broja proučavanih jedinica, već od broja ispitanih serija(a) i od veličine međugrupne disperzije:
Kombinovani izbor može proći kroz jednu ili više faza. Uzorak se naziva jednostepenim ako se proučavaju jednom odabrane jedinice populacije.
Uzorak se zove višestepeni, ako se selekcija populacije odvija u fazama, uzastopnim fazama, a svaka faza, faza selekcije ima svoju jedinicu selekcije.
| " |
